陜科大附中2024—2025學年度第二學期月考一高二數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列導數運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根據基本初等函數求導法則以及復合函數求導法則計算即可.【詳解】因為，，，.故選：C.2.函數的極小值為（）A. B. C. D.不存在【答案】A【解析】【分析】利用導函數直接求解單調區間，即可得到極小值.【詳解】由題知函數的定義域為，則.令，得（舍去）.當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以函數的極小值為.故選：A3.已知，則除以10的余數為（）A.0 B.1 C.8 D.9【答案】A【解析】【分析】逆用二項式定理,可得，再利用二項式定理展開，即可得除以10的余數.【詳解】由可得，，則得，，即.故m除以10的余數為0.故選：A.4.從0，1，2，3，4，5這6個數中任選2個偶數和1個奇數，組成沒有重復數字的三位數的個數為（）A.36 B.42 C.45 D.54【答案】B【解析】【分析】分選2個偶數中含有0和不選0兩種情況，結合排列組合知識進行求解.【詳解】當任選2個偶數中含有0時，0可以放在個位或十位，共2種情況，再從3個奇數中選一個，2個偶數中選一個，放在剩余的數位上，共種選擇，此時共種情況，當任選2個偶數中不含有0時，從3個奇數中選一個，并和2,4進行全排列，共種情況，綜上，組成沒有重復數字的三位數個數為.故選：B5.若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對函數求導，在上單調遞減，等價于在上恒成立，進而根據不等式恒成立問題求解即可.【詳解】因為函數，所以，又函數在上單調遞減，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，則在上，，則.當時，不恒為零，也符合題意，所以實數的取值范圍是.故選：C6.從包含甲、乙兩人的人中選出人分別擔任班長、團支書、學習委員，則甲、乙至多有人被選中的不同選法有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】C【解析】【分析】利用間接法即可得解.【詳解】從包含甲、乙兩人的人中選出人分別擔任班長、團支書、學習委員，不同的選法種數為種，若甲、乙兩人都被選中，則不同的選法種數為種，因此，甲、乙至多有人被選中的不同選法有種.故選：C7.如題圖所示是某展區的一個菊花布局圖，現有5個不同品種的菊花可供選擇，要求相鄰的兩個展區不使用同一種菊花，則不同的布置方法有（）．A.240種B300種C.360種D.420種【答案】D【解析】【分析】先安排中心區域A，再從B開始沿逆時針方向進行布置四周的區域，分D與B選用同一種和選用不同種類菊花兩種情況，結合計數原理得到答案.【詳解】先布置中心區域A共有5種方法，從B開始沿逆時針方向進行布置四周的區域，則B有4種布置方法，C有3種布置方法．如果D與B選用同一種菊花，則E有3種布置方法；如果D與B選用不同種類菊花，則D有2種布置方法，E有2種布置方法．按照分步乘法與分類加法計數原理，則全部的布置方法有（種）.故選：D．8.設函數是奇函數（）的導函數，，當時，，則使得成立的的取值范圍是A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】構造新函數,，當時.所以在上單減，又，即.所以可得,此時，又為奇函數，所以在上的解集為：.故選A.點睛：本題主要考查利用導數研究函數的單調性，需要構造函數，例如，想到構造.一般：（1）條件含有，就構造,（2）若，就構造，（3），就構造，（4）就構造，等便于給出導數時聯想構造函數.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.展開式中所有項的二項式系數的和為16【答案】ABD【解析】【分析】借助賦值法令可得A；借助二項式的展開式的通項公式計算可得B；借助賦值法令，結合A中所得可得C；借助二項式系數的和的性質可得D.【詳解】對A：令，可得，故，A正確；對B：，所以，B正確；對C：令，可得，則，C錯誤；對D：展開式中所有項的二項式系數的和為，D正確．故選：ABD.10.第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行.現安排小明、小紅、小兵3名志愿者到甲、乙、丙、丁四個場館進行服務.每名志愿者只能選擇一個場館，且允許多人選擇同一個場館，下列說法中正確的有（）A.所有可能的方法有34種B.若場館甲必須有志愿者去，則不同的安排方法有37種C.若志愿者小明必須去場館甲，則不同的安排方法有16種D.若三名志愿者所選場館各不相同，則不同的安排方法有24種【答案】BCD【解析】【分析】利用分步乘法計數原理判斷AC選項的正確性，利用分類加法計數原理以及組合數計算判斷B選項的正確性，利用排列數計算判斷D選項的正確性.【詳解】對于A，所有可能的方法有種，故A錯誤.對于B，分三種情況：第一種：若有1名志愿者去場館甲，則去場館甲的志愿者情況為，另外兩名同學的安排方法有種，此種情況共有種，第二種：若有兩名志愿者去場館甲，則志愿者選派情況有，另外一名志愿者的排法有3種，此種情況共有種，第三種情況，若三名志愿者都去場館甲，此種情況唯一，則共有種安排方法，B正確.對于C，若小明必去甲場館，則小紅，小兵兩名志愿者各有4種安排，共有種安排，C正確.對于D，若三名志愿者所選場館各不同，則共有種安排，D正確.故選：BCD.11.已知函數，則下列結論正確的是（）A.在區間上單調遞增 B.的最小值為C.方程的解有個 D.導函數的極值點為【答案】ABD【解析】【分析】利用導數分析函數的單調性與極值，數形結合可判斷ABC選項；利用函數的極值點與導數的關系可判斷D選項.【詳解】因為，該函數的定義域為，，令，可得，列表如下：減極小值增且當時，；當時，，作出函數的圖象如下圖所示：對于A選項，在區間上單調遞增，A對；對于B選項，的最小值為，B對；對于C選項，方程的解只有個，C錯；對于D選項，令，該函數的定義域為，，令，可得；令，可得.所以，函數的單調遞減區間為，遞增區間為，所以，函數的極值點為，D對.故選：ABD.三、填空：本題3小題，每小題5分，共15分.12.某校舉行新年晚會，需要從6名女生和5名男生中選4人當主持人，要求主持人中既要有男生也要有女生，則不同的選法種數為__________.【答案】【解析】【分析】先不考慮性別，再減去全是男生、全是女生的情形，利用組合數公式計算可得.【詳解】從6名女生和5名男生中選4人當主持人有種選法，若4人全是男生，則有種選法，若4人全是女生，則有種選法，則主持人中既要有男生也要有女生，不同的選法有種.故答案為：13.的展開式中的系數為__________.【答案】【解析】【分析】寫出展開式通項，令的指數為，求出參數的值，代入通項即可得解.【詳解】的展開式通項為，因為，在中，其通項為，令，在中，展開式通項為，令，可得，所以，的展開式中的系數為.故答案為：.14.設，若函數存在兩個不同的極值點，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】函數存在兩個不同的極值點等價于在內有兩個異號零點，進而轉化為在內有兩個不等根即可求解.【詳解】解：易知函數的定義域為，，因為函數存在兩個不同的極值點，所以在內有兩個不等根，設，，則只需，即，所以，則的取值范圍為.故答案為：四、解答題；本題共5小題，共77分.解答應寫由文學說明、證明過程或演算步螺.15.已知的展開式二項式系數和為64.（1）求展開式中的常數項；（2）求展開式中二項式系數最大項.【答案】（1）60（2）.【解析】【分析】（1）由二項系數和確定n,再利用二項展開式的通項公式求解（2）利用二項式系數增減性質確定最大項即可求解【小問1詳解】由題意得：，解得由通項公式，令，可得：.則常數項為【小問2詳解】是偶數，展開式共有7項，則第四項最大，∴展開式中二項式系數最大的項為.16.設函數，（1）求曲線y=在點（0，）處的切線方程；（2）求函數在區間上的最大值與最小值；（3）若方程在有三個不同的根，求的取值范圍．【答案】（1）（2）最大值為10；最小值為（3）【解析】【分析】（1）利用導數的幾何意義及直線的點斜式方程求解.（2）根據導數與函數單調性的關系，求出區間端點處的函數值、極值進行比較.（3）利用導數確定函數的單調性以及求出函數的極值、最值，把函數的根的個數問題轉化為兩個函數的交點個數問題.【小問1詳解】代入得到，即切點坐標（0，1）由，得．-所以曲線y=在點（0，）處的切線方程為.【小問2詳解】由，得．令，得，解得或與在區間上的情況如下：-4-313

↗10↘↗10所以在區間上，當x=-3或x=3時，最大值為10；當x=1時，最小值為．【小問3詳解】若方程在上有三個不同的根，可得y=的圖象與直線y=有3個交點由（2）可知：-31↗10↘↗又當；當所以時，方程有三個不同根．17.某校從學生文藝部6名成員（4男2女）中，挑選2人參加學校舉辦的文藝匯演活動．（1）求男生甲被選中的概率；（2）在已知男生甲被選中的條件下，女生乙被選中的概率；（3）在要求被選中的兩人中必須一男一女的條件下，求女生乙被選中的概率．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）古典概型的概率求法，應用列舉法求概率；（2）記“男生甲被選中”為事件，“女生乙被選中”為事件，根據（1）有且，應用條件概率公式求概率；（3）記“挑選的2人一男一女”為事件，“女生乙被選中”為事件，根據（1）有且，應用條件概率公式求概率；【小問1詳解】記4名男生為A(甲)，B，C，D，2名女生為a，b(乙)，從6名成員中挑選2名成員有，，，，，，，，，，，，，，共有15種情況，，記“男生甲被選中”為事件M，則基本事件為，，，，共有5種，故．【小問2詳解】記“男生甲被選中”為事件，“女生乙被選中”為事件，則，由（1）知，故．【小問3詳解】由（1）知：記“挑選的2人一男一女”為事件，則，“女生乙被選中”為事件，則，故．18.現有編號為的3個不同的紅球和編號為的2個不同的白球．（1）若將這些球排成一排，且要求兩個球相鄰，則有多少種不同的排法？（2）若將這些球排成一排，且要求球排在中間，兩個球不相鄰，則有多少種不同排法？（3）若將這些球放入甲、乙、丙三個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，則有多少種不同的放法？【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由捆綁法求解即可；（2）先確定A，再將安排在兩邊，進而可求解；（3）將5個小球按3，1，1和2，2，1分3組，再全排列即可；【小問1詳解】將兩個球捆綁在一起和其他球進行全排列，有種不同的排法．【小問2詳解】先把球排在中間位置，再從球的兩側各選一個位置排兩個球，其余球任意排列，所以有種不同的排法．小問3詳解】先把5個小球分成3組，再放入3個盒子中．若按3，1，1分配，則有種不同的放法；若按2，2，1分配，則有種不同的放法．所以共有種不同的放法．19.已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）若，不等式恒成立，求實數的取值