三亞市實驗中學2024-2025學年度第二學期高二年級數學質量檢測一?單選題（本題共8小題，每一題5分，共40分）1.高二某班4名同學分別從3處不同風景點中選擇一處進行旅游觀光，則共有多少種選擇方案（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】D【解析】【分析】利用分步乘法計數原理即可得解.【詳解】由題意知每位同學都有3種選擇，可分4步完成，每步由一位同學選擇，故共有種選擇方法.故選：D.2.設函數在處存在導數為2，則（）A.1 B.2 C. D.3【答案】C【解析】【分析】利用導數的定義即可得解.【詳解】由依題意，知，則.故選：C.3.已知函數滿足，則的值為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出導函數，代入，即可得出答案.詳解】由已知可得，，則，所以，.故選：A.4.函數的圖象在點處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求導，代入得切線斜率，利用點斜式，寫出切線方程.【詳解】依題意，，因為，所以，所以切線方程為，即，故選：D.5.一個口袋里裝有大小不同的2個紅球和4個白球，從中取3個球，則至少含有1個紅球和1個白球的取法有（）A.35種 B.32種 C.16種 D.14種【答案】C【解析】【分析】求出從裝有大小不同的2個紅球和4個白球的口袋里取3個球的取法，求出其中全部為白球的取法即可求解.【詳解】從裝有大小不同的2個紅球和4個白球的口袋里取3個球有種取法，其中全部為白球有種取法，則至少含有1個紅球和1個白球的取法有種.故選：C.6.某市的5個區縣，，，，地理位置如圖所示，給這五個區域染色，每個區域只染一種顏色，且相鄰的區域不同色．若有四種顏色可供選擇，則不同的染色方案共有（）A.24種 B.36種 C.48種 D.72種【答案】D【解析】【分析】先對A，B，C三個區域染色，再討論B，E是否同色【詳解】當B，E同色時，共有種不同的染色方案，當B，E不同色時，共有種不同的染色方案，所以共有72種不同的染色方案.故選：D7.設是定義在上的奇函數，且，當時，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】當時，令，求導后結合已知可得在上單調遞減，再由可得到時，，當時，，再利用為奇函數，可求出結果.【詳解】當時，令，則，所以在上單調遞減，因為，所以，于是當時，，即；當時，，即.又為上的奇函數，所以當時，，當時，，又，所以的解集為.故選：A.8.的零點的個數為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】先把零點個數轉化為函數交點個數，再構造函數,結合導函數求解單調性及極值最后應用數形結合求解.【詳解】由得，構造函數，求導得在上單調遞減，在上單調遞增，上單調遞減，且，及時，的圖像如圖，得到有3個解.故選：D.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）9.已知函數的極小值點為1，極小值為.則（）A.B.C.有3個零點D.直線與的圖像僅有1個公共點【答案】ACD【解析】【分析】首先求函數的導數，根據極小值點以及極小值求參數，判斷AB，再根據導數與函數的關系判斷函數的圖象，即可判斷CD.【詳解】由題意得則，解得，故A正確.由，解得，故B錯誤.，當時，，所以在上單調遞增，當時，，所以在上單調遞減，當時，，所以在上單調遞增，所以的極大值為，畫出草圖，所以有3個零點，故C正確；直線與的圖像僅有1個公共點，故D正確.故選：ACD.10.下列說法正確的是（）A.可表示為B.若把英文“hero”的字母順序寫錯了，則可能出現的錯誤共有23種C.10個朋友聚會，見面后每兩個人握手一次，一共握手45次D.學校有5個“市三好學生”名額，現分給3個年級，每個年級至少一個名額，則有6種分法【答案】BCD【解析】【分析】利用排列數公式判斷A；利用排除法列式計算判斷B；利用組合計數判斷C；分類計算判斷D.詳解】對于A，，A錯誤；對于B，四個字母全排列共有種，而正確的只有1種，可能出現的錯誤共有種，B正確；對于C，10個朋友聚會，見面后每兩個人握手一次，共有次，C正確；對于D，5個名額，按分有種，按分有種，共有種，D正確.故選：BCD11.已知函數（）A.若在上單調遞增，則實數的取值范圍是B.若在上存在單調遞減區間，則實數的取值范圍是C.當在區間上不單調，則實數的取值范圍是D.若的單調遞減區間為，則.【答案】AD【解析】【分析】對于選項A，由在上單調遞增，可得在上恒成立，分離出參數，根據二次函數的單調性可求出實數的范圍；對于選項B：因為由在上存在單調遞減區間，可得在上有解，分離出參數，根據二次函數的單調性可求出實數的范圍；對于選項C，當時，得出，根據在區間上不單調，列出關于的不等式組，求出實數的范圍；對于選項D，由的單調遞減區間為，可知是的一個根，即可求出.【詳解】由函數可知：函數的定義域為，導數.對于選項A：因為在上單調遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，分離出參數，可得在上恒成立.又因為二次函數在上單調遞增，所以在上，所以，故選項A正確.對于選項B：因為在上存在單調遞減區間，所以在上有解，即在上有解，分離出參數，可得在上有解.又因為二次函數在上單調遞增，所以在上，所以，故選項B錯誤.對于選項C：當時，.令，解得.因為在區間上不單調，所以導數在區間上有極值點，則，解得：，故選項C錯誤.對于選項D：因為的單調遞減區間為，所以是的一個根，即，解得：，故選項D正確.故選：AD.三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.求的值為__________.【答案】18【解析】【分析】利用排列數公式計算.【詳解】故答案為：1813.用“實”?“驗”?“中”?“學”?“頂”?“呱”?“呱”這七個字可以組成__________種不同的七字短語.（不考慮短語的含義）【答案】【解析】【分析】在這七個文字的排列中，由于有相同元素，需要優先用組合來計數，然后用分步計數原理求解即可.【詳解】由于這七個字中有兩個重復文字，故第一步優先擺放，共有種；第二步擺放剩下五個文字，共有種；根據分步計數乘法原理得它們可以組成種不同的七字短語.故答案為：.14.過原點與曲線相切的切線方程為______．【答案】【解析】【分析】設切點坐標為，求得，列出方程，求得，得到，即可求得切線的方程.【詳解】設切點坐標為，切線方程為，由，則，則，則，即，即，解得，所以，所以原點與曲線相切的切線方程為．故答案為：【點睛】本題主要考查了過點出的切線方程的求解，其中解答中熟記到導數點幾何意義，以及過點處的切線方程的解法是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.四?解答題（本題共5小題，共77分）15.已知函數，．（1）求的單調遞增區間與極值；（2）求在區間上的最大值與最小值．【答案】（1）單調增區間為和，極大值為，極小值為（2）最大值為1，最小值為【解析】【分析】（1）根據已知條件及導數的正負與函數單調性的關系，再利用函數的極值的定義，即可求解；（2）根據的單調區間，極值，區間端點值即可確定在區間上的最大值與最小值．【小問1詳解】，令，得或，當時，，則在單調遞增，當時，，則單調遞減，當時，，則在單調遞增，所以單調增區間為和，單調減區間為，所以的極大值為，極小值為．【小問2詳解】由（1）可知，在上單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，又，，所以在區間上的最大值為1，最小值為．16.求下列問題的排列數：（1）4名男生3名女生排成一排，3名女生相鄰；（2）4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相鄰；（3）4名男生3名女生排成一排，女生不能排在兩端.【答案】（1）720(種)（2）1440(種)（3）1440(種)【解析】【分析】（1）利用捆綁法進行排列計算可得結果；（2）利用插空法先排男生，再將女生插空排列計算可得結果；（3）根據特殊元素排法將兩端排上男生再進行全排列即可得結果.【小問1詳解】根據相鄰問題捆綁法得，先將3名女生全排列，并作為一個元素，再和其余4名男生一起排列，共有(種)不同的安排方法.【小問2詳解】根據不相鄰問題插空法得，先將4名男生進行全排列，再將3名女生插在5個空位上，共有(種)不同的排列方法.【小問3詳解】先從4名男生中取2人排在兩端，再將其余5人排在中間5個位置上，共有(種)不同的排列方法.17.由0，1，2，3，4這五個數字．（1）能組成多少個無重復數字的五位數？（2）能組成多少個無重復數字的五位偶數？（3）組成無重復數字的五位數中比21034大的數有多少個？【答案】（1）96（2）60（3）65【解析】【分析】（1）先排數字0，再排其它4個數字即可計算得解；（2）選偶數先排個位數，分個位數字為0和個位數字為2或4兩種情況，再排其它數位；（3）按最高位上的數字比2大和2兩類分類計算作答.【小問1詳解】先排數字0，0只能占除最高位外的其余四個數位，有種排法，再排四個非0數字有種，由分步乘法計數原理得，所以能組成96個無重復數字的五位數；【小問2詳解】當個位數字為0時，則可以組成個無重復數字的五位偶數，

當個位數字為2或4時，則可以組成個無重復數字的五位偶數，

即可以組成個無重復數字的五位偶數；【小問3詳解】計算比21034大的五位數的個數分兩類：萬位比2大的五位數個數是，萬位是2的五位數中，千位比1大的有個，千位是1，百位比0大的有個，千位是1，百位是0，十位比3大的有1個，由分類加法計數原理得，所以組成無重復數字的五位數中比21034大的數有65個.18.設函數．（1）若恒成立，求實數a的取值范圍；（2）是否存在實數a，當時，函數的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）由給定的恒成立的不等式分離參數，構造函數，求出函數的最大值即可.（2）利用導數按分類討論函數在上單調性，并求出最小值即可.【小問1詳解】函數的定義域為，不等式，令，依題意，恒成立，，當時，；當時，，函數在上遞增，在上遞減，，則，所以實數a的取值范圍是.【小問2詳解】由函數，求導得，由，得，當時，，函數在上單調遞減，，解得，無解；當時，由，得；由，得，函數在上單調遞減，在上單調遞增，，解得，符合題意，所以存在實數a，當時，函數的最小值是2，.19.已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）若，不等式恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（