鳳岡縣第二中學2024至2025學年度第二學期高二數學學科第一次月考試卷考試時間：120分鐘滿分：150分注意享項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，請用2B鉛筆填涂在答題卡上相應位置.回答非選擇題時，應寫出文字說明、證明過程或演算步驟寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.）1.設，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據給定條件，求出二元一次方程組的解即可作答.【詳解】解方程組得，，所以.故選：A2.已知復數滿足，則為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據條件，利用復數的運算，得到，再利用模長的計算公式，即可求解.【詳解】由，得到，所以，故選：C.3.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，直接寫出該命題的否定命題即可求解．【詳解】命題“”的否定是，故選：B.4.某地區空氣質量監測資料表明，一天的空氣質量為優良的概率是0.75，連續兩天為優良的概率是0.6，已知某天的空氣質量為優良，則隨后一天的空氣質量為優良的概率是（）A.0.4 B.0.6 C.0.75 D.0.8【答案】D【解析】【分析】由題及條件概率計算公式可得答案.【詳解】設“某一天的空氣質量為優良”為事件A，“隨后一天的空氣質量為優良”為事件B，由題有：，則某天的空氣質量為優良，隨后一天的空氣質量為優良的概率是：.故選：D5.將函數向左、向下分別平移2個、3個單位長度，所得圖象為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意，將函數化為分段函數的形式，得到其大致圖象，即可判斷平移之后的函數圖象.【詳解】，可得函數的大致圖象如圖所示，將其向左、向下分別平移2個、3個單位長度，所得函數圖象為C選項中的圖象.故選：C6.勒洛三角形是一種特殊三角形，指分別以正三角形的三個頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形.現提供5種顏色給如圖所示的勒洛三角形中的4個小區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色，且相鄰區域顏色不同，則不同的涂色方案種數為（）A.120 B.240 C.300 D.320【答案】D【解析】【分析】通過先確定中間的涂色情況，再依次確定其他部分的涂色情況，利用分步乘法原理計算總方案數.【詳解】先涂中間，有5種選色，再逐個涂旁邊部分，都有4種選色.由分步乘法計數原理得不同的涂色方案種數為.故選：D.7.函數的函數值表示不超過x的最大整數，例如，，則方程的零點個數為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】利用定義，進行分段討論，找出與圖象交點個數即可.【詳解】由題，，故時，，與沒有交點，當時，，與沒有交點，當時，，與有一個交點，當時，，與有1個交點，當時，，與沒有交點，故共有2個交點，故選：C.8.已知圓，直線，若直線被圓截得的弦長的最大值為，最小值為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出直線過定點，再根據點在圓內結合直線與圓的位置關系求出最長弦長和最短弦長即可得解.【詳解】由題意直線可化為，則直線過定點，點代入圓可得，所以點在圓內，又圓半徑，圓心，所以當時，直線被圓截得弦長最短，即，當過圓心時，直線被圓截得弦長最長，即，所以，故選：A二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全得部份分，有選錯的得0分.）9.若向量，則（）A. B.C.在上的投影向量為 D.與的夾角為【答案】BC【解析】【分析】用坐標表示出向量，用模長公式求出模長即可判斷A選項；用向量坐標求向量的數量積判斷B選項；由向量的投影向量的公式判斷C選項；由坐標求出模長和向量的數量積，求出向量的夾角判斷D選項.【詳解】由題，所以，故A錯；又，故B正確；，所以在上的投影向量為：，故C正確；因，又，所以，故D錯誤.故選：BC.10.如圖所示，楊輝三角是二項式系數的一種幾何排列，第行是的展開式的二項式系數，觀察圖中數字的排列規律，可知下列結論正確的是（）A.B.第10行所有數字之和為C.第12行從左到右第4個數與第5個數之比為4：9D.第2025行從左到右第1013個數比該行其他數都大【答案】ABC【解析】【分析】對于A，根據組合數公式：，可得答案；對于B，根據二項式系數的求和公式，可得答案；對于C，根據組合數公式：，以及組合數計算方法，可得答案；遂于D，根據二項式系數的單調性，可得答案.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，由題可知，第10行所有數字之和為，故B正確；對于C，由題可知，第12行從左到右第4個數為，第5個數為，則第12行從左到右第4個數與第5個數之比為，故C正確；對于D，由題圖可知，第2025行共有2026個數，從左到右第1013個數和第1014個數相等，且都是該行最大的，故D錯誤.故選：ABC.11.對任意的，，函數滿足，且，，則（）A. B.是奇函數C.4為函數的一個周期 D.【答案】ACD【解析】【分析】令可判斷A；根據時不成立判斷B；求出后令可判斷C；根據周期性結合可判斷D.【詳解】由，令，則，又，所以，故A正確；因為時，則不成立，所以不是奇函數，故B錯誤；令可得，所以，令，則，令，則，所以的周期為4，故C正確；由，得，所以，故D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：函數奇偶性與周期性、抽象函數相結合的問題，多以選擇題、填空題的形式呈現，此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解，抽象函數問題往往利用賦值法求解.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.的展開式中的系數為__________.【答案】【解析】【分析】寫出展開式通項，令的指數為，求出參數的值，代入通項即可得解.【詳解】的展開式通項為，因為，在中，其通項為，令，在中，展開式通項為，令，可得，所以，的展開式中的系數為.故答案為：.13.已知，，，則的最小值為___________．【答案】5【解析】【分析】由，，得，則，根據基本不等式即可得出，從而求出的最小值.【詳解】由，可得，則，當且僅當，即，時等號成立．因此，的最小值為5．故答案為：5．14.已知某圓臺的母線長為13，一個半徑為6的球恰好與此圓臺的各個面均相切，則這個圓臺的體積為______.【答案】【解析】【分析】作出輔助線，根據條件，得到方程，求出上下底面的半徑，從而利用臺體體積公式求出答案.【詳解】如圖，球內切于圓臺，故與上下底面的切點為，與側面切于點，則，，設，則①，過點作⊥于點，則，，由勾股定理得，又，故②，由①②得，所以圓臺的上底面面積為，下底面面積為，圓臺的高為，故圓臺的體積為.故答案為：四、解答題：（本大題5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.6位同學報名參加2022年杭州里運會4個不同的項目（記為A，B，C，D）的志愿者活動，每位同學恰報1個項目．（1）6位同學站成一排拍照，如果甲乙兩位同學必須相鄰，丙丁兩位同學不相鄰，求不同的排隊方式有多少種?（2）若每個項目至少需要一名志愿者，求一共有多少種不同報名方式?【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用捆綁法和插空法即可求解；（2）將6為同學分成4組，計算每一類的情況即可.【小問1詳解】根據題意，第一步：把甲乙看成整體和除丙丁外的兩位同學排列有種排法，第二步：再把丙丁插空排列有種排法，所以共有種排法；【小問2詳解】先將6為同學分成4組，按人數分有和種分法：第一類：按分法有種分法；第二類：按分法有種分法；所以共有：種分法.所以一共有種不同報名方式.16.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（1）求角A的大小；（2）若，的面積為，求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式進行化簡求值；（2）由三角形的面積公式和余弦定理求出和，進而求出△ABC的周長．【小問1詳解】因為，由正弦定理得，因為角A，B，C為的內角，即，則，，可得，所以.【小問2詳解】因為，則，所以，由余弦定理得：，解得，所以的周長為．17.在一次購物抽獎活動中，假設某10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品；有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品；其余6張沒有獎.某顧客從此10張獎券中任抽2張，求：（1）該顧客中獎的概率；（2）該顧客獲得的獎品總價值的分布列，并求出的值.【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）應用組合數及古典概型的概率、對立事件的概率求法求顧客中獎的概率；（2）由已知有的可能取值為0，10，20，50，60并求出對應概率，即得分布列，進而由求值.【小問1詳解】該顧客中獎的概率.【小問2詳解】的可能取值為0，10，20，50，60.，，，，.故隨機變量的分布列為010205060所以18.已知四棱錐P-ABCD，，，，，E是上一點，．（1）若F是PE中點，證明：平面．（2）若平面，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點為，接，可證四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量后可求夾角的余弦值.【小問1詳解】取的中點為，接，則，而，故，故四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，所以平面.【小問2詳解】因為，故，故，故四邊形為平行四邊形，故，所以平面，而平面，故，而，故建立如圖所示的空間直角坐標系，則，則設平面法向量為，則由可得，取，設平面的法向量為，則由可得，取，故，故平面與平面夾角的余弦值為.19.已知橢圓的焦距為，且過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作兩條直線分別交橢圓于，兩點，若直線平分，求證：直線的斜率為定值，并求出這個定值.【答案】（1）