名校真題測(cè)試卷11（數(shù)論篇二）時(shí)間：15分鐘滿分5分姓名_________測(cè)試成績(jī)_________1（06年清華附中考題）有3個(gè)吉利數(shù)888，518，666，用它們分別除以同一個(gè)自然數(shù)，所得的余數(shù)依次為a,a+7,a+10,則這個(gè)自然數(shù)是_____.2（06年三帆中學(xué)考題）140，225，293被某大于1的自然數(shù)除,所得余數(shù)都相同。2002除以這個(gè)自然數(shù)的余數(shù)是.（03年人大附中考題）某個(gè)兩位數(shù)加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，這個(gè)兩位數(shù)是______.4（04年101中學(xué)考題）一個(gè)八位數(shù)，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知這個(gè)八位數(shù)的前6位是257633，那么它的后兩位數(shù)字是__________。5（06年實(shí)驗(yàn)中學(xué)考題）(1)從1到3998這3998個(gè)自然數(shù)中，有多少個(gè)能被4整除?(2)從1到3998這3998個(gè)自然數(shù)中，有多少個(gè)各位數(shù)字之和能被4整除?【附答案】1【解】：處理成余數(shù)相同的，則888、518-7、666-10的余數(shù)相同，這樣我們可以轉(zhuǎn)化成同余問(wèn)題。這樣我們用總結(jié)的知識(shí)點(diǎn)可知：任意兩數(shù)的差肯定余0。那么這個(gè)自然數(shù)是888-511=377的約數(shù),又是888-656=232的約數(shù)，也是656-511=145的約數(shù)，因此就是377、232、145的公約數(shù),所以這個(gè)自然數(shù)是29。2【解】：這樣我們用總結(jié)的知識(shí)點(diǎn)可知：任意兩數(shù)的差肯定余0。那么這個(gè)自然數(shù)是293-225=68的約數(shù),又是225-140=85的約數(shù)，因此就是68、85的公約數(shù),所以這個(gè)自然數(shù)是17。所以2002除以17余13。3【解】：“加上3后被3除余1”4【解】：設(shè)后面這個(gè)兩位數(shù)為ab，前面數(shù)字和為26除以3余2，所以補(bǔ)上的兩位數(shù)數(shù)字和要除以3余2。同理要滿足除以4余2；八位數(shù)中奇數(shù)位數(shù)字和為（2+7+3+a）,偶數(shù)位數(shù)字和為（5+6+3+b）這樣要求a=b+2，所以滿足條件的只有86。5【解】1、[]=999個(gè)。2、對(duì)于每一個(gè)三位數(shù)×××來(lái)說(shuō)，在1×××、2×××、3×××和4×××這4個(gè)數(shù)中恰好有1個(gè)數(shù)的數(shù)字和能被4整除．所以從1000到4999這4000個(gè)數(shù)中，恰有1000個(gè)數(shù)的數(shù)字和能被4整除．同樣道理，我們可以知道600到999這400個(gè)數(shù)中恰有100個(gè)數(shù)的數(shù)字和能被4整除，從200到599這400個(gè)數(shù)中恰有100個(gè)數(shù)的數(shù)字和能被4整除．現(xiàn)在只剩下10到199這190個(gè)數(shù)了．我們還用一樣的辦法．160到199這40個(gè)數(shù)中，120到159這40個(gè)數(shù)中，60到88這40個(gè)數(shù)中，以及20到59這40個(gè)數(shù)中分別有10個(gè)數(shù)的數(shù)字和能被4整除．而10到19，以及100到1t9中則只有13、17、103、107、112和116這6個(gè)數(shù)的數(shù)字和能被4整除．所以從10到4999這4990個(gè)自然數(shù)中，其數(shù)字和能被4整除的數(shù)有1000+100×2+10×4+6=1246個(gè)．[方法二]：解：第一個(gè)能數(shù)字和能夠被4整除的數(shù)是13，最后一個(gè)是4996，這中間每4位數(shù)就有一個(gè)能夠滿足條件，所以4996－13＝4983，4983÷4＝1245（個(gè)），而第一個(gè)也是能夠滿足的，所以正確答案是1245＋1＝1246（人）或者就直接用4996－12＝4984，用4984÷4＝1246（個(gè)）[拓展]：1到9999的數(shù)碼和是等于多少？希望考入重點(diǎn)中學(xué)？奧數(shù)網(wǎng)是我們成就夢(mèng)想的地方！第十一講小升初專項(xiàng)訓(xùn)練希望考入重點(diǎn)中學(xué)？奧數(shù)網(wǎng)是我們成就夢(mèng)想的地方！一、小升初考試熱點(diǎn)及命題方向關(guān)于余數(shù)的數(shù)論問(wèn)題并繼續(xù)討論一些數(shù)論的應(yīng)用。和余數(shù)有關(guān)的問(wèn)題在各種杯賽中頻繁出現(xiàn)，是一個(gè)非常重要的內(nèi)容，在06年各大名校的考試題中涉及到余數(shù)的試題較多，但均以小題的形式出現(xiàn)。二、2007年考點(diǎn)預(yù)測(cè)定理需牢記定理需牢記做題有信心！三、基本公式余數(shù)定理：a：兩數(shù)的和除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)和。[講解練習(xí)]：7÷3=…1，5÷3=…2，這樣（7+5）÷3的余數(shù)就等于1+2=3，所以余0。b:兩數(shù)的差除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)差。[講解練習(xí)]：8÷3=…2，4÷3=…1，這樣（8-4）÷3的余數(shù)就等于2-1=1，所以余1。如果是（7-5）÷呢?會(huì)出什么問(wèn)題？c:兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)積。[講解練習(xí)]：7÷3=…1，5÷3=…2，這樣（7×5）÷3的余數(shù)就等于1×2=2，所以余2。性質(zhì)：（1）帶余除法：一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b≠0）,那么一定有另外兩個(gè)整數(shù)q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r當(dāng)r=0時(shí)，我們稱a能被b整除。當(dāng)r≠0時(shí)，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商（亦簡(jiǎn)稱為商）。用帶余數(shù)除式又可以表示為a÷b=q……r,0≤r＜b[講解練習(xí)]：兩個(gè)整數(shù)相除得商數(shù)是12和余數(shù)是26，被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)及余數(shù)的和等于454，除數(shù)是____。（2）同余定義：若兩個(gè)整數(shù)a，b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a，b對(duì)于模m同余，用式子表示為a≡b(modm)（*）同余式（*）意味著（我們假設(shè)a≥b）a－b=mk，k是整數(shù)，即m|(a-b)[講解練習(xí)]：一個(gè)大于10的數(shù)，除以5余1，除以6余1，除以9余1，問(wèn)滿足條件的最小自然樹為____.于是我們有下面的（3）若兩個(gè)數(shù)a，b除以同一個(gè)數(shù)c得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被c整除性質(zhì)（3）非常有用，一定要熟練掌握。下面是一些和同余有關(guān)的題目，這些題型都是考試經(jīng)常出的，一定要掌握。[講解練習(xí)]：從1～20中最多可以找出幾個(gè)數(shù)，使任意兩個(gè)數(shù)的差是9的倍數(shù)？四、典型例題解析1余數(shù)規(guī)律【例1】（★★★）大于35的所有數(shù)中，有多少個(gè)數(shù)除以7的余數(shù)和商相等？【解】：除以7的余數(shù)只能是0～6，所以商只能是0～6，滿足大于7的數(shù)只有商和余數(shù)都為5、6，所以只能是40、48。【例2】（★★★）求2222…22共2003個(gè)2相乘除以13的余數(shù)為____.【解】：除以13、11、7的規(guī)律是六個(gè)數(shù)222222可以看成周期性數(shù)字222222=222×1001=222×7×11×13，這樣必是13的倍數(shù)，所以每六個(gè)數(shù)都可以整除，所以2003÷6余5，所以22222除以13余5。2余數(shù)定理、性質(zhì)的運(yùn)用【例3】（★★★）一個(gè)大于1的自然數(shù)去除300，243，205時(shí)，得到相同的余數(shù)，則這個(gè)自然數(shù)是______【解】：余數(shù)相同，我們可以利用余數(shù)定理，這樣我們用總結(jié)的知識(shí)點(diǎn)可知：任意兩數(shù)的差肯定余0。那么這個(gè)自然數(shù)是300-243=57的約數(shù),又是243-205=38的約數(shù)，因此就是57和38的公約數(shù),因?yàn)?7和38的最大公約數(shù)是19,所以這個(gè)自然數(shù)是19。【例4】（★★★）甲、乙、丙三數(shù)分別為603，939，393.某數(shù)A除甲數(shù)所得余數(shù)是A除乙數(shù)所得余數(shù)的2倍，A除乙數(shù)所得余數(shù)是A除丙數(shù)所得余數(shù)的2倍.求A等于多少？[思路]：題中不知道余數(shù)是多少，所以我們能做的就是消去余數(shù)。【解】：設(shè)這個(gè)數(shù)為M，則603÷M=A1…r1939÷M=A2…r2393÷M=A3…r3r1=2×r2,r2=×r3,要消去余數(shù)r1,r2,r3,我們只能先把把余數(shù)處理成相同的，再兩數(shù)相減。這樣我們先把第二個(gè)式子乘以2，這樣被除數(shù)和余數(shù)都擴(kuò)大2倍，同理，第三個(gè)式子乘以4。這樣我們可以得到下面的式子：603÷M=A1…r1（939×2）÷M=A2…（r2×2）（393×4）÷M=A3…（r3×4）這樣余數(shù)就處理成相同的。最后兩兩相減消去余數(shù)，意味著能被M整除。939×2-603=1275，393×4-939-=153（1275，153）=51=3×17。603，939，393這三個(gè)數(shù)有公約數(shù)3。51÷3=17。則A等于17。一個(gè)數(shù)除以多個(gè)數(shù)，得不同余數(shù)一般解題步驟：=1\*GB3①湊“多”相同，即把余數(shù)處理成相同條件：余數(shù)與除數(shù)的和相同=2\*GB3②湊“缺”相同，即把余數(shù)處理成缺的數(shù)字相同條件：除數(shù)與余數(shù)的差相同=3\*GB3③先考慮上面兩種，如果都不行，則用“中國(guó)剩余定理”【例5】（★★★）一個(gè)小于200的數(shù)，它除以11余8，除以13余10，這個(gè)數(shù)是幾？【解】：根據(jù)總結(jié)，我們發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)除數(shù)與余數(shù)的差都等于11-8=13-10=3，觀察發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)加上3后就能同時(shí)被11和13整除,所以[11、13]=143，所以這個(gè)數(shù)是143-3=140。【例6】（★★★）一個(gè)大于10的數(shù)，除以5余3，除以7余1，除以9余8，問(wèn)滿足條件的最小自然數(shù)為____.【解】：根據(jù)總結(jié)，我們發(fā)現(xiàn)三個(gè)數(shù)中兩個(gè)數(shù)的除數(shù)與余數(shù)的和都是5+3=7+1=8，這樣我們可以把余數(shù)都處理成都余8，所以[5、7、9]=315，所以這個(gè)數(shù)就是315+8=323。【例7】（★★★）一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余4，問(wèn)滿足條件的最小自然數(shù)____.【解】：根據(jù)總結(jié)，我們發(fā)現(xiàn)前面兩種都不符合，所以我們只能用最普遍的“中國(guó)剩余定理”：3、5的公倍數(shù)3、7的公倍數(shù)5、7的公倍數(shù)15213530427045631056084140………找出除以7余4的除以5余3除以3余2可以找出分別是：606335可見60+63+35=158滿足我們的條件，但不是最小的自然數(shù)，處理方法就是減去最小公倍數(shù)的若干倍，使結(jié)果在最小公倍數(shù)之內(nèi)。所以答案為：158-105=53。題型四：余數(shù)和應(yīng)用題相結(jié)合。【例8】（★★★）在3×3的方格表中已如右圖填入了9個(gè)質(zhì)數(shù)。將表中同一行或同一列的3個(gè)數(shù)加上相同的自然數(shù)稱為一次操作。問(wèn)：你能通過(guò)若干次操作使得表中9個(gè)數(shù)都變?yōu)橄嗤臄?shù)嗎？為什么？【解】：因?yàn)楸碇?個(gè)質(zhì)數(shù)之和恰為100，被3除余1，經(jīng)過(guò)每一次操作，總和增加3的倍數(shù)，所以表中9個(gè)數(shù)之和除以3總是余1。如果表中9個(gè)數(shù)變?yōu)橄嗟龋敲?個(gè)數(shù)的總和應(yīng)能被3整除，這就得出矛盾！所以，無(wú)論經(jīng)過(guò)多少次操作，表中的數(shù)都不會(huì)變?yōu)?個(gè)相同的數(shù)。【例9】（★★★）現(xiàn)有糖果254粒,餅干210塊和桔子186個(gè).某幼兒園大班人數(shù)超過(guò)40.每人分得一樣多的糖果,一樣多的餅干,也分得一樣多的桔子。余下的糖果、餅干和桔子的數(shù)量的比是：1：3：2，這個(gè)大班有_____名小朋友，每人分得糖果_____粒，餅干_____塊，桔子_____個(gè)。【來(lái)源】南京市第三屆“興趣杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽D卷第11題

【解】：設(shè)大班共有a名小朋友。由于余下的糖果、餅干和桔子的數(shù)量之比是1:3:2，所以余下的糖果、桔子數(shù)目的和正好等于余下的餅干數(shù)，從而254+186-210一定是a的倍數(shù)，即254+186-210=230=1×230=10×23=2×5×23是a的倍數(shù)。

同樣，2×254-186=322=23×14=23×14=23×2×7也一定是a的倍數(shù)。所以，a只能是23×2的因數(shù)。

但a﹥40,所以a=46。

此時(shí)254=46×5+24，210=46×3+72，186=46×3+48。

故大班有小朋友46名，每人分得糖果5粒，餅干3塊，桔子3個(gè)。【例10】（★★★）六張卡片上分別標(biāo)上1193，1258，1842，1866，1912，2494六個(gè)數(shù)，甲取3張，乙取2張，丙取1張，結(jié)果發(fā)現(xiàn)甲，乙各自手中卡片上的數(shù)之和，一個(gè)人是另一個(gè)人的2倍，則丙手中卡片上的數(shù)是幾？【解】：甲，乙手中卡片上的數(shù)之和必是3的倍數(shù)。六張卡片上的數(shù)分別除以3，依次余2，1，0，0，1，1，因此只有后5個(gè)數(shù)的和能被3整除，所以丙手中卡片上的數(shù)是1193。【例11】（★★★★）甲、乙兩個(gè)代表團(tuán)乘車去參觀，每輛車可乘36人，兩代表團(tuán)坐滿若干輛車后，甲代表團(tuán)余下的11人與乙代表團(tuán)余下的成員正好又坐滿一輛車。參觀完，甲代表團(tuán)的每個(gè)成員與乙代表團(tuán)的每個(gè)成員兩兩合拍一張照片留念，那么拍完最后一張照片后，照相機(jī)里的膠卷還可拍____張照片（每個(gè)膠卷可拍36張照片）。【解】：每車坐36人，甲代表團(tuán)余下的11人和乙代表團(tuán)余下的成員正好又坐滿一輛車意味著乙代表團(tuán)還剩下36-11=25人，這樣我們可以知道甲團(tuán)人數(shù)除以36余11，乙團(tuán)人數(shù)除以36余25，現(xiàn)在甲代表團(tuán)的每個(gè)成員與乙代表團(tuán)的每個(gè)成員兩兩合拍一張照片留念，意味著總共要拍的照片數(shù)目為：甲團(tuán)人數(shù)×乙團(tuán)人數(shù)，每個(gè)膠卷可拍36張，所以膠卷用了若干卷后還要拍：（甲團(tuán)人數(shù)×乙團(tuán)人數(shù)）÷36的余數(shù)，根據(jù)余數(shù)定理可知，（甲團(tuán)人數(shù)×乙團(tuán)人數(shù)）36的余數(shù)等于（11×25）÷36余23，這樣總共還要拍23張，也就是說(shuō)要可以拍36-23=13張。[拓展]：甲乙丙丁四個(gè)旅游團(tuán)分別有游客69、85、93、97人，現(xiàn)把死個(gè)團(tuán)分別進(jìn)行分組，使每組有A名游客，已知甲乙丙三個(gè)團(tuán)分成A人后所剩下的人相同，問(wèn)丁團(tuán)分成A人后還剩下幾人?【例12】（★★★）某商場(chǎng)向顧客發(fā)出9999張購(gòu)物券，每張上面印有一個(gè)四位數(shù)的號(hào)碼，從0001到9999。如果號(hào)碼的前面兩位之和等于后面兩位數(shù)字之和，則稱為“幸運(yùn)券”。例如號(hào)碼0826，因0+8=2+6，所以叫做“幸運(yùn)券”，試說(shuō)明：商場(chǎng)發(fā)出的所有“幸運(yùn)券”中，所有的“幸運(yùn)券”的號(hào)碼之和能被101整除。【解】：“配位求和法”，即號(hào)碼為0000和9999的和一定能被101整除（9999=99×101），再接著應(yīng)該是后兩位增加1的，這樣有四組數(shù)1001，0101，1010，0110；對(duì)應(yīng)后面的為8998，9898，8989，9889這樣每組數(shù)的和為1001+8998=9999，也能被101整除，因?yàn)榭偣灿?0000個(gè)號(hào)碼（加上0000），所以肯定是對(duì)稱出現(xiàn)的，所以肯定能被101整除。AB【例13】（★★★★）在一個(gè)圓圈上有幾十個(gè)孔（不到100個(gè)），如圖。小明像玩跳棋那樣，從A孔出發(fā)沿著逆時(shí)針?lè)较颍扛魩卓滋徊剑Ｍ蝗σ院竽芴氐紸孔。他先試著每隔2孔跳一步，結(jié)果只能跳到B孔。他又試著每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔。最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道這個(gè)圓圈上共有多少個(gè)孔嗎？

【來(lái)源】第二屆“華杯賽”AB【解】設(shè)想圓圈上的孔已按下面方式編了號(hào)：A孔編號(hào)為1，然后沿逆時(shí)針?lè)较蝽槾尉幪?hào)為2，3，4，…B孔的編號(hào)就是圓圈上的孔數(shù)。每隔2孔跳一步，跳在1，4，7，10，…上。最后跳到B孔，因此總孔數(shù)是3的倍數(shù)加1。

同樣道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味著總孔數(shù)是5的倍數(shù)加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A,就意味著總孔數(shù)是7的倍數(shù)。如果將孔數(shù)減1，那么得數(shù)既是3的倍數(shù)也是5的倍數(shù)，因而是15的倍數(shù)。這個(gè)15的倍數(shù)加上1就等于孔數(shù)，而且能被7整除。注意：15被7除余1，所以15×6被7除余6，15的6倍加1正好被7整除。我們還可以看出，15的其他（小于7的）倍數(shù)加1都不能被7整除，而15×7=105已經(jīng)大于100.7以上的倍數(shù)都不必考慮，因此，圓圈上總孔數(shù)是15×6+1=91。小結(jié)本講主要接觸到以下幾種典型題型：1）余數(shù)規(guī)律。參見例1，22）余數(shù)定理、性質(zhì)的運(yùn)用。參見例3，4，3）一個(gè)數(shù)除以多個(gè)數(shù)，得不同余數(shù)參見例5，6，74）余數(shù)和應(yīng)用題相結(jié)合。參見例8，9，10，11，12，13【課外知識(shí)】中國(guó)剩余定理我國(guó)古代算書《孫子算經(jīng)》中，有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有物不知其數(shù)：三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何．”這個(gè)問(wèn)題一般稱孫子問(wèn)題．這個(gè)問(wèn)題可譯成：求被3除余2，被5除余3，被7除余2的最小正整數(shù)．《孫子算經(jīng)》中記載了這個(gè)問(wèn)題的解法，有人將其解法編成歌訣：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一支，七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知．”它的意思是用3除的剩余數(shù)乘70，用5除的剩余數(shù)乘21，用7除的剩余數(shù)乘15，將所得的結(jié)果相加再減去105的倍數(shù)，即可得所求數(shù)．算式是2×70＋3×21＋2×15=233，233－105×2＝23，所以，最小的正整數(shù)解是23．這種解法，實(shí)際上是特殊的一次同余式組的求解定理．1801年，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在《算術(shù)探究》中明確提出一次同余式組的求解定理．西方數(shù)學(xué)著作中將一次同余式的求解定理稱為中國(guó)剩余定理奇數(shù)和偶數(shù)活動(dòng)課上，黑熊老師笑著對(duì)大家說(shuō)：“我們來(lái)做個(gè)游戲好不好？”“好！”小動(dòng)物們齊聲回答。“請(qǐng)你們每位準(zhǔn)備兩張小紙條。”黑熊老師清了清嗓子說(shuō)。小動(dòng)物們不知道黑熊老師要他們做什么游戲，一個(gè)個(gè)興奮的眼睛發(fā)亮，很快都把小紙條準(zhǔn)備好了。黑熊老師環(huán)視一下全班同學(xué)，說(shuō)：“請(qǐng)你們?cè)趦蓮埿〖垪l上分別寫一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)，寫好后，兩手各握一張。不要給我也不要給你身邊的同學(xué)看。”小動(dòng)物們不久前剛學(xué)過(guò)關(guān)于奇數(shù)和偶數(shù)的知識(shí)，不一會(huì)兒，大家都完成了黑熊老師提出的要求。“聽著，”黑熊老師一字一句清晰地說(shuō)道：“你們各位都請(qǐng)將右手中的數(shù)乘2，左手中的數(shù)乘3，再把乘積相加。不要算出聲音來(lái)。”等小動(dòng)物們一個(gè)個(gè)都算好了，黑熊老師又叫算出得數(shù)是奇數(shù)的小動(dòng)物們排成一隊(duì)；得數(shù)是偶數(shù)的排成一隊(duì)。小動(dòng)物們都站好了，一個(gè)個(gè)感興趣地看著黑熊老師，猜測(cè)著它下以步要它們做什么。“好了！”黑熊老師指著得數(shù)是奇數(shù)的那排小動(dòng)物說(shuō)：“你們左手握的都是奇數(shù)。”它又指著另一排小動(dòng)物說(shuō)：“你們左手握的都是偶數(shù)。”兩排小動(dòng)物們攤開手掌一看，可不是，黑熊老師猜得完全正確。小動(dòng)物們驚奇極了，忍不住紛紛問(wèn)道：“老師，您是怎么知道的？”黑熊老師于是分析道：“奇數(shù)×2＝偶數(shù)奇數(shù)×3＝奇數(shù)偶數(shù)×2＝偶數(shù)偶數(shù)×3＝偶數(shù)偶數(shù)＋偶數(shù)＝偶數(shù)偶數(shù)＋奇數(shù)＝奇數(shù)左手是奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)×3是奇數(shù)，奇數(shù)＋偶數(shù)（右手中的偶數(shù)×2），結(jié)果是奇數(shù)。而如右手是奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)×2成偶數(shù)，偶數(shù)＋偶數(shù)（左手中的偶數(shù)×3），結(jié)果是偶數(shù)。這就是最后結(jié)果與左手中數(shù)字奇偶相同的原因，也即我這個(gè)猜法的根據(jù)。”小動(dòng)物們恍然大悟……作業(yè)題（注：作業(yè)題--例題類型對(duì)照表，供參考）題1，7—類型2；題2—類型：奇偶性；題3—類型：整除性質(zhì)；題5—類型3題4，6—雜型1．（★★★）已知2008被一些自然數(shù)去除，得到的余數(shù)都是10，那