第1頁（共1頁）2025年高考備考高中數(shù)學(xué)個(gè)性化分層教輔中等生篇《圓錐曲線綜合》一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?泊頭市校級月考）已知A（3，2），B（﹣3，﹣2），若動(dòng)點(diǎn)M滿足直線MA與直線MB的斜率之積為13，則動(dòng)點(diǎn)MA．y2?x2C．y2?x2．（2023秋?荔城區(qū)期末）已知拋物線y2＝2px（p＞0）的準(zhǔn)線過雙曲線x28?A．2 B．4 C．6 D．83．（2024春?南京月考）與雙曲線x25?A．x24+yC．x236+4．（2024?重慶模擬）長為2的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)M的軌跡方程為（）A．x24+yC．x216+5．（2024?臨汾模擬）已知F是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PFA．13 B．12 C．536．（2024春?岳麓區(qū)校級月考）平面直角坐標(biāo)系中，等邊△ABC的邊長為23，M為BC中點(diǎn)，B，C分別在射線y=3x(y≥0)，y=?3x(y≥0)上運(yùn)動(dòng)，記A．C1為部分圓 B．C1為部分線段 C．C1為部分拋物線 D．C1為部分橢圓7．（2024?淄博一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量OA→與OB→關(guān)于x軸對稱，向量a→=(0，1)，若滿足OA→A．E是一條垂直于x軸的直線 B．E是一個(gè)半徑為1的圓 C．E是兩條平行直線 D．E是橢圓8．（2024春?官渡區(qū)校級期末）已知圓O：x2+y2＝4，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線段PP1（P1在y軸上），M在直線PP1上且P1M→=2A．4x2+16y2＝1 B．16x2+4y2＝1 C．x24+y29．（2024?江西二模）已知拋物線E：y2＝2x，圓M：（x﹣1）2+y2＝1，N（x0，y0）為圓M外一點(diǎn)，過點(diǎn)N作圓M的兩條切線l1，l2，直線l1與拋物線E交于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），直線l2與拋物線E交于點(diǎn)C（x3，y3），D（x4，y4），若x02+y02=1，則y1A．16 B．8 C．4 D．110．（2024春?東坡區(qū)月考）設(shè)圓O：x2+y2＝4與y軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動(dòng)點(diǎn)P到A的距離等于P到l的距離，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）A．x2＝8y B．x2＝16y C．y2＝8x D．y2＝16x二．多選題（共5小題）（多選）11．（2023秋?萊蕪區(qū)校級月考）已知曲線C：mx2+ny2＝1，則（）A．若m＝n＞0，則曲線C是圓 B．若m＞0，n＞0，則曲線C是橢圓 C．若mn＜0，則曲線C是雙曲線 D．若m＝0，n＞0，則曲線C是一條直線（多選）12．（2024春?沅陵縣校級期末）在平面直角坐標(biāo)系中，有兩個(gè)圓C1：（x+2）2+y2＝r12和C2：（x﹣2）2+y2＝r22，其中r1，r2為正常數(shù)，滿足r1+r2＜4或|r1﹣r2|＞4，一個(gè)動(dòng)圓P與兩圓都相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程可以是（）A．兩個(gè)橢圓 B．兩個(gè)雙曲線 C．一個(gè)雙曲線和一條直線 D．一個(gè)橢圓和一個(gè)雙曲線（多選）13．（2023秋?西湖區(qū)校級期末）若方程x23?t+A．若1＜t＜3，則C為橢圓 B．若C為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，則2＜t＜3 C．曲線C可能是圓 D．若C為雙曲線，則t＜1（多選）14．（2024春?大理州期末）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線C：x2+y2＝1+|x|y圖象酷似一顆“紅心”（如圖）．對于曲線C，下列結(jié)論正確的是（）A．曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)） B．曲線C上存在一點(diǎn)P使得|OP|=2C．曲線C上存在一點(diǎn)P使得|OP|＝2 D．曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3（多選）15．（2024春?南崗區(qū)校級月考）已知m、n∈R，則方程m2x2+ny2＝1表示的曲線可能是（）A．兩條直線 B．圓 C．焦點(diǎn)在x軸的橢圓 D．焦點(diǎn)在y軸的雙曲線三．填空題（共5小題）16．（2024?荔灣區(qū)校級模擬）如圖，棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，點(diǎn)P沿正方形ABCD按ABCDA的方向做勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿正方形B1C1CB按B1C1CBB1的方向以同樣的速度做勻速運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A與點(diǎn)B1同時(shí)出發(fā)，則PQ的中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積大小是．17．（2024?梅州模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義P（x1，y1）、Q（x2，y2）兩點(diǎn)之間的“直角距離”為d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．已知兩定點(diǎn)A（﹣1，0），B（1，0），則滿足d（M，A）+d（M，B）＝4的點(diǎn)M的軌跡所圍成的圖形面積為．18．（2024?畢節(jié)市模擬）已知直線l1：x+ty﹣5＝0，直線l2：tx﹣y﹣3t+2＝0，l1與l2相交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的軌跡方程為．19．（2024春?豐臺區(qū)期中）已知曲線y=x2ex+1上任意一點(diǎn)P（與原點(diǎn)O①k的值不可能為0；②?k∈（﹣∞，0），總存在唯一的點(diǎn)P與之對應(yīng)；③?k∈（0，+∞），總存在兩個(gè)點(diǎn)P與之對應(yīng)；④k＜1恒成立．其中所有正確結(jié)論的序號為．20．（2024?廬陽區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)A和C，定點(diǎn)B（3，0）和M（2，2），若|BC|＝6，且△ABC的周長恒為16，則|AB|+|AM|的最小值為．四．解答題（共5小題）21．（2024春?莒南縣期中）向量是研究幾何的一個(gè)重要工具，在證明某些幾何結(jié)論時(shí)會(huì)大大簡化證明過程．請用向量法解決解決以下問題：（1）證明△ABC的三條高線AD、BE、CF交于一點(diǎn)；（2）已知矩形MNPQ，G為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，求證：|GM|2+|GP|2＝|GN|2+|GQ|2；（3）如圖，已知圓O：x2+y2＝4，A，B是圓O上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)P（1，0），求矩形PACB的頂點(diǎn)C的軌跡方程．22．（2023秋?天心區(qū)校級期末）已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（6，5），端點(diǎn)A在圓C1：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4上運(yùn)動(dòng)．（1）求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡C2的方程；（2）設(shè)圓C1與曲線C2交于M、N兩點(diǎn)，求線段MN的長．23．（2023秋?鹽田區(qū)校級期末）已知圓C1：(x+3)2+y2=9，C2：(x?3)2+（1）求曲線C的方程；（2）斜率為4的直線l過點(diǎn)C2，且與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求△C1AB的面積．24．（2023秋?豐澤區(qū)校級月考）在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（1，1），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）直線l：y＝k（x+1）與軌跡C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若EF的長為15，求直線l的方程．25．（2024春?浙江月考）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的離心率為12，右焦點(diǎn)為F，圓O：x2+y2＝（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l：y＝kx﹣2與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求△OAB面積的最大值．

2025年高考備考高中數(shù)學(xué)個(gè)性化分層教輔中等生篇《圓錐曲線綜合》參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?泊頭市校級月考）已知A（3，2），B（﹣3，﹣2），若動(dòng)點(diǎn)M滿足直線MA與直線MB的斜率之積為13，則動(dòng)點(diǎn)MA．y2?x2C．y2?x【考點(diǎn)】軌跡方程．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】根據(jù)斜率公式，建立方程，可得答案．【解答】解：設(shè)M（x，y），由題意可得y?2x?3整理可得y2即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為y2故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題．2．（2023秋?荔城區(qū)期末）已知拋物線y2＝2px（p＞0）的準(zhǔn)線過雙曲線x28?A．2 B．4 C．6 D．8【考點(diǎn)】圓錐曲線的綜合．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】由已知求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用拋物線的定義，求解p即可．【解答】解：雙曲線x2∵拋物線y2＝2px（p＞0）的準(zhǔn)線過雙曲線x2∴p2=3，可得故選：C．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線與拋物線的幾何性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．3．（2024春?南京月考）與雙曲線x25?A．x24+yC．x236+【考點(diǎn)】圓錐曲線的綜合．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】求得雙曲線的焦點(diǎn)，可設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），可得a【解答】解：雙曲線x2可設(shè)橢圓方程為x2a2+y由題意可得c＝3，即a2﹣b2＝9，又e=ca=解得a＝6，b＝33，則所求橢圓方程為x2故選：C．【點(diǎn)評】本題考查橢圓和雙曲線的方程、性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?重慶模擬）長為2的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)M的軌跡方程為（）A．x24+yC．x216+【考點(diǎn)】軌跡方程．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)M（x，y）、A（x0，0）、B（0，y0），由已知條件可得出x02+y02=4，分析可知，B為AM【解答】解：設(shè)點(diǎn)M（x，y）、A（x0，0）、B（0，y0），則|AB|=x02因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)為M，則B為AM的中點(diǎn)，所以x+x02將x0=?xy0=即x2因此，點(diǎn)M的軌跡方程為x2故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了求點(diǎn)的軌跡方程，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024?臨汾模擬）已知F是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PFA．13 B．12 C．53【考點(diǎn)】圓與圓錐曲線的綜合．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】利用已知條件，畫出圖形，設(shè)出圓的圓心，利用橢圓的定義，轉(zhuǎn)化求解橢圓的離心率即可【解答】解：由題意，橢圓的圖形如圖：F是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF與圓(x?c2所以F1P＝2b，F(xiàn)Q=(所以PF=2c所以：2c2?b2+2b＝2a，可得c2﹣b2＝a2可得2a＝3b，即4a2＝9（a2﹣c2），所以e=則橢圓C的離心率：53故選：C．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．6．（2024春?岳麓區(qū)校級月考）平面直角坐標(biāo)系中，等邊△ABC的邊長為23，M為BC中點(diǎn)，B，C分別在射線y=3x(y≥0)，y=?3x(y≥0)上運(yùn)動(dòng)，記A．C1為部分圓 B．C1為部分線段 C．C1為部分拋物線 D．C1為部分橢圓【考點(diǎn)】軌跡方程．【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】由題意建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由|BC|=23得（b﹣c）2+3（b+c）2＝12，進(jìn)一步由結(jié)合xM=【解答】解：如圖，由題意不妨設(shè)B(b，3b)，C(c，?3而|BC|=(b?c)2+3(b+c)2=23，即（b﹣c）2又xM∴43yM∵yB，yC≥0，∴yM≥0，即C1為部分橢圓．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了軌跡方程、橢圓的方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．7．（2024?淄博一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量OA→與OB→關(guān)于x軸對稱，向量a→=(0，1)，若滿足OA→A．E是一條垂直于x軸的直線 B．E是一個(gè)半徑為1的圓 C．E是兩條平行直線 D．E是橢圓【考點(diǎn)】軌跡方程；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)A（x，y），則OA→=（x，y），OB→=（x，﹣y），進(jìn)而求出AB→=（0，﹣2【解答】解：設(shè)點(diǎn)A（x，y），則OA→=（x，∵向量OA→與OB→關(guān)于∴OB→=（x，﹣∴AB→=OB∵向量a→=(0，1)，且滿足∴x2+y2﹣2y＝0，即軌跡E的方程為x2+（y﹣1）2＝1，是一個(gè)半徑為1的圓．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，屬于中檔題．8．（2024春?官渡區(qū)校級期末）已知圓O：x2+y2＝4，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線段PP1（P1在y軸上），M在直線PP1上且P1M→=2A．4x2+16y2＝1 B．16x2+4y2＝1 C．x24+y2【考點(diǎn)】軌跡方程．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】D【分析】轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)，圓的方程為ρ＝2，確定M點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．【解答】解：轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)，圓的方程為ρ＝2P點(diǎn)坐標(biāo)為（2cosα，2sinα）因?yàn)镻1M→=2P1P→所以x＝4cosα，y＝2sinα所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是x2故選：D．【點(diǎn)評】本題考查軌跡方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．9．（2024?江西二模）已知拋物線E：y2＝2x，圓M：（x﹣1）2+y2＝1，N（x0，y0）為圓M外一點(diǎn)，過點(diǎn)N作圓M的兩條切線l1，l2，直線l1與拋物線E交于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），直線l2與拋物線E交于點(diǎn)C（x3，y3），D（x4，y4），若x02+y02=1，則y1A．16 B．8 C．4 D．1【考點(diǎn)】圓與圓錐曲線的綜合；拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】由題意，可得x0≠0，設(shè)出過點(diǎn)N且與圓M相切的切線方程以及直線l1，l2的斜率，推出k1，k2為方程x0(x0?2)k2?2y0【解答】解：因?yàn)镹（x0，y0）為圓M外一點(diǎn)且l1，l2都與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以x0≠0，不妨設(shè)過點(diǎn)N且與圓M相切的切線方程為y﹣y0＝k（x﹣x0），即kx﹣y+y0﹣kx0＝0，可得|k+y即x0不妨設(shè)直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，則k1，k2為方程x0所以k1+k聯(lián)立kx?y+y0?kx0=0y2=2x，消去x并整理得ky2因?yàn)锳（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），所以y1y2=2(y0則y1y2y3y4==4[故選：C．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024春?東坡區(qū)月考）設(shè)圓O：x2+y2＝4與y軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動(dòng)點(diǎn)P到A的距離等于P到l的距離，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）A．x2＝8y B．x2＝16y C．y2＝8x D．y2＝16x【考點(diǎn)】軌跡方程．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】由拋物線的定義可得：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以A（0，2）為焦點(diǎn)，直線y＝﹣2為準(zhǔn)線的拋物線，然后求解即可．【解答】解：已知圓O：x2+y2＝4與y軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），則A（0，2），B（0，﹣2），又過B作圓O的切線l，則直線l的方程為y＝﹣2，∵動(dòng)點(diǎn)P到A的距離等于P到l的距離，∴由拋物線的定義可得：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以A（0，2）為焦點(diǎn)，直線y＝﹣2為準(zhǔn)線的拋物線，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2＝8y．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了拋物線的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了拋物線的定義，屬基礎(chǔ)題．二．多選題（共5小題）（多選）11．（2023秋?萊蕪區(qū)校級月考）已知曲線C：mx2+ny2＝1，則（）A．若m＝n＞0，則曲線C是圓 B．若m＞0，n＞0，則曲線C是橢圓 C．若mn＜0，則曲線C是雙曲線 D．若m＝0，n＞0，則曲線C是一條直線【考點(diǎn)】曲線與方程．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AC【分析】結(jié)合橢圓、圓、雙曲線、直線的知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng)．【解答】解：對A：當(dāng)m＝n＞0，則x2+y對B：當(dāng)m＝n＞0時(shí)，曲線C是圓，故B錯(cuò)誤；對C：曲線C：mx2+ny2＝1化為x21m+y21對D：當(dāng)m＝0，n＞0，則曲線C的方程為y2=1n，即故選：AC．【點(diǎn)評】本題考查曲線與方程的關(guān)系，考查方程思想和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（2024春?沅陵縣校級期末）在平面直角坐標(biāo)系中，有兩個(gè)圓C1：（x+2）2+y2＝r12和C2：（x﹣2）2+y2＝r22，其中r1，r2為正常數(shù)，滿足r1+r2＜4或|r1﹣r2|＞4，一個(gè)動(dòng)圓P與兩圓都相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程可以是（）A．兩個(gè)橢圓 B．兩個(gè)雙曲線 C．一個(gè)雙曲線和一條直線 D．一個(gè)橢圓和一個(gè)雙曲線【考點(diǎn)】軌跡方程．【專題】分類討論；數(shù)形結(jié)合法；直線與圓；邏輯推理．【答案】BCD【分析】兩圓圓心距C1C2＝4，當(dāng)r1+r2＜4，即兩圓外離時(shí)，動(dòng)圓P可能與兩圓均內(nèi)切或均外切或一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切，當(dāng)|r1﹣r2|＞4，兩圓相交，動(dòng)圓P可能與兩圓均內(nèi)切或均外切或一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切，分別討論，得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)題意圓C1的圓心C1（﹣2，0），半徑r1，圓C2的圓心C2（2，0），半徑r2，所以C1C2＝4，設(shè)圓P的半徑為r，（1）當(dāng)r1+r2＜4，即兩圓外離時(shí)，動(dòng)圓P可能與兩圓均內(nèi)切或均外切或一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切，①均內(nèi)切時(shí)|PC1|＝r﹣r1，|PC2|＝r﹣r2，此時(shí)||PC1|﹣|PC2||＝|r1﹣r2|，當(dāng)r1≠r2時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的雙曲線，當(dāng)r1＝r2時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在C1，C2的垂直平分線上．②均外切時(shí)|PC1|＝r+r1，|PC2|＝r+r2，此時(shí)||PC1|﹣|PC2||＝|r1﹣r2|．此時(shí)P點(diǎn)的軌跡是與①相同．③與一個(gè)內(nèi)切與一個(gè)外切時(shí)，不妨設(shè)與圓C1內(nèi)切，與圓C2外切，|PC1|＝r﹣r1，|PC2|＝r+r2，|PC2|﹣|PC1|＝r1+r2與圓C2內(nèi)切，與圓C1外切時(shí)，同理得，|PC1|﹣|PC2|＝r1+r2此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的雙曲線，與①中雙曲線不一樣．（2）當(dāng)|r1﹣r2|＞4，兩圓相交，動(dòng)圓P可能與兩圓均內(nèi)切或均外切或一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切，④均內(nèi)切時(shí)軌跡和①相同．⑤均外切時(shí)軌跡和①相同⑥與一個(gè)內(nèi)切另一個(gè)外切時(shí)，不妨設(shè)與圓C1內(nèi)切，與圓C2外切，|PC1|＝r1﹣r，|PC2|＝r+r2，|PC1|+|PC2|＝r1+r2此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓．與圓C2內(nèi)切，與圓C1外切時(shí)，同理得PC1|+|PC2|＝r1+r2，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓．故選：BCD．【點(diǎn)評】本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求法以及圓與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．（多選）13．（2023秋?西湖區(qū)校級期末）若方程x23?t+A．若1＜t＜3，則C為橢圓 B．若C為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，則2＜t＜3 C．曲線C可能是圓 D．若C為雙曲線，則t＜1【考點(diǎn)】曲線與方程；雙曲線的幾何特征．【專題】方程思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理．【答案】AD【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，依次進(jìn)行判斷即可．【解答】解：對于A，當(dāng)t＝2時(shí)，曲線表示圓，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓時(shí)，則t﹣1＞3﹣t＞0，解得2＜t＜3，故選項(xiàng)B正確；對于C，當(dāng)t＝2時(shí)，曲線C表示圓的方程，故選項(xiàng)C正確；對于D，當(dāng)曲線C為雙曲線時(shí)，則（3﹣t）（t﹣1）＜0，解得t＜1或t＞3，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AD．【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解與應(yīng)用，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）14．（2024春?大理州期末）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線C：x2+y2＝1+|x|y圖象酷似一顆“紅心”（如圖）．對于曲線C，下列結(jié)論正確的是（）A．曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)） B．曲線C上存在一點(diǎn)P使得|OP|=2C．曲線C上存在一點(diǎn)P使得|OP|＝2 D．曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3【考點(diǎn)】曲線與方程．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】ABD【分析】由題意，通過對曲線方程特點(diǎn)分析，分x＝0，x＞0，x＜0三種情況下，曲線圖象經(jīng)過的點(diǎn)，即可判斷A，B項(xiàng)；對于C項(xiàng)，考慮方程變形后，利用基本不等式即可判斷|OP|≤2，排除C；對于D項(xiàng)，由A【解答】解：對于選項(xiàng)A：當(dāng)x＝0時(shí)，代入方程x2+y2＝1+|x|y中，解得y＝±1，則曲線經(jīng)過點(diǎn)（0，1），（0，﹣1），當(dāng)x＞0時(shí)，方程為y2﹣xy+x2﹣1＝0，此時(shí)Δ＝x2﹣4（x2﹣1）＝4﹣3x2≥0，解得x∈(0，2因?yàn)閤∈Z，所以x只能取1，當(dāng)x＝1時(shí)，解得y＝0或y＝1，即曲線經(jīng)過（1，0），（1，1）；由曲線方程的特征易得曲線關(guān)于y軸對稱，所以曲線還經(jīng)過（﹣1，0），（﹣1，1），則曲線共經(jīng)過6個(gè)整數(shù)點(diǎn)，即選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B：當(dāng)x＝1時(shí)，方程為y（y﹣1）＝0，解得y＝0或y＝1，即曲線經(jīng)過點(diǎn)P（1，1），此時(shí)|OP|=2，故選項(xiàng)B對于選項(xiàng)C：當(dāng)x＞0時(shí)，可得x2當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，等號成立，解得x2+y2≤2，即曲線在y軸右側(cè)區(qū)域內(nèi)的任意點(diǎn)P（x，y），都滿足|OP|≤2根據(jù)對稱性，曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)距離都不超過2，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：因?yàn)榍€經(jīng)過點(diǎn)P（1，1），Q（﹣1，1），R（﹣1，0），S（0，﹣1），T（1，0），則曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積S＞SPQRT+故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查曲線與方程，考查了邏輯推理、分類討論和運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）15．（2024春?南崗區(qū)校級月考）已知m、n∈R，則方程m2x2+ny2＝1表示的曲線可能是（）A．兩條直線 B．圓 C．焦點(diǎn)在x軸的橢圓 D．焦點(diǎn)在y軸的雙曲線【考點(diǎn)】曲線與方程；橢圓的幾何特征；雙曲線的幾何特征．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】ABC【分析】對m2是否為0，以及n的正負(fù)分情況討論，結(jié)合圓、橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷即可．【解答】解：曲線C：m2x2+ny2＝1，對于A，若m2＝0，n＞0，方程化為y2=1n，即y=±n對于B，若m2＝n＞0，方程化為x2+y2=對于C，若n＞m2＞0，方程化為x21m2+y21n對于D，若m2＞0，n＜0，方程化為x21m2+y21n=1，得故選：ABC．【點(diǎn)評】本題主要考查了曲線與方程，考查了雙曲線、橢圓和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?荔灣區(qū)校級模擬）如圖，棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，點(diǎn)P沿正方形ABCD按ABCDA的方向做勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿正方形B1C1CB按B1C1CBB1的方向以同樣的速度做勻速運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A與點(diǎn)B1同時(shí)出發(fā)，則PQ的中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積大小是34【考點(diǎn)】軌跡方程；棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【專題】計(jì)算題；整體思想；演繹法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；直觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】3【分析】畫出符合要求的圖形，觀察得到軌跡是菱形，并進(jìn)行充分性和必要性兩方面的證明，并求解出軌跡圖形的面積．【解答】解：如圖，E，F(xiàn)，G分別是正方形ABCD，ABB1A1，BCC1B1的中心，下面進(jìn)行證明：菱形EFGC的周界即為動(dòng)線段PQ的中點(diǎn)H的軌跡，首先證明：如果點(diǎn)H是動(dòng)線段PQ的中點(diǎn)，那么點(diǎn)H必在菱形EFGC的周界上，分兩種情況證明：（1）P，Q分別在某一個(gè)定角的兩邊上，不失一般性，設(shè)P從B到C，而Q同時(shí)從C1到C，由于速度相同，所以PQ必平行于BC1，故PQ的中點(diǎn)H必在CG上；（2）P，Q分別在兩條異面直線上，不失一般性，設(shè)P從A到B，同時(shí)Q從B1到C1，由于速度相同，則AP＝B1Q，由于H為PQ的中點(diǎn)，連接B1H并延長，交底面ABCD于點(diǎn)T，連接PT，則平面PB1QT與平面ABCD交線是PT，∵B1C1∥平面ABCD，∴B1C1∥PT，∴△HB1Q?△HTP，而PT＝B1Q＝AP，PT∥BC，∴△APT是等腰直角三角形，∠TAP=π4，從而T在可以證明FH∥AC，GH∥AC，DG∥AC，基于平行線的唯一性，顯然H在DG上，綜合（1）（2）可證明，線段PQ的中點(diǎn)一定在菱形EFGC的周界上；下面證明：如果點(diǎn)H在菱形EFGC的周界上，則點(diǎn)H必定是符合條件的線段的中點(diǎn)．也分兩種情況進(jìn)行證明：（1）H在CG或CE上，過點(diǎn)H作PQ∥BC1（或BD），而與BC及CC1（或CD及BC）分別相交于P和Q，由相似的性質(zhì)可得：PH＝QH，即H是PQ的中點(diǎn)，同時(shí)可證：BP＝C1Q（或BQ＝DP），因此P、Q符合題設(shè)條件，（2）H在EF或FG上，不失一般性，設(shè)H在FG上，連接B1H并延長，交平面AC于點(diǎn)T，顯然T在AC上，過T作TP∥CB于點(diǎn)P，則TP∥C1B1，在平面PTC1B1上，連接PH并延長，交B1C1于點(diǎn)Q，在三角形ACB1中，G是B1C的中點(diǎn)，F(xiàn)G∥AC，則H是B1T的中點(diǎn)，于是△PTH?△QB1H，從而有B1Q＝PT，又因?yàn)門P∥CB，∠CAB=∠ATP=π4，所以AP＝從而B1Q＝AP，因此P，Q符合題設(shè)條件．由（1）（2），如果H是菱形EFGC周界上的任一點(diǎn)，則H必是符合題設(shè)條件的動(dòng)線段PQ的中點(diǎn)，證畢．因?yàn)樗倪呅蜤FGC為菱形，其中CE=1所以邊長為22且AC＝CB1＝AB1，△AB1C為等邊三角形，∠GCE=所以面積S=2故答案為：34【點(diǎn)評】本題主要考查立體幾何中的軌跡問題，空間想象能力的培養(yǎng)等知識，屬于中等題．17．（2024?梅州模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義P（x1，y1）、Q（x2，y2）兩點(diǎn)之間的“直角距離”為d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．已知兩定點(diǎn)A（﹣1，0），B（1，0），則滿足d（M，A）+d（M，B）＝4的點(diǎn)M的軌跡所圍成的圖形面積為6．【考點(diǎn)】軌跡方程．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】6．【分析】利用已知條件，求解軌跡方程，然后畫出圖形即可求解面積．【解答】解：設(shè)M（x，y），由題意d（M，A）+d（M，B）＝4，可知|x+1|+|x﹣1|+2|y|＝4，軌跡方程的圖形如圖，圖形的面積為：4+2×1故答案為：6．【點(diǎn)評】本題考查軌跡方程的求法，圖形的畫法，面積的求法，是中檔題．18．（2024?畢節(jié)市模擬）已知直線l1：x+ty﹣5＝0，直線l2：tx﹣y﹣3t+2＝0，l1與l2相交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的軌跡方程為（x﹣4）2+（y﹣1）2＝2．【考點(diǎn)】軌跡方程．【專題】方程思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（x﹣4）2+（y﹣1）2＝2．【分析】推得l1⊥l2，分別求得兩直線恒過的兩個(gè)定點(diǎn)B和C，可得A的軌跡是以BC為直徑的圓，求得方程即可．【解答】解：由直線l1：x+ty﹣5＝0，直線l2：tx﹣y﹣3t+2＝0，可得t×1﹣1×t＝0，所以l1⊥l2，又直線l1：x+ty﹣5＝0恒過定點(diǎn)B（5，0），直線l2：tx﹣y﹣3t+2＝0恒過定點(diǎn)C（3，2），所以AB⊥AC，則A的軌跡是以BC為直徑的圓，其圓心為（4，1），半徑為(4?5)方程為（x﹣4）2+（y﹣1）2＝2．故答案為：（x﹣4）2+（y﹣1）2＝2．【點(diǎn)評】本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程和兩直線的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024春?豐臺區(qū)期中）已知曲線y=x2ex+1上任意一點(diǎn)P（與原點(diǎn)O①k的值不可能為0；②?k∈（﹣∞，0），總存在唯一的點(diǎn)P與之對應(yīng)；③?k∈（0，+∞），總存在兩個(gè)點(diǎn)P與之對應(yīng)；④k＜1恒成立．其中所有正確結(jié)論的序號為①②④．【考點(diǎn)】曲線與方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】①②④．【分析】設(shè)P（x，y），（x，y）≠（0，0）．利用斜率計(jì)算公式即可判斷出①②③的正誤；令f（x）＝ex﹣x﹣1（x≠0），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合斜率計(jì)算公式即可判斷出④的正誤．【解答】解：設(shè)P（x，y），（x，y）≠（0，0）．①k=yx≠②k=yx=xex+1＜0，解得x＜0，③k=yx=xex+1＞0，解得x＞0，④令f（x）＝ex﹣x﹣1（x≠0），f′（x）＝ex﹣1，可得x∈（﹣∞，0）時(shí)，f′（x）＜0；x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．∴f（x）＞f（0）＝0，因此k=yx=故答案為：①②④．【點(diǎn)評】本題考查了曲線的性質(zhì)、斜率計(jì)算公式、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．20．（2024?廬陽區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)A和C，定點(diǎn)B（3，0）和M（2，2），若|BC|＝6，且△ABC的周長恒為16，則|AB|+|AM|的最小值為5．【考點(diǎn)】軌跡方程；兩點(diǎn)間的距離公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】5．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可得點(diǎn)A的軌跡方程，可得|AB|+|AM|≥|BM|，當(dāng)且僅當(dāng)M，A，B三點(diǎn)共線時(shí)（A在B，M之間或A，M重合），等號成立，進(jìn)而求出|BM|的值，即求出|AB|+|AM|的正弦值．【解答】解：由題意知，點(diǎn)C在以B為圓心，6為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A在以B，C為焦點(diǎn)，長軸長為10的橢圓上運(yùn)動(dòng)（長軸兩端點(diǎn)除外），為方便計(jì)算，可將B，C視為定點(diǎn)，則點(diǎn)M在以B為圓心，5為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC為x軸建立如圖的直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B（3，0）和C（﹣3，0），則點(diǎn)A的軌跡方程為x225+由圖可知|AB|+|AM|≥|BM|=5當(dāng)M，A，B三點(diǎn)共線時(shí)（A在B，M之間或A，M重合），等號成立，所以|AB|+|AM|的最小值為5．故答案為：5．【點(diǎn)評】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，考查了橢圓與圓的性質(zhì)，屬于中檔題．四．解答題（共5小題）21．（2024春?莒南縣期中）向量是研究幾何的一個(gè)重要工具，在證明某些幾何結(jié)論時(shí)會(huì)大大簡化證明過程．請用向量法解決解決以下問題：（1）證明△ABC的三條高線AD、BE、CF交于一點(diǎn)；（2）已知矩形MNPQ，G為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，求證：|GM|2+|GP|2＝|GN|2+|GQ|2；（3）如圖，已知圓O：x2+y2＝4，A，B是圓O上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)P（1，0），求矩形PACB的頂點(diǎn)C的軌跡方程．【考點(diǎn)】軌跡方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）x2+y2＝7．【分析】（1）設(shè)AD，BE交于點(diǎn)H，AD⊥BC，BE⊥CA，利用向量證明CF⊥AB即可；（2）以M點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，記M（0，0），N（a，0），P（a，b），Q（0，b），設(shè)G（x，y），利用向量的模求解；（3）利用（2）的結(jié)論由|OP|2+|OC|2＝|OA|2+|OB|2求解．【解答】（1）證明：設(shè)AD，BE交于點(diǎn)H，因?yàn)锳D⊥BC，BE⊥CA，則有AH→?CB又(CH→（CH→?CB①﹣②，可得CH→?(CB→?CA→)=0，即又因?yàn)镃F⊥AB，則C，H，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以AD，BE，CF相交于一點(diǎn)．（2）解：以M點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系：記M（0，0），N（a，0），P（a，b），Q（0，b），設(shè)G（x，y），則有：|GM|2+|GP|2＝x2+y2+（x﹣a）2+（y﹣b）2＝2x2+2y2﹣2ax﹣2by+a2+b2，|GN|2+|GQ2|＝（x﹣a）2+y2+x2+（y﹣b）2＝2x2+2y2﹣2ax﹣2by+a2+b2，故：|GM|2+|GP|2＝|GN|2+|GQ|2；（2）設(shè)C（x，y），由（1）可得：|OP|2+|OC|2＝|OA|2+|OB|2，得：1+x2+y2＝4+4，化簡得M軌跡方程為：x2+y2＝7．【點(diǎn)評】本題考查向量的應(yīng)用，屬于中檔題．22．（2023秋?天心區(qū)校級期末）已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（6，5），端點(diǎn)A在圓C1：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4上運(yùn)動(dòng)．（1）求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡C2的方程；（2）設(shè)圓C1與曲線C2交于M、N兩點(diǎn)，求線段MN的長．【考點(diǎn)】軌跡方程．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）（x﹣5）2+（y﹣4）2＝1；（2）142【分析】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x0，y0），由于點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，5），且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，利用代入法可得軌跡方程．（2）兩圓相減得公共弦方程2x+2y﹣19＝0，利用弦長公式可得MN的長．【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x0，y0），由于點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，5），且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，所以x=x于是有x0＝2x﹣6，y0＝2y﹣5，①因?yàn)辄c(diǎn)A在圓C1所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4，即(x0把①代入②，得（2x﹣6﹣4）2+（2y﹣5﹣3）2＝4，整理，得（x﹣5）2+（y﹣4）2＝1，所以點(diǎn)P的軌跡C2的方程為（x﹣5）2+（y﹣4）2＝1；（2）圓C1：(x?4)得2x+2y﹣19＝0，由圓C2：(x?5)且（5，4）到直線2x+2y﹣19＝0的距離d=|10+8?19|則公共弦長|MN|=2r【點(diǎn)評】本題考查了動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題以及直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．23．（2023秋?鹽田區(qū)校級期末）已知圓C1：(x+3)2+y2=9，C2：(x?3)2+（1）求曲線C的方程；（2）斜率為4的直線l過點(diǎn)C2，且與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求△C1AB的面積．【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；軌跡方程．【專題】綜合題；對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）x2（2）247【分析】（1）由題意，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義分析求解；（2）設(shè)出直線AB的方程，將直線AB的方程與曲線C的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式以及三角形面積公式再進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）易知圓C1的圓心C1（﹣3，0），半徑r1＝3；圓C2的圓心C2（3，0），半徑r2＝3，因?yàn)閯?dòng)圓M與圓C1，C2均外切，所以|MC1|﹣3＝|MC2|﹣1，即|MC1|﹣|MC2|＝2＜|C1C2|，由雙曲線的定義知，點(diǎn)M是以C1，C2為焦點(diǎn)，2為實(shí)軸長的雙曲線的右支，所以a＝1，c＝3，則b2＝c2﹣a2＝8，故曲線C的方程為x2（2）由（1）知雙曲線的漸近線方程為y=±22所以斜率為4的直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，不妨設(shè)直線AB的方程為y＝4（x﹣3），A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立y=4(x?3)x2?y28=1，消去此時(shí)Δ＞0，由韋達(dá)定理得x1+x2＝12，x1x2＝19，所以|AB|==1+16而點(diǎn)C1（﹣3，0）到直線AB的距離d=|4×(?3)?0?12|故S△【點(diǎn)評】本題考查軌跡方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．24．（2023秋?豐澤區(qū)校級月考）在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（1，1），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）直線l：y＝k（x+1）與軌跡C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若EF的長為15，求直線l的方程．【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；軌跡方程．【專題】綜合題；對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）（x+1）2+（y+1）2＝4；（2）3x?y+3=0【分析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)題意列出方程，化簡，即得答案；（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，求出弦長的表達(dá)式，結(jié)合題意列式計(jì)算，求得k的值，即可得答案．【解答】解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），因?yàn)辄c(diǎn)A（1，1），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2所以(x?1)整理得（x+1）2+（y+1）2＝4，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程（x+1）2+（y+1）2＝4；（2）因?yàn)檐壽EC為圓心為（﹣1，﹣1），半徑為2的圓，若直線l：y＝k（x+1）與軌跡C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)（﹣1，﹣1）到直線l的距離d=1則|EF|=24?解得k=±3此時(shí)d=1滿足直線l：y＝k（x+1）與軌跡C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則直線l的方程為y=3(x+1)或即3x?y+3=0【點(diǎn)評】本題考查軌跡方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．25．（2024春?浙江月考）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的離心率為12，右焦點(diǎn)為F，圓O：x2+y2＝（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l：y＝kx﹣2與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求△OAB面積的最大值．【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；直線及坐標(biāo)軸被圓截得的弦及弦長；根據(jù)橢圓的幾何特征求標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與橢圓的綜合．【專題】綜合題；對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）x2（2）3．【分析】（1）由已知分別求出a、b即可得到C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）通過直曲聯(lián)立，求出|AB|弦長，再由點(diǎn)到直線距離公式求出原點(diǎn)到直線AB的距離，代入三角形面積公式，利用不等式求出△OAB面積的最大值．【解答】解：（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c（c＞0），因?yàn)檫^F且垂直于x軸的直線被圓O所截得的弦長為23所以2a又a2解得a=2b=則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立y=kx?2x24+y23=1，消去y并整理得（3+4此時(shí)Δ＝16（12k2﹣3）＞0，解得k2由韋達(dá)定理得x1所以|AB|=1+又原點(diǎn)到直線AB的距離d=2所以S△AOB令4k可得4k2＝1+t2，則S△AOB當(dāng)且僅當(dāng)t＝2，即k=±5故△OAB的面積取得最大值3．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)a→，b→都是非零向量，e→是與b→方向相同的單位向量，a→（1）a→?e→=（2）a→⊥b（3）當(dāng)a→，b→方向相同時(shí)，a→?b→=|a→||b→|；當(dāng)a特別地：a→?a→=|a→|（4）cosθ=a（5）|a→?b→|≤|2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）交換律：a→（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λa→）?b→=λ（a→?（3）分配律：（a→?b→）?平面向量數(shù)量積的運(yùn)算平面向量數(shù)量積運(yùn)算的一般定理為①（a→±b→）2=a→2±2a→?b→+b→2．②（a→?b→）（a→+b→）=【解題方法點(diǎn)撥】例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：①“mn＝nm”類比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“c→≠0，a④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“|a→?b→|＝|⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（a→?b⑥“acbc=ab”類比得到a→解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，∴“mn＝nm”類比得到“a→即①正確；∵向量的數(shù)量積滿足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b即②正確；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，a即③錯(cuò)誤；∵|a→?b→|≠|(zhì)∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“|a→?b→|＝|即④錯(cuò)誤；∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（a→?b即⑤錯(cuò)誤；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴acbc=a即⑥錯(cuò)誤．故答案為：①②．向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“a→?b→=b→?a→”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b→）?c→=a→?c→+b→?c→”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，a→?c→=b→?c→?a→【命題方向】本知識點(diǎn)應(yīng)該所有考生都要掌握，這個(gè)知識點(diǎn)和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個(gè)常考點(diǎn)，題目相對來說也不難，所以是拿分的考點(diǎn)，希望大家都掌握．2．棱柱的結(jié)構(gòu)特征【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認(rèn)識棱柱底面：棱柱中兩個(gè)互相平行的面，叫做棱柱的底面．側(cè)面：棱柱中除兩個(gè)底面以外的其余各個(gè)面都叫做棱柱的側(cè)面．側(cè)棱：棱柱中兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．頂點(diǎn)：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)．高：棱中兩個(gè)底面之間的距離．3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征棱柱1．兩個(gè)底面互相平行根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：（1）側(cè)面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對角面是平行四邊形（4）長方體一條對角線長的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長的平方和．4．棱柱的分類（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．3．兩點(diǎn)間的距離公式【知識點(diǎn)的認(rèn)識】﹣距離公式：兩點(diǎn)（x1，y1）和（x2，y2）之間的距離由公式：d=(這是平面直角坐標(biāo)系中常用的距離計(jì)算公式．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算距離：1．代入公式：將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入距離公式．2．簡化計(jì)算：計(jì)算平方差的和，開方得到距離．【命題方向】﹣距離計(jì)算：常考查計(jì)算兩點(diǎn)間的直線距離，尤其在幾何題目中經(jīng)常出現(xiàn)．4．直線及坐標(biāo)軸被圓截得的弦及弦長【知識點(diǎn)的認(rèn)識】﹣弦長公式：給定直線方程和圓的方程，可以計(jì)算直線截得圓的弦長．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算弦長：1．求交點(diǎn)：計(jì)算直線和圓的交點(diǎn)．2．弦長公式：用交點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算弦的長度．【命題方向】﹣弦長計(jì)算：考查如何利用直線和圓的交點(diǎn)計(jì)算弦的長度，涉及幾何和代數(shù)計(jì)算．5．根據(jù)橢圓的幾何特征求標(biāo)準(zhǔn)方程【知識點(diǎn)的認(rèn)識】橢圓的幾何特征包括長軸2a、短軸2b、焦點(diǎn)(±c，0)．【解題方法點(diǎn)撥】1．提取幾何特征：從題目中得到長軸、短軸或焦距．2．代入標(biāo)準(zhǔn)方程：使用幾何特征計(jì)算a和b，代入標(biāo)準(zhǔn)方程：x2【命題方向】﹣由橢圓的幾何特征（如長軸、短軸）求標(biāo)準(zhǔn)方程．﹣根據(jù)焦點(diǎn)位置和長短軸所在位置推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程．6．橢圓的幾何特征【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．橢圓的范圍2．橢圓的對稱性3．橢圓的頂點(diǎn)頂點(diǎn)：橢圓與對稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)．頂點(diǎn)坐標(biāo)（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．4．橢圓的離心率①離心率：橢圓的焦距與長軸長的比ca叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e=ca②離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個(gè)橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，c＝0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2＝a2．5．橢圓中的關(guān)系：a2＝b2+c2．7．直線與橢圓的綜合【知識點(diǎn)的認(rèn)識】直線與橢圓的位置判斷：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x（或y）的一元二次方程，則：直線與橢圓相交?Δ＞0；直線與橢圓相切?Δ＝0；直線與橢圓相離?Δ＜0；【解題方法點(diǎn)撥】（1）直線與橢圓位置關(guān)系的判斷方法①聯(lián)立方程，借助一元二次方程的判別式來判斷；②借助直線和橢圓的幾何性質(zhì)來判斷．根據(jù)直線系方程抓住直線恒過定點(diǎn)的特征，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)和橢圓的位置關(guān)系，也是解決此類問題的難點(diǎn)所在．（2）弦長的求法設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|=(1+k2注意：利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式．（3）中點(diǎn)弦、弦中點(diǎn)常見問題①過定點(diǎn)被定點(diǎn)平分的弦所在直線的方程；②平行弦中點(diǎn)的軌跡；③過定點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡．解決有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問題常用方法是“韋達(dá)定理”和“點(diǎn)差法”，這兩種方法的前提都必須保證直線和橢圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．（4）橢圓切線問題①直線與橢圓相切，有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；②過橢圓外一點(diǎn)可以作兩條直線與橢圓相切；③過橢圓上一點(diǎn)只能作一條切線．（5）最值與范圍問題的解決思路①構(gòu)造關(guān)于所求量的函數(shù)，通過求函數(shù)的值域來獲得問題的解；②構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，通過解不等式來獲得問題的解．在解題過程中，一定要深刻挖掘題目中的隱含條件，如判別式大于零等可利用條件．【命題方向】1．由已知條件求橢圓的方程或離心率；2．由已知條件求直線的方程；3．中點(diǎn)弦或弦的中點(diǎn)問題；4．弦長問題；5．與向量結(jié)合求參變量的取值．8．拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線【知識點(diǎn)的認(rèn)識】拋物線的簡單性質(zhì)：9．雙曲線的幾何特征【知識點(diǎn)的認(rèn)識】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2?yy2a2?x圖形性質(zhì)焦點(diǎn)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實(shí)軸長2a，虛軸長2b離心率e=ca（準(zhǔn)線x＝±ay＝±a漸近線xa±yxb±y10．曲線與方程【知識點(diǎn)的認(rèn)識】在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡）上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f（x，y）＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：①曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．求解曲線方程關(guān)鍵是要找到各變量的等量關(guān)系．【解題方法點(diǎn)撥】例：：定義點(diǎn)M到曲線C上每一點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)M到曲線C的距離．那么平面內(nèi)到定圓A的距離與它到定點(diǎn)B的距離相等的點(diǎn)的軌跡不可能是（）A：直線B：圓C：橢圓D：雙曲線一支．解：對定點(diǎn)B分類討論：①若點(diǎn)B在圓A內(nèi)（不與圓心A重合），如圖所示：設(shè)點(diǎn)P是圓A上的任意一點(diǎn)，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點(diǎn)M，連接BM，則|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．由橢圓的定義可知：點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)A、B為焦點(diǎn)的橢圓．②若點(diǎn)B在圓A外，如圖2所示：設(shè)點(diǎn)P是圓A上的任意一點(diǎn)，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點(diǎn)M，連接BM，則|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．由雙曲線的定義可知：點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支．③若定點(diǎn)B與圓心A重合，如圖3所示：設(shè)點(diǎn)P是圓A上的任意一點(diǎn)，取線段AP的中點(diǎn)M，則點(diǎn)M滿足條件，因此點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，以12④若點(diǎn)B在圓A上，則滿足條件的點(diǎn)是一個(gè)點(diǎn)B．綜上可知：可以看到滿足條件的點(diǎn)M的軌跡可以是：橢圓、雙曲線的一支，圓，一個(gè)點(diǎn)，而不可能是一條直線．故選A．這是一個(gè)非常好的題，一個(gè)題把幾個(gè)很重要的曲線都包含了，我認(rèn)為這個(gè)題值得每一個(gè)學(xué)生去好好研究一下．這個(gè)題的關(guān)鍵是找等量關(guān)系，而這個(gè)等量關(guān)