PAGEPAGE1課時作業40空間點、直線、平面之間的位置關系[基礎達標]一、選擇題1．[2024·江西七校聯考]已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關系是()A．相交或平行B．相交或異面C．平行或異面D．相交、平行或異面解析：依題意，直線b和c的位置關系可能是相交、平行或異面．答案：D2．若直線a⊥b，且直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關系是()A．b?αB．b∥αC．b?α或b∥αD．b與α相交或b?α或b∥α解析：b與α相交或b?α或b∥α都可以．答案：D3.如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是正方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結論正確的是()A．A，M，O三點共線B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：連接A1C1，AC(圖略)，則A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四點共面，∴A1C?平面ACC1A∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1同理A，O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，∴A，M，O三點共線．答案：A4．[2024·河北張家口模擬]三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，則BM與A.eq\f(1,10)B.eq\f(3,5)C.eq\f(7,10)D.eq\f(4,5)解析：取BC的中點O，連接NO，AO，MN，因為B1C1綊BC，OB＝eq\f(1,2)BC，所以OB∥B1C1，OB＝eq\f(1,2)B1C1，因為M，N分別為A1B1，A1C1的中點，所以MN∥B1C1，MN＝eq\f(1,2)B1C1，所以MN綊OB，所以四邊形MNOB是平行四邊形，所以NO∥MB，所以∠ANO或其補角即為BM與AN所成角，不妨設AB＝2，則有AO＝eq\r(3)，ON＝BM＝eq\r(5)，AN＝eq\r(5)，在△ANO中，由余弦定理可得cos∠ANO＝eq\f(AN2＋ON2－AO2,2AN·ON)＝eq\f(5＋5－3,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(7,10).故選C.答案：C5．[2024·安徽聯合檢測]若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，則異面直線AC1與A1A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),4)解析：解法一如圖，在平面ABC，平面A1B1C1中分別取點D，D1，連接BD，CD，B1D1，C1D1，使得四邊形ABDC，A1B1D1C1為平行四邊形，連接DD1，BD1，則AB＝C1D1且AB∥C1D1，所以AC1∥BD1，故∠A1BD1即異面直線AC1與A1B所成的角．連接A1D1，過點A1作A1M⊥AC于點M，連接BM，設AA1＝2，由∠A1AM＝∠BAC＝60°，得AM＝1，BM＝eq\r(3)，A1M＝eq\r(3)，因為平面A1ACC1⊥平面ABC，A1M?平面A1ACC1，所以A1M⊥平面ABC，所以A1M⊥BM，所以A1B＝eq\r(6)，在菱形A1ACC1中，易求得AC1＝2eq\r(3)＝BD1，在菱形A1B1D1C1中，易求得A1D1＝2eq\r(3)，所以cos∠A1BD1＝eq\f(A1B2＋BD\o\al(2,1)－A1D\o\al(2,1),2A1B·BD1)＝eq\f(6＋12－12,2\r(6)×2\r(3))＝eq\f(\r(2),4)，所以異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為eq\f(\r(2),4).解法二令M為AC的中點，連接MB，MA1，易得MA，MB，MA1兩兩垂直．以M為原點，eq\o(MA,\s\up10(→))，eq\o(MB,\s\up10(→))，eq\o(MA1,\s\up10(→))的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系．設AA1＝AC＝AB＝2，則A(1,0,0)，B(0，eq\r(3)，0)，A1(0,0，eq\r(3))，C1(－2,0，eq\r(3))，所以eq\o(AC1,\s\up10(→))＝(－3,0，eq\r(3))，eq\o(A1B,\s\up10(→))＝(0，eq\r(3)，－eq\r(3))，所以cos〈eq\o(AC1,\s\up10(→))，eq\o(A1B,\s\up10(→))〉＝eq\f(－3,2\r(3)×\r(6))＝－eq\f(\r(2),4)，故異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為eq\f(\r(2),4).答案：B二、填空題6．設P表示一個點，a，b表示兩條直線，α，β表示兩個平面，給出下列四個命題，其中正確命題的序號是________．①P∈a，P∈α?a?α；②a∩b＝P，b?β?a?β；③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b.解析：當a∩α＝P時，P∈a，P∈α，但a?α，∴①錯；a∩β＝P時，②錯；如圖∵a∥b，P∈b，∴P?a，∴由直線a與點P確定唯一平面α，又a∥b，由a與b確定唯一平面γ，但γ經過直線a與點P，∴γ與α重合，∴b?α，故③正確；兩個平面的公共點必在其交線上，故④正確．答案：③④7．如圖所示，G，H，M，N分別是三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________(填上全部正確答案的序號)．解析：圖(1)中，直線GH∥MN；圖(2)中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖(3)中，連接MG，HN，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖(4)中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面．所以圖(2)，(4)中GH與MN異面．答案：(2)(4)8．[2024·福建四地六校聯考]已知三棱錐A－BCD中，AB＝CD，且直線AB與CD成60°角，點M、N分別是BC、AD的中點，則異面直線AB與MN所成角的大小為________．解析：如圖，取AC的中點P，連接PM，PN，則PM∥AB，且PM＝eq\f(1,2)AB，PN∥CD，且PN＝eq\f(1,2)CD.∴∠MPN或其補角為AB與CD所成的角，則∠MPN＝60°或∠MPN＝120°，∵PM∥AB，∴∠PMN或其補角是AB與MN所成的角，∵AB＝CD，∴PM＝PN，若∠PMN＝60°，則△PMN是等邊三角形，∴∠PMN＝60°，∴AB與MN所成的角為60°.若∠MPN＝120°，則∠PMN＝30°，∴AB與MN所成的角為30°，綜上，異面直線AB與MN所成的角為30°或60°.答案：30°或60°三、解答題9.如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點E，G，H，F，求證：E，F，G，H四點必定共線．證明：因為AB∥CD，所以AB，CD確定一個平面β.又因為AB∩α＝E，AB?β，所以E∈α，E∈β，即E為平面α與β的一個公共點．同理可證F，G，H均為平面α與β的公共點，因為若兩個平面有公共點，那么它們有且只有一條通過公共點的公共直線，所以E，F，G，H四點必定共線．10．如圖，已知不共面的三條直線a，b，c相交于點P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求證：AD與BC是異面直線．證明：假設AD和BC共面，所確定的平面為α，那么點P，A，B，C，D都在平面α內，∴直線a，b，c都在平面α內，與已知條件a，b，c不共面沖突，假設不成立．∴AD和BC是異面直線．[實力挑戰]11．[2024·武漢調研]在棱長為3的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別在棱AB，CD上，且AE＝CF(1)求異面直線A1E與C1F(2)求四面體EFC1A1解析：(1)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，延長DC至M，使CM＝1，則AE綊CM.連接AC，EM，∴ME綊AC綊A1C1，連接MC1，∴A1E綊C1M∴∠FC1M為異面直線A1E與C1在△FC1M中，C1F＝C1M＝eq\r(10)，FM＝2，∴cos∠FC1M＝eq\f(10＋10－4,2×\r(10)×\r(10))＝eq\f(4,5).故異面直線A1E與C1F所成角的