統考版2024屆高考數學一輪復習第八章8.4直線平面平行的判定和性

質學案理含解析2023042314第四節直線、平面平行的判定和性質

⑥知識排查?雙基落實抓宇基地?矗得良好開嬪

【知識重溫】

一、必記3個知識點

1.直線與平面平行的判定定理和性質定理

文字語言圖形語言符號語言

平面外一條直線與此

因為①______,

平面內的一條直線平

9

判定定理行，則該直線與此平一

______，

面平行（線線平行今

所以l//a

線面平行）

一條直線與一個平面

平行，則過這條直線因為②______,

的任一平面與此平面9

性質定理

的交線與該直線平行______,

（簡記為“線面平行所以/〃6

二線線平行”）

2.平面與平面平行的判定定理和性質定理

文字語言圖形語言符號語言

因為③______,

一個平面內的兩條相

______,

交直線與另一個平面

______,

判定定理平行，則這兩個平面

9

平行（簡記為“線面

______,

平行=面面平行”）b__/

所以。〃夕

如果兩個平行平面同因為④______,

時和第三個平面相

性質定理

交，那么它們的交線L_______________T

平行1J所以a//b

3.平行關系中的兩個重要結論

（1）垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若。_La,alfi,則a〃4.

（2）平行于同一平面的兩個平面平行，即若a〃夕，則a〃八

二、必明3個易誤點

1.直線與平面平行的判定中易忽視“線在面內”這一關鍵條件.

2.面面平行的判定中易忽視“面內兩條相交線”這一條件.

3.如果一個平面內有無數條直線與另一個平面平行，易誤認為這兩個平面平行，實質上

也可以相交.

【小題熱身】

一、判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確（請在括號中打“J”或“X”）.

（I）如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.（）

（2）如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面.（）

（3）若直線。與平面a內無數條直線平行，則。〃a.（）

（4）若直線。〃平面a,Pea,則過點P且平行于直線。的直線有無數條.（）

⑸若平面a〃平面小直線。〃平面a,則直線。〃平面口.（）

二、教材改編

2.如果直線。〃a,P三a,那么過點P且平行于直線。的直線（）

A.只有一條，不在平面a內

B.有無數條，不一定在平面a內

C.只有一條，且在平面a內

D.有無數條，一定在平面a內

3.下列命題中正確的是（）

A.如果直線a〃力，那么。平行于經過人的任何平面

B.如果直線。和平面a滿足a〃a,那么。與a內的任何直線平行

C.如果直線a,。和平面a滿足a〃a,b//?,那么

D.如果直線a,力和平面a滿足。〃力，a//a,bCa,那么小〃a

三、易錯易混

4.若平面a〃平面用，直線。〃平面a,點6則在平面夕內且過8點的所有直線中（）

A.不一定存在與。平行的直線

B.只有兩條與。平行的直線

C.存在無數條與。平行的直線

D.存在唯一與“平行的直線

5.設a,B，y為三個不同的平面，〃為直線，給出下列條件：

①“UQ,bup,a//p,h//a；?a//y,夕〃y；③a_Ly,/?±y；④a_La,b工ya//h.

其中能推出a〃4的條件是.（填上所有正確的序號）

四、走進高考

6.［2019.全國卷I□設a,』為兩個平面，則a〃夕的充要條件是（）

A.a內有無數條直線與￡平行

B.a內有兩條相交直線與6平行

C.a、4平行于同一條直線

D.。、僅垂直于同一平面

|考點一|直線與平面平行的判定和性質

［互動講練型］

[例1][2019?全國卷I]

如圖，直四棱柱ABCD-ABiGG的底面是菱形，A4=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,

N分別是6C,BBi，Ai。的中點.

(1)證明：MN〃平面CiOE；

(2)求點C到平面CxDE的距離.

悟?技法

I.判定線面平行的4種方法

(1)利用線面平行的定義(無公共點).

(2)利用線面平行的判定定理(Ma,H,a//b=>a//a).

(3)利用面面平行的性質定理優〃夕，〃夕).

(4)利用面面平行的性質(a〃/7,aQa,㈣i,a//a=^a//p).

2.解決直線與平面平行的3個思維趨向

(I)利用線面平行的判定定理證明直線與平面平行的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線

平行的直線.

(2)構造平行的常見形式：三角形的中位線、平行四邊形、利用比例關系證明兩直線平行等.

(3)在解決娛面、面面平行的判定時，一般遵循從“低維”到“高維”的傳化，即從“妙.線平

行”到“線面平行”，再到“面面平行”，而在應用性質定理時，其順序恰好相反.

［變式練］——(著眼于舉一反三)

1.［2021?廣東省七校聯合體高三聯考］如圖所示，四棱錐尸一/WCO中，%J_底面4BCO,

以=2,/ABC=90。，AB=5,BC=\,AD=2小,CO=4,E為CD的中點.

⑴求證：AE〃平面P6G

(2)求三棱錐C-PBE的體積.

考點二平面與平面平行的判定和性質

［互動講練型］

［例2］［2021?廣東肇慶實驗中學月考］如圖，已知ABCQ-AIBIGDI是棱長為2的正方體.

(I)求8iG小一/WCQ的體積；

(2)求證：平面平面G8D.

悟?技法

’判定平面與平面平行的5種方法

(1)面而平行的定義，印記兩個平面沒有公共點(不常用).

(2)面面平行的判定定理(主要方法).

(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(客觀題可用).

(4)利用平面平行的傳遞性，兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行(客觀

題可用).

(5)利用向量法，通過證明兩個平面的法向量平行證得兩平面平行.

［變式練］——(著眼于舉一反三)

2.［2021?四川成都五校聯考］如圖，在四棱錐尸一48CQ中，平面布Q_L平面A8CD,PA

=PD,AB=AD,PAYPD,ADLCD,N84D=60。，M、N分別為A。、%的中點.

(1)證明：平面BMN〃平面PC。；

(2)若人。=6,求三棱錐P—BMN的體積.

考點三立體幾何中的探索性問題

［互動講練型］

［例3］［2021?江西南昌重點中學段考］如圖，四邊形H8CO是梯形，四邊形CQEV是矩形，

且平面八"CQJ_平面C￡>EF,N94D=NCOA=90。，AB=AD=DE=^CD=2,M是線段八萬

上的動點.

(1)試確定點M的位置，使AC〃平面M。/；,并說明理由;

(2)在(1)的條件下，求平面尸將幾何體人QE-8C尸分成上、下兩部分的體積之匕.

悟?技法

1.平行關系中的探索性問題，主要是對點的存在性問題的探索，一般用轉化方法求解，印先確

定點的位置，把問題轉化為證明問題，而證明線面平行時又有兩種轉化方法，一是轉化為線

線平行，二是轉化為面面平行.

2.這類問題也可以按類似于分析法的格式書寫步驟：從結論出發“要使……成立”，“只需

使……成立”.

［變式練1——(著眼于舉一反三)

3.如圖所示，在三棱柱A8C—4SG中，。是棱CG的中點，問在棱A8上是否存在一

點E,使。E〃平面ASG?若存在，請確定點E的位置；若不存在，請說明理由.

第四節直線、平面平行的判定和性質

【知識重溫】

①/〃aaUaIda②，〃QIfaC0=b?a//pb//fiaCb=Pa^ab^a

?a//fiaC\y=apC\y=b

【小題熱身】

1.答案：(1)X⑵J(3)X(4)X

⑸X

2.解析：過。與。作一平面夕，平面Q與平面外的交線為從因為a〃a,所以〃〃兒在

同一個平面內，過點作已知直線的平行線有且只有一條，故選C.

答案：c

3.解析：A中，。可能在經過〃的平面內，故A錯誤；B中，。還可以與平面a內的直

線異面，故B錯誤；C中，。可以與直線b平行、異面、相交，故C錯誤；D中，過直線a

作平面尸，設aGp=c,\*a//a,.\a//ct又■:a"b、:c、又從la,且cUa,,\b//a,故

D正確.故選D.

答案：D

4.解析：當直線。在平面用內且過4點時，不存在與。平行的直線，故選A.

答案：A

5.解析：在條件①或條件③中，a〃尸或a與夕相交；由a〃y,彼〃尸a〃人條件②滿足；

在④中，?±a,a//b=>bLa,又b_L〃，從而a〃4④滿足.

答案：②④

6.解析：A、C、D選項中。與夕可能相交.故選B.

答案：B

課堂考點突破

考點一

例1解析：⑴證明：連接BCME.

因為M,￡分別為3叢，8c的中點，

所以且ME=夕?]C.

又因為N為4。的中點，所以NQ=%|Q.

由題設知可得故ME統ND,

因此四邊形MNDE為平行四邊形，MN〃七/).

又MNQ平面CiDE,所以MN〃平面GDE.

(2)過C作GE的垂線，垂足為H.

由已知可得。E_LBC,DEXCiC,

所以平面CiCE,

故DE1CH.

從而C”_L平面GDE,

故CH的長即為C到平面GDE的距離.

由已知可得CE=1,CiC=4,所以CIE=4萬,

故。”=靖^.

從而點C到平面GQE的距離為合伊.

變式練

1.解析：（1）?；AB=小,8c=1,ZABC=90°,

?"C=2,ZBCA=6Q°.

在△ACO中，AQ=2\G,AC=2,CD=4,

：.AC2-\-AD1=CD2,，/C4D=90。，△AC。是直角三角形.

又七為CD的中點，：.AE=^CD=CE=2,

???△ACE是等邊三角形，???NCAE=60。，

???ZCAE=600=N8cA,：,BC//AE.

又AEQ平面08C,8c二平面P8C,???4E〃平面PBC.

(2)V%_L底面ABCDt_L底面BCE,

：.PA為三棱錐尸一BCE的高.

VZBCA=60°,ZACD=60°,JNBCE=120°.

又3C=1,CE=2,

；?S/、BCE=』XBCXCEXsinNBCE=』X1X2X^=坐,

；?V三鈍然c-P8E=匕梭依p8CE=；X5,\BCEX用=(X：X2=3^.

考點二

例2解析：(1)設正方體的體積為％,

則由題圖可知BiGQ-ABCO的體積V=Vi-\^-AiBiDl=2X2X2~jx^X2X2X2=8

_20

一于

(2)證明：???A8CO-ABGA為正方體，???DC〃AB,DlCl=AlBlt

又A8〃A山i,AS=AlBi,：.DiCi//AB,Q￡=AB,

???四邊形O1G/M為平行四邊形，

：.DiA//C\Bt又。1對平面C由。，G5U平面GBD,

???24〃平面G3D同理，GD〃平面GBD,

又OiAnO|8i=Qi,，平面平面G8D

變式練

2.解析：(1)證明：連接80.

\'AB=ADtNA4O=60。，.二△AB。為正三角形.

YM為4。的中點，：,BMLAD.

,CADVCD,CD,8MU平面ABCD,:.BM//CD.

又3MQ平面PCD,CDU平面PCQ,??.8W〃平面PCD

*：M,N分別為人Q,以的中點，：.MN//PD.

又MNQ平面PCD,POU平面PCD,

???MN〃平面PCD.

又BM,MNU平面BMN,BMCMN=M,

，平面8MN〃平面PCD.

(2)在(1)中已證BMLAD.

???平面平面ABCD,8MU平面ABCD,

平面PAD.

又AO=6,/朋。=6。。，???8M=3小.

???M,N分別為AO,出的中點，%=PO=拳40=3啦,

/.△用(3g)2=*

???三棱錐產一BMN的體積V=%"MN=；Sb“N/M=gx*X3，5=乎.

考點三

例子解析:

(1)當M為線段AE的中點時，AC〃平面例。E

證明如下：

如圖，連接。區交DF于N,連接MM

因為M,N分別是AE,CE的中點，

所以MN//AC.

因為MNU平面MDFfACQ平面MDF,

所以4。〃平面MDF.

(2)將幾何體ADE-BCF補成三棱柱ADE—BiCF,

則三棱樣尸的體積V=5A4DE-CD=5X2X2X4=8.

VADE-BCF=VADE-BICF-VF~C=8一;XRX2X2)X2=y.

三棱錐產一OEM的體瑯心陽昌嗯義巾義同義4=寺,

故上、下兩部分的體積之比為鼻(孚—§=14.

變式練

3.解析：解法一假設在棱上存在點E,使得OE〃平面人8iG，

如圖，取BBi的中點凡

連接。F,EF,ED,

則DF〃B\C\,

又。/過平面481G，

HCU平面ABC1,

二。尸〃平面人8iG,

又OE〃平面ABiG，DEODF=D,

???平面。即〃平面AB?,

■:EFU平面DEF,：.EF//平面AB\C\,

又VEFU平面ABBi，平面ABB\C\平面AB\C\=ABlf

:?EF〃AB\,

丁點尸是BBi的中點,

???點E是48的中點.

即當點E是A3的中點時，。￡〃平面ASG.

解法二存在點巴且E為A8的中點時，QE〃平面A8iG.

證明如下：

如圖，取88］的中點八連接。憶

則I)F〃R\C\.

???￡>R平面ABC,B￡U平面ABC,

工。尸〃平面AB\C\.

:AB的中點為E,連兼EF,ED,

則EF//AB}.

???￡7也平面ASG,ABC平面ABiG,

，石產〃平面AB\Ci.

■:DFC\EF=F,

，平面。七尸〃平面ABCi.

而DEU平面DEF,???DE//平面A?G.

第五節直線、平面垂直的判定和性質

預習<5知識排查.雙基落實抓牢底獨-蠹將比好開場

【知識重溫】

一、必記6個知識點

1.直線與平面垂直

(1)定義：直線I與平面a內的①________一條直線都垂直，就說直線/與平面a互相垂直.

(2)判定定理與性質定理

文字語言圖形語言符號語言

一條直線與一個平面a.bUa

內的兩條相交直線都L-T②

判定定理A

垂直，則該直線與此lla

平面垂直n/_La

-1

垂直于同一個平面的③___}

性質定理■■■■■■1

兩條直線平行A=>a//b

|二一1

2.直線和平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的④_______叫做這條直線和這個平

面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面

內，則它們所成的角是0。的角.

(2)范圍；0,y

3.平面與平面垂直

（1）二面角：從一條直線出發的⑤所組成的圖形叫做二面角.

（2）二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作

?________的兩條射線，這兩條射線所構成的角叫做二面角的平面角.

4.平面和平面垂直的定義

兩個平面相交，如果所成的二面角是⑦，就說這兩個平面互相垂直.

5.平面與平面垂直的判定定理與性質定理

文字語言圖形語言符號語言

一個平面過另一個平⑧[

判定定理面的垂線，則這兩個_________/

平面垂直

0alp

山

兩個平面垂直，則一

個平面內垂直于交線口

性質定理

的直線與另一個平面⑨_______

垂直/J_a

n/_La

6.垂直關系中的兩個重要結論

（I）若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.

（2）若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內的任何一條直線（證明線線垂直的

一個重要方法）.

二、必明3個易誤點

1.證明線面垂直時，易忽視面內兩條線為相交線這一條件.

2.面面垂直的判定定理中，直線在面內且垂直于另一平面易忽視.

3.面面垂直的性質定理在使用時易忘面內一線垂直于交線而盲目套用造成失誤.

【小題熱身】

一、判斷正誤

1.判斷卜列說法是否止確（請在括號中打“J”或"X”）.

⑴/與平面a內的兩條直線垂直，則直線以平面a.（）

⑵直線/不可能和兩個相交平面都垂直.（）

（3）當。_1_夕時，直線/過。內一點且與交線垂直，則）

（4）若兩個平面垂直，則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面.（）

二、教材改編

2.下列命題不正確的是（）

A.過平面外一點，有且只有一條直線與這個平面垂直

B.過平面外一點，有無數條直線與這個平面平行

C.過直線外一點，有且只有一個平面與這條直線垂直

D.過直線外一點，有且只有一個平面與這條直線平行

3.已知直線方與平面a,B，y,能使a_L4的充分條件是（）

A.a±y,fiLyB.aC\fJ=a,〃_La,bu/j

C.ci"0,a//aD.a//a,a邛

三、易錯易混

4.若/,小為兩條不同的直線，a為平面，月/J_a,則“小〃a”是，山”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知直線“和平面a,B，若aJL.,p,則〃與a的位置關系為.

四、走進高考

6.［2019?北京卷］已知/,〃?是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個論斷：

?/_Lw；?m//a；③LLa.

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題:

.(答案不唯一)

⑥考點突破?分層探究研習號忐-掌握美思通法

|考點一|直線與平面垂直的判斷與性質

［互動講練型］

[例1]

［2021?河南省豫北名校高三質量考評］如圖，在多面體E/MBCQ中，四邊形A8C。為正方

形，四邊形ACEF為矩形，平面ACE/LL平面ABC。，^AB=AF=\.

⑴求證：4E_L平面CDB

(2)求點￡■到平面CO5的距離.

悟?技法

判定線面垂直的四種方法

(1)利用線面垂直的判定定理.

(2)利用“兩千行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個千面垂直”.

(3)利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則與另一個也垂直”.

(4)利用面面垂直的性質定理.

|變式練］——(著眼于舉一反三)

1.［2021?南昌市高三■年級摸底測試卷］如圖，已知直三棱柱ABC—481G中，AB1AC,

AB=AC=AA\=2,E是8c的中點，尸是A|E上一點，且4尸=2五E

⑴證明:4-_L平面4BC;

(2)求三棱錐G—4FC的體積.

考點二平面與平面垂直的判定與性質

［互動講練型］

［例2］［2020?全國卷1］如圖，。為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，△48C是底面的

內接正三角形，尸為。O上一點，ZAPC=90°.

(1)證明：平面以立面以C：

(2)設。0=會，圓錐的側面積為小兀，求三棱錐戶一ABC的體積.

悟?技法

面面垂直的證明方法

(I)定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直

問題轉化為證明平面角為直角的問題.

(2)定理法：利用而而垂直的判定定理，即證明其中一個平面經過另一個平面的一條垂線，把

問題轉化成證明線,線垂直加以解決.

［提醒］兩平面垂直，在一個平面內垂直于交線的直線必垂直于另一個平面.這是把面面

垂直轉化為線面垂直的依據.運用時要注意“平面內的直線”.

［變式練］——(著眼于舉一反三)

2.［2021?石家莊市重點高中高三畢業班摸底考試］如圖,

四棱錐產一A5CD中，％_L底面八5C7),△AC7)是邊長為2的等邊三角形，RAB-8C-

市,PA=2.

⑴求證：平面以。，平面;?)；

(2)若點M是棱PC的中點，求直線P。與8M所成角的余弦值.

考點三平面圖形翻折成空間圖形

［互動講練型］

［例3］［2019?全國卷HI］圖1是由矩形AOEB,Rl△48C和菱形8FGC組成的一個平面圖

形，其中A6=l,BE=BF=2,/尸5c=60。.將其沿A8,5c折起使得BE與8f重合，連結

DG,如圖2.

(1)證明：圖2中的A,C,G,。四點共面，且平面ABC_L平面4CGE；

(2)求圖2中的四邊形ACGO的面積.

悟?技法

對于翻折問題，應明確：在同一個平面上的性質不發生變化，不在同一個平面上的性質

可能會發生變化.解決這類問題就是要據此研究翻折以后的空間圖形中的線面關系和幾何量

的度量值，這是解決翻折問題的主要方法.

［變式練］——(著眼于舉一反三)

3.［2021?“超級全能生”聯考］如圖，四邊形43co為等腰梯形，AB=2,AD=DC=CB

=1,將△4OC沿AC折起，使得平面AOCL平面4BC,七為/W的中點，連接DE,OB.

(1)求證：BCLAD；

(2)求點E到平面BCD的距離.

第五節直線、平面垂直的判定和性質

【知識重溫】

①任意②〃門力=0③a_Labla④銳角⑤兩個半平面⑥垂直于棱⑦直二面

角⑧/_LaY"⑨aD夕=“

【小題熱身】

1.答案：(1)X(2)7(3)X(4)X

2.答案：D

3.解析：對A,a與少可能平行；對B,當a與夕相交但不垂直時，也會有》_La,2生

對C,。與夕可能平行，也可能相交，故A,B,C均錯誤.故選D.

答案：D

4.解析：由/_La且〃能推出〃?充分性成立；若/_La且〃?則小〃a或者〃?

U%必要性不成立，因此“加〃。”是“mJJ”的充分不必要條件，故選A.

答案：A

5.解析：當aUa且。垂直于處用的交線時，滿足已知.

答案：a〃a或aUa

6.解析：把其中兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，共有三種情況.對三種

情況逐一驗證.①②作為條件，③作為結論時，還可能/〃a或/與a斜交；①③作為條件，

②作為結論和②③作為條伶，①作為結論時，容易證明命題成立.

答案：①③0②或②③=①

課堂考點突破

考點一

例1解析：（1）證明：如圖，分別取4。，BC,BE,的中點P,Q,M,N,連接4V,

PN,PQ,QM,MN,則QM〃CE,PN//AF,QM=^CE,PN=：AF.

?在矩形ACE尸中,AF然CE,

:?QM統PN,

???四邊形PQMN為平行四邊形，

:?PQ然MN.

易知，AB^MN,

???四邊形人8WN為平行四邊形，：,AN//BM.

;平面ACE/7,平面ABC。，ECA.AC,平面ACE尸n平面4BCZ）=4C,

???EC_L平面ABC。，?'?EC_LOC

同理"_LAD又由條件知AQ=AF,：,ANLDF,則BM_LOF,BE±DF.

VDC±BC,EC±DC,且4CnCE=C,工。。，平面4C￡,:.DC工BE.

又BE上DF,DCCDF=D,，呂石，平面C75F.

（2）設點E到平面CDF的距離為h.

由（1）可得EC_L8C

又BCLCD,CDCCE=C,，8C_L平面COE,???AD_L平面COE

在矩形4CEF中，AF//CE,，A/〃平面CQ￡

???三棱錐/一CO石的高等于4。的長，且40=1.

由（1）易知CQ_L平面ADF,

???。廠匚平面人。?，???C0_L。凡A5ACDF=2X1X^=2-

設點E到平面。。戶的距離為h,

,**VF-CDE=VE-DCF,X^X1X1X1=1X當h,解騫h=*.

變式練

1.解析：（I）如圖，連接4E,因為AB=AC=2,AB1AC,石為BC的中點，所以4EJLBC,

AE=也

由于三棱柱ABC—A/iG是直三棱柱，故AA]_L平面A8C,所以AA|_LAE,AA\LBC.

在直角三角形AAE中，因為44=2,AE=y[2,

所以4七=#,那么EF=等.

AEA\F

所以TT=土，所以所以NAQE=N4AE=90。，即人尸J_4￡

LrAL

由AE_L8C,MPAE=A,

得BC_L平面4AE,4尸u平面44E08CJLAF.

由A/_LAiE,A尸_L8C,BCnAiE=E,

得AF_L平面ABC.

(2)過七作E/)J_4C,交AC于點D,連接4。，過產作R7〃E。，交4。于點G因為A4」

平面4BC,所以AAi_LED,又EO_LAC,ACdAAx=A,

所以EQ_L平面A4C,所以尸G_L平面/UC.

22I2

因為〃A\F=2FE,所以彳￡。=彳乂彳.

rGEO,r6=JJ/f5/16=J

S2\4CG=；X2X2=2,所以V三棱錐G-4/C=V三棱錐F-AiCC1=|sAAiCC,FG

考點二

例2解析：（1）由題諛可知，PA=PB=PC.

由于△/wc是正三角形，故可得△氏氏△mc^AP?c.

又NAPC=90。，故NAP8=90°,Z5PC=90°.

從而尸B_LB4,PB1PC,故PB_L平面布C,所以平面%8_L平面%C

⑵設圓錐的底面半徑為r,母線長為/.

由題設可得，?/=小，尸一戶=2.

解彳導V—1*l=y[3.

222

從而.由（1）可得PA-\-PB=AB1故必=P8=PC=尊.

所以三棱錐P-48C的體積為:xj義弘XP8XPC=1x[x（幸＞=坐.

變式練

2.解析：⑴證明：???以_L底面A3cO,：,PAVBD,

取八。的中點O,連接08,OD,則AC_LO&AC_LOD,,??點O,B,。共線，即人C_LBO.

又%nAC=4,平面PAC.

8OU平面PBD,；?平面布C_L平面PBD.

⑵取CD的中點N,連接MN,BN,則MN//PD.

???/BMN或其補角是異面直線。。與所成的角.

Rt△%。中，必=40=2,:.PD=2?:?MN=巾.

連接0M,則0M〃以，???OMJ_平面A8CO,

□△M08中，W0=0B=l,:,BM=也

△BDN中,BD=，5+1,DN=1,NBDN=30。,

由余弦定理BN2=BD2-\-DN2-2BDDNCOS30°,得BM=2+小.

8M2+MM—刷_2+2—(2+小)_2一小

ABMN中，cos/BMN=

ZBMMN~2Xy[2Xy[2~4

???直線PD與BM所成角的余弦值為々子.

考點三

例3解析?：（1）證明：由已知得CG//BE,所以AD〃CG,故A。，CG確定一

個平面，從而A,C,G,。四點共面.

由已知得A3_L3K,A8_L8C,BCCBE=B,故A3_L平面6CGE.

又因為ANU平面A8C,所以平面/WC'J"平面4CGK

（2）取CG的中點M,連接EM,DM.

因為A8〃OE,4B_L平面8CGE,所以OE_L平面8CGE.

故DELCG.

由已知，四邊形3CGE是菱形，且NE3c=60。得EMJ_CG,故CG_L平面OEM.又。MU

平面DEM.

因此。MJ_CG.

在RlZ\OEM中，OE=1,EM=小,故DM=2.

所以四邊形ACGO的面積為4.

變式練

3.解析：（1）證明：作C〃_LA8于點H,如圖，

則BH=g,AH=^.

V5C=1,:.CH=^,：.CA=?易得ACJ_8C

?.?平面4QC_L平面ABC,且平面人。CH平面ABC=AC,平面ABC,

???8C_L平面AQC.

又4OU平面ADC,：.BCYAD.

（2）；E為AB的中點,

???點七到平面BC。的距離等于點4到平面3CO距離的一半.

由（1）可得平面AOC_L平面BC。，?,?過點A作AQ_LC。于Q,如圖.

???平面4OCA平面8CD=CO,且AQU平面AQC,

，AQ_L平面8C。，A。就是點A到平面BCO的距離.

由（1）知AC=V5,AD=DC=\t

12+12_（小）2[

一不

,cosZ4DC=-，c入1入JI-=Z

又OvNAOCvg/.ZADC=^,

???在RtZXQAO中，ZQDA=^,AO=1,

fZA

：.AQ=ADsinZQDA=1乂彳=拳

???點E到平面BCD的距離為小.

第六節空間向量及其運算

【知識重溫】

一、必記3個知識點

1.空間向量及其有關概念

語言描述

共線向量

表示空間向量的有向線段所在的直線互相①________

(平行向量)

共面向量平行于②________的向量

共線向對空間任意兩個向量。，帥#0),。〃方臺存在2ER,使

量定理③________

共面向若兩個向量》不共線，則向量P與向量。，力共面臺

量定理存在唯一的有序實數對(x,y),使/二④_____

定理：如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向

量P，存在有序實數組｛弟戶z｝使得尸二⑤______

空間向量推論：設0、4、B、。是不共面的四點，則對平面A4C

基本定理

內任一點。都存在唯一的三個有序實數x,y,z,使分=

工，*十)，5方+2歷且x+)，+z=1

2.數量積及坐標運算

(1)兩個向量的數量積：

(i)0力=|0|步|cos(a,b).

(ii)a±b=?>(a,b為非零向量).

(iii)|?|2=a2,|a|=Nx2+)2+z2.

(2)向量的坐標運算：

a=(a\,。2，6)，b=(b\,岳，by)

向量和“+6=0___________

向量差a-b=?____________

數量積ab=⑨____________

共線a//b^?___________(/l￡R,*0)

垂直a_Lb臺?____________

夾角公式cos(a,b)=?_____________________

3.直線的方向向量與平面的法向量

(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線/?或?

,則稱此向量。為直線/的方向向量.

(2)平面的法向量：直線/_La,取直線/的?向量m則向量。叫做平面af勺法向

量.

二、必明4個易誤點

1.共線向量定理中存在/IGR,使。=乃易忽視bWO.

2.共面向量定理中，注意有序實數對(x,田是唯一存在的.

3.一個平面的法向量有無數個，但要注意它們是共線向量，不要誤為是共面向量.

4.利用空間向量證明空間平行與垂直關系時，書寫步驟時一定明確判定定理的條件，否

則，會犯步驟不規范的錯誤.

【小題熱身】

一、判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確(請在括號中打“J”或“X”).

(1)空間中任意兩非零向量。，5共面.()

(2)對于向量〃，b,若。?力=0,則一定有。=0或力=0.()

⑶若。仍＜0,則b)是鈍角.()

(4)若｛〃，力，c｝是空間的一個基底，則小兒c中至多有一個零向量.()

(5)兩不重合直線自和人的方向向量分別為功=(1,0,-1),6=(-2,0,2),則八與卜的位

置關系是平行.()

⑹已知矗=(2,2,1),危=(4,5,3),則平面A8C的單位法向量是加=iQ，一*)

⑺若〃1，〃2分別是平面。，尸的法向量,則〃」〃20小伙()

二、教材改編

蓿

2.如圖所示，在平行六面體A8CO-ABiCQi中，M為4G與8]/)的交點.若AB=a,

AD=htAAi=c,則下列向量中與3法相等的向量是()

A.-%+*+cB.%+，+c

C.-%-/+cD.；°—茨+c

3.正四面體/WCD的校長為2,E,尸分別為BC,/I。的中點，則石尸的長為.

三、易錯易混

4.在空間直角坐標系中，已知A(l,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2J),。(4,3,0),則直線4B

與C。的位置關系是()

A.垂直B.平行

C.異面D.相交但不垂直

5.與向量(一3,—4,5)共線的單位向量是()

B.呼,平,邛）

_2^2四

10*5*2J

"至亞/*_^2.四

U\10*5'2r\10*5'2J

考點一空間向量的線性運算I［自主練透畫］

1.

如圖，在三棱錐O—A8C中，M,N分別是A8,OC的中點，設。了=〃，OB=b,0C=

c,用a,b,c表示NM,則NM等于()

A*-a+b+c)B.g(a+c)

C.J(a—b+c)D.；(—a—B+c)

2.在空間四邊形A8CD中，若A萬=(—3,5,2),CD=(-7,-1,-4),點E,尸分別為

線段BC,A。的中點，則E7的坐標為()

A.(2,3,3)B.(-2,-3,-3)

C.(5,-2,1)D.(-5,2,-1)

3.

如圖所示，在長方體A8CO-A必GG中，。為4c的中點.用A萬，AD,篇1表示無

則無尸.

悟?技法

用已知向量表示某一向量的方法

(1)用已知向量來表示未知向量，一定要結合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵.

(2)要正確理解向量加法、減法與數乘運算的幾何意義.首尾相接的若干向量之和，等于由起

始向品的始點指向末尾向昂:的終點的向量，我們可把這個法則稱為向量加法的多邊形法則.

(3)在立體幾何中要靈活應用三角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間中仍然成立.

考點二共線向量定理、共面向量定理及其應用|［分層深化型］

考向一：共線向量定理及應用

［例1］⑴已知向量。=(2〃?+1,3,m-1),b=