第5章類別變量與尺度變量關系的描述統

計

1.下表是某高校分屬三個專業的18名研究生入學英語考試成績。

某高校三個專業的18名研究生入學英語考試成績單位：分

專業成績

專業一.W859288889089

專業二泗828491788683

專業三＞'3/818287907880

要求：計算相關比率，說明專業與英語考試成績是否相關。

解：由題目數據計算可得：

%=88.7,%=84,%=83,y=85.2

6663力

Z此=47198,Z氏=42430,Z此=41438,￡￡芯=⑶066

7=17=1y=lJ?1y=l

*31,

耳，￡(先-刃2二ZX￥一〃F=131066-18X85.22=40328

1=1j=l/=!j=\

tn3、

G=之之(力-工)、之和“力律

Mj=iIy=i)

=(47I98-6X88.72)+(42430-6X842)+(41438-6X832)

=189.86

403.28-189.86

PRE=E一&=0.5292

E\403.28

計算相關比率得es=0?73。

由誤差消減比例看，消減掉的誤差占總誤差的53%左右，相關比率達到（）.73

說明專業與英語考試成績有一定的相關性的。

2.下表是15名工人分別使用三種方法裝配一件儀器所需時間。

15名工人分別使用三種方法裝配一件儀器所需時間單位：分鐘

方法時間

方法一列1213121518

方法二如1516162022

方法三功1618192428

要求:

（1）繪制三種方法所需平均時間的條形圖；

（2）計算相關比率，說明裝配方法是否對裝配時間有影響。

解：（1）繪制條形圖。

根據題目數據計算可得：工=14,%=17.8,%=21,t=17.6,

得到條形圖圖5-1,

平

均25.00-

時

間

20.00-

15.00-

10.00-

5.00-

0.00

方法1方法2方法3

方法

圖5-1三種方法所需平均時間的條形圖

（2）計算相關比率。

計算可得：

ty；j=1006,14=1621,￡氏=2301

>17=1；=1

XX=4928

f=l/=1

m43ni

&=一?=ZE片一〃尸=4928-15x17.62=281.6

1=17=11=1j=l

m33n；、

七2=2之(用-獷=之之苫-%律

i=lj=li=l\y=l)

=(1006-5X142)+(1621-5X17.82)+(2301-5x212)

=158.8

E.-E281.6-158.8

PRE=2=0.4361

Ei-281.6

計算相關比率得eta=0.66。

由誤差消減比例看，消減掉的誤差占總誤差的40%左右,相關比率達到0.66,

可見不同的裝配方法對裝配時間有明顯的影響，具有一定的相關性。

3.為了解大學生網購的情況，某學院進行了一次小型調查，被調查的20名

學生在過去的三個月里網購次數的情況如下所示：

按性別整理的調查結果

性別網購次數

男加38640510

女劉78319091051232

按專業整理的調查結果

專業網購次數

專業一y\j3505

專業二yij841783123

專業三功602190910

要求：

（1）計算性別與網購次數的相關比率，說明被調查者的性別與其網購次數

是否有關

（2）計算專'也與網購次數的相關比率，說明被調查者的專業與其網購次數

是否有關

解：（1）計算性別與網購次數的相關比率。

根據題目數據計算可得：

五=3.375,%=5.75,了=4.8

2優=151,￡用=567

J=Ij=i

ZEX>=151+567=718

r=l；=1

m%3n)

2

Ei=￡￡(y,?-?=—〃92=718—20X4.8=257.2

/=1/=!/=1/=1

mn,2(%、

￡2=EZ(X)-X)2=E之片一勺律

/=lj=l/"1\)

=(151-8x3.3752)-(567-12x5.752)=230.125

——二257.2"25=。」1

E、257.2

eta=0.33

由誤差消減比例看，消減掉的誤差占總誤差的10%左右，相關比率為Q33,

可見被調查者的性別而網購次數有一定影響，但相關性并不很高。

（2）計算專業與網購次數的相關比率。

根據題目數據計算可得：

豆=3.25,y2=5.75,%=4.625,y=4.8

m叫3,看

i=lj=li=lIj=1

=(203.25-5x6.12)+(70-7x32)+(17.5-4xl.752)

=29.45

-XJ6.86-29.45:06儂

476.86

々”0.785

由誤差消減比例看，消減掉的誤差占總誤差的61.68%,相關比率高到().785,

可見被調查者做家務時間與其原居住地區類型之間有比較強的相關性。

5.在東、中、西部三個地區隨機抽取了16個環保重點城市2014年空氣質量

達到及好于二級的天數數據如下表所示。

環保重點城市空氣質量達到及好于二級的天數

東部地區中部地區西部地區

168135187

239229134

276188202

18893254

302179

344230

資料來源：中華人民共和國統計局.中國統計年鑒：2015.北京：中國統計出版社，2015.

要求：根據上表數據，

(1)繪制2014年三個地區抽取的環保重點城市空氣質量達到及好于二級天

數均值的條形圖。

(2)計算相關比率，并說明地區與相應的環保重點城市空氣質量達到及好

于二級的天數之間是否相關。

(1)繪制條形圖。

根據題目數據計算可得：7,=252.83,y2=161.25,勇=197.67,y=209.25,

得到條形圖圖5-2,

圖5-2三個地區抽取的環保重點城市空氣質量達到及好于二級天數均值的

條形圖

(2)計算相關比率。

計算可得：

X就=406405,￡居=114659,之用=243186

7=17=1j=l

次1%=764250

r=l；=1

m叫3nj

E=y廣田2=￡￡%—"F=764250-16x209.252=63618

f=l>1i=l>1

￡2=EE<^-y/)2=E?%-勺律

i=lj=li=l\j=l,

=(406405-6x252.832)+(114659-4xl61.252)+(243186-6x197.672)

=42265.1232

—-=63681-42265.1232=03363

E,63681

計算相關比率得々4=0.58。

由誤差消減比例看，消減掉的誤差占總誤差的34%左右，相關比率為Q58,

可見不同地區與相應的環保重點城市空氣質量達到及好于二級的天數之間具有

一定的相關性。

第6章概率與隨機變量的概率分布

1.某社區關愛老年人協會共有40名志愿者，其中3名男性，現需要選取5

人組成一個工作組到另一個社區做交流。問：

（1）5名志愿者都是女性的概率為多少？

（2）5名志愿者中有2位男性的概率為多少？

解：設隨機事件A=5名志愿者都是女性；隨機事件B=5名志愿者中有2位

男性。本題的基本事件的個數為〃=仁）。

（1）計算5名志愿者都是女性的概率。

5名志愿者都是女性這樣的組合個數為%=C；7，

則P（4）=吆=冬=0.662。

（2）計算5名志愿者中有2位男性的概率。

5名志愿者有2名男性這樣的組合個數為的產

則P（B）=^=冬冬=0.035。

2.某社區衛生院所轄甲、乙、丙三個居民小區，各居民小區人數分別占三

個小區總人數的LL』，甲、乙、丙三個小區居民平均每天鍛煉超過30分鐘的

4312

人數占各小區總人數的，,一。求：

245

（1）從這三個小區中隨機選取一個人，此人平均每天鍛煉超過3（）分鐘的概

率；

（2）從這三個小區中隨機選取一個人，發現此人平均每天鍛煉超過30分鐘，

此人屬于乙小區的概率。

解：（1）計算從這三個小區中隨機選取一個人，此人平均每天鍛煉超過30

分鐘的概率。

設隨機事件&=抽取一個人為甲小區居民，他=抽取一個人為乙小區居民，

人內=抽取一個人為丙小區居民

8=抽取一個人平均每天鍛煉超過30分鐘，

則同為產一個人為甲小區居民且平均每天鍛煉超過30分鐘，依此類推。

由題意可知，

p（AQ=J,P（B|Aj=；；P（&）=!，P（B|AJ=；；

ILJI

P%)4,P(B|A丙)《

P(8)=P(A/(8&J+P(AQP(8Mj+P(4j)P(8|Aj

1111517

=-X--卜—X--1--X—=--

423412524

(2)計算從這三個小區中隨機選取一個人，發現此人平均每天鍛煉超過30

分鐘，此人屬于乙小區的概率。

「入⑻=3」(切尸(即乙)=3=2

P(B)P(B)2_7

24

3.某人花2元錢買一張彩票，他抽中100元獎的概率是0.1%,抽中10元獎

的概率是1%,抽中1元獎的概率是2()%。己知各種獎不能同時抽中，求：

(1)此人中獎的概率分布；

(2)此人中獎金額的期望值；

(3)此人中獎金額的標準差。

解：

(1)計算此人獎金的概率分布。

設此人買彩票的收益為X,X的概率分布如表6-2所示。

表6-2某人買彩票獎金的概率分布表

Xi0110100

Pi78.9%20%1%0.1%

(2)計算此人中獎金額的期望值。

￡(X)=^x,.p/=0x78.9%4-1X20%+10xl%4-100x0.1%=0.4(元)

(3)計算此人中獎金額的標準差。

計算過程如表6-3所示。

表6-3某人購買彩票收益的標準差計算過程

2

XPiX-E(X)[X-E(X)]Piix-E(x)y

078.9%-0.40.160.12624

120%0.60.360.072

101%9.692.160.9216

1000.10%99.69920.169.92016

D(X)=E[X-E(X)]2=￡因-鳳X)]4

f=l

=0.12624+0.072+0.9216+9.92016=11.04

所以標準差b=Jax尸Ju.04=3.32o

或者運用公式D(X)=E[X-E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2,

E(x2)=Nx；Pi=02x78.9%+l2x20%+102xl%+1002x0.1%=11.2

f=l

D(X)=E(X2)-[E(X)]2=11.2-O.42=11.O4

標準差仍為b=7^(X)=711.04=3.32o

4.設X-N(5,32),求：

(1)P(X<8)；

(2)P(3<X<8)0

解：由于X-N(5,3?),所以--N(0,l)。

3

(1)計算尸(XV8)的值。

v*_5Q_5V_c

P(X<8)=P(^^<^^)=P(^^<l)=(D(l)=0.8413

333

(2)計算尸(3vX?8)的值。

尸(3<X?8)=尸二<容(？)=崎<容小)

33333

=0(1)-6(-0.67)=O(l)-[l-0(0.67)]=0.8413-1+0.7486=0.5899

5.已知X~N(O,1),P(X>x)=0.05,求x的值。

解：查表可得工=2。=Z005=1.64o

6.已知X?N(0』)，P(X<x)=0.975,求x的值。

解：因為P(X<JV)=0.975,所以P(XNx)=l-0.975=0.025。

查表可得：x=Za=Z002S=1.96o

7.一次統計學測驗的均值為78分，標準差為1()分，求

(1)93分與62分對應的標準分數

(2)標準分數-().5與1.5對應的分數。

解；(1)計算93分與62分對應的標準分數。

_93-78_62-78,/

Z793--jo--1.5,Z-------=—1.0

6210

(2)計算標準分數-0.5與1.5對應的分數。

設標準分數-0.5對應的分數為小

r1一78,U

乙-=1.5

、10

得％=93o

設標準分數L5對應的分數為)，，

Z、.=W—5

'10

得y=63。

8.某同學在兩次統計學考試中的成績分別為78分與82分。第一次考試全

班的平均成績為75分，標準差為5分；第二次考試全班的平均成績為8()分，標

準差為6分。問：該同學在兩次考試中哪一次的成績更理想。

解：用Z分數來衡量兩次考試的相對理想程度。

4=土4=生上=0,6,表明他在第一次考試中比全班平均成績高0.6個

巧5

標準差；

Z2=歪二改=與絲=0.33,表明他在第二次考試中比全班平均成績高0.33

(J26

個標準差。

可見，他在第一次考試中的成績更理想一些。

9.已知某生產線生產的袋裝食品的平均重量是500克，標準差為5克。如

果某天平均每袋食品的重量高于或低于平均重量的2個標準差，就認為該生產線

需要進行調節。下面是某一周該生產線生產的袋裝食品的平均重量。

某一周生產線生產的袋裝食品的平均重量單位：克/袋

時間周一周二周三周四周五周六周日

平均重量502498505492489506508

要求：判斷4匕產線是否需要調整。

解：平均重量的2個標準差范圍為(500-5x2,500+5乂2),即(49(),510)?

可見，周五的平均重量超出了這個范圍，這天的生產線需要進行調整。

10.已知/~，(20),尸02x)=0.025,求?的值。

解：因為3/(20),P02x)=0.025。所以尤rhoxQO)。

查表得：x=rOO25(2O)=2.086o

2

il.已知/~/(12)，P(Z>x)=0.05,求x的值。

2

解：因為/(⑵，P(Z>X)=0.05,所以x=/oos(12)。

查表得：x=/)(晨12)=21.026。

12.已知產~尸(5,10),尸(尸>x)=0.90,求x的值。

解：因為尸~尸(510),P(F>x)=0.90,所以X=紇9O(5，1O)=————

%o(lO,5)

查表可得：玲」。(10,5)=3.30,得力=59G(5,10)=」一=0.303。

3.30

第7章大數定律、中心極限定理與抽樣分

布

1.某快餐廳過去3年的日均營業額為3()00元，標準差為500元，服從右偏

分布。現從中隨機抽取100天組成一個樣本，問：

(1)這個樣本均值的標準差為多少？

(2)這個樣本均值大于3050的概率為多少？

解：(1)計算這個樣本均值的標準差。

_5OO2

根據中心極限定理，X7V(3OOO,—),

所以這個樣本均值的標準差為：

_<7_50()_.n

“"TH-Vfoo

(2)計算這個樣本均值大于3050的概率。

3050-3000

P(X>3050)=l-P(X<3050)=1-0)=1-0(1)

5()

=1-0.8413=0.1587

2.已知某城市初生嬰兒的身高(單位：厘米)基本服從正態分布，即乂~

/V(50,32),如果從數千個該城市一周歲幼童中隨機抽取4個孩子作為樣本測量他

們的身高,并計算樣本均值,共抽取150次.問：有多少個樣本均值為53厘米

或更高?

解：根據中心極限定理，G~N(50,—),

4

(53_cn、

P(X>53)=1-P(X<53)=1-O~~~=1一①(2)=1—0.9772=0.0228

I3/V4)

即這15()個樣本中均值為53厘米或更高的期望個數為0.0228xl5()a3個。

3.某蔬菜合作社1500戶農戶，上周平均銷售額〃=3100元，標準差。=350

元。現隨機抽取49戶作為隨機樣本，問：該樣本在上周平均銷售額低于3000

元的概率是多少？

解：由于〃=49>30,根據中心極限定理，該樣本平均銷售額又近似服從

3502

N⑶00,玄)。

3000-3100

P(X<3000)=①=O(-2)=1-①(2)=1-0.9772=0.0228

350/7

即這個樣本在上周平均銷售額低于3000元的概率只有2.28%。

4.拋擲一枚均勻的硬幣12()次，正面出現的次數占40%到60%的概率為多

少？

解：拋擲一枚均勻的硬幣120次可以看作從拋擲一枚硬幣的所有結果這一無

限總體中隨機抽取的一個樣本。總體中正面出現的概率P=0.5,根據樣本頻率

的抽樣分布，可得：

P(l—P)0.5x(1-0.5)

-----=---------=O.OOZ

p?NQ5,0.002)

>八“/一、不/0.6-0.5)小(0.4-0.51

P(0.4<p<0.6)=0)/一①.

(V0.002)(V0.002)

=0(2.24)中(2.24)=20(2.24)1=2x0.98751=0.975

即拋擲一枚均勻的硬幣120次，正面出現的次數占40%到60%的概率為0.975。

5.在某市考上大學的應屆畢業生中隨機抽取容量為500人的樣本進行調查，

發現女同學有286人,則這樣抽取的容量為500的隨機樣本中考上大學的女同學

所占比例的標準差為多少？

解：由題意得p=286/500=0.572。

根據中心極限定理，大樣本情況下，樣本頻率P~N(肛型二艱)。由于總體

n

頻率未知，用樣本頻率代替。所以這樣抽取的容量為500的隨機樣本中考上大學

的女同學所占比例的標準差為:

0.572x(1-0.572)=0.022二2.2%

500

6.已知某地區9歲男童的體重(單位:公斤)基本服從正態分布X~7V(32,22),

現隨機抽取容量為100的該地區9歲男童組成樣本，問：樣本方差分布的均值與

標準差分別為多少？

解：由題意得：，=100,cr2=22=4o

在總體服從正態分布的情況下，?爐(〃一1)

/空跖=〃_1=91%2)="1

即樣本方差分布的均值頊S2)=〃=4

2

￡>5：產'=2(?_i)^^ZlL￡>(s)=2(n-l)

即樣本方差分布的方差D(S2)=—cr4=-----x24=0.3232

n—\100-1

所以，樣本方差分布的標準差為瘋變到=().57。

第8章參數估計

1.從一個總體中采用放回抽樣的方法抽出一個容量為5()的樣本，樣本均值

為25,樣本標準差為2,求總體均值〃的95%的置信區間。

解：由題意可知,

n=50>30,元=25,s=2,a=0.05。

大樣本情況下，總體均值〃的置信區間為x-za/2-^,x+zaf2^

查表得Zoo25=1.96,代入數據得，

25-1.96x3,25+1.96x3

V50V50J

計算得置信區間為［24.45,25.55］o

2.從總體中抽取一個〃=100的簡單隨機樣本，得到了=104,樣本標準差

s=85,要求：

（1）構建總體均值〃的90%的置信區間。

（2）構建總體均值〃的95%的置信區間。

（3）構建總體均值"的99%的置信區間。

（4）觀察置信度對置信區間的影響

解：樣本容量〃=10030,為大樣本情況，總體均值〃的置信區間為

又一Za/2^，又+Za/2^］。

（1）計算總體均值JJ的90%的置信區間。

?=0.1,查表得405=1.64,代入數據得，

104-1.64x-^=,104+1.64x-^=

_Vioo7155」

計算得置信區間為［90.06/17.94］o

（2）計算總體均值〃的95%的置信區間。

a=0.05,查表得%025二1?96,代入數據得，

104—1.96xJJ04+1.96xJ

LViooViooJ

計算得置信區間為［87.34,120.66］。

（3）計算總體均值〃的99%的置信區間。

a=0.01,查表得％0G5=2.58,代入數據得，

104—2.58x/,104+2.58x/

_V100ViooJ

計算得置信區間為［82.07,125.93］.

(4)通過(1)(2)(3)的結果可見，置信度越高，估計的可靠性越強，但

置信區間隨之變寬，精確性變差。

3.利用下面的信息，構建總體均值〃的置信區間：

(1)總體服從正態分布，s=50,H=15,X=8OOO,,置信度為95%。

(2)總體不服從正態分布，5=50,=64,7=8000,,置信度為95%。

解：(1)總體服從正態分布，標準差未知，總體均值〃的置信區間為

又一卡，又+%25］。

查表得%2(〃T)=，0.025(14)=2.145,

代入數據得，

80(H)-2.145x卷,80()0+2.145x器

_V15V15J

計算得置信區間為［7972.3,8027.7］。

(2)樣本容量〃=64〉30,屬于總體方差未知的大樣本情況，總體均值〃的

置信區間為X-Za/2-^=,X+ZM2苧］，

查表得2。必二1-96,代入數據得，

x±za/2-^==8000-1.96x—,8000+1.96x—

-\JnL88_

計算得置信區間為［7987.75,8012.25］。

4.為檢驗產品的豆量，某企業質檢人員每天從當天產品中隨機抽取12包過

秤檢驗。某天秤得的重量如下：

抽檢結果單位：千克

9.910.110.310.410.510.29.79.810.110.09.810.3

假定重量服從正態分布，請根據此數據估計該產品平均重量的95%的置信區

間。

解：由題意可知，〃=12,a=0.05,總體方差未知時正態總體均值的置信

區間為X-ta/2

計算可得工=10.1,s=0.26,查表得fog。1）=2201,

代入數據得,

10.1-2.201x黑,10.1+2.201x0.26]

正_|'

計算得該產品平均重量的95%的置信區間為[9.93,10.27]千克。

5.為了解購買保濕護膚產品顧客的平均年齡，某品牌化妝品隨機抽取購買

保濕護膚產品的16位顧客進行調查，得到樣本均值為30歲，樣本標準差為8

歲，假定顧客的年齡近似服從正態分布，試求購買保濕護膚產品顧客平均年齡的

置信度為95%的置信區間。

解：由題意可知，/?=16,x=30,5=8>a=0.05,總體方差未知時正態

-2卡,

總體均值的置信區間為

查表得43（15）=2.131,

代入數據得,

Q

30-2.131x>,30+2.131x

計算得購買保濕護膚產品顧客的平均年齡置信度為95%的置信區間為

[26,34]歲。

6.某高校從總體中隨機抽取了200人組成樣本，對其曠課原因進行問卷調

查。有60人說他們曠課是由于任課教師講課枯燥。請對由于這種原因而曠課的

學生的比例構造95%的置信區間。

解：由題意可知，n=200,〃=〃]/〃=60/200=0.3,a=0.05。

n]=60>5,n2=200-60=140>5,符合對總體比例估計的大樣本要求。

總體比例的的置信區間為P-Z'all,P+Z

查表得z°g=L96,代入數據得,

0.3-1.96x0.3+1.96X

計算得這種原因曠課的學生比例的置信區間為［0.24,0.36］。

7.從兩個正態總體中抽取兩個獨立的隨機樣本，它們的均值和標準差如下

表所示：

兩個樣本的均值與標準差

來自總體1的樣本來自總體2的樣本

X,=35元2=30

5；=12s；=18

要求：(1)已知“=%=100,求從-〃2的95%的置信區間

(2)已知％=10,〃2=20,求必-人的95%的置信區間

(3)已知,=,t2=10,求〃］-外的95%的置信區間

解：(1)嗎=%=100>30屬于大樣本情況，總體均值差的置信區間為:

查表得z°ss=1.96,代入數據得,

(35-30)-l.96x.—+—,(35-30)+1.96X.—+—,

'7V100100v)V100100

計算得置信區間為［3.93,607］。

(2)屬于正態總體方差未知但相等的小樣本事件，總體均值差的置信區間

為

(不2)-％2$卬+，,(不-》2)+%2sx4+L

c2_(%-l)s；+(%一1)$_(10-1)x12+(20-1)x18/一

S\y———10.V/

(4+%-2)(10+20-2)

查表得八025(10+20-2)=2.048,代入數據得,

（35-30）-2.048xJl6.07x^+^J（35-30）+2.048xJl6.07'（'+'

計算得置信區間為［1.82,8.18］。

（3）屬于正態總體方差未知但樣本相等的小樣本情況，總體均值差的置信

區間為

（元一鼠）一%2,工*~+上，（無~.）+2*」

%丫〃I〃2」

2=(勺(10_l)xl2+(10_l)xl8

懵一(勺+%一2)~-(10+10-2)

查表得QO25（10+10-2）=2.101,代入數據得,

rII>11

(35-30)-2.101x15x—J,(35-30)+2.101x/15xio+lo

計算得置信區間為［1.36,8.64］。

或者，當了=%時,

11]=(勺-1訴+(4一1局(11'

nJ(勺+%-2)n2>

s：+s：2s；+s；2s；s；

----------?—=+——

2/?!2/?2勺n-,

卜史

(35-30)-2.l()lx+(35-30)+2.101xJ^1°

計算得置信區間仍為［1.36,8.64］。

8.為調查甲乙證券公司投資者的投資存款額，分別從兩家證券公司抽取由

64名投資者組成的隨機樣本，樣本均值分別為45萬元和32.5萬元，標準差分別

為9.2萬元和9.6萬元°試求這兩個訐券公司投資者平均投資存款額之差4-4的

置信度為95%