北京市朝陽區2023年九上數學期末學業質量監測試題

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5亳米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置.

3.請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05亳米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題(每題4分，共48分)

1.某廠2017年產值3500萬元，2019年增加到5300萬元.設平均每年增長率為X,則下面所列方程正確的是()

A.35(X)(l+x)=53(X)B.53(X)(l+x)=35(X)

C.5300(1+x)2=3500D.3500(1+x)2=5300

2.已知關于x的方程必?1+機=0的一個根是3,則另一個根是()

A.-6B.6C.-2D.2

3.設a、b是一元二次方程X?-2x-1=0的兩個根，貝!Ia?+a+3b的值為()

A.5B.6C.7D.8

4.書架上放著三本古典名著和兩本外國小說，小明從中隨機抽取兩本，兩本都是古典名著的概率是()

49八3I

A.—B.—C.—D.—

25251()10

5.二次函數y=化為y=/?『+%的形式，結果正確的是()

I1

A.y=y(x+3)9~-2B.y=—(x-3)?+2

i,I,

C.y=-(x-3)~-2D.y=—(x+3)+2

6.方程(〃z-1)V+2〃a-3=0是關于x的一元二次方程，則()

A.〃，工±1B.m=1C.加工一1D.加工1

7.如圖，已知中，NC=90。，AC=BC=41t將△ABC繞點力順時針方向旋轉60。得到△4丁。的位置,

連接CB,則CB的長為()

n

A.2一&B.—C.6一1D.1

2

8.如圖，PA.PH是。O切線，4、8為切點，點。在。。上，且NACB=55。，則NAPB等于（）

A.55°B.70°C.110°D.125°

9.已知戶3是關于x的一元二次方程4-2x-〃=0的根，則該方程的另一個根是（）

A.3B.-3C.1D.-1

10.己知銳角a,且sin?=cos38°,貝!1a=（）

A.38°B.62°C.52°D.72°

11.如圖所示，在半徑為10cm的中，弦A5=16cm,OCLA〃于點C,則。C等于（）

12.《孫子算經》中有一道題：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”

譯文大致是：“用一根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺；將繩子對揖再量木條，木條剩余1尺，問木條長多少尺？”

如果設木條長x尺，繩子長）'尺，可列方程組為（）

x-y=4.5（y-x=4.5fx-y=4.5y-x=4.5

A.yB.<XC.SXD.

x-^=\y——=1y——=1x_Z=i

2I2I-22

二、填空題（每題4分，共24分）

13.一天晚上，小偉幫助媽媽清洗兩個只有顏色不同的有蓋茶杯，突然停電了，小偉只好把杯蓋和茶杯隨機地搭配在

一起，貝!顏色搭配正確的概率是____.

14.己知￡=2=2工0,則馬上的值為.

15.如圖，已知NA8C是直角，在射線上取一點。為圓心、,8。為半徑畫圓，射線繞點3順時針旋轉

2

__________度時與圓。第一次相切.

16.如圖，圓錐的底面半徑O8=6cm,0C=8cmf則該圓錐的側面積是<

17.若方程X2一4%+1=（）的兩根與毛，則再（1+9）+9的值為.

18.如圖，半圓。的半徑為4,初始狀態下其直徑平行于直線/?現讓半圓。沿直線/進行無滑動滾動，直到半圓。的

直徑與直線/重合為止.在這個滾動過程中，圓心。運動路徑的長度等于.

三、解答題（共78分）

19.（8分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC,BD相交于點O,E是CD的中點，連接過點C作CF〃BD交

OE的延長線于點F,連接DF.

求證：（1）AODE^AFCE;

（2）四邊形OCFD是矩形.

20.（8分）綜合與實踐

問題情境

數學課上，李老師提出了這樣一個問題：如圖1,點〃是正方形4〃8內一點，/%=1,『8=2,PC=3.你能求

出的度數嗎？

（1）小敏與同桌小聰通過觀察、思考、討論后，得出了如下思路：

思路一：將ABPC繞點4逆時針旋轉90，得到MP'A,連接夕產，求出NA08的度數.

思路二：將AAP8繞點6順時針旋轉90，得到△CP3,連接PPL求出NAP3的度數.

請參考以上思路，任選一種寫出完整的解答過程.

類比探究

⑵如圖2,若點〃是正方形43。外一點，PA=3tPB=1,PC=Ji7,求NA依的度數.

拓展應用

⑶如圖3,在邊長為近的等邊三角形ABC內有一點。，ZAOC=90,ZBOC=120，則AAOC的面積是，

21.（8分）如圖，在正方形A8CO中，E為邊A。的中點，點F在邊CD上,且NBEF=90。,延長所交8。的

延長線于點G.

（1）求證：△ABESAEGB.

（2）若A8=6,求CG的長.

22.（10分）甲口袋中裝有2個相同的小球，它們分別寫有數字1和2；乙口袋中裝有3個相同的小球，它們分別寫有

數字3,4和1.利用畫樹狀圖或列表求下列事件的概率.

（1）從兩個口袋中各隨機取出1個小球，恰好兩個都是奇數；

（2）若丙口袋中裝有2個相同的小球，它們分別寫有數字6和7,從三個口袋中各隨機取出一個小球，恰好三個都是

奇數.

23.（10分）如圖，在AABC中，AD是BC邊上的高，tanB=cosZDAC.

（1）求證：AC=BD；

12

(2)若sinC=一BC=12,求AABC的面積.

13

fztAnc

24.（10分）今年我縣為了創建省級文明縣城，全面推行中小學校“社會主義核心價值觀”進課堂.某校對全校學生進

行了檢測評價，檢測結果分為A（優秀）、4（良好）、。（合格）、。（不合格）四個等級.并隨機抽取若干名學生的檢測結

果作為樣本進行數據處理，制作了如下所示不完整的統計表和統計圖.

請根據統計表和統計圖提供的信息，解答下列問題：

（1）本次隨機抽取的樣本容量為;

（2）統計表中。=,b=.

（3）若該校共有學生5000人，請你估算該校學生在本次檢測中達到"A（優秀廣等級的學生人數.

25.（12分）為了加強學校的體育活動，某學校計劃購進甲、乙兩種籃球，根據市場調研發現，如果購進甲籃球2個

和乙籃球3個共需270元；購進甲籃球3個和乙籃球2個共需230元.

（1）求甲、乙兩種籃球每個的售價分別是多少元？

（2）為滿足開展體育活動的需求，學校計劃購進甲、乙兩種籃球共100個，由于購貨量大，和商場協商，商場決定甲

籃球以九折出售，乙籃球以八折出售，學校要求甲種籃球的數量不少于乙種籃球數量的4倍，甲種籃球的數量不多于

90個，請你求出學校花最少錢的進貨方案；

（3）學校又拿出省下的290元購買跳繩和毯子兩種體育器材，跳繩10元一根，璉子5元一個，在把錢用盡的情況下,

有多少種進貨方案？

26.已知：AB為。O的直徑.

（1）作OB的垂直平分線CD,交。O于C、D兩點；

（2）在（1）的條件下，連接AC、AD,則4ACD為三角形.

B

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1、D

【分析】由題意設每年的增長率為x,那么第一年的產值為3500(1+x)萬元，第二年的產值3500(1+x)(1+x)萬元,

然后根據今年上升到5300萬元即可列H方程.

【詳解】解：設每年的增長率為x,依題意得

3500(1+x)(1+x)=5300,

即3500(1+*2=5300.

故選：D.

【點睛】

本題考查列出解決問題的方程，解題的關鍵是正確理解“利潤每月平均增長率為x”的含義以及找到題目中的等量關

系.

2、C

【分析】由于已知方程的二次項系數和一次項系數，所以要求方程的另一根，可利用一元二次方程的兩根之和與系數

的關系.

【詳解】解：設。是方程x-5x+A=0的另一個根，

則。+3=1,

即a=-1.

故選：C.

【點睛】

此題主要考查一元二次方程的根，解題的關鍵是熟知一元二次方程根與系數的關系.

3、C

【分析】根據根與系數的關系可得a+b=2,根據一元二次方程的解的定義可得a2=2a+L然后把a?+a+3b變形為

3(a+b)+1,代入求值即可.

【詳解】由題意知，a+b=2,a2-2a-l=0,即a2=2a+L

則a2+a+3b=2a+l+a+3b=3(a+b)+I=3x2+l=l.

故選C.

【點睛】

本題考查了根與系數的關系及一元二次方程的解，難度適中，關鍵掌握用根與系數的關系與代數式變形相結合進行解

題.

4、C

【分析】畫樹狀圖(用A、B、C表示三本古典名著，a、b表示兩本外國小說)展示所有20種等可能的結果數，找出

從中隨機抽取2本都是古典名著的結果數，然后根據概率公式求解.

【詳解】解：圓樹狀圖為：(用A、B、C表示三本古典名著，a、b表示兩本外國小說)，

共有20種等可能的結果數，其中從中隨機抽取2本都是古典名著的結果數為6,

所以從中隨機抽取2本都是古典名著的概率=4=磊.

故選：C.

【點睛】

本題考查了樹狀圖法或列表法求概率，解題的關鍵是正確畫出樹狀圖或表格，然后用符合條件的情況數6除以所有等

可能發生的情況數〃即可，即2=%.

n

5^A

【分析】將選項展開后與原式對比即可；

222

【詳解】A：y=-(x+3)-2=1X4-3X+--2=1X+3X+-,故正確；

B：y=-(x-3]2+2=-x2-3x+-+2=-x2-3x+—,故錯誤；

2''2222

C：y=-(x-3)2-2=-X2-3X+--2=—X2-3X+—,故錯誤；

"2'’2222

I,1o11Q

D：y=—(x+3)~+2=—X2+3X+—+2=—X2+3X+—,故錯誤；

”2''2222

故選A.

【點睛】

本題主要考查了二次函數的三種形式，掌握二次函數的三種形式是解題的關鍵.

6、D

【分析】根據一元二次方程的定義，得到關于〃7的不等式，解之即可.

【詳解】解：根據題意得：

m-\工()，

解得：〃1工1,

故選。.

【點睛】

本題考杳一元二次方程的定義，解題關鍵是正確掌握一元二次方程的定義.

7、C

【分析】如圖，連接BB，，延長BC咬AB，于點D,證明△ABCSZiITB。，得到NDBB，=NDBA=30。；求出BD、CD

的長，即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接BB，，延長BC交AB，于點D,

由題意得：ZBABr=60°,BA=B'A,

???△ABB，為等邊三角形,

，NABB'=60。，AB=B'B；

在AABC'與AlTBC'中,

AC'=B'C'

AB=B'B

BC'=BC

/.△ABC,^AB,BC,(SSS),

，NDBB'=NDBA=30°,

/.BD±AB%且AD=B'D,

?；AC=BC=6,

二AB'=AB=ylACr+BCI=41+2=2^

22

：.AD=^-AB=\tBD=yjAB-AD==43?DC'=^AB'=1,

BC=BD-DC'=6-1,

故選：C.

【點睛】

本題考查旋轉的性質，全等三角形的性質和判定，等邊三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，直角三角形斜

邊上的中線.作輔助線構造出全等三角形并求出BC在等邊三角形的高上是解題的關鍵，也是本題的難點.

8、B

【分析】根據圓周角定理構造它所對的弧所對的圓心角，即連接OA,OB,求得NAOB=110。，再根據切線的性質以

及四邊形的內角和定理即可求解.

【詳解】解：連接OA,OB.

VPA,PB是OO的切線，

.\PA±OA,PB_LOB,

VZACB=55°,

/.ZAOB=110°,

，NAPB=36()o-90o-90o-110°=70°.

【點睛】

本題考有了多邊形的內角和定理，切線的性質，圓周角定理的應用，關鍵是求出NAOB的度數.

9、D

【分析】設方程的另一根為/,根據根與系數的關系得到3+，=2,然后解關于/的一次方程即可.

【詳解】設方程的另一根為f,

根據題意得3+f=2,

解得t=-1.

即方程的另一根為-L

所以。選項是正確的.

【點睛】

K,、

本題考查了根與系數的關系：X1,X?是一元二次方程ax2+bx+c=o(〃wo)的兩根吐^+^=--,^2=-

10、C

【分析】根據一個角的正弦值等于它的余角的余弦值求解即可.

【詳解】Vsina=cos38°,

Z.a=90o-38o=52o.

故選C.

【點睛】

本題考查了銳角三角函數的性質，掌握正余弦的轉換方法：一個角的正弦值等于它的余角的余弦值.

11、D

【分析】根據垂徑定理可知AC的長，再根據勾股定理即可求出OC的長.

【詳解】解：連接。4,如圖：

*：AB=16cmtOC±ABf

，AC=—AB=8cm,

2

在RSOAC中，OC=yJoA1-AC2=V102-82=6(cm)，

本題考查的是垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理，構造出直角三角形是解答此題的關鍵.

12、D

【分析】根據“一根繩子去量一根木條，繩子剩余4?5尺”可知：繩子一木條=4.5,再根據“將繩子對折再量木條，木條

剩余1尺”可知：木條一!繩子=1,據此列出方程組即可.

2

y-x=4.5

【詳解】由題意可得，y..

故選：D.

【點睛】

本題考查二元一次方程組的實際應用，解題的關鍵是明確題意，找出等量關系，列出相應的二元一次方程組.

二、填空題(每題4分，共24分)

13>-

2

【解析】分析：根據概率的計算公式.顏色搭配總共有4種可能，分別列出搭配正確和搭配錯誤的可能，進而求出各

自的概率即可.

詳解：用A和a分別表示第一個有蓋茶杯的杯蓋和茶杯；

用B和b分別表示第二個有蓋茶杯的杯蓋和茶杯、經過搭配所能產生的結果如下：

所以顏色搭配正確的概率是二.

2

故答案為：

2

點睛：此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那

么事件A的概率P(A)=-.

n

14.3

2

【分析】令連等式的值為k,將a、b、C全部轉化為用k表示的形式，進而得出比值.

【詳解】令;二g=/二k

456

則a=6k,b=5k,c=4k

b+c5k+4k3

貝U-------=----------=—

46k2

3

故答案為：--

2

【點睛】

本題考查連比式的應用，是一類比較常見的題型，需掌握這種解題方法.

15、60

【分析】根據題意，畫出旋轉過程中，與圓相切時的切線BAi,切點為D,連接OD,根據切線的性質可得NODB=90。，

然后根據已知條件，即可得出NOBD=30°,從而求出旋轉角NABAi.

【詳解】解：如下圖所示，射線BAi為射線與圓第一次相切時的切線，切點為D,連接OD

/.ZODB=90°

根據題意可知，OD=\BO

2

.,.ZOBD=30°

，旋轉角：ZABAi=ZABC-ZOBD=60°

故答案為：60

【點睛】

此題考查的是切線的性質和旋轉角，掌握切線的性質是解決此題的關鍵.

16、607r

【分析】先利用勾股定理求出BC的長度，然后利用扇形的面積公式求解即可.

【詳解】解：:它的底面半徑OR=6ca高OC=8cm

:?BC=yjoB2+OC2=V62+82=10(c〃)

，圓錐的側面積是：—Ijiri=/rrl=7r-6x\0=607r(cm1).

2

故答案為：607r.

【點睛】

本題主要考查勾股定理及扇形的面積公式，掌握勾股定理及扇形的面積公式是解題的關鍵.

17、1

【分析】根據根與系數的關系求出西+9，西了2代入即可求解.

【詳解】??,內,占是方程％2一4%+1=0的兩根

.bc

/.4-X.=.—=4,X[W=—=1

a-a

XX

*.內(1+J2)+X2=X]+x]x2+/=玉+々+\2=4+1=1,

故答案為：1.

【點睛】

bc

此題主要考查根與系數的關系，解題的關鍵是熟知百十七=一，玉"2=一的運用?

aa

18、4乃

【分析】由圖可知，圓心。運動路徑的長度主要分兩部分求解，從初始狀態到垂直狀態，圓心一直在一條直線上；從

垂直狀態到重合狀態，圓心運動軌跡是1圓周，計算兩部分結果，相加即可.

4

【詳解】由題意知：半圓。的半徑為4,

，從初始狀態到垂直狀態，圓心。運動路徑的長度=，倉叨，4=2/，.

4

???從垂直狀態到重合狀態，圓心。運動路徑的長度=，創即4=2/7.

4

即圓心0運劭路徑的總長度二2P+2P=4p.

故答案為47r.

【點睛】

本題主要考查了弧長公式和圓周公式，正確掌握弧長公式和圓周公式是解題的關鍵.

三、解答題(共78分)

19、(1)詳見解析；(2)詳見解析

【分析】(1)根據題意得出NOOE=NCEE,DE=CE,根據AAS即可證明；

(2)由(1)可得到OD=R?,再根據菱形的性質得出/。。。=90‘，即可證明平行四邊形是矩形.

【詳解】證明：(1)?；CF〃BD,

;./DOE=NCFE,.

E是CO中點，:.DE=CE,

又QEO=/CEF

/.AODEsAFCE(AAS)

(2)NODE=MCE,

:.OD=FCt.

?;CF//BD,

...四邊形oc五。是平行四邊形，

平行四邊形A6CD是菱形，

ZDOC=90°.

???平行四邊形OC五&是矩形.

【點睛】

此題考查矩形的判定和全等三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，解題關鍵在于利用全等三角形的性質進行解答.

20、(1)ZAPB=135°,(2)ZAPB=45°；(3)73.

【分析】⑴思路一、先利用旋轉求出NPBP=90。，BP=BP=2,AP'=CP=3,利用勾股定理求出PP',進而判斷出△APP,

是直角三角形，得出NAPP=90。，即可得出結論；

思路二、同思路一的方法即可得出結論；

（2）將MFC繞點3逆時針旋轉9（）,得到MP'A,連接。戶，然后同Q）的思路一的方法即可得出結論；

（3）可先將△APB繞點A按逆時針方向旋轉60。，得到AAPC,根據旋轉性質，角的計算可得到AAPP是等邊三角

形，再根據勾股定理，得到AP的長，最后根據三角形面積得到所求.

【詳解】解：（1）思路一，如圖b

將繞點笈逆時針旋轉90，得到ABP'A,連接PP,

則AABP'gACBP,AP'=CP=3f

BP=BP=2,^PBP'=90，

???NB"'=45，

根據勾股定理得，P'P=6BP=2M，

???4P=1,

:.AP?”，產=1+8=9.

又???P*=32=9,

?-AP^P'P2=P,A2^

???AA"'是直角三角形，且NAPP'=90,

AZAPB=ZAPP'+ZBPP'=90+45=135;

⑵如圖2,將ABPC繞點4逆時針旋轉90，得到MPA,連接

則AA3P'gACHP,4P'=CP=而，BP'=BP=1,NPBP'=90,

；?NBPP'=45，

根據勾股定埋得，PP'=y/2BP=y/2-

?:AP=3,

???A尸+尸尸=9+2=11?

又「P'A2=(VH)2=11,

+尸，尸2=尸,42,

工A4P產是直角三角形，且NAPP=90，

,AAPB=AAPP-/BPP'=90-45=45;

(3)如圖3,將AAPB繞點A按逆時針方向旋轉60。，得到△APC,

.,.ZAP,C=ZAPB=3600-90o-12()o=150°.

VAP=AP\

???△APP是等邊三角形,

Z.PP=AP,ZAP'P=ZAPP=60°,

/.ZPP'C=90°,ZPPC=30°,

:.PP=BpC,即AP=@PC

22

VAPC=90°,

/.AP2+PC2=AC2,且+PC2=(V7)2,

APC=2,

???AP=C，

：.S^PC=-APPC=-xy/3x2=>/3.

22

【點睛】

此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，等邊三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的性質，勾股定理及

其逆定理，正確作出輔助線是解本題的關鍵.

21、（1）詳見解析；（2）1.

【分析】（1）先根據正方形的性質、直角三角形的性質得出乙48E=NG,再加上一組直角相等，根據相似三角形的

判定定理即可得證；

（2）先根據正方形的性屈、中點的性質求出AE的長.再根據勾股定理求出BE的長,最后根據相似二角形的性質、

線段的和差即可得.

【詳解】（D???四邊形ABCD為正方形，且NBEG=NBEF=90。

/.ZA=/BEG=90°,ZABC=90°

/.ZABE+ZEBG=90。,NG+ZEBG=90°

ZABE=NG

/.AA8E?\EGB；

(2),?,四邊形ABCD為正方形，AB=6

,\AD=BC=AB=6

點E為AD的中點

AE=DE=-AD=3

2

在R/A4BE中，BE=7AE2+AB2=《￥+?=3也

由(1)知，MBE\EGB

.AEBEHn33石

EBGB3有GB

...BG=\5

:.CG=BG-BC=\5-6=9

故CG的長為1.

【點睛】

本題考查了正方形的性質、勾股定理、相似三角形的判定定理與性質等知識點，較難的是題（2）,由題（1）的結論聯

系到利用相似三角形的性質是解題關鍵.

22、（1）圖表見解析，（2）圖表見解析，!

【分析】（1）通過列表可得出所有等可能的結果數與取出的兩個都是奇數的結果數，再利用概率公式求解即可;

（2）通過畫樹狀圖可得出所有等可能的結果數與取出的三個都是奇數的結果數，再利用概率公式求解即可.

【詳解】解：（1）根據題意列表如下：

乙

12

甲

3(1,3)(2,3)

4(1,4)(2,4)

1(1,1)(2,1)

由表格可得所有等可能的結果有6種，其中兩個都是奇數的可能有兩種,

21

（兩個奇數）=-=-；

63

（2）根據題意畫樹狀圖如下：

676767676767

由樹狀圖可得所有等可能的結果有12種，其中三個都是奇數的可能有兩種，

21

（兩個奇數）--=—.

126

【點睛】

本題考查的知識點是利用畫樹狀圖或列表求事件的概率，比較簡單，易于掌握.

23、（1）證明見解析；（2）AABC的面積為42.

【分析】（1）在直角三角形中，表示tan昆cosNOAC,根據它們相等，即可得出結論

（2）利用sinC=g和勾股定理表示出線段長，根據3C=12,求出AO長

【詳解】(1)???A。是田。上的高

：.AD±BC.

：.ZADB=90°,ZADC=90°.

在RtAlBO和RtAADC中，

A。A/)

VtanB=-----,cosZDAC=------

RDAC

又己知tanB=cosZDAC

.ADAD

***

：.AC=BD.

⑵在RtAAOC中，sinC=—,故可設AO=1A,AC=13A.

13

：?CD=JAC2_AD2=5A.

?；BC=BD+CD,又AC=BD,

；?BC=13k+Sk=12k

由己知BC=1,工12k=1.

：.k=-.

3

2

.*.AD=U=1x-=2,

3

24、(1)100；(2)3