專題04一元二次方程的應用（八大類型）【題型1一元二次方程應用-變化率】【題型2一元二次方程應用-傳染問題】【題型3一元二次方程應用-分支問題】【題型4一元二次方程應用-比賽問題及遷移運用】【題型5一元二次方程應用-銷售問題】【題型6一元二次方程應用-每每問題】【題型7一元二次方程應用-幾何面積問題】【題型8一元二次方程應用-幾何動態問題】【題型1一元二次方程應用-變化率】1．（2023春?鄞州區期中）某商品經過連續兩次降價，價格由100元降為64元．已知兩次降價的百分率都是x，則x滿足的方程是（）A．64（1﹣2x）＝100 B．100（1﹣x）2＝64 C．64（1﹣x）2＝100 D．100（1﹣2x）＝642．（2023?東莞市校級一模）某旅游景點8月份共接待游客25萬人次，10月份共接待游客64萬人次，設游客每月的平均增長率為x，則下列方程正確的是（）A．25（1+x）2＝64 B．25（1+x2）＝64 C．64（1﹣x）2＝25 D．64（1﹣x2）＝253.（2021·松北期末）某機械廠七月份生產零件50萬個，第三季度生產零件196萬個．設該廠八、九月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是（）A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196C．50+50（1+x）+50（1+x2）=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=1964．（2023?沭陽縣模擬）某商品原價每件75元，兩次降價后每件48元，則平均每次的降價百分率是．5.（2022秋?確山縣期中）2022年是中國共產黨建黨101周年，全國各地積極開展“弘揚紅色文化，重走長征路”主題教育學習活動，某市“紅二方面軍長征出發地紀念館”成為重要的活動基地．據了解，今年8月份該基地接待參觀人數10萬人，10月份接待參觀人數增加到12.1萬人．（1）求這兩個月參觀人數的月平均增長率；（2）按照這個增長率，預計11月份的參觀人數能否突破13.5萬人？6．（2023?郴州）隨旅游旺季的到來，某景區游客人數逐月增加，2月份游客人數為1.6萬人，4月份游客人數為2.5萬人．（1）求這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率；（2）預計5月份該景區游客人數會繼續增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率．已知該景區5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數最多是多少萬人？【題型2一元二次方程應用-分支問題】7．（2022秋?青川縣期末）某數學活動小組在開展野外項目實踐時，發現一種植物的主干長出若干數目的枝干，每個枝干又長出同樣數目的小分枝，主干、枝干和小分枝的總數是31，則這種植物每個枝干長出的小分支個數是（）A．4 B．5 C．6 D．78．（2022秋?澄海區期末）某校“生物研學”活動小組在一次野外研學實踐時，發現某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支．若主干、支干和小分支的總數是91，求這種植物每個支干長出的小分支個數是多少？【題型3一元二次方程應用-傳染問題】9．（2022春?南譙區校級期中）新冠肺炎病毒是一種傳染性極強的急性呼吸道傳染病，感染者的臨床以發熱、乏力、干咳為主要表現．在“新冠肺炎”疫情初期，有1人感染了“新冠肺炎病毒”，如若得不到有效控制，經過兩輪傳染后共有196人感染了“新冠肺炎病毒”，則每輪傳染中平均一個人傳染了（）A．12人 B．13人 C．14人 D．15人10．（2023?興慶區校級一模）有一個人患流感，經過兩輪傳染后共有81個人患流感，每輪傳染中平均一個人傳染幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染x個人，可到方程為（）A．1+2x＝81 B．1+x2＝81 C．1+x+x2＝81 D．（1+x）2＝8111．（2022秋?沈丘縣月考）若有2個人患了流感，經過兩輪傳染后共有50人患了流感（這2個人在第二輪傳染中仍有傳染性），則每輪傳染中平均一個人傳染人．12．（2023?城關區一模）有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有169人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了人．13.（2022秋?天河區校級期末）截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中國已經得到有效控制，但在全球卻持續蔓延，這是對人類的考驗，將對全球造成巨大影響．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進行有效隔離，經過兩輪傳染后共有196人患新冠肺炎，求每輪傳染中平均每個人傳染了幾個人？14．（2022秋?甘井子區校級期末）有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有144個人患了流感．（1）每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（2）如果按照這樣的傳染速度，經過三輪傳染后共有多少個人患流感？【題型4一元二次方程應用-比賽問題及遷移運用】15．（2023?東莞市二模）2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環比賽，單循環比賽共進行了45場，共有多少支隊伍參加比賽？（）A．7 B．8 C．9 D．1016.（2021秋?虎林市校級期末）2021年虎林市教育局組織開展了全市中學生籃球聯賽，比賽采用單循環賽制（每兩隊之間進行一場比賽），共進行了66場比賽，則參加比賽的隊伍數量是（）A．10 B．11 C．12 D．1317.（2022?黑龍江模擬）某校八年級組織籃球賽，若每兩班之間賽一場，共進行了28場，則該校八年級有（）個班級．A．8 B．9 C．10 D．1118．（2023?惠東縣一模）2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環比賽，單循環比賽共進行了45場，則本次比賽共有參賽隊伍（）A．8支 B．9支 C．10支 D．11支19．（2022秋?于洪區期末）一次會議上，每兩個參加會議的人都相互握了一次手．有人統計一共握了66次手，這次會議到會的人數有多少人（）A．8 B．10 C．12 D．1420．（2022秋?南平期中）生物興趣小組的學生，將自己收集的標本向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了182件，那么全組有（）名同學．A．12 B．13 C．14 D．1521．（2022秋?和平區期末）一次會議上，每兩個參加會議的人都相互握了一次手，經統計所有人一共握了10次手，則這次會議到會的人數是人．22．（2022秋?荔灣區校級期末）卡塔爾足球世界杯小組賽，每兩隊之間進行一場比賽，小組賽共進行了6場比賽，則該小組有支球隊．23．（2023春?安徽月考）網課期間小夏寫了封保護眼睛的倡議書，用微博轉發的方式傳播，設計了如下轉發規則：將倡議書發表在自己的微博上，然后邀請x個好友轉發，每個好友轉發之后，又邀請x個互不相同的好友轉發，已知經過兩輪轉發后，共157人參與了此次活動，則x為人．24．（2022秋?蔚縣校級期末）一個小組有若干人，新年互送賀卡一張，共送賀卡72張，共有人．25．（2023春?肇源縣月考）某校九年級學生畢業時，每個同學都將自己的相片向全班其他同學各送一張留作紀念，全班共送了1640張相片，全班有多少名學生？26．（2022秋?白云區期末）一次足球聯賽，賽制為雙循環形式（每兩隊之間都賽兩場），共要比賽90場，共有多少個隊參加比賽？【題型5一元二次方程應用-銷售問題】27．（2023春?鹽都區月考）某商店分別花20000元和30000元先后兩次以相同的進價購進某種商品，且第二次的數量比第一次多500千克．（1）該商品的進價是多少？（2）已知該商品每天的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的函數關系式為：y＝﹣10x+500，若想銷售該商品每天獲利2000元，該商店需將商品的售價定為多少？28．（2023?西鄉塘區校級模擬）當今社會，“直播帶貨”已經成為商家的一種新型的促銷手段．小亮在直播間銷售一種進價為每件10元的日用商品，經調查發現，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足一次函數關系，它們的關系如下表：銷售單價x（元）202530銷售量y（件）200150100（1）求y與x之間的函數關系式；（2）該商家每天想獲得2160元的利潤，又要盡可能地減少庫存，應將銷售單價定為多少元？29．（2023?福田區校級二模）冰墩墩是2022年北京冬季奧運會的吉祥物．某商場以20元/臺的價格購進一批冰墩墩玩偶出售，在銷售過程中發現，其日銷售量y（單位：只）與銷售單價x（單位：元）之間存在如圖所示的函數關系．（1）求y與x的函數關系式；（2）若物價局規定，產品的利潤率不得超過60%，該商場銷售冰墩墩玩偶每天要想獲得150元利潤，銷售單價應定為多少？30．（2023?中山市一模）某超市以每千克40元的價格購進菠蘿蜜，計劃以每千克60元的價格銷售，為了讓顧客得到實惠．現決定降價銷售，已知這種菠蘿蜜銷售量y（千克）與每千克降價x（元）（0＜x＜20）之間滿足一次函數關系，其圖象如圖所示．（1）求y與x之間的函數關系式．（2）若超市要想獲利2400元，且讓顧客獲得更大實惠，這種菠蘿蜜每千克應降價多少元？31．（2022秋?九龍坡區期末）某圖書店在2022年國慶節期間舉行促銷活動，某課外閱讀書進貨價為每本8元，標價為每本15元．（1）該圖書店舉行了國慶大回饋活動，連續兩次降價，每次降價的百分率相同，最后以每本9.6元的價格售出，求圖書店每次降價的百分率；（2）在九月底該書店老板去進貨該書500本，按照（1）兩次降價后的價格在國慶節全部售出；國慶節后老板去進貨發現進貨價上漲了a%，進貨量比九月底增加3a%，以標價的八折全部售出后，比國慶節的總利潤多1200元，求a%的值．32．（2022秋?平遙縣期末）某商店通過網絡在一源頭廠家進一種季節性小家電，由于疫情影響以及市場競爭，該廠家不得不逐年下調出廠價；（1）2019年這個小家電出廠價是每臺62.5元，到2021年同期該品牌小家電出廠價下調為40元，若每年下調幅度相同，請你計算該小家電出廠價平均每年下調的百分率；（2）若明年商場計劃按每臺40元購一批該品牌小家電，經市場預測，銷售定價為50元時，每月可售出500臺，銷售定價每增加1元，銷售量將減少10臺．因受庫存的影響，每月進貨臺數不得超過300臺；商家若希望月獲利8750元，則應進貨多少臺？銷售定價多少元？33．（2023?桂林一模）小王計劃經營某種時尚產品的專賣店，已知該產品的進貨價為70元/件，售價不能低于80元/件，專賣店每月有800元的固定成本開支，根據市場調研，產品的銷售量y（件）隨著產品的售價x（元/件）的變化而變化，銷售量y與售價x之間的部分對應關系如表：售價x（元/件）80828486…銷售量y（件）500490480470…（1）求銷售量y（件）與售價x（元/件）的函數關系式；（2）小王預計每月盈利8200元，為盡可能讓利于顧客，則該產品的售價每件應定為多少元？34．（2022秋?通川區期末）為了滿足社區居民強身健體的需要，政府準備采購若干套健身器材免費提供給社區，經過考察了解，飛躍公司有A，B兩種型號的健身器材可供選擇，已知飛躍公司2020年每套A型健身器材的售價為2.5萬元，2020年每套B型健身器材的售價為2萬元，2022年每套A型健身器材售價為1.6萬元，每套A型，B型健身器材的年平均下降率相同．（1）求2020年到2022年每套A型健身器材年平均下降率；（2）2022年政府經過招標，決定年內采購并安裝飛躍公司A，B兩種型號的健身器材共80套，政府采購專項經費總計不超過115.2萬元，并且采購A型器材費用不能少于B型器材的費用，請求出所需經費最少的采購方案．35．（2023?撫州一模）某超市經銷一種商品，每千克成本為30元，經試銷發現，該種商品的每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）滿足一次函數關系，其每天銷售單價，銷售量的四組對應值如表所示：銷售單價x（元/千克）40455560銷售量y（千克）80705040（1）求y（千克）與x（元/千克）之間的函數表達式；（2）若商店按銷售單價不低于成本價，且不高于60元的價格銷售，要使銷售該商品每天獲得的利潤為800元，求每天的銷售量應為多少千克？36．（2022春?萊蕪區期末）某農戶生產經營一種農產品，已知這種農產品的成本價為每千克20元，經市場調查發現，該產品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）之間滿足一次函數關系，其圖象如圖所示．（1）求y與x之間的函數關系式；（2）該農戶想要每天獲得150元的利潤，又要讓利消費者，銷售價應定為每千克多少元？【題型6一元二次方程應用-每每問題】37．（2023春?沙坪壩區校級月考）將進貨價格為38元的商品按單價45元售出時，能賣出300個．已知該商品單價每上漲1元，其銷售量就減少5個．設這種商品的售價上漲x元時，獲得的利潤為2300元，則下列關系式正確的是（）A．（x﹣38）（300﹣5x）＝2300 B．（x+7）（300+5x）＝2300 C．（x﹣7）（300﹣5x）＝2300 D．（x+7）（300﹣5x）＝230038．（2023?朝陽二模）世界讀書日是在每年的4月23日，“世界圖書日”設立目的是推動更多的人去閱讀和寫作，希望所有人都能尊重和感謝為人類文明做出過巨大貢獻的文學、文化、科學、思想大師們，保護知識產權．某批發商在世界讀書日前夕，訂購了一批具有紀念意義的書簽進行銷售，平均每天可售出500張，每張可獲利0.5元．調查發現，如果每張書簽的售價每降價0.1元，平均每天可多售出200張．批發商要想平均每天獲利270元，求每張書簽應降價多少元．39．（2023春?鄞州區校級期中）某超市銷售一種飲料，平均每天可售出100箱，每箱利潤120元．天氣漸熱，為了擴大銷售，增加利潤，超市準備適當降價．據測算，若每箱飲料每降價1元，每天可多售出2箱．針對這種飲料的銷售情況，請解答以下問題：（1）當每箱飲料降價10元時，這種飲料每天銷售獲利多少元？（2）為了盡可能地清理庫存，以及要使每天銷售飲料獲利14400元，問每箱應降價多少元？40．（2023?張店區一模）某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，1月份銷售400個，2月份和3月份這種臺燈銷售量持續增加，在售價不變的基礎上，3月份的銷售量達到576個，設2月份和3月份兩個月的銷售量月平均增長率不變．（1）求2月份和3月份兩個月的銷售量月平均增長率；（2）從4月份起，在3月份銷售量的基礎上，商場決定降價促銷．經調查發現，售價在35元至40元范圍內，這種臺燈的售價每降價0.5元，其銷售量增加6個．若商場要想使4月份銷售這種臺燈獲利4800元，則這種臺燈售價應定為多少元？41.（2022秋?東明縣期末）2022年北京冬季奧運會于2月4日至2月20日在北京市和河北省張家口市聯合舉行，冬奧會吉祥物為“冰墩墩”．（1）據市場調研發現，某工廠今年二月份共生產500個“冰墩墩”，為增大生產量，該工廠平均每月生產量增加20%，則該工廠在四月份能生產多少個“冰墩墩”？（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可銷售20個，每個盈利40元，在每個降價幅度不超過10元的情況下，每下降2元，則每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，則每個“冰墩墩”應降價多少元？42．（2022秋?龍崗區期末）“雙十一”期間，某網店直接從工廠購進A，B兩款保溫杯，進貨價和銷售價如表：（注：利潤＝銷售價﹣進貨價）A款保溫杯B款保溫杯進貨價（元/個）3528銷售價（元/個）5040（1）若該網店用1540元購進A，B兩款保溫杯共50個，求兩款保溫杯分別購進的個數．（2）“雙十一”后，該網店打算把B款保溫杯降價銷售，如果按照原價銷售，平均每天可售出4個，經調查發現，每降價1元，平均每天可多售出2個，則將B款保溫杯的銷售價定為每個多少元時，才能使B款保溫杯平均每天的銷售利潤為96元？43．（2023春?長沙期中）春節是中國的傳統節日，每年元旦節后是購物的高峰期，2023年元月某水果商從農戶手中購進A、B兩種紅富士蘋果，其中A種紅富士蘋果進貨價為28元/件，銷售價為42元/件，其中B種紅富士蘋果進貨價為22元/件，銷售價為34元/件．（注：利潤＝銷售價﹣進貨價）（1）水果店第一次用720元購進A、B兩種紅富士蘋果共30件，求兩種紅富士蘋果分別購進的件數；（2）第一次購進的紅富士蘋果售完后，該水果店計劃再次購進A、B兩種紅富士蘋果共80件（進貨價和銷售價都不變），且進貨總費用不高于2000元．應如何設計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？（3）春節臨近結束時，水果店發現B種紅富士蘋果還有大量剩余，決定對B種紅富士蘋果調價銷售．如果按照原價銷售，平均每天可售4件．經調查發現，每降價1元，平均每天可多售2件，為了盡快減少庫存，將銷售價定為每件多少元時，才能使B種紅富士蘋果平均每天銷售利潤為90元？44．（2023春?北侖區期中）某超市于今年年初以每件25元的進價購進一批商品．當商品售價為40元時，一月份銷售256件．二、三月該商品十分暢銷．銷售量持續走高．在售價不變的基礎上，三月底的銷售量達到400件．設二、三這兩個月的月平均增長率不變．（1）求二、三這兩個月的月平均增長率；（2）從四月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經調查發現，該商品每降價1元，銷售量增加5件，當商品降價多少元時，商場獲利4250元？【題型7一元二次方程應用-幾何面積問題】45．（2023春?溫州期中）如圖，在長為32米，寬為20米的長方形地面上修筑同樣寬的小路（圖中陰影部分），余下部分種植草坪，要使小路的面積為100平方米，設小路的寬為x米，則下面所列方程正確的是（）A．32×20﹣32x﹣20x＝100 B．32x+20x﹣x2＝100 C．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100 D．（32﹣x）（20﹣x）＝10046.（2023?兩江新區一模）如圖，某小區居民休閑娛樂中心是一塊長方形（長60米，寬40米）場地，被3條寬度相等的綠化帶分為總面積為1750平方米的活動場所，如果設綠化帶的寬度為x米，由題意可列方程為（）A．（60﹣x）（40﹣x）＝1750 B．（60﹣2x）（40﹣x）＝1750 C．（60﹣2x）（40﹣x）＝2400 D．（60﹣x）（40﹣2x）＝175047．（2023春?渦陽縣期中）如圖，長方形鐵皮的長為10cm，寬為8cm，現在它的四個角上剪去邊長為xcm的正方形，做成底面積為24cm2的無蓋的長方體盒子，則x的值為（）A．2 B．7 C．2或7 D．3或648．（2023春?永嘉縣校級期中）如圖，在高3m，寬4m的長方形墻面上有一塊長方形裝飾板（圖中陰影部分），裝飾板的上面和左右兩邊都留有寬度為x（m）的空白墻面．若長方形裝飾板的面積為4m2，則以下方程正確的是（）?A．（3﹣x）（4﹣x）＝4 B．（3﹣x）（4﹣2x）＝4 C．（3﹣2x）（4﹣x）＝4 D．（3﹣2x）（4﹣2x）＝449．（2023?碑林區校級模擬）如圖，把一塊長AB為40cm的長方形硬紙板的四角剪去四個邊長為5cm的小正方形，然后把紙板沿虛線折起，做成一個無蓋長方體紙盒．若紙盒的體積是1500cm3，則長方形硬紙板的寬為多少？50．（2022秋?城固縣期末）如圖，現有一塊長11cm，寬7cm的長方形硬紙板，在它的四個角分別剪去一個大小完全相同的小正方形，用剩余的部分（圖中陰影部分）做成一個底面積為21cm2的無蓋長方體盒子，請求出剪去的小正方形的邊長．51．（2023春?包河區校級月考）我校為了進行學雷鋒愛心義賣活動，決定在操場劃分一塊面積為480平方米的矩形場地．若矩形場地的一邊靠墻（墻長31米），另外三邊由總長為60米的圍繩圍成，并且在垂直于墻的邊上各設置了一個開口寬為1米的入口和出口（如圖）．請根據方案計算出矩形場地的邊長各是多少米？52．（2023?政和縣模擬）為培養學生正確的勞動價值觀和良好的勞動品質．某校為此規劃出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墻（墻最大可用長度為15米）另三邊用木欄圍成，中間也用垂直于墻的木欄隔開分成面積相等的兩個區域，并在如圖所示的兩處各留1米寬的門（門不用木欄），修建所用木欄總長28米，設矩形ABCD的一邊CD長為x米．（1）矩形ABCD的另一邊BC長為米（用含x的代數式表示）；（2）矩形ABCD的面積能否為80m2，若能，請求出AB的長；若不能，請說明理由．53．（2022秋?從化區期末）某農場要建一個矩形動物場，場地的一邊靠墻（墻AB長度不限），另外三邊用木欄圍成，木欄總長20米，設動物場CD邊的長為xm，矩形面積為ym2．（1）矩形面積y＝（用含x的代數式表示）；（2）當矩形動物場面積為48m2時，求CD邊的長．（3）能否圍成面積為60m2矩形動物場？說明理由．【題型8一元二次方程應用-幾何動態問題】54．（2022秋?舞鋼市期中）如圖，矩形ABCD中，AB＝21cm，BC＝8cm，動點E從A出發，以3cm/s的速度沿AB向B運動，動點F從C出發，以2cm/s的速度沿著CD向D運動，當點E到達點B時，兩個點同時停止．則EF的長為10cm時點E的運動時間是（）A．3s B．s C．3s或s D．2.5s55.（2022?晉中期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，動點P，Q分別從點A，B同時開始移動（移動方向如圖所示），點P的速度為1cm/s，點Q的速度為2cm/s，點Q移動到C點后停止，點P也隨之停止運動，當四邊形APQC的面積為9cm2時，則點P運動的時間是（）A．3s B．3s或5s C．4s D．5s56.（2022?方城縣期末）如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為6cm，點P從點A出發，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向終點B運動，同時點Q從點B出發，沿B→A的方向以1cm/s的速度向終點A運動．當點P運動到點B時，兩點均停止運動．運動時間記為ts，請解決下列問題：若點P在邊AC上，當t為何值時，△APQ為直角三角形？57．（2022秋?江門期末）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝8cm．點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動、同時點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，當其中一點到達終點時，另外一點也隨之停止運動．（1）△PQB的面積能否等于9cm2？請說明理由．（2）幾秒后，四邊形APQC的面積等于16cm2？請寫出過程．58．（2021秋?城關區月考）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．若P，Q兩點同時出發，當點Q運動到點C時，P，Q兩點同時停止運動．求：（1）幾秒后，PQ的長度等于2cm？（2）△PBQ的面積能否等于7cm2？說明理由．59．（2023春?蚌埠月考）△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，點P從點A開始沿邊AB向終點B以1cm/s的速度移動，與此同時，點Q從點B開始沿邊BC向終點C以2cm/s的速度移動，如果點P、Q分別從點A、B同時出發，當點Q運動到點C時，兩點停止運動．設運動時間為t秒．（1）填空：BQ＝，PB＝（用含t的代數式表示）；（2）是否存在t的值，使得△PBQ的面積等于4cm2？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．60．（2023春?皇姑區校級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，點P以2cm/s的速度從頂點A出發沿折線A→B→C向點C運動，同時點Q以1cm/s的速度從頂點C出發沿邊CD向點D運動．當其中一個動點到達末端停止運動時，另一點也停止運動．（1）當四邊形PBCQ的面積是矩形ABCD面積的時，求出兩動點的運動時間t．（2）是否存在某一時刻，點P與點Q之間的距離為若存在直接寫出運動所需的時間為；若不存在，請說明理由．61．（2023?廬江縣一模）已知：如圖，△ABC是邊長為3cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動．設點P的運動時間為t（s），解答下列問題：（1）當t為何值時，△PBQ是直角三角形？（2）是否存在某一時刻t，使得四邊形APQC的面積是△ABC面積的？如果存在，求出相應的t值；如果不存在，說明理由．

專題04一元二次方程的應用（八大類型）【題型1一元二次方程應用-變化率】【題型2一元二次方程應用-傳染問題】【題型3一元二次方程應用-分支問題】【題型4一元二次方程應用-比賽問題及遷移運用】【題型5一元二次方程應用-銷售問題】【題型6一元二次方程應用-每每問題】【題型7一元二次方程應用-幾何面積問題】【題型8一元二次方程應用-幾何動態問題】【題型1一元二次方程應用-變化率】1．（2023春?鄞州區期中）某商品經過連續兩次降價，價格由100元降為64元．已知兩次降價的百分率都是x，則x滿足的方程是（）A．64（1﹣2x）＝100 B．100（1﹣x）2＝64 C．64（1﹣x）2＝100 D．100（1﹣2x）＝64【答案】B【解答】解：根據題意，得100（1﹣x）2＝64，故選：B．2．（2023?東莞市校級一模）某旅游景點8月份共接待游客25萬人次，10月份共接待游客64萬人次，設游客每月的平均增長率為x，則下列方程正確的是（）A．25（1+x）2＝64 B．25（1+x2）＝64 C．64（1﹣x）2＝25 D．64（1﹣x2）＝25【答案】A【解答】解：設游客每月的平均增長率為x，依題意，得：25（1+x）2＝64．故選：A．3.（2021·松北期末）某機械廠七月份生產零件50萬個，第三季度生產零件196萬個．設該廠八、九月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是（）A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196C．50+50（1+x）+50（1+x2）=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196【答案】C【解答】一般增長后的量=增長前的量×（1+增長率），如果該廠八、九月份平均每月的增長率為x，那么可以用x分別表示八、九月份的產量：八、九月份的產量分別為50（1+x）、50（1+x）2，從而根據題意得出方程：50+50（1+x）+50（1+x2）=196．故答案為：C．4．（2023?沭陽縣模擬）某商品原價每件75元，兩次降價后每件48元，則平均每次的降價百分率是．【答案】20%．【解答】解：設平均每次的降價百分率是x，依題意得：75（1﹣x）2＝48，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合題意，舍去），∴平均每次的降價百分率為20%．故答案為：20%．5.（2022秋?確山縣期中）2022年是中國共產黨建黨101周年，全國各地積極開展“弘揚紅色文化，重走長征路”主題教育學習活動，某市“紅二方面軍長征出發地紀念館”成為重要的活動基地．據了解，今年8月份該基地接待參觀人數10萬人，10月份接待參觀人數增加到12.1萬人．（1）求這兩個月參觀人數的月平均增長率；（2）按照這個增長率，預計11月份的參觀人數能否突破13.5萬人？【解答】解：（1）設這兩個月參觀人數的月平均增長率為x，依題意得：10（1+x）2＝12.1，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合題意，舍去）．答：這兩個月參觀人數的月平均增長率為10%．（2）12.1×（1+10%）＝13.31（萬人）．13.31＜13.5，∴11月份的參觀人數不能突破13.5萬人．答：11月份的參觀人數不能突破13.5萬人．6．（2023?郴州）隨旅游旺季的到來，某景區游客人數逐月增加，2月份游客人數為1.6萬人，4月份游客人數為2.5萬人．（1）求這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率；（2）預計5月份該景區游客人數會繼續增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率．已知該景區5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數最多是多少萬人？【答案】（1）這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率為25%；（2）5月份后10天日均接待游客人數最多是0.1萬人．【解答】解：（1）設這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率為x，由題意可得：1.6（1+x）2＝2.5，解得：x＝25%，x＝﹣（不合題意舍去），答：這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率為25%；（2）設5月份后10天日均接待游客人數是a萬人，由題意可得：2.125+10a≤2.5（1+25%），解得：a≤0.1，答：5月份后10天日均接待游客人數最多是0.1萬人．【題型2一元二次方程應用-分支問題】7．（2022秋?青川縣期末）某數學活動小組在開展野外項目實踐時，發現一種植物的主干長出若干數目的枝干，每個枝干又長出同樣數目的小分枝，主干、枝干和小分枝的總數是31，則這種植物每個枝干長出的小分支個數是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解答】解：根據題意，主干是1，設長出的枝干有x枝，∴1+x+x2＝31，即x2+x﹣30＝0，解方程得，x1＝5，x2＝﹣6（舍去），∴這種植物每個枝干長出的小分枝個數5．故選：B．8．（2022秋?澄海區期末）某校“生物研學”活動小組在一次野外研學實踐時，發現某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支．若主干、支干和小分支的總數是91，求這種植物每個支干長出的小分支個數是多少？【答案】9．【解答】解：設這種植物每個支干長出的小分支個數是x，根據題意，可得1+x+x2＝91，整理得x2+x﹣90＝0，解得x1＝9，x2＝﹣10（不合題意，舍去），答：這種植物每個支干長出的小分支個數是9．【題型3一元二次方程應用-傳染問題】9．（2022春?南譙區校級期中）新冠肺炎病毒是一種傳染性極強的急性呼吸道傳染病，感染者的臨床以發熱、乏力、干咳為主要表現．在“新冠肺炎”疫情初期，有1人感染了“新冠肺炎病毒”，如若得不到有效控制，經過兩輪傳染后共有196人感染了“新冠肺炎病毒”，則每輪傳染中平均一個人傳染了（）A．12人 B．13人 C．14人 D．15人【答案】B【解答】解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，根據題意，得x+1+（x+1）x＝196，解得：x＝13或x＝﹣15（舍去），答：每輪傳染中平均一個人傳染了13個人．故選：B．10．（2023?興慶區校級一模）有一個人患流感，經過兩輪傳染后共有81個人患流感，每輪傳染中平均一個人傳染幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染x個人，可到方程為（）A．1+2x＝81 B．1+x2＝81 C．1+x+x2＝81 D．（1+x）2＝81【答案】D【解答】解：x+1+（x+1）x＝81，整理得（1+x）2＝81．故選：D．11．（2022秋?沈丘縣月考）若有2個人患了流感，經過兩輪傳染后共有50人患了流感（這2個人在第二輪傳染中仍有傳染性），則每輪傳染中平均一個人傳染人．【答案】4．【解答】2解：設每輪傳染中平均每個人傳染了x人，依題意得2+2x+x（2+2x）＝50，∴x＝4或x＝﹣6（不合題意，舍去）．所以，每輪傳染中平均一個人傳染了4個人，故答案為：4．12．（2023?城關區一模）有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有169人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了人．【答案】見試題解答內容【解答】解：設平均一人傳染了x人，x+1+（x+1）x＝169x＝12或x＝﹣14（舍去）．平均一人傳染12人．故答案為：12．13.（2022秋?天河區校級期末）截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中國已經得到有效控制，但在全球卻持續蔓延，這是對人類的考驗，將對全球造成巨大影響．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進行有效隔離，經過兩輪傳染后共有196人患新冠肺炎，求每輪傳染中平均每個人傳染了幾個人？【解答】解：設每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，則第一輪中有x人被傳染，第二輪中有x（1+x）人被感染，根據題意得：1+x+x（1+x）＝196，整理得：（1+x）2＝196，解得：x1＝13，x2＝﹣15（不符合題意，舍去）．答：每輪傳染中平均每個人傳染了13個人14．（2022秋?甘井子區校級期末）有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有144個人患了流感．（1）每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（2）如果按照這樣的傳染速度，經過三輪傳染后共有多少個人患流感？【答案】（1）11人；（2）1728人．【解答】解：（1）設平均一人傳染了x人，x+1+（x+1）x＝144，x1＝11或x2＝﹣13（舍去）．答：平均一人傳染11人．（2）經過三輪傳染后患上流感的人數為：144+11×144＝1728（人），答：經過三輪傳染后患上流感的人數為1728人．【題型4一元二次方程應用-比賽問題及遷移運用】15．（2023?東莞市二模）2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環比賽，單循環比賽共進行了45場，共有多少支隊伍參加比賽？（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解答】解：設共有x支隊人伍參加比賽，根據題意，可得，解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支隊伍參加比寒，故選：D．16.（2021秋?虎林市校級期末）2021年虎林市教育局組織開展了全市中學生籃球聯賽，比賽采用單循環賽制（每兩隊之間進行一場比賽），共進行了66場比賽，則參加比賽的隊伍數量是（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【解答】解：設參加比賽的隊伍有x支，依題意得：x（x﹣1）＝66，整理得：x2﹣x﹣132＝0，解得：x1＝12，x2＝﹣11（不合題意，舍去）．故選：C．17.（2022?黑龍江模擬）某校八年級組織籃球賽，若每兩班之間賽一場，共進行了28場，則該校八年級有（）個班級．A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【解答】解：設該校八年級有x個班級，依題意得：x（x﹣1）＝28，整理得：x2﹣x﹣56＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合題意，舍去）．故選：A．18．（2023?惠東縣一模）2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環比賽，單循環比賽共進行了45場，則本次比賽共有參賽隊伍（）A．8支 B．9支 C．10支 D．11支【答案】C【解答】解：設共有x支隊伍參加比賽，根據題意，可得，解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支隊伍參加比賽．故選：C．19．（2022秋?于洪區期末）一次會議上，每兩個參加會議的人都相互握了一次手．有人統計一共握了66次手，這次會議到會的人數有多少人（）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【解答】解：設參加會議有x人，依題意得，x（x﹣1）＝66，整理，得x2﹣x﹣132＝0解得x1＝12，x2＝﹣11，（舍去）則參加這次會議的有12人．故選：C．20．（2022秋?南平期中）生物興趣小組的學生，將自己收集的標本向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了182件，那么全組有（）名同學．A．12 B．13 C．14 D．15【答案】C【解答】解：設全組有x名同學，則每名同學所贈的標本為：（x﹣1）件，那么x名同學共贈：x（x﹣1）件，則x（x﹣1）＝182，整理得：x2﹣x﹣182＝0，解得x1＝﹣13（不合題意舍去），x2＝14．故全組共有14名同學．故選：C．21．（2022秋?和平區期末）一次會議上，每兩個參加會議的人都相互握了一次手，經統計所有人一共握了10次手，則這次會議到會的人數是人．【答案】5．【解答】解：設這次會議到會的人數是x人，根據題意得：x（x﹣1）＝10，整理得：x2﹣x﹣20＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣4（不符合題意，舍去），∴這次會議到會的人數是5人．故答案為：5．22．（2022秋?荔灣區校級期末）卡塔爾足球世界杯小組賽，每兩隊之間進行一場比賽，小組賽共進行了6場比賽，則該小組有支球隊．【答案】4．【解答】解：設該小組有x支球隊，根據題意得：x（x﹣1）＝6，整理得：x2﹣x﹣12＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣3（不符合題意，舍去），∴該小組有4支球隊．故答案為：4．23．（2023春?安徽月考）網課期間小夏寫了封保護眼睛的倡議書，用微博轉發的方式傳播，設計了如下轉發規則：將倡議書發表在自己的微博上，然后邀請x個好友轉發，每個好友轉發之后，又邀請x個互不相同的好友轉發，已知經過兩輪轉發后，共157人參與了此次活動，則x為人．【答案】12．【解答】解：依題意，得：1+x+x2＝157，解得：x1＝12，x2＝﹣13（不合題意，舍去）．故答案為：12．24．（2022秋?蔚縣校級期末）一個小組有若干人，新年互送賀卡一張，共送賀卡72張，共有人．【答案】9．【解答】解：設該小組共有x人，則每人需送出（x﹣1）張賀卡，依題意得：x（x﹣1）＝72，整理得：x2﹣x﹣72＝0，解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合題意，舍去），∴該小組共有9人．故答案為：9．25．（2023春?肇源縣月考）某校九年級學生畢業時，每個同學都將自己的相片向全班其他同學各送一張留作紀念，全班共送了1640張相片，全班有多少名學生？【答案】全班有41名學生．【解答】解：設全班有x名學生，根據題意得：x（x﹣1）＝1640，解得x＝﹣40（舍去）或x＝41，答：全班有41名學生．26．（2022秋?白云區期末）一次足球聯賽，賽制為雙循環形式（每兩隊之間都賽兩場），共要比賽90場，共有多少個隊參加比賽？【答案】共有10支隊參加比賽．【解答】解：設有x隊參加比賽．依題意，得x（x﹣1）＝90，（x﹣10）（x+9）＝0，解得x1＝10，x2＝﹣9（不合題意，舍去）．答：共有10支隊參加比賽．【題型5一元二次方程應用-銷售問題】27．（2023春?鹽都區月考）某商店分別花20000元和30000元先后兩次以相同的進價購進某種商品，且第二次的數量比第一次多500千克．（1）該商品的進價是多少？（2）已知該商品每天的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的函數關系式為：y＝﹣10x+500，若想銷售該商品每天獲利2000元，該商店需將商品的售價定為多少？【答案】（1）該商品的進價是20元；（2）該商店需將商品的售價定為30元或40元．【解答】解：（1）設該商品的進價是m元，依題意得：500m＝30000﹣20000，解得：m＝20．答：該商品的進價是20元．（2）依題意得：（x﹣20）（﹣10x+500）＝2000，整理得：x2﹣70x+1200＝0，解得：x1＝30，x2＝40．答：該商店需將商品的售價定為30元或40元．28．（2023?西鄉塘區校級模擬）當今社會，“直播帶貨”已經成為商家的一種新型的促銷手段．小亮在直播間銷售一種進價為每件10元的日用商品，經調查發現，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足一次函數關系，它們的關系如下表：銷售單價x（元）202530銷售量y（件）200150100（1）求y與x之間的函數關系式；（2）該商家每天想獲得2160元的利潤，又要盡可能地減少庫存，應將銷售單價定為多少元？【答案】（1）y與x之間的函數關系式為：y＝﹣10x+400；（2）應將銷售單價定為22元．【解答】解：（1）設商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足一次函數關系y＝kx+b，根據題意可得：，解得：，故y與x之間的函數關系式為：y＝﹣10x+400；（2）根據題意可得：（﹣10x+400）（x﹣10）＝2160，整理得：x2﹣50x+616＝0，（x﹣28）（x﹣22）＝0，解得：x1＝28（不合題意，舍去），x2＝22，答：應將銷售單價定為22元．29．（2023?福田區校級二模）冰墩墩是2022年北京冬季奧運會的吉祥物．某商場以20元/臺的價格購進一批冰墩墩玩偶出售，在銷售過程中發現，其日銷售量y（單位：只）與銷售單價x（單位：元）之間存在如圖所示的函數關系．（1）求y與x的函數關系式；（2）若物價局規定，產品的利潤率不得超過60%，該商場銷售冰墩墩玩偶每天要想獲得150元利潤，銷售單價應定為多少？【答案】（1）y＝﹣2x+80；（2）銷售單價定為25元時，每天獲利150元．【解答】解：（1）設函數關系式為y＝kx+b，由圖可知，直線y＝kx+b經過點（25，30）和點（35，10），則有：，解得：，即函數關系式為：y＝﹣2x+80；（2）根據產品的利潤率不得超過60%，可知產品的售價最高為：20×（1+60%）＝32元，根據題意有：（x﹣20）y＝150，將y＝﹣2x+80代入（x﹣20）y＝150中，整理，得：x2﹣60x+875＝0，解得x1＝25，x2＝35，∵價格不得超過32元，∴x＝25，即售價應該定為25元．30．（2023?中山市一模）某超市以每千克40元的價格購進菠蘿蜜，計劃以每千克60元的價格銷售，為了讓顧客得到實惠．現決定降價銷售，已知這種菠蘿蜜銷售量y（千克）與每千克降價x（元）（0＜x＜20）之間滿足一次函數關系，其圖象如圖所示．（1）求y與x之間的函數關系式．（2）若超市要想獲利2400元，且讓顧客獲得更大實惠，這種菠蘿蜜每千克應降價多少元？【答案】（1）y＝20x+60（0＜x＜20）；（2）這種干果每千克應降價12元．【解答】解：（1）設y與x之間的函數關系式為y＝kx+b（k≠0），將（2，100），（5，160）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y與x之間的函數關系式為y＝20x+60（0＜x＜20）．故答案為：y＝20x+60（0＜x＜20）．（2）根據題意得：（60﹣x﹣40）（20x+60）＝2400，整理得：x2﹣17x+60＝0，解得：x1＝5，x2＝12，又∵要讓顧客獲得更大實惠，∴x＝12．答：這種干果每千克應降價12元．31．（2022秋?九龍坡區期末）某圖書店在2022年國慶節期間舉行促銷活動，某課外閱讀書進貨價為每本8元，標價為每本15元．（1）該圖書店舉行了國慶大回饋活動，連續兩次降價，每次降價的百分率相同，最后以每本9.6元的價格售出，求圖書店每次降價的百分率；（2）在九月底該書店老板去進貨該書500本，按照（1）兩次降價后的價格在國慶節全部售出；國慶節后老板去進貨發現進貨價上漲了a%，進貨量比九月底增加3a%，以標價的八折全部售出后，比國慶節的總利潤多1200元，求a%的值．【答案】（1）20%；（2）．【解答】解：（1）設圖書店每次降價的百分率為x，由題意得：15（1﹣x）2＝9.6，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合題意舍去），答：圖書店每次降價的百分率為20%；（2）國慶節的總利潤為：500×（9.6﹣8）＝800（元），國慶節后的進貨量為：500（1+3a%）本，進貨價為：8×（1+a%）售價為：15×0.8＝12（元），由題意得：500（1+3a%）[12﹣8（1+a%）]＝800+1200，解得：a%＝或a%＝0（不符合題意舍去），∴a%＝，答：a%的值為．32．（2022秋?平遙縣期末）某商店通過網絡在一源頭廠家進一種季節性小家電，由于疫情影響以及市場競爭，該廠家不得不逐年下調出廠價；（1）2019年這個小家電出廠價是每臺62.5元，到2021年同期該品牌小家電出廠價下調為40元，若每年下調幅度相同，請你計算該小家電出廠價平均每年下調的百分率；（2）若明年商場計劃按每臺40元購一批該品牌小家電，經市場預測，銷售定價為50元時，每月可售出500臺，銷售定價每增加1元，銷售量將減少10臺．因受庫存的影響，每月進貨臺數不得超過300臺；商家若希望月獲利8750元，則應進貨多少臺？銷售定價多少元？【答案】（1）20%；（2）該商品每臺的銷售定價為75元，應進貨250臺．【解答】解：（1）設該小家電出廠價平均每年下調的百分率為x，根據題意得：62.5（1﹣x）2＝40，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合題意，舍去）．答：該小家電出廠價平均每年下調的百分率為20%；（2）設該商品每臺的銷售定價為y元，則每臺的銷售利潤為（y﹣40）元，每月可售出500﹣10（y﹣50）＝（1000﹣10y）臺，根據題意得：（y﹣40）（1000﹣10y）＝8750，解得：y1＝65，y2＝75，當y＝65時，1000﹣10y＝1000﹣10×65＝350＞300，不符合題意，舍去；當y＝75時，1000﹣10y＝1000﹣10×75＝250＜300，符合題意．答：該商品每臺的銷售定價為75元，應進貨250臺．33．（2023?桂林一模）小王計劃經營某種時尚產品的專賣店，已知該產品的進貨價為70元/件，售價不能低于80元/件，專賣店每月有800元的固定成本開支，根據市場調研，產品的銷售量y（件）隨著產品的售價x（元/件）的變化而變化，銷售量y與售價x之間的部分對應關系如表：售價x（元/件）80828486…銷售量y（件）500490480470…（1）求銷售量y（件）與售價x（元/件）的函數關系式；（2）小王預計每月盈利8200元，為盡可能讓利于顧客，則該產品的售價每件應定為多少元？【答案】（1）y＝﹣5x+900；（2）90元．【解答】解：（1）由銷售量y與售價x之間的部分對應關系可設y＝kx+b（k≠0，k，b為常數），將x＝80，y＝500和x＝82，y＝490代入，得，解得，∴銷售量y（件）與售價x（元/件）的函數關系式為y＝﹣5x+900；（2）根據題意，得（x﹣70）（﹣5x+900）﹣800＝8200，解得x1＝160，x2＝90，∵售價不能低于80元/件，且盡可能讓利于顧客，∴x＝90，答：該產品的售價每件應定為90元．34．（2022秋?通川區期末）為了滿足社區居民強身健體的需要，政府準備采購若干套健身器材免費提供給社區，經過考察了解，飛躍公司有A，B兩種型號的健身器材可供選擇，已知飛躍公司2020年每套A型健身器材的售價為2.5萬元，2020年每套B型健身器材的售價為2萬元，2022年每套A型健身器材售價為1.6萬元，每套A型，B型健身器材的年平均下降率相同．（1）求2020年到2022年每套A型健身器材年平均下降率；（2）2022年政府經過招標，決定年內采購并安裝飛躍公司A，B兩種型號的健身器材共80套，政府采購專項經費總計不超過115.2萬元，并且采購A型器材費用不能少于B型器材的費用，請求出所需經費最少的采購方案．【答案】（1）每套A型健身器材年平均下降率為20%；（2）總費用最少為180萬元．【解答】解：（1）設每套A型健身器材年平均下降率為x，根據題意得：2.5（1﹣x）2＝1.6，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）．答：每套A型健身器材年平均下降率為20%；（2）2×（1﹣20%）2＝1.28（萬元）．設購買B型健身器材m套，則購買A型健身器材（80﹣m）套，根據題意得：1.6（80﹣m）+1.28m≤115.2，解得：m≥40．∴B型健身器材最少可購買40套，此時A型需要40套．則：40×2.5+40×2＝180（萬元）．35．（2023?撫州一模）某超市經銷一種商品，每千克成本為30元，經試銷發現，該種商品的每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）滿足一次函數關系，其每天銷售單價，銷售量的四組對應值如表所示：銷售單價x（元/千克）40455560銷售量y（千克）80705040（1）求y（千克）與x（元/千克）之間的函數表達式；（2）若商店按銷售單價不低于成本價，且不高于60元的價格銷售，要使銷售該商品每天獲得的利潤為800元，求每天的銷售量應為多少千克？【答案】（1）y＝﹣2x+160；（2）80千克．【解答】解：（1）設y與x之間的函數表達式為y＝kx+b（k≠0），將（40，80），（45，70）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y與x之間的函數表達式為y＝﹣2x+160．（2）依題意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＝800，整理得：x2﹣110x+2800＝0，解得：x1＝40，x2＝70．又∵商店按銷售單價不低于成本價，且不高于60元的價格銷售，∴x＝40，∴﹣2x+160＝﹣2×40+160＝80．答：每天的銷售量應為80千克．36．（2022春?萊蕪區期末）某農戶生產經營一種農產品，已知這種農產品的成本價為每千克20元，經市場調查發現，該產品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）之間滿足一次函數關系，其圖象如圖所示．（1）求y與x之間的函數關系式；（2）該農戶想要每天獲得150元的利潤，又要讓利消費者，銷售價應定為每千克多少元？【答案】（1）y＝﹣2x+80；（2）25元．【解答】解：（1）設y與x之間的函數關系式為y＝kx+b（k≠0），將（20，40），（30，20）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y與x之間的函數關系式為y＝﹣2x+80．（2）依題意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，整理得：x2﹣60x+875＝0，解得：x1＝25，x2＝35．又∵要讓利消費者，∴x＝25．答：銷售價應定為每千克25元．【題型6一元二次方程應用-每每問題】37．（2023春?沙坪壩區校級月考）將進貨價格為38元的商品按單價45元售出時，能賣出300個．已知該商品單價每上漲1元，其銷售量就減少5個．設這種商品的售價上漲x元時，獲得的利潤為2300元，則下列關系式正確的是（）A．（x﹣38）（300﹣5x）＝2300 B．（x+7）（300+5x）＝2300 C．（x﹣7）（300﹣5x）＝2300 D．（x+7）（300﹣5x）＝2300【答案】D【解答】解：根據題意可得：（45+x﹣38）（300﹣5x）＝2300，即：（x+7）（300﹣5x）＝2300．故選：D．38．（2023?朝陽二模）世界讀書日是在每年的4月23日，“世界圖書日”設立目的是推動更多的人去閱讀和寫作，希望所有人都能尊重和感謝為人類文明做出過巨大貢獻的文學、文化、科學、思想大師們，保護知識產權．某批發商在世界讀書日前夕，訂購了一批具有紀念意義的書簽進行銷售，平均每天可售出500張，每張可獲利0.5元．調查發現，如果每張書簽的售價每降價0.1元，平均每天可多售出200張．批發商要想平均每天獲利270元，求每張書簽應降價多少元．【答案】0.2元或0.05元．【解答】解：設每張書簽應降價x元，則每張的銷售利潤為（0.5﹣x）元，平均每天可售出（500+×200）張，根據題意得：（0.5﹣x）（500+×200）＝270，整理得：100x2﹣25x+1＝0，解得：x1＝0.2，x1＝0.05．答：每張書簽應降價0.2元或0.05元．39．（2023春?鄞州區校級期中）某超市銷售一種飲料，平均每天可售出100箱，每箱利潤120元．天氣漸熱，為了擴大銷售，增加利潤，超市準備適當降價．據測算，若每箱飲料每降價1元，每天可多售出2箱．針對這種飲料的銷售情況，請解答以下問題：（1）當每箱飲料降價10元時，這種飲料每天銷售獲利多少元？（2）為了盡可能地清理庫存，以及要使每天銷售飲料獲利14400元，問每箱應降價多少元？【答案】（1）13200元；（2）40元．【解答】解：（1）每箱應降價x元，依據題意得總獲利為：（120﹣x）（100+2x），當x＝10時，（120﹣x）（100+2x）＝110×120＝13200元；（2）要使每天銷售飲料獲利14400元，每箱應降價x元，依據題意列方程得，（120﹣x）（100+2x）＝14400，整理得x2﹣70x+1200＝0，解得x1＝30，x2＝40；∵盡可能地清理庫存，∴x＝40答：每箱應降價40元，可使每天銷售飲料獲利14400元．40．（2023?張店區一模）某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，1月份銷售400個，2月份和3月份這種臺燈銷售量持續增加，在售價不變的基礎上，3月份的銷售量達到576個，設2月份和3月份兩個月的銷售量月平均增長率不變．（1）求2月份和3月份兩個月的銷售量月平均增長率；（2）從4月份起，在3月份銷售量的基礎上，商場決定降價促銷．經調查發現，售價在35元至40元范圍內，這種臺燈的售價每降價0.5元，其銷售量增加6個．若商場要想使4月份銷售這種臺燈獲利4800元，則這種臺燈售價應定為多少元？【答案】（1）20%；（2）38元．【解答】解：（1）設2月份和3月份兩個月的銷售量月平均增長率為x，根據題意，得400（1+x）2＝576，解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），答：2月份和3月份兩個月的銷售量月平均增長率為20%；（2）設這種臺燈售價應定為m元，根據題意，得（m﹣30）[576+（40﹣m）]＝4800，解得m1＝38，m2＝80，∵售價在35元至40元范圍內，∴m＝38，答：這種臺燈售價應定為38元．41.（2022秋?東明縣期末）2022年北京冬季奧運會于2月4日至2月20日在北京市和河北省張家口市聯合舉行，冬奧會吉祥物為“冰墩墩”．（1）據市場調研發現，某工廠今年二月份共生產500個“冰墩墩”，為增大生產量，該工廠平均每月生產量增加20%，則該工廠在四月份能生產多少個“冰墩墩”？（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可銷售20個，每個盈利40元，在每個降價幅度不超過10元的情況下，每下降2元，則每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，則每個“冰墩墩”應降價多少元？【解答】解：（1）500×（1+20%）2＝500×1.44＝720（個）．答：該工廠在四月份能生產720個“冰墩墩”．（2）設每個“冰墩墩”降價x元，則每個盈利（40﹣x）元，平均每天可售出20+×10＝（20+5x）個，依題意得：（40﹣x）（20+5x）＝1440，整理得：x2﹣36x+128＝0，解得：x1＝4，x2＝32（不符合題意，舍去）答：每個“冰墩墩”應降價4元．42．（2022秋?龍崗區期末）“雙十一”期間，某網店直接從工廠購進A，B兩款保溫杯，進貨價和銷售價如表：（注：利潤＝銷售價﹣進貨價）A款保溫杯B款保溫杯進貨價（元/個）3528銷售價（元/個）5040（1）若該網店用1540元購進A，B兩款保溫杯共50個，求兩款保溫杯分別購進的個數．（2）“雙十一”后，該網店打算把B款保溫杯降價銷售，如果按照原價銷售，平均每天可售出4個，經調查發現，每降價1元，平均每天可多售出2個，則將B款保溫杯的銷售價定為每個多少元時，才能使B款保溫杯平均每天的銷售利潤為96元？【答案】（1）購進A款保溫杯20個，B款保溫杯30個；（2）將B款保溫杯的銷售價定為每個34元或36元時，才能使B款保溫杯平均每天的銷售利潤為96元．【解答】解：（1）設購進A款保溫杯x個，B款保溫杯y個，依題意得：，解得，答：購進A款保溫杯20個，B款保溫杯30個；（2）設B款保溫杯的銷售價定為a元，則每個的銷售利潤為（a﹣28）元，∵經調查發現，每降價1元，平均每天可多售出2個，∴平均每天可售出個，依題意得：（a﹣28）（84﹣2a）＝96，即a2﹣70a+1224＝0，∴（a﹣34）（a﹣36）＝0，解得a1＝34，a2＝36，答：將B款保溫杯的銷售價定為每個34元或36元時，才能使B款保溫杯平均每天的銷售利潤為96元．43．（2023春?長沙期中）春節是中國的傳統節日，每年元旦節后是購物的高峰期，2023年元月某水果商從農戶手中購進A、B兩種紅富士蘋果，其中A種紅富士蘋果進貨價為28元/件，銷售價為42元/件，其中B種紅富士蘋果進貨價為22元/件，銷售價為34元/件．（注：利潤＝銷售價﹣進貨價）（1）水果店第一次用720元購進A、B兩種紅富士蘋果共30件，求兩種紅富士蘋果分別購進的件數；（2）第一次購進的紅富士蘋果售完后，該水果店計劃再次購進A、B兩種紅富士蘋果共80件（進貨價和銷售價都不變），且進貨總費用不高于2000元．應如何設計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？（3）春節臨近結束時，水果店發現B種紅富士蘋果還有大量剩余，決定對B種紅富士蘋果調價銷售．如果按照原價銷售，平均每天可售4件．經調查發現，每降價1元，平均每天可多售2件，為了盡快減少庫存，將銷售價定為每件多少元時，才能使B種紅富士蘋果平均每天銷售利潤為90元？【答案】（1）A中蘋果購進10件，B中蘋果購進20件．（2）購進A種蘋果40件，B中蘋果40件時，獲得最大銷售利潤為1040元．（3）將銷售價定為每件27元時，才能使B種紅富士蘋果平均每天銷售利潤為90元．【解答】解：（1）設A，B兩種蘋果分別購進x件和y件，由題意得：，解得，答：A中蘋果購進10件，B中蘋果購進20件．（2）設購進A種蘋果m件，則購進B種蘋果（80﹣m）件，由題意得：28m+22（80﹣m）≤2000，∴m≤40，設利潤為w元，則w＝（42﹣28）m+（34﹣22）（80﹣m）＝2m+960，∵2＞0，∴w隨m的增大額增大，∴當m＝40時，w最大值＝2×40+960＝1040．故購進A種蘋果40件，B中蘋果40件時，獲得最大銷售利潤為1040元．（3）設B種蘋果降價a元銷售，則每天多銷售2a件，每天利潤為（12﹣a），由題意得：（4+2a）（12﹣a）＝90，解得，a＝3或a＝7，∵為了盡快減少庫存，∴a＝7，34﹣7＝27，答：將銷售價定為每件27元時，才能使B種紅富士蘋果平均每天銷售利潤為90元．44．（2023春?北侖區期中）某超市于今年年初以每件25元的進價購進一批商品．當商品售價為40元時，一月份銷售256件．二、三月該商品十分暢銷．銷售量持續走高．在售價不變的基礎上，三月底的銷售量達到400件．設二、三這兩個月的月平均增長率不變．（1）求二、三這兩個月的月平均增長率；（2）從四月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經調查發現，該商品每降價1元，銷售量增加5件，當商品降價多少元時，商場獲利4250元？【答案】（1）二、三這兩個月的月平均增長率為25%；（2）當商品降價5元時，商品獲利4250元．【解答】解：（1）設二、三這兩個月的月平均增長率為x，根據題意可得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝，x2＝﹣（不合題意舍去）．答：二、三這兩個月的月平均增長率為25%；（2）設當商品降價m元時，商品獲利4250元，根據題意可得：（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250，解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合題意舍去）．答：當商品降價5元時，商品獲利4250元【題型7一元二次方程應用-幾何面積問題】45．（2023春?溫州期中）如圖，在長為32米，寬為20米的長方形地面上修筑同樣寬的小路（圖中陰影部分），余下部分種植草坪，要使小路的面積為100平方米，設小路的寬為x米，則下面所列方程正確的是（）A．32×20﹣32x﹣20x＝100 B．32x+20x﹣x2＝100 C．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100 D．（32﹣x）（20﹣x）＝100【答案】B【解答】解：設道路的寬x米，則32x+20x＝100+x2．32x+20x﹣x2＝100．故選：B．46.（2023?兩江新區一模）如圖，某小區居民休閑娛樂中心是一塊長方形（長60米，寬40米）場地，被3條寬度相等的綠化帶分為總面積為1750平方米的活動場所，如果設綠化帶的寬度為x米，由題意可列方程為（）A．（60﹣x）（40﹣x）＝1750 B．（60﹣2x）（40﹣x）＝1750 C．（60﹣2x）（40﹣x）＝2400 D．（60﹣x）（40﹣2x）＝1750【答案】B【解答】解：∵長方形場地的長為60米，寬為40米，且綠化帶的寬度為x米，∴被分成六塊的活動場所可合成長為（60﹣2x）米，寬為（40﹣x）米的長方形．根據題意得：（60﹣2x）（40﹣x）＝1750．故選：B．47．（2023春?渦陽縣期中）如圖，長方形鐵皮的長為10cm，寬為8cm，現在它的四個角上剪去邊長為xcm的正方形，做成底面積為24cm2的無蓋的長方體盒子，則x的值為（）A．2 B．7 C．2或7 D．3或6【答案】A【解答】解：∵長方形鐵皮的長為10cm，寬為8cm，且在它的四個角上剪去邊長為xcm的正方形，∴做成無蓋的長方體盒子的底面是長為（10﹣2x）cm，寬為（8﹣2x）cm的長方形．根據題意得：（10﹣2x）（8﹣2x）＝24，整理得：x2﹣9x+14＝0，解得：x1＝2，x2＝7（不符合題意，舍去），∴x的值為2．故選：A．48．（2023春?永嘉縣校級期中）如圖，在高3m，寬4m的長方形墻面上有一塊長方形裝飾板（圖中陰影部分），裝飾板的上面和左右兩邊都留有寬度為x（m）的空白墻面．若長方形裝飾板的面積為4m2，則以下方程正確的是（）?A．（3﹣x）（4﹣x）＝4 B．（3﹣x）（4﹣2x）＝4 C．（3﹣2x）（4﹣x）＝4 D．（3﹣2x）（4﹣2x）＝4【答案】B【解答】解：根據題意，得（4﹣2x）（3﹣x）＝4，故選：B．49．（2023?碑林區校級模擬）如圖，把一塊長AB為40cm的長方形硬紙板的四角剪去四個邊長為5cm的小正方形，然后把紙板沿虛線折起，做成一個無蓋長方體紙盒．若紙盒的體積是1500cm3，則長方形硬紙板的寬為多少？【答案】長方形硬紙板的寬為20cm．【解答】解：設長方形硬紙板的寬為xcm，根據題意，得（40﹣10）×（x﹣10）×5＝1500，解得：x＝20；答：長方形硬紙板的寬為20cm．50．（2022秋?城固縣期末）如圖，現有一塊長11cm，寬7cm的長方形硬紙板，在它的四個角分別剪去一個大小完全相同的小正方形，用剩余的部分（圖中陰影部分）做成一個底面積為21cm2的無蓋長方體盒子，請求出剪去的小正方形的邊長．【答案】剪去的小正方形的邊長為2cm．【解答】解：設剪去的小正方形的邊長為xcm，由題意得，（11﹣2x）（7﹣2x）＝21，解得x＝2（不合題意的值舍去），∴剪去的小正方形的邊長為2cm．51．（2023春?包河區校級月考）我校為了進行學雷鋒愛心義賣活動，決定在操場劃分一塊面積為480平方米的矩形場地．若矩形場地的一邊靠墻（墻長31米），另外三邊由總長為60米的圍繩圍成，并且在垂直于墻的邊上各設置了一個開口寬為1米的入口和出口（如圖）．請根據方案計算出矩形場地的邊長各是多少米？【答案】矩形場地的長為30米，寬為16米【解答】解：設矩形場地的長為x米，則寬為米，由題意得：，∴，∴x2﹣62x+960＝0，∴（x﹣30）（x﹣32）＝0，解得：x＝30或x＝32（舍去），∴，∴矩形場地的長為30米，寬為16米．52．（2023?政和縣模擬）為培養學生正確的勞動價值觀和良好的勞動品質．某校為此規劃出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墻（墻最大可用長度為15米）另三邊用木欄圍成，中間也用垂直于墻的木欄隔開分成面積相等的兩個區域，并在如圖所示的兩處各留1米寬的門（門不用木欄），修建所用木欄總長28米，設矩形ABCD的一邊CD長為x米．（1）矩形ABCD的另一邊BC長為（30﹣3x）米（用含x的代數式表示）；（2）矩形ABCD的面積能否為80m2，若能，請求出AB的長；若不能，請說明理由．【答案】（1）（30﹣3x）；（2）矩形ABCD的面積不能為80m2，理由見詳解．【解答】解：（1）∵修建所用木欄總長28米，且兩處各留1米寬的門（門不用木欄），∴BC＝2+28﹣3x＝（30﹣3x）米，故答案為：（30﹣3x）；（2）不能，理由如下：由題意得：x（30﹣3x）＝80，整理得：3x2﹣30x+80＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝900﹣4×3×80＝﹣60＜0，∴原方程無解，∴矩形ABCD的面積不能為80m2．53．（2022秋?從化區期末）某農場要建一個矩形動物場，場地的一邊靠墻（墻AB長度不限），另外三邊用木欄圍成，木欄總長20米，設動物場CD邊的長為xm，矩形面積為ym2．（1）矩形面積y＝﹣2x2+20x（用含x的代數式表示）；（2）當矩形動物場面積為48m2時，求CD邊的長．（3）能否圍成面積為60m2矩形動物場？說明理由．【答案】（1）﹣2x2+20x；（2）4m或6m；（3）不能，理由見解析．【解答】解：（1）根據題意，y＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，故答案為：﹣2x2+20x；（2）根據題意，得﹣2x2+20x＝48，解得x1＝4，x2＝6，∵墻AB長度不限，∴CD邊的長為4m或6m；（3）不能，理由如下：根據題意，得﹣2x2+20x＝60，整理，得x2﹣10x+30＝0，∵Δ＝100﹣4×1×30＝﹣20＜0，∴方程沒有實數根，∴不能圍成面積為60m2矩形動物場．【題型8一元二次方程應用-幾何動態問題】54．（2022秋?舞鋼市期中）如圖，矩形ABCD中，AB＝21cm，BC＝8cm，動點E從A出發，以3cm/s