專題01菱形的性質(zhì)與判定（四大類型）【題型1菱形的性質(zhì)】【題型2菱形的判定】【題型3菱形的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用】【題型4菱形中最小值問題】【題型1菱形的性質(zhì)】1．（2023?新鄭市模擬）關(guān)于菱形，下列說法錯誤的是（）A．對角線垂直 B．對角線互相垂直 C．對角線相等 D．對角線互相平分2．（2023春?鶴山市校級期中）如圖，菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，若EF＝3，則菱形ABCD的周長是（）A．12 B．24 C．20 D．163．（2023?邗江區(qū)一模）圖①是藝術(shù)家埃舍爾的作品，他將數(shù)學(xué)與繪畫完美結(jié)合，在平面上創(chuàng)造出立體效果．圖②是一個菱形，將圖②截去一個邊長為原來一半的菱形得到圖③，用圖③鑲嵌得到圖④，將圖④著色后，再次鑲嵌便得到圖①，則圖④中∠ABC的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．75°4.（2023?河西區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD為菱形，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，（0，1），點(diǎn)C，D在坐標(biāo)軸上，則菱形ABCD的面積等于（）A． B． C． D．5．（2023春?通州區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形OABC，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，A的坐標(biāo)為（﹣3，4），則頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）A．（﹣5，4） B．（﹣6，3） C．（﹣8，4） D．（2，4）6．（2023春?朝陽區(qū)校級期中）如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，若EF＝2，則菱形ABCD的周長是（）A．12 B．16 C．20 D．247．（2023春?江陰市期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，則OH的長為（）A．6 B．5 C．3 D．2.58．（2023春?金壇區(qū)期中）如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝120°，則菱形ABCD的面積是（）A． B． C． D．9．（2023春?鄞州區(qū)期中）如圖，菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別在y軸正半軸，x軸正半軸上，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為10，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為8，若直線AC平行x軸，則菱形ABCD的邊長值為（）A．9 B． C．6 D．310．（2023春?朝陽區(qū)校級期中）把一個平面圖形分成面積相等的兩部分的線段稱作這個圖形的等積線段，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，則菱形ABCD的等積線段長度a取值范圍是（）A． B． C． D．11．（2023?川匯區(qū)一模）如圖，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，則AH的長為（）A．3 B．4 C．4.8 D．5【題型2菱形的判定】12．（2023?西安二模）在下列條件中，能判定平行四邊形ABCD為菱形的是（）A．AB⊥BC B．AC＝BD C．AB＝BC D．AB＝AC13．（2023?張家口二模）依據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)（度為所在角的度數(shù)，數(shù)字為所在邊的長度），下列平行四邊形不一定是菱形的是（）A． B． C． D．14．（2023?新城區(qū)校級一模）在平行四邊形ABCD中，添加下列條件，能判定平行四邊形ABCD是菱形的是（）A．AB＝AD B．AC＝BD C．∠ABC＝90° D．AB＝CD15．（2023春?長壽區(qū)校級月考）下列說法錯誤的是（）A．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等 B．同旁內(nèi)角互補(bǔ) C．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形 D．一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形16．（2023春?秦皇島月考）已知如圖，在?ABCD中，AD＞AB，∠ABC為銳角，將△ABC沿對角線AC邊平移，得到△A′B′C′，連接AB′和C′D，若使四邊形AB′C′D是菱形，需添加一個條件，現(xiàn)有三種添加方案，甲方案：AB′＝DC′；乙方案：B′D⊥AC′；丙方案：∠A′C′B′＝∠A′C′D；其中正確的方案是（）A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙 C．只有甲、乙 D．只有甲17．（2022秋?興平市期末）下列條件中，能判定四邊形是菱形的是（）A．對角線垂直 B．兩對角線相等 C．兩對線互相平分 D．兩對角線互相垂直平分18．（2023春?海珠區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，G、H分別是BD、AC的中點(diǎn)，依次連接E、G、F、H得到四邊形EGFH，要使四邊形EGFH是菱形，可添如條件．19．（2023春?通州區(qū)期中）如圖，AE∥BF，AC平分∠BAE交BF于點(diǎn)C，CD∥AB交AE于點(diǎn)D．求證：四邊形ABCD是菱形．20．（2023春?天河區(qū)校級期中）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，延長BC至E，使點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，連接AD，AC，CE，DE，AG與DE相交于點(diǎn)O．（1）求證：AC＝DE；（2）當(dāng)∠BAE＝90°時，求證：四邊形ACED是菱形．21．（2023?嶗山區(qū)一模）如圖，?ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)B作BP∥AC，過點(diǎn)C作CP∥BD，BP與CP相交于點(diǎn)P．（1）證明四邊形BPCO為平行四邊形；（2）給?ABCD添加一個條件，使得四邊形BPCO為菱形，并說明理由．22．（2023春?棲霞區(qū)校級期中）如圖，在?ABCD中，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N在對角線AC上，且AM＝CN．（1）求證：四邊形EMFN是平行四邊形；（2）當(dāng)△ABC滿足條件時，?EMFN是菱形．23．（2023春?青秀區(qū)校級月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，邊AB的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，交CB的延長線于點(diǎn)F，連接AF，BE．（1）求證：△AGE≌△BGF；（2）求證：四邊形AFBE是菱形．【題型3菱形的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用】24．（2023?西山區(qū)一模）如圖，將兩條寬度都為1的紙條重疊在一起，使∠ABC＝60°，則四邊形ABCD的面積為（）A． B． C． D．25．（2022春?高邑縣期末）如圖，在∠MON的兩邊上分別截取OA，OB，使OA＝OB；再分別以點(diǎn)A，B為圓心，OA長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C；再連接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4．則四邊形AOBC的面積是（）A．4 B．8 C．4 D．26．（2022秋?青羊區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，分別以C、B為圓心取AB的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D．連接BD、AD．若∠ABD＝130°，則∠CAD＝．27．（2022春?互助縣期中）如圖，線段AB＝10，分別以A、B兩點(diǎn)為圓心，以6長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C、點(diǎn)D，連接CD，則CD＝．28．（2023春?長沙期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若，BD＝2，求OE的長．29．（2023春?璧山區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線BD的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于點(diǎn)M、N．（1）求證：四邊形BNDM是菱形；（2）若菱形BNDM的周長為68，MN＝16，求菱形BNDM的面積．30．（2023?安岳縣一模）如圖，在?ABCD中，O為BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作EF⊥BD，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形BEDF是菱形；（2）若AB＝2，AD＝4，∠BAD＝120°，求DE的長．31．（2023?文山市一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若AB＝6，BD＝4，求OE的長．32．（2023?九臺區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，過點(diǎn)D作∠ADC的角平分線交AB于點(diǎn)E，連接AC交DE于點(diǎn)O，AD∥CE．（1）求證：四邊形AECD是菱形；（2）若AD＝10，△ACD的周長為36，求菱形AECD的面積．33．（2023春?天津期中）如圖，在△ABC中，∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D，DE∥AB，DF∥AC．（1）求證四邊形AFDE是菱形；（2）若∠BAC＝90°，且，求四邊形AFDE的面積．34．（2023?長沙模擬）如圖，在Rt△ABF中，∠F＝30°，E，D分別是AF，BF的中點(diǎn)，延長ED到點(diǎn)C，使得CD＝2DE，連接CB．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若DE＝，求菱形ABCD的面積．【題型4菱形中最小值問題】35．（2022春?銅山區(qū)期中）如圖，菱形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，AC＝12，BD＝16，點(diǎn)P為邊BC上一動點(diǎn)，且點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合．作PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，連結(jié)EF，取EF的中點(diǎn)M，則PM的最小值為（）A．2 B．2.4 C．3 D．2.536．（2022春?東營區(qū)期末）已知菱形ABCD，E、F是動點(diǎn)，邊長為5，BE＝AF，∠BAD＝120°，則下列命題中正確的是（）①△BEC≌△AFC；②△ECF為等邊三角形；③△ECF的邊長最小值為3；④若AF＝2，則S△FGC＝S△EGC．A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③37．（2022春?孝感期末）如圖，菱形ABCD的兩條對角線長AC＝6，BD＝8，點(diǎn)E是BC邊上的動點(diǎn)，則AE長的最小值為（）A．4 B． C．5 D．38．（2022春?余姚市期末）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動點(diǎn)，連結(jié)AE，EF，G，H分別為AE，EF的中點(diǎn)，連結(jié)GH．若∠B＝45°，BC＝2，則GH的最小值為（）A． B． C．2 D．339．（2023?泰山區(qū)一模）如圖，菱形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，AC＝6，BD＝8，點(diǎn)P為邊BC上一點(diǎn)，且P不與B、C重合．過P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，連接EF，則EF的最小值等于．40．（2023春?溧陽市期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于O，點(diǎn)H是線段BC的動點(diǎn)，連接OH．若OB＝4，S菱形ABCD＝24，則OH的最小值是．41．（2022春?東城區(qū)期末）如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝60°，點(diǎn)E是AD邊上一動點(diǎn)（不與A，D重合），點(diǎn)F是CD邊上一動點(diǎn)，DE+DF＝2，則∠EBF＝°，△BEF面積的最小值為．42．（2022春?泗陽縣期中）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝2∠B，AB＝2，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊AB和邊BC上運(yùn)動，且滿足AE＝CF，則DF+CE的最小值為4．【答案】4．43．（2022春?民勤縣校級期中）如圖所示，在邊長為2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC上一動點(diǎn)，則EF+BF的最小值為．（提示：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)）44．（2022春?橋西區(qū)校級期中）如圖所示，在菱形ABCD中，AB＝8，∠BAD＝120°，△AEF為等邊三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動，且E、F不與B、C、D重合．（1）證明不論E、F在BC、CD上如何滑動，總有BE＝CF．（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在BC、CD上滑動時，分別探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最小）值．專題01菱形的性質(zhì)與判定（四大類型）【題型1菱形的性質(zhì)】【題型2菱形的判定】【題型3菱形的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用】【題型4菱形中最小值問題】【題型1菱形的性質(zhì)】1．（2023?新鄭市模擬）關(guān)于菱形，下列說法錯誤的是（）A．對角線垂直 B．對角線互相垂直 C．對角線相等 D．對角線互相平分【答案】C【解答】解：菱形的性質(zhì)有：對角線互相垂直平分，四邊相等，故選：C．2．（2023春?鶴山市校級期中）如圖，菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，若EF＝3，則菱形ABCD的周長是（）A．12 B．24 C．20 D．16【答案】B【解答】解：∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴BC＝2EF＝2×3＝6，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC＝6，∴菱形ABCD是周長＝4BC＝4×6＝24，故選：B．3．（2023?邗江區(qū)一模）圖①是藝術(shù)家埃舍爾的作品，他將數(shù)學(xué)與繪畫完美結(jié)合，在平面上創(chuàng)造出立體效果．圖②是一個菱形，將圖②截去一個邊長為原來一半的菱形得到圖③，用圖③鑲嵌得到圖④，將圖④著色后，再次鑲嵌便得到圖①，則圖④中∠ABC的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【解答】解：如圖，∵∠BAD＝∠BAE＝∠DAE，∠BAD+∠BAE+∠DAE＝360°，∴∠BAD＝∠BAE＝∠DAE＝120°，∵BC∥AD，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，故選：C．4.（2023?河西區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD為菱形，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，（0，1），點(diǎn)C，D在坐標(biāo)軸上，則菱形ABCD的面積等于（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（，0），（0，1），∴OA＝，OB＝1，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC＝2AO＝2，BD＝2BO＝2，∴菱形ABCD的面積＝?AC?BD＝×2×2＝2，故選：C．5．（2023春?通州區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形OABC，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，A的坐標(biāo)為（﹣3，4），則頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）A．（﹣5，4） B．（﹣6，3） C．（﹣8，4） D．（2，4）【答案】C【解答】解：∵A（﹣3，4），∴OA＝＝5，∵四邊形OABC是菱形，∴AO＝CB＝OC＝AB＝5，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣3﹣5＝﹣8，故B的坐標(biāo)為：（﹣8，4），故選：C．6．（2023春?朝陽區(qū)校級期中）如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，若EF＝2，則菱形ABCD的周長是（）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】B【解答】解：∵E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴BC＝2EF＝4，∴菱形的周長為：4×4＝16；故選：B．7．（2023春?江陰市期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，則OH的長為（）A．6 B．5 C．3 D．2.5【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC，∵OA＝4，∴AC＝2OA＝8，∵s菱形ABCD＝AC?BD＝24，∴，∴BD＝6，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，∵DO＝BO，∴，故選：C．8．（2023春?金壇區(qū)期中）如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝120°，則菱形ABCD的面積是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：如圖，過D作DE⊥AB于E，由菱形的性質(zhì)可得，∠A＝60°，∴∠ADE＝30°，∴，在Rt△ADE中，由勾股定理得，∴，故選：C．9．（2023春?鄞州區(qū)期中）如圖，菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別在y軸正半軸，x軸正半軸上，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為10，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為8，若直線AC平行x軸，則菱形ABCD的邊長值為（）A．9 B． C．6 D．3【答案】B【解答】解：連接AC，BD交于M，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AM＝AC，BM＝BD，∵AC平行x軸，AO⊥OB，∴BD⊥OB，∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為10，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為8，AC＝10，BD＝8，∴AM＝×10＝5，BM＝×8＝4，∴AB＝＝．∴菱形ABCD的邊長值為．故選：B．10．（2023春?朝陽區(qū)校級期中）把一個平面圖形分成面積相等的兩部分的線段稱作這個圖形的等積線段，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，則菱形ABCD的等積線段長度a取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：由“等積線段”的定義可知：當(dāng)菱形的“等積線段”和邊垂直時最小，此時直線l⊥DC交CD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DN⊥AB于點(diǎn)N，則∠DAB＝60°，AD＝2，DN＝EF，故DN＝AD?sin60°＝，則EF＝，當(dāng)“等積線段”為菱形的對角線時最大，則DO＝1，故BD＝2，AO＝，即AC＝2，則a的取值范圍是：．故選：D．11．（2023?川匯區(qū)一模）如圖，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，則AH的長為（）A．3 B．4 C．4.8 D．5【答案】C【解答】解：如圖，AC與BD交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，∴AB＝＝5，∴BC＝5，∴菱形ABCD的面積＝＝24，又∵S菱形ABCD＝CB?AH＝24，∴AH＝4.8，故選：C．【題型2菱形的判定】12．（2023?西安二模）在下列條件中，能判定平行四邊形ABCD為菱形的是（）A．AB⊥BC B．AC＝BD C．AB＝BC D．AB＝AC【答案】C【解答】解：A、∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴平行四邊形ABCD為矩形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵AC＝BD，∴平行四邊形ABCD為矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、∵AB＝BC，∴平行四邊形ABCD為菱形，故選項(xiàng)C符合題意；D、由AB＝AC，不能判定平行四邊形ABCD為菱形，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．13．（2023?張家口二模）依據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)（度為所在角的度數(shù)，數(shù)字為所在邊的長度），下列平行四邊形不一定是菱形的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A．平行四邊形的一個角為60°，不能確定邊的長度，不一定是菱形，該選項(xiàng)符合題意；∵四邊形是平行四邊形，B．因?yàn)?2+42＝52，對角線相互垂直，因?yàn)閷蔷€互相垂直的平行四邊形是菱形，所以該選項(xiàng)正確，不符合題意；∴對邊相等，故B不一定是菱形；C．平行四邊形對邊平行，又鄰邊相等，所以平行四邊形的四邊相等，一定是菱形，所以該選項(xiàng)正確，不符合題意；D．由圖可知平行邊四形的鄰邊相等，所以平行四邊形的四邊相等，一定是菱形，所以該選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：A．14．（2023?新城區(qū)校級一模）在平行四邊形ABCD中，添加下列條件，能判定平行四邊形ABCD是菱形的是（）A．AB＝AD B．AC＝BD C．∠ABC＝90° D．AB＝CD【答案】A【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB＝AD，∴平行四邊形ABCD是菱形，故選：A．15．（2023春?長壽區(qū)校級月考）下列說法錯誤的是（）A．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等 B．同旁內(nèi)角互補(bǔ) C．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形 D．一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形【答案】B【解答】解：A．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，正確，不符合題意；B．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，錯誤，故符合題意；C．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，正確，故不符合題意；D．一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形，正確，故不符合題意．故選：B．16．（2023春?秦皇島月考）已知如圖，在?ABCD中，AD＞AB，∠ABC為銳角，將△ABC沿對角線AC邊平移，得到△A′B′C′，連接AB′和C′D，若使四邊形AB′C′D是菱形，需添加一個條件，現(xiàn)有三種添加方案，甲方案：AB′＝DC′；乙方案：B′D⊥AC′；丙方案：∠A′C′B′＝∠A′C′D；其中正確的方案是（）A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙 C．只有甲、乙 D．只有甲【答案】B【解答】解：根據(jù)題意可知AD＝B'C'，AD∥B'C'，∴四邊形AB'C'D是平行四邊形．方案甲，AB'＝C'D不能判斷四邊形AB'C'D是菱形；方案乙，由B'D⊥AC'，∴平行四邊形AB'C'D是菱形；方案丙，由∠A'C'B'＝∠A'C'D，又AD∥B'C'，∴∠DAC'＝∠A'C'B'，∴∠DAC'＝∠AC'D，∴AD＝C'D，∴平行四邊形AB'C'D是菱形．所以正確的是乙和丙．故選：B．17．（2022秋?興平市期末）下列條件中，能判定四邊形是菱形的是（）A．對角線垂直 B．兩對角線相等 C．兩對線互相平分 D．兩對角線互相垂直平分【答案】D【解答】解：A、∵對角線垂直的四邊形不一定是菱形，∴選項(xiàng)A不符合題意；B、∵兩條對角線相等的四邊形不是菱形，∴選項(xiàng)B不符合題意；C、∵兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，∴選項(xiàng)C不符合題意；D、∵兩條對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，∴選項(xiàng)D符合題意；故選：D．18．（2023春?海珠區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，G、H分別是BD、AC的中點(diǎn)，依次連接E、G、F、H得到四邊形EGFH，要使四邊形EGFH是菱形，可添如條件AB＝CD（答案不唯一）．【答案】AB＝CD（答案不唯一）．【解答】解：∵E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，G、H分別是BD、AC的中點(diǎn)，∴，∵四邊相等的四邊形是菱形，∴當(dāng)AB＝CD時，F(xiàn)H＝GE＝GF＝EH，此時四邊形EGFH是菱形；∴可添加的條件為：AB＝CD；故答案為：AB＝CD（答案不唯一）．19．（2023春?通州區(qū)期中）如圖，AE∥BF，AC平分∠BAE交BF于點(diǎn)C，CD∥AB交AE于點(diǎn)D．求證：四邊形ABCD是菱形．【答案】見解析．【解答】證明：∵AE∥BF，CD∥AB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵AC平分∠BAE，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB，∴AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形；20．（2023春?天河區(qū)校級期中）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，延長BC至E，使點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，連接AD，AC，CE，DE，AG與DE相交于點(diǎn)O．（1）求證：AC＝DE；（2）當(dāng)∠BAE＝90°時，求證：四邊形ACED是菱形．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，∴BC＝CE，∴AD＝CE，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴AC＝DE；（2）證明：由（1）可知四邊形ACED是平行四邊形，∵∠BAE＝90°，點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，∴AC＝CE＝BC，∴平行四邊形ACED是菱形．21．（2023?嶗山區(qū)一模）如圖，?ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)B作BP∥AC，過點(diǎn)C作CP∥BD，BP與CP相交于點(diǎn)P．（1）證明四邊形BPCO為平行四邊形；（2）給?ABCD添加一個條件，使得四邊形BPCO為菱形，并說明理由．【答案】（1）見解析過程；（2）添加AC＝BD，使得四邊形BPCO為菱形，理由見解析過程．【解答】（1）證明：∵BP∥AC，CP∥BD，∴四邊形BPCO為平行四邊形；（2）解：添加AC＝BD，使得四邊形BPCO為菱形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO，又∵AC＝BD，∴BO＝CO，∴平行四邊形BPCO是菱形．22．（2023春?棲霞區(qū)校級期中）如圖，在?ABCD中，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N在對角線AC上，且AM＝CN．（1）求證：四邊形EMFN是平行四邊形；（2）當(dāng)△ABC滿足條件AB⊥AC時，?EMFN是菱形．【答案】（1）見解答；（2）AB⊥AC（或∠BAC＝90°）．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EAM＝∠FCN，∵E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，∴AE＝AD，CF＝BC，又AD＝BC，∴AE＝CF，∵AM＝CN，∴△AEM≌△CFN（SAS），∴EM＝FN，∠AME＝∠CNF，∵∠AME+∠EMN＝180°，∠CNF+∠FNM＝180°，∴∠EMN＝∠FNM，∴EM∥FN，∴四邊形EMFN是平行四邊形；（2）解：連接EF交AC于O，如圖所示：由（1）得：AE∥BF，AE＝BF，∴四邊形AEFB是平行四邊形，∴AB∥EF，當(dāng)AB⊥AC（或∠BAC＝90°），∴∠BAC＝90°，∴∠COF＝∠BAC＝90°，∴EF⊥MN，∴四邊形EMFN是菱形．故答案為：AB⊥AC（或∠BAC＝90°）．23．（2023春?青秀區(qū)校級月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，邊AB的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，交CB的延長線于點(diǎn)F，連接AF，BE．（1）求證：△AGE≌△BGF；（2）求證：四邊形AFBE是菱形．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEG＝∠BFG，∵EF垂直平分AB，∴AG＝BG，在△AGE和△BGF中，，∴△AGE≌△BGF（AAS）；（2）∵△AGE≌△BGF，∴AE＝BF，∵AD∥BC，∴四邊形AFBE是平行四邊形，又∵EF⊥AB，∴平行四邊形AFBE是菱形【題型3菱形的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用】24．（2023?西山區(qū)一模）如圖，將兩條寬度都為1的紙條重疊在一起，使∠ABC＝60°，則四邊形ABCD的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵紙條的對邊平行，即AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵兩張紙條的寬度都是1，∴S四邊形ABCD＝AB×1＝BC×1，∴AB＝BC，∴平行四邊形ABCD是菱形．如圖，過A作AE⊥BC，垂足為E，∵∠ABC＝60°，∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，∴AB＝2BE，在△ABE中，AB2＝BE2+AE2，即AB2＝AB2+12，解得AB＝，∴S四邊形ABCD＝BC?AE＝×1＝．故選：D．25．（2022春?高邑縣期末）如圖，在∠MON的兩邊上分別截取OA，OB，使OA＝OB；再分別以點(diǎn)A，B為圓心，OA長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C；再連接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4．則四邊形AOBC的面積是（）A．4 B．8 C．4 D．【答案】C【解答】解：由題意得：OA＝AC＝BC＝OB，∴四邊形OACB是菱形，∵AB＝2，OC＝4，∴菱形OACB的面積＝OC?AB＝×4×2＝4，故選：C．26．（2022秋?青羊區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，分別以C、B為圓心取AB的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D．連接BD、AD．若∠ABD＝130°，則∠CAD＝25°．【答案】25°．【解答】解：連接CD，如圖．∵分別以C、B為圓心取AB的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，∴BD＝CD＝AB，∵AB＝AC，∴AB＝BD＝CD＝AC，∴四邊形ABDC是菱形，∴BD∥AC，∠CAD＝∠BAC，∴∠BAC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣130°＝50°，∴∠CAD＝25°．故答案為：25°．27．（2022春?互助縣期中）如圖，線段AB＝10，分別以A、B兩點(diǎn)為圓心，以6長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C、點(diǎn)D，連接CD，則CD＝2．【答案】2．【解答】解：由題意得AC＝AD＝BC＝BD＝6，∴四邊形ACBD是菱形，∴AB⊥CD，設(shè)AB與CD相交于點(diǎn)O，則OA＝OB＝AB＝5，OC＝OD，在Rt△AOC中，OC＝＝，∴CD＝2，故答案為：2．28．（2023春?長沙期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若，BD＝2，求OE的長．【答案】（1）見解析；（2）2．【解答】（1）證明：∵AB∥DC，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC為∠DAB的平分線，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AD＝AB，∴平行四邊形ABCD是菱形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴，在Rt△AOB中，，OB＝1，∴，∴OE＝OA＝2．29．（2023春?璧山區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線BD的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于點(diǎn)M、N．（1）求證：四邊形BNDM是菱形；（2）若菱形BNDM的周長為68，MN＝16，求菱形BNDM的面積．【答案】（1）見解答；（2）240．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO，∵M(jìn)N是對角線BD的垂直平分線，∴OB＝OD，MN⊥BD，在△MOD和△NOB中，，∴△MOD≌△NOB（AAS），∴OM＝ON，∵OB＝OD，∴四邊形BNDM是平行四邊形，又∵M(jìn)N⊥BD，∴平行四邊形BNDM是菱形；（2）解：由（1）可知，OB＝OD，OM＝ON＝MN＝8，∵四邊形BNDM是菱形，周長為52，∴BN＝DN＝DM＝BM＝×68＝17，∵M(jìn)N⊥BD，∴∠BON＝90°，∴OB＝＝＝＝15，∴BD＝2OB＝30，∴S菱形BNDM＝BD?MN＝×30×16＝240．30．（2023?安岳縣一模）如圖，在?ABCD中，O為BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作EF⊥BD，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形BEDF是菱形；（2）若AB＝2，AD＝4，∠BAD＝120°，求DE的長．【答案】（1）證明見解答；（2）DE的長為．【解答】（1）證明：∵O為BD的中點(diǎn)，∴OB＝OD，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CB∥AD，∴∠OBF＝∠ODE，在△OBF與△ODE中，，∴△OBF≌△ODE（AAS），∴OF＝OE，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∵EF⊥BD，∴四邊形BEDF是菱形．（2）解：作BH⊥AD交DA的延長線于點(diǎn)H，則∠H＝90°，∵∠BAD＝120°，∴∠BAH＝180°﹣∠BAD＝60°，∵AB＝2，AD＝4，∴AH＝AB?cos60°＝2×＝1，BH＝AB?sin60°＝2×＝，∴DE＝AH+AD＝1+4＝5，設(shè)DE＝x，EH＝5﹣x，∵四邊形BEDF是菱形，∴BE＝DE＝x，∵BH2+EH2＝BE2，∴（）2+（5﹣x）2＝x2，解得x＝，∴DE的長為．31．（2023?文山市一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若AB＝6，BD＝4，求OE的長．【答案】（1）見解析；（2）．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC為∠DAB的平分線，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB．∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AD＝AB，∴平行四邊形ABCD是菱形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA，∵BD＝4，∴OB＝2，在Rt△AOB中，AB＝6，OB＝2，，．32．（2023?九臺區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，過點(diǎn)D作∠ADC的角平分線交AB于點(diǎn)E，連接AC交DE于點(diǎn)O，AD∥CE．（1）求證：四邊形AECD是菱形；（2）若AD＝10，△ACD的周長為36，求菱形AECD的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）96．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，AD∥CE，∴四邊形AECD是平行四邊形，∠CDE＝∠AED，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADE，∴∠AED＝∠ADE，∴AD＝AE，∴平行四邊形AECD是菱形；（2）解：由（1）可知，四邊形AECD是菱形，∴OA＝OC，CD＝AD＝10，OD＝OE，AC⊥DE，∵△ACD的周長為36，∴AC＝36﹣AD﹣CD＝36﹣10﹣10＝16，∴OA＝OC＝8，在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝6，∴DE＝2OD＝12，∴菱形AECD的面積＝AC?DE＝×16×12＝96．33．（2023春?天津期中）如圖，在△ABC中，∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D，DE∥AB，DF∥AC．（1）求證四邊形AFDE是菱形；（2）若∠BAC＝90°，且，求四邊形AFDE的面積．【答案】（1）見解析；（2）4．【解答】（1）證明：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四邊形AFDE是平行四邊形，∵AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠EAD，∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EDA＝∠EAD，∴AE＝DE，∴平行四邊形AFDE是菱形．（2）解：∵∠BAC＝90°，∴四邊形AFDE是正方形，∵，∴，∴四邊形AFDE的面積為2×2＝4．34．（2023?長沙模擬）如圖，在Rt△ABF中，∠F＝30°，E，D分別是AF，BF的中點(diǎn)，延長ED到點(diǎn)C，使得CD＝2DE，連接CB．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若DE＝，求菱形ABCD的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）6．【解答】（1）證明：∵E，D分別是AF，BF的中點(diǎn)，∴DE是△ABF的中位線，∴DE∥AB且2DE＝AB，∵CD＝2DE，∴AB＝CD，∵CD∥AB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠BAF＝90°，D是斜邊BF的中點(diǎn)，∴AD＝BF＝DF＝BD，∴平行四邊形ABCD是菱形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD，由（1）可知，AD＝DF＝BD，DE∥AB，∴∠DEF＝∠BAF＝90°，∴CE⊥AF，∵∠F＝30°，∴CD＝DF＝2DE＝2，∴EF＝＝＝3，∵E是AF的中點(diǎn)，∴AE＝EF＝3，∴菱形ABCD的面積＝CD?AE＝2×3＝6．【題型4菱形中最小值問題】35．（2022春?銅山區(qū)期中）如圖，菱形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，AC＝12，BD＝16，點(diǎn)P為邊BC上一動點(diǎn)，且點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合．作PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，連結(jié)EF，取EF的中點(diǎn)M，則PM的最小值為（）A．2 B．2.4 C．3 D．2.5【答案】B【解答】解：連接OP，∵四邊形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，∴BC＝＝10，∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，∴∠FOE＝∠PEO＝∠PFO＝90°∴四邊形OEPF是矩形，∴FE＝OP，∵當(dāng)OP⊥BC時，OP有最小值，此時S△OBC＝OB?OC＝BC?OP，∴OP＝＝4.8，∴EF的最小值為4.8，∴MP的最小值＝×4.8＝2.4．故選：B．36．（2022春?東營區(qū)期末）已知菱形ABCD，E、F是動點(diǎn)，邊長為5，BE＝AF，∠BAD＝120°，則下列命題中正確的是（）①△BEC≌△AFC；②△ECF為等邊三角形；③△ECF的邊長最小值為3；④若AF＝2，則S△FGC＝S△EGC．A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，AD∥BC，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝60°，∴∠B＝180°﹣∠BAD＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°．∵BE＝AF，∠B＝∠CAF，BC＝AC，∴△BEC≌△AFC（SAS）；故①正確；∵△BEC≌△AFC；∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE，∴∠BCA＝∠ECF＝60°，∴△ECF是等邊三角形，故②正確；∵△ABC是等邊三角形，AB＝BC＝5，∴當(dāng)CE⊥AB時，△ECF的邊長取最小值，在Rt△CBE中，∠B＝60°，BC＝5，∴CE＝BC?sinB＝5×＝，∴△ECF的邊長最小值為，故③錯誤；過點(diǎn)E作EM∥BC，交AC于點(diǎn)M，∵△BEC≌△AFC，∴BE＝AF＝2，∵AB＝5，∴AE＝AB﹣BE＝5﹣2＝3．∵EM∥BC，∴∠AEM＝∠B＝60°，∠AME＝∠ACB＝60°，∴△AEM是等邊三角形，∴AE＝EM＝3．∵AD∥BC，∴AF∥EM，∴＝＝，∴S△FGC＝S△EGC，方法2：∵AF＝2，∴AE＝3，∵菱形對角線是∠EAF的角平分線，∴點(diǎn)G到AF和AE兩邊距離相等，∴兩個三角形等高，∴面積比＝AF：AE＝2：3．故④正確．故選：C．37．（2022春?孝感期末）如圖，菱形ABCD的兩條對角線長AC＝6，BD＝8，點(diǎn)E是BC邊上的動點(diǎn)，則AE長的最小值為（）A．4 B． C．5 D．【答案】B【解答】解：∵點(diǎn)E是BC邊上的一動點(diǎn)，∴AE⊥BC時，AE有最小值，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝4，∴BC＝＝＝5，∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝BC×AE，∴AE＝，故AE長的最小值為，故選：B．38．（2022春?余姚市期末）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動點(diǎn)，連結(jié)AE，EF，G，H分別為AE，EF的中點(diǎn)，連結(jié)GH．若∠B＝45°，BC＝2，則GH的最小值為（）A． B． C．2 D．3【答案】A【解答】解：連接AF，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝2，∵G，H分別為AE，EF的中點(diǎn)，∴GH是△AEF的中位線，∴GH＝AF，當(dāng)AF⊥BC時，AF最小，GH得到最小值，則∠AFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF＝AB＝×2＝2，∴GH＝，即GH的最小值為，故選：A．39．（2023?泰山區(qū)一模）如圖，菱形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，AC＝6，BD＝8，點(diǎn)P為邊BC上一點(diǎn)，且P不與B、C重合．過P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，連接EF，則EF的最小值等于．【答案】．【解答】解：連接OP，作OG⊥BC于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，∴OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3，∵AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴BC＝＝＝5，∵BC?OG＝OB?OC＝S△BOC，∴×5OG＝×4×3，∴OG＝，∵PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，∴∠PEO＝∠PFO＝∠EOF＝90°，∴四邊形PEOF是矩形，∴EF＝OP，∵OP≥OG，∴EF≥，∴EF的最小值等于，故答案為：．40．（2023春?溧陽市期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于O，點(diǎn)H是線段BC的動點(diǎn)，連接OH．若OB＝4，S菱形ABCD＝24，則OH的最小值是2.4．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO＝DO＝4，OA＝CO，∴BD＝8，∵S菱形ABCD＝AC?BD＝24，∴AC＝＝＝6，∴OA＝CO＝3，由勾股定理得：BC＝＝＝5，∵當(dāng)OH最小時，OH⊥BC，此時S△OBC＝BO?CO＝BC?OH，∴OH＝＝＝2.4，即OH最小值為2.4，故答案為：2.4．41．（2022春?東城區(qū)期末）如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝60°，點(diǎn)E是AD邊上一動點(diǎn)（不與A，D重合），點(diǎn)F是CD邊上一動點(diǎn)，DE+DF＝2，則∠EB