湖南省A佳教育大聯盟2024-2025學年高三質量檢測試題（二）模數學試題試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數（）的圖像可以是（）A． B．C． D．2．已知x，y滿足不等式，且目標函數z＝9x+6y最大值的變化范圍[20，22]，則t的取值范圍（）A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7]3．已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，點為拋物線上任意一點的平分線與軸交于，則的最大值為A． B． C． D．4．設，是非零向量，若對于任意的，都有成立，則A． B． C． D．5．已知，，那么是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．設函數，當時，，則（）A． B． C．1 D．7．將4名大學生分配到3個鄉鎮去當村官，每個鄉鎮至少一名，則不同的分配方案種數是()A．18種 B．36種 C．54種 D．72種8．根據黨中央關于“精準”脫貧的要求，我市某農業經濟部門派四位專家對三個縣區進行調研，每個縣區至少派一位專家，則甲，乙兩位專家派遣至同一縣區的概率為（）A． B． C． D．9．函數且的圖象是（）A． B．C． D．10．的展開式中的系數是（）A．160 B．240 C．280 D．32011．已知函數，則不等式的解集為（）A． B． C． D．12．已知是虛數單位，若，則（）A． B．2 C． D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復數滿足，其中為虛數單位，則的共軛復數在復平面內對應點的坐標為_____．14．已知變量(m>0)，且，若恒成立，則m的最大值________．15．(x＋y)(2x－y)5的展開式中x3y3的系數為________.16．某班有學生52人,現將所有學生隨機編號,用系統抽樣方法,抽取一個容量為4的樣本,已知5號、31號、44號學生在樣本中,則樣本中還有一個學生的編號是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，，，且的面積為.(1)求；(2)求的周長.18．（12分）在平面直角坐標系中，已知直線的參數方程為（為參數），圓的方程為，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求和的極坐標方程；（2）過且傾斜角為的直線與交于點，與交于另一點，若，求的取值范圍.19．（12分）已知與有兩個不同的交點，其橫坐標分別為（）.（1）求實數的取值范圍；（2）求證：.20．（12分）某保險公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫療保險，現從名參保人員中隨機抽取名作為樣本進行分析，按年齡段分成了五組，其頻率分布直方圖如下圖所示；參保年齡與每人每年應交納的保費如下表所示.據統計，該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費用為一百萬元.年齡（單位：歲）保費（單位：元）（1）用樣本的頻率分布估計總體分布，為使公司不虧本，求精確到整數時的最小值；（2）經調查，年齡在之間的老人每人中有人患該項疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費為元，如果參保，保險公司補貼治療費元.某老人年齡歲，若購買該項保險(取中的).針對此疾病所支付的費用為元；若沒有購買該項保險，針對此疾病所支付的費用為元.試比較和的期望值大小，并判斷該老人購買此項保險是否劃算？21．（12分）如圖在直角中，為直角，，，分別為，的中點，將沿折起，使點到達點的位置，連接，，為的中點．（Ⅰ）證明：面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．22．（10分）在平面直角坐標系xOy中，曲線的參數方程為（，為參數），在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線是圓心在極軸上，且經過極點的圓．已知曲線上的點M對應的參數，射線與曲線交于點．（1）求曲線，的直角坐標方程；（2）若點A，B為曲線上的兩個點且，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

根據，可排除，然后采用導數，判斷原函數的單調性，可得結果.【詳解】由題可知：，所以當時，，又，令，則令，則所以函數在單調遞減在單調遞增，故選：B本題考查函數的圖像，可從以下指標進行觀察：（1）定義域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）單調性；（5）值域，屬基礎題.2．B【解析】

作出可行域，對t進行分類討論分析目標函數的最大值，即可求解.【詳解】畫出不等式組所表示的可行域如圖△AOB當t≤2時，可行域即為如圖中的△OAM，此時目標函數z＝9x+6y在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合題意t＞2時可知目標函數Z＝9x+6y在的交點（）處取得最大值，此時Z＝t+16由題意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故選：B．此題考查線性規劃，根據可行域結合目標函數的最大值的取值范圍求參數的取值范圍，涉及分類討論思想，關鍵在于熟練掌握截距型目標函數的最大值最優解的處理辦法.3．A【解析】

求出拋物線的焦點坐標，利用拋物線的定義，轉化求出比值，，求出等式左邊式子的范圍，將等式右邊代入，從而求解．【詳解】解：由題意可得，焦點F（1，0），準線方程為x＝?1，

過點P作PM垂直于準線，M為垂足，

由拋物線的定義可得|PF|＝|PM|＝x＋1，

記∠KPF的平分線與軸交于

根據角平分線定理可得，，當時，，當時，，，綜上：．故選：A．本題主要考查拋物線的定義、性質的簡單應用，直線的斜率公式、利用數形結合進行轉化是解決本題的關鍵．考查學生的計算能力，屬于中檔題．4．D【解析】

畫出，，根據向量的加減法，分別畫出的幾種情況，由數形結合可得結果.【詳解】由題意，得向量是所有向量中模長最小的向量，如圖，當，即時，最小，滿足，對于任意的，所以本題答案為D.本題主要考查了空間向量的加減法，以及點到直線的距離最短問題，解題的關鍵在于用有向線段正確表示向量，屬于基礎題.5．B【解析】

由，可得，解出即可判斷出結論．【詳解】解：因為，且．，解得．是的必要不充分條件．故選：．本題考查了向量數量積運算性質、三角函數求值、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．6．A【解析】

由降冪公式，兩角和的正弦公式化函數為一個角的一個三角函數形式，然后由正弦函數性質求得參數值．【詳解】，時，，，∴，由題意，∴．故選：A．本題考查二倍角公式，考查兩角和的正弦公式，考查正弦函數性質，掌握正弦函數性質是解題關鍵．7．B【解析】

把4名大學生按人數分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個鄉鎮即得.【詳解】把4名大學生按人數分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個鄉鎮，則不同的分配方案有種.故選：.本題考查排列組合，屬于基礎題.8．A【解析】

每個縣區至少派一位專家，基本事件總數，甲，乙兩位專家派遣至同一縣區包含的基本事件個數，由此能求出甲，乙兩位專家派遣至同一縣區的概率.【詳解】派四位專家對三個縣區進行調研，每個縣區至少派一位專家基本事件總數：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區包含的基本事件個數：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區的概率為：本題正確選項：本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.9．B【解析】

先判斷函數的奇偶性，再取特殊值，利用零點存在性定理判斷函數零點分布情況，即可得解.【詳解】由題可知定義域為，，是偶函數，關于軸對稱，排除C，D.又，，在必有零點，排除A.故選：B.本題考查了函數圖象的判斷，考查了函數的性質，屬于中檔題.10．C【解析】

首先把看作為一個整體，進而利用二項展開式求得的系數，再求的展開式中的系數，二者相乘即可求解.【詳解】由二項展開式的通項公式可得的第項為，令，則，又的第為，令，則，所以的系數是.故選：C本題考查二項展開式指定項的系數，掌握二項展開式的通項是解題的關鍵，屬于基礎題.11．D【解析】

先判斷函數的奇偶性和單調性，得到，且，解不等式得解.【詳解】由題得函數的定義域為.因為，所以為上的偶函數，因為函數都是在上單調遞減.所以函數在上單調遞減.因為，所以，且，解得.故選：D本題主要考查函數的奇偶性和單調性的判斷，考查函數的奇偶性和單調性的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.12．A【解析】

直接將兩邊同時乘以求出復數，再求其模即可.【詳解】解：將兩邊同時乘以，得故選：A考查復數的運算及其模的求法，是基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

把已知等式變形，再由復數代數形式的乘除運算化簡，求出得答案．【詳解】，，則，的共軛復數在復平面內對應點的坐標為，故答案為本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的代數表示法及其幾何意義準確計算是關鍵，是基礎題．14．【解析】

在不等式兩邊同時取對數，然后構造函數f（x）＝，求函數的導數，研究函數的單調性即可得到結論．【詳解】不等式兩邊同時取對數得，即x2lnx1＜x1lnx2，又即成立，設f（x）＝，x∈（0，m），∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），則函數f（x）在（0，m）上為增函數，函數的導數，由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，得0＜x＜e，即函數f（x）的最大增區間為（0，e），則m的最大值為e故答案為：e本題考查函數單調性與導數之間的應用，根據條件利用取對數得到不等式,從而可構造新函數，是解決本題的關鍵15．40【解析】

先求出的展開式的通項，再求出即得解.【詳解】設的展開式的通項為，令r=3,則，令r=2,則，所以展開式中含x3y3的項為.所以x3y3的系數為40.故答案為：40本題主要考查二項式定理求指定項的系數，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.16．18【解析】

根據系統抽樣的定義和方法,所抽取的4個個體的編號成等差數列,故可根據其中三個個體的編號求出另一個個體的編號.【詳解】解：根據系統抽樣的定義和方法,所抽取的4個個體的編號成等差數列,已知其中三個個體的編號為5,31,44,故還有一個抽取的個體的編號為18,故答案為:18本題主要考查系統抽樣的定義和方法,屬于簡單題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1）利用正弦，余弦定理對式子化簡求解即可；（2）利用余弦定理以及三角形的面積，求解三角形的周長即可．【詳解】（1），由正弦定理可得：，即：，由余弦定理得.（2）∵，所以，，又，且，，的周長為本題考查正弦定理以及余弦定理的應用，三角形的面積公式，也考查計算能力，屬于基礎題.18．（1）；（2）【解析】

（1）直接利用轉換公式，把參數方程，直角坐標方程與極坐標方程進行轉化；（2）利用極坐標方程將轉化為三角函數求解即可.【詳解】（1）因為，所以的普通方程為，又，，，的極坐標方程為，的方程即為，對應極坐標方程為.（2）由己知設，，則，，所以，又，，當，即時，取得最小值；當，即時，取得最大值.所以，的取值范圍為.本題主要考查了直角坐標方程，參數方程與極坐標方程的互化，三角函數的值域求解等知識，考查了學生的運算求解能力.19．（1）；（2）見解析【解析】

（1）利用導數研究的單調性，分析函數性質，數形結合，即得解；（2）構造函數，可證得：，，分析直線，與從左到右交點的橫坐標，在，處的切線即得解.【詳解】（1）設函數，，令，令故在單調遞減，在單調遞增，∴，∵時；；時.（2）①過點，的直線為，則令，，，.②過點，的直線為，則，在上單調遞增.③設直線，與從左到右交點的橫坐標依次為，，由圖知.④在，處的切線分別為，，同理可以證得，.記直線與兩切線和從左到右交點的橫坐標依次為，.本題考查了函數與導數綜合，考查了學生數形結合，綜合分析，轉化劃歸，邏輯推理，數學運算的能力，屬于較難題.20．（1）30；（2），比較劃算.【解析】

（1）由頻率和為1求出，根據的值求出保費的平均值，然后解一元一次不等式即可求出結果，最后取近似值即可；（2）分別計算參保與不參保時的期望，，比較大小即可.【詳解】解:（1）由，解得.保險公司每年收取的保費為:∴要使公司不虧本，則，即解得∴.（2）①若該老人購買了此項保險，則的取值為∴(元).②若該老人沒有購買此項保險，則的取值為.∴(元).∴年齡為的該老人購買此項保險比較劃算.本題考查學生利用相關統計圖表知識處理實際問題的能力，掌握頻率分布直方圖的基本性質，知道數學期望是平均數的另一種數學語言，為容易題.21．（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）取中點，連結、，四邊形是平行四邊形，由