勾股定理與特殊角度（30°、45°、60°）的靈活應用—2025年中考數學總復習考前板塊訓練一、選擇題1．如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于點C，∠OAB=30°，AB=23，點P為⊙O所在平面內一點，且OP=3，則點P與⊙OA．點P在⊙O內 B．點P在⊙O外 C．點P在⊙O上 D．無法確定2．如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，∠AOB=60°，已知AB=1，則該矩形的面積是（）A．32 B．2 C．3 3．如圖，CD與⊙O相切于點C，AD經過圓心O，若∠D=30°，CD=3，則ACA．2π3 B．π2 C．π34．如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，動點D從點A出發，沿A→C→B以1cm/s的速度勻速運動到點B，過點D作DE⊥AB于點E，圖②是點D運動時，△ADE的面積y(cm2A．4cm B．6cm C．8cm5．在《生活中的平移現象》的數學討論課上，小王和小李先將一塊含30°的三角板描邊得到△ABC，后沿著直尺BC方向平移2cm，再描邊得到△DEF，連接AD．如圖，經測量發現AB的為4cm，則四邊形ACFD的周長為（）A．43+2cm B．83+4cm C．436．如圖，AC為⊙O的直徑，點B，D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，則AD的長為（）A．2 B．22 C．237．如圖，菱形ABCD的邊長為3，∠ADC=60°，過點D作DE⊥AB，交BA的延長線于點E，連結CE分別交BD，AD于點G，F，則FG的長為()A．75 B．275 C．38．菱形是日常生活中常見的圖形，如伸縮衣架（如圖1）等，為兼顧美觀性和實用性，活動角α的取值范圍宜為60°≤α≤120°（如圖2），亮亮選購了如圖2所示的伸縮衣架，已知圖中每個菱形的邊長為15cm，則其拉伸長度AB的適宜范圍是（）A．30≤AB≤45 B．45≤AB≤453 C．45≤AB≤303 二、填空題9．如圖，菱形ABCD的邊長為8，∠A=45°，分別以點A，D為圓心，大于12AD的長為半徑畫弧，兩弧相交于M，N兩點，直線MN交AB于點E，連接CE，則CE的長為10．如圖，四邊形ABCD中，已知AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分別為C，D．若BC＝2，CD＝32，∠ACD＝45°，則AB＝．11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D是AB上一點，點E在BC上，連接CD12．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝43，點E和點F分別是邊AB、BC上兩點．連接EF，將△BEF沿EF折疊，點B與點D重合，點D恰好是邊AC的中點，則EF＝．13．已知等腰△ABC，∠A=120°，AB=2．現將△ABC以點B為旋轉中心逆時針旋轉45°，得到△A'BC'，延長C'A'交直線14．如圖所示，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜邊AB的中點，M為BC下方一點，且OM=132，CM=5，∠BMC=45°，則BM=15．如圖，在三角形△ABC中，∠A=45°，AB=8，CD為AB邊上的高，CD=6，點P為邊BC上的一動點，P1，P2分別為點P關于直線AB，AC的對稱點，連接P1P216．如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，垂足為D，AD=5，AE=3，過點E作EF⊥AD交AC于點F，連接DF，且滿足∠DFE=2∠DAC，則BD+53EF17．如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD>90°，AC⊥BC，若AB=2，18．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，將△BCE沿BE翻折至△BFE，BF，CF的延長線分別交AD于H，G兩點，若CEDE=2三、證明題19．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90，∠C=30°，E，F分別是BC，AC的中點，延長BA到點D，使AB=2AD，連接（1）試說明AF與DE互相平分；（2）若AB=2，求DE的長．四、解答題20．在學習了勾股定理后，小品對他家附近的一個公園里的音樂噴泉池產生了測量興趣，如圖，音樂噴泉池為四邊形ABCD，在AC連線上有一地方性標志物E，據了解，修建該噴泉池時要求EC=23AE，四邊形ABCD為人行觀賞步道，小品通過儀器測量得到，A在C的正西方，D在A的東北方向，且DA=DC，B在E的正南方150米處，恰好又在A的南偏東30°方向，由此他腦海里產生了以下數學問題，請你幫他解決一下．（參考數據：2≈1.414，3≈1.732，（1）求A、C之間的距離（結果保留根號）；（2）小品和姐姐同時從A點出發，沿著不同的方向到C點匯合，其中小品沿著①：A→B→C的方向步行，姐姐沿著②A→D→C的方向步行，通過計算說明哪一條路更近？（結果精確到個位）五、實踐探究題21．【背景】喜歡思考的小明在學習等邊三角形的有關性質時注意到：等邊△ABC頂角的平分線AD與底邊BC上的中線、底邊BC上的高線互相重合，則可得到直角三角形ABD，在Rt△ABD中，∠BAD=30°，∠BDA=90°，BD=12BC=【類比】由矩形對角線的性質，你可以得到直角三角形的一條性質：__________即在Rt△ADC中，線段OD和線段AC之間的數量關系是______．【應用】請利用以上結論解決下面兩個問題在?ABCD中，對角線AC垂直于AB，∠B=60°，AB=1，點E、F分別是BC、AD的中點．（1）判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．（2）求四邊形AECF的面積．22．【知識技能】（1）如圖1，在等邊三角形ABC內有一點M．若點M到頂點C,A,B的距離分別為6，10，8，求∠BMC的度數．為了解決本題，我們可以將△AMC繞頂點C逆時針旋轉60°到△BM'C處，此時△BM'【構建聯系】利用（1）的解答思想方法，解答下面的問題．（2）如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,P,Q為AB上的點，且∠PCQ=45°，求證：PQ【深入探究】（3）如圖3，在等邊三角形ABC中，AC=2,O為△ABC內一點，連接AO,BO,CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，求OA+OB+OC的值．

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】C3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】B9．【答案】410．【答案】211．【答案】212．【答案】2113．【答案】4+214．【答案】715．【答案】2416．【答案】2517．【答案】1+18．【答案】519．【答案】（1）解：∵E，F分別是BC，AC的中點，

∴EF∥AB，AB=2EF，

∵AB=2AD，

∴EF=AD，

∴四邊形ADFE是平行四邊形，

∴AF與（2）解：∵AB=2，

∴AD=1，

∵∠BAC=90°，∠C=30°，

∴BC=2AB=4，

由勾股定理得，AC=BC2?AB2=23，

∴AF=3，OA=OF=12AF=32，

由勾股定理得，OD=A20．【答案】（1）解：連接BE，由題意得BE⊥AC，∠ABE=30°，BE=150米，在Rt△ABE中，AB=2AE，由勾股定理得AE2=A解得AE=503，AB=100∵EC=23∴EC=23∴AC=AE+CE=300+50（2）解：∵D在A的東北方向，∴∠DAC=45°，∵DA=DC，∴∠DAC=∠DCA=45°，∴∠ADC=90°，由勾股定理得AD∴DA=DC=2∴DA+DC=3002在Rt△BCE中，BC=C∴AB+BC=1003∵547>509，∴路線②更近．21．【答案】【類比】直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；OD=12AC；

【應用】（1）菱形．理由如下：

∵AC⊥AB，

∴∠BAC=90°，

點E是BC的中點，

∴AE=12BC=EC，

∵AC⊥AB，AB∥CD，

∴AC⊥CD，∴∠ACD=90°，

點F是AD的中點，

∴CF=12AD=AF，

又∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AF∥EC，AD=BC，

即AE=EC=CF=AF，

∴四邊形AECF為菱形；

（2）∵AB=1，∠B=60°，AC⊥AB，

∴∠ACB=30°，即AB=12BC=1，

∴BC=2，

∵BE=EC，

∴△AEC和△ABE是等底同高，

∴S△ABE=S△AEC，22．【答案】（1）150；（2）證明：如圖2，把△APC繞點C逆時針旋轉90°得到△BCP'，連接由旋轉的性質得CP'=CP，BP'=AP∵∠PCQ=45°∴∠P∴∠PCQ=∠在△PCQ和△PCP=C∴△PCQ≌△∴PQ=∵∠ACB=90°，AC=BC∴∠A=∠A