墊江一中年春期高二（下）數學第一次月考時間：分鐘滿分：分一、選擇題（每小題5分，共8小題分）1.已知函數，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出導函數，令可得．【詳解】由已知，所以．故選：A．2.函數f（x）＝ex+x在[﹣1，1]上的最大值是（）A.eB.e+1C.﹣e+1D.e﹣1【答案】B【解析】【分析】可求導數，判斷導數的符號，從而得出在上單調遞增，從而便可求出的最大值.【詳解】，，在上單調遞增，時，的最大值為.故選：.【點睛】本題考查基本初等函數的導數的求解公式，以及根據導數符號判斷函數單調性的方法，指數函數的值域，根據單調性定義求函數最值的方法.3.設函數在定義域內可導，的圖象如圖所示，則其導函數的圖象可能是（）第1頁/共15頁A.B.C.D.【答案】D【解析】的圖象可得的圖象.【詳解】由的圖象可知，在上為單調遞減函數，故時，，故排除A，C；當時，函數的圖象是先遞增，再遞減，最后再遞增，所以的值是先正，再負，最后是正，因此排除B，故選：D.4.已知函數，若在R上單調遞增，則實數的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】恒成立.進而推得列出不等式，解不等式即可得出答案.【詳解】由已知可得，.第2頁/共15頁因為在R上單調遞增，所以恒成立.因為，所以恒成立，所以，，解得.故選：D.5.函數圖象上的點到直線的距離的最小值是（）A.B.C.1D.【答案】B【解析】平行且與函數圖象相切的直線方程為：義求得切點，再求出切點到直線的距離，即得答案.【詳解】解：設與直線平行且與函數圖象相切的直線方程為：，設切點為，又因為，所以，解得，所以切點，又因為點到直線的距離為，所以函數圖象上的點到直線的距離的最小值是.故選：B.6.從123452）A.16B.48C.75D.96【答案】B【解析】【分析】根據給定條件，利用分步乘法計數原理列式計算即得.第3頁/共15頁234種方法，所以不同取法總數是.故選：B7.已知，則a，b，c大小關系為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據式子結構，構造函數，利用導數判斷出的單調性，進而得到a，b，c的大小關系.【詳解】根據式子結構，構造函數，則，令，則，令，得，因此在單調遞增，在單調遞減，而，，，因為，所以，即.故選：D8.已知函數，則不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出函數的導數，判斷出單調性，再判斷函數的奇偶性，則不等式不等式可化為即為，運用對數函數的單調性，即可得到解集.第4頁/共15頁【詳解】函數的導數為，則x>0時，，f(x)遞增;因為，則f(x)為偶函數，則不等式可化為又因為x>0時,f(x)遞增，且f(x)為偶函數，所以，解得：故選:D(1)利用單調性解不等式通常用于：等式；④解析式較復雜的不等式；(2)解題的一般策略是：利用函數的單調性，將函數值的大小關系轉化為自變量的關系，解不等式即可．二、多選題（每小題6分，共3小題分）9.如圖所示是的導數的圖象，下列結論中正確的有（）A.在區間上是增函數B.在區間上是減函數，在區間上是增函數C.是的極大值點D.是的極小值點【答案】BCD【解析】【分析】根據函數得出導函數的符號，進而得出函數的單調性，再結合函數的極值的定義即可求解.【詳解】根據圖象知，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減，故A錯誤，故B正確；第5頁/共15頁當時，取得是極大值，是的極大值點，故C正確；當時，取得極小值，是的極小值點，故D正確.故選：BCD.10.定義：設是的導函數，是函數的導數，若方程有實數解，則稱點為函數就是三次函數圖像的對稱中心．已知函數的對稱中心為，則下列說法中正確的有（）A.B.函數既有極大值又有極小值C函數有三個零點D.對任意，都有【答案】AB【解析】ABB項結論及零點存在性定理可判定C，利用函數解析式取特殊值可判定D.【詳解】由題意可知，，而，故A正確；此時，，顯然或時，，則在上單調遞增，時，在在時取得極小值，故B正確；易知，結合B結論及零點存在性定理可知在存在一個零點，故C錯誤；易知，故D錯誤故選：AB第6頁/共15頁已知函數的導函數為，的取值可能為（）A.5B.4C.3D.2【答案】AB【解析】的取值范圍，即可判斷.【詳解】因為，令，則，所以在定義域上單調遞增，所以，即，又，，所以，所以，又，所以，，所以的可能取值為、.故選：AB的取值范圍.第7頁/共15頁三、填空題（每小題5分，共3小題分）12.若函數在處有極小值，則實數的值為______.【答案】【解析】【分析】利用函數的導數可得，解出的值之后，驗證函數在處取得極小值即可.【詳解】由已知可得，又函數在處有極小值，所以，解得，所以，當時，，當時，，所以函數在處取得極小值.故答案為：.13.由數字組成沒有重復數字的三位數，則能被5整除的三位數共有__________個.【答案】【解析】【分析】能被整除的三位數末位數字是或，分成末位數字是5和末位數字是0兩種情況討論.【詳解】能被整除的三位數說明末尾數字是或當末尾數字是有種方法；當末尾數字是時，百位數字有種不同的選法，十位有種不同的選法，根據分步乘法原理一共有種方法；則一共有種故答案為：14.設實數，若對不等式恒成立，則m的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】構造函數判定其單調性得，分離參數根據恒成立求即可.第8頁/共15頁【詳解】由，構造函數，在為增函數，則即對不等式恒成立，則，構造函數令，得；令，得；在上單調遞增，在上單調遞減，，即.故答案為：.第題題題題題分．共5小題分）15.求下列函數的導數.（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】由常見函數的導數公式及導數的運算法則可得答案.【小問1詳解】【小問2詳解】第9頁/共15頁16已知函數（1）求函數的極大值;（2）當時，求的值域.【答案】（1）極大值（2）【解析】1）求導后，分析單調性可得極值；（2）利用（1）的單調性求出即可；【小問1詳解】由題意的，令，解得或；令，解得；則在上單調遞減；在和上單調遞增，如下表：1正0負0正增極大值減極小值增所以極大值為.【小問2詳解】由（1）可知，在上單調遞減，在上單調遞增，所以最小值，又，，第10頁/共15頁所以當時，的值域為.17.已知函數．（1）若，求曲線在處切線方程；（2）若時，恒成立，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】1）先求出函數在某點的導數，該導數就是曲線在該點處切線的斜率，再結合該點的函數值，利用點斜式方程可求得切線方程.（2）將不等式恒成立問題轉化為求函數最值問題，通過求導分析函數單調性來確定最值.【小問1詳解】當時，.首先求的導數：可得.然后求和值：將代入，得.將代入，得.最后根據點斜式方程求切線方程：則切線方程為，即.【小問2詳解】當時，恒成立，即恒成立.對不等式進行化簡：可得在上恒成立.設，則.求的導數：可得.設，求的導數：.因為，所以，，則.這說明在上單調遞減.第11頁/共15頁所以，即.則在上單調遞減.所以.因此，.則實數的取值范圍是.18.已知函數，其中為實數，（1）若，求函數的最小值；（2）若方程在上有實數解，求的取值范圍；【答案】（1）2）．【解析】1）利用導數可求得單調性，由此可確定；（2）求導后，在和兩種情況下可確定單調，不滿足題意；當時，可求得單調性，結合單調性可知只需即可滿足題意，由此可求得結果.1）當時，，則，由得：；當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增；.（2）；①當時，在上恒成立，在上單調遞增，，方程在上無實數解，不合題意；②當時，在上恒成立，在上單調遞減，，方程在上無實數解，不合題意；③當時，令得：；當時，；當時，；第12頁/共15頁在上單調遞減，在上單調遞增，，，若方程在上有實數解，則只需，即，解得：，；綜上所述：的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛：本題考查根據方程有根求解參數范圍，解題關鍵是能夠通過分類討論得到函數在區間內的單調性，結合單調性確定函數最值，由此得到不等關系.19.已知函數.（1）若對任意，恒成立，求的取值范圍；（2）若函數有兩個不同的零點，，證明：.【答案】（1）2）證明見解析【解析】【分析】（1）對任意，恒成立，可變形為，因此只要求得的最大值即可，這可由導數的知識求解；（2轉化所要證不等式為，由，這時以退為進，證明，即證，現在可構造函數，.證明，這又可用導數證明．1）解：由對任意恒成立，得對任意恒成立.令，則.第13頁/共15頁令，則.在上，，單調遞增；在上，，單調遞減.故，則，即的取值范圍為.（2）證明：設，，則.在上