第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設全集，，，則集合（）A．B．C．D．2．若復數（是虛數單位）在復平面內對應的點在第一象限，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．3．對任意非零實數，若的運算原理如圖所示，則的值為（）A．2B．C．3D．4．設滿足約束條件，則的最大值為（）A．B．C．4D．55．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．18B．24C．32D．6．《九章算術》中“竹九節”問題：現有一根9節的竹子，自上而下各節的容積成等差數列，上面4節的容積共3升，下面3節的容積共4升，則第6節的容積為（）A．B．C．D．7．曲線：如何變換得到曲線：（）A．向右平移個單位B．向右平移個單位C．向左平移個單位D．向左平移個單位8．已知雙曲線的左右焦點分別為，以為圓心，為半徑的圓交的右支于兩點，若的一個內角為，則的離心率為（）A. B.C.D.9．已知正三棱柱，側面的面積為，則該正三棱柱外接球表面積的最小值為（）A．B．C．D．10．已知函數，則不等式的解集為（）A．B．C．D．11．設均為小于1的正數，且，則（）A．B．C．D．12．在數列中，，一個5行6列的數表中，第行第列的元素為，則該數表中所有元素之和為（）A．B．C．D．二、填空題（每題4分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13．三位同學要從兩門課程中任選一門作為選修課，則兩門課程都有同學選擇的概率為.14．在平行四邊形中，分別為邊的中點，若（），則.15．二項式的展開式中各項系數的和為，則該展開式中系數最大的項為.16．拋物線的焦點為，是拋物線上的兩個動點，線段的中點為，過作拋物線準線的垂線，垂足為，若，則的最大值為.三、解答題（本大題共6題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．在中，邊上一點滿足，.（1）若，求邊的長；（2）若，求.18．某網購平臺為了解某市居民在該平臺的消費情況，從該市使用其平臺且每周平均消費額超過100元的人員中隨機抽取了100名，并繪制右圖所示頻率分布直方圖，已知之間三組的人數可構成等差數列.（1）求的值；（2）分析人員對100名調查對象的性別進行統計發現，消費金額不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根據統計數據完成下列列聯表，并判斷是否有的把握認為消費金額與性別有關？（3）分析人員對抽取對象每周的消費金額與年齡進一步分析，發現他們線性相關，得到回歸方程.已知100名使用者的平均年齡為38歲，試判斷一名年齡為25歲的年輕人每周的平均消費金額為多少.（同一組數據用該區間的中點值代替），其中19．多面體中，，，是邊長為2的等邊三角形，四邊形是菱形，.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.20．已知橢圓：的左右焦點分別為，且離心率為，點為橢圓上一動點，面積的最大值為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設分別為橢圓的左右頂點，過點作軸的垂線，為上異于點的一點，以為直徑作圓.若過點的直線（異于軸）與圓相切于點，且與直線相交于點，試判斷是否為定值，并說明理由.21．已知函數，為的導函數.（1）求函數的單調區間；（2）若函數在上存在最大值0，求函數在上的最大值；（3）求證：當時，.請考生在22、23二題中任選一題作答，如果都做，則按所做的第一題記分.22．選修44：坐標系與參數方程在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）若直線與相切，求的直角坐標方程；（2）若，設與的交點為，求的面積.23．選修45：不等式選講已知函數.（1）解不等式；（2）記函數的最小值為，若均為正實數，且，求的最小值.參考答案一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．題號123456789101112選項BCDCBADCDABA二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．14．215．16．三、解答題：本大題共6小題，滿分70分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．17．解：（1）∵，∴在中，，∴，中，，由余弦定理可得，所以（2）在中，由正弦定理可得，∵，∴，∵，∴，∴，∵∴∴∴，化簡得，，∵，∴.18．解：（1）由頻率分布直方圖可知，，由中間三組的人數成等差數列可知，可解得（2）周平均消費不低于300元的頻率為，因此100人中，周平均消費不低于300元的人數為人.所以列聯表為所以有的把握認為消費金額與性別有關.（3）調查對象的周平均消費為，由題意，∴.19.（1）證明：取的中點，連結，是邊長為2的等邊三角形，所以，，四邊形是菱形，∴，∵，∴，∵，∴，∴又，所以平面平面，所以平面平面.（2）由（1）知，兩兩垂直，分別以為軸正方向，建立空間直角坐標系，因為，所以四點共面，得設平面的一個法向量為，由得，令得由題意知，，所以平面平面，所以平面的一個法向量為設二面角的大小為，則，所以二面角的余弦值為.20．（1）由題意可知，解得所以橢圓的方程為（2）由（1）可知，因為過與圓相切的直線分別切于兩點，所以，所以，設點，則，圓的半徑為則直線的方程為的方程設為，則化簡得由，得所以點所以點在橢圓上，∴，即.21．解：（1）由題意可知，，則，當時，，∴在上單調遞增；當時，解得時，，時，∴在上單調遞增，在上單調遞減綜上，當時，的單調遞增區間為，無遞減區間；當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為.（2）由（1）可知，且在處取得最大值，，即，觀察可得當時，方程成立令，當時，，當時，∴在上單調遞減，在單調遞增，∴，∴當且僅當時，，所以，由題意可知，在上單調遞減，所以在處取得最大值（3）由（2）可知，若，當時，，即，可得，令，即證令，∵∴，又，∴∴，在上單調遞減，，∴，當且僅當時等號成立所以.22．解：（1）由可得的直角坐標方程為，即，消去參數，可得，設，