二次函數(shù)知識點一、二次函數(shù)概念：1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這裏需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)，而可認為零．二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)．2.二次函數(shù)的構造特性：⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是有關自變量的二次式，的最高次數(shù)是2．⑵是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項．二、二次函數(shù)的基本形式1.二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：a的絕對值越大，拋物線的開口越小。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．向下軸時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．2.的性質(zhì)：上加下減。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．向下軸時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．3.的性質(zhì)：左加右減。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．向下X=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．4.的性質(zhì)：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．向下X=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．三、二次函數(shù)圖象的平移1.平移環(huán)節(jié)：措施一：⑴將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點坐標；⑵保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，詳細平移措施如下：2.平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”．措施二：⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）⑵沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）四、二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不一樣的體現(xiàn)形式，後者通過配方可以得到前者，即，其中．五、二次函數(shù)圖象的畫法五點繪圖法：運用配措施將二次函數(shù)化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然後在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選用的五點為：頂點、與軸的交點、以及有關對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組有關對稱軸對稱的點）.畫草圖時應抓住如下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.六、二次函數(shù)的性質(zhì)1.當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值．2.當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值．七、二次函數(shù)解析式的表達措施1.一般式：（，，為常數(shù)，）；2.頂點式：（，，為常數(shù)，）；3.兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表達．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關系1.二次項系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項系數(shù)，顯然．⑴當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；⑵當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小．2.一次項系數(shù)在二次項系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸．⑴在的前提下，當時，，即拋物線的對稱軸在軸左側；當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，，即拋物線對稱軸在軸的右側．⑵在的前提下，結論剛好與上述相反，即當時，，即拋物線的對稱軸在軸右側；當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，，即拋物線對稱軸在軸的左側．總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置．的符號的鑒定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側則，概括的說就是“左同右異”總結：3.常數(shù)項⑴當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正；⑵當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為；⑶當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負．總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置．總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．二次函數(shù)解析式確實定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，一般運用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇合適的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種狀況：1.已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2.已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（小）值，一般選用頂點式；3.已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4.已知拋物線上縱坐標相似的兩點，常選用頂點式．九、二次函數(shù)圖象的對稱二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種狀況，可以用一般式或頂點式體現(xiàn)1.有關軸對稱有關軸對稱後，得到的解析式是；有關軸對稱後，得到的解析式是；2.有關軸對稱有關軸對稱後，得到的解析式是；有關軸對稱後，得到的解析式是；3.有關原點對稱有關原點對稱後，得到的解析式是；有關原點對稱後，得到的解析式是；4.有關頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）有關頂點對稱後，得到的解析式是；有關頂點對稱後，得到的解析式是．5.有關點對稱有關點對稱後，得到的解析式是根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的體現(xiàn)式時，可以根據(jù)題意或以便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或體現(xiàn)式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然後再寫出其對稱拋物線的體現(xiàn)式．拾、二次函數(shù)與一元二次方程：1.二次函數(shù)與一元二次方程的關系（二次函數(shù)與軸交點狀況）：一元二次方程是二次函數(shù)當函數(shù)值時的特殊狀況.圖象與軸的交點個數(shù)：①當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離.②當時，圖象與軸只有一種交點；③當時，圖象與軸沒有交點.當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數(shù)，均有；當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數(shù)，均有．2.拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，；3.二次函數(shù)常用解題措施總結：⑴求二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程；⑵求二次函數(shù)的最大（小）值需要運用配措施將二次函數(shù)由一般式轉化為頂點式；⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，，的符號，或由二次函數(shù)中，，的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結合；⑷二次函數(shù)的圖象有關對稱軸對稱，可運用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一種交點坐標，可由對稱性求出另一種交點坐標.拋物線與軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根拋物線與軸只有一種交點二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根拋物線與軸無交點二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數(shù)根.⑸與二次函數(shù)有關的尚有二次三項式，二次三項式自身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)絡：圖像參照：拾一、函數(shù)的應用二次函數(shù)應用二次函數(shù)考察重點與常見題型考察二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關試題常出目前選擇題中，如：已知認為自變量的二次函數(shù)的圖像通過原點，則的值是綜合考察正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習題的特點是在同一直角坐標系內(nèi)考察兩個函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如：如圖，假如函數(shù)的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)的圖像大體是（）yyyy110xo-1x0x0-1xABCD考察用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關習題出現(xiàn)的頻率很高，習題類型有中等解答題和選拔性的綜合題，如：已知一條拋物線通過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為，求這條拋物線的解析式。考察用配措施求拋物線的頂點坐標、對稱軸、二次函數(shù)的極值，有關試題為解答題，如：已知拋物線（a≠0）與x軸的兩個交點的橫坐標是－1、3，與y軸交點的縱坐標是－eq\f(3,2)（1）確定拋物線的解析式；（2）用配措施確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標.5．考察代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專題壓軸題。【例題經(jīng)典】由拋物線的位置確定系數(shù)的符號例1（1）二次函數(shù)的圖像如圖1，則點在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（2）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示，則下列結論：①a、b同號；②當x=1和x=3時，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當y=-2時，x的值只能取0.其中對的的個數(shù)是（）A．1個B．2個C．3個D．4個(1)(2)【點評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a，b，c之間的關系，是處理問題的關鍵．例2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(-2，O)、(x1，0)，且1<x1<2，與y軸的正半軸的交點在點(O，2)的下方．下列結論：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a-b+1>O，其中對的結論的個數(shù)為()A1個B.2個C.3個D．4個答案：D會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例3.已知：有關x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一種根為x=-2，且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點坐標為()A(2，-3)B.(2，1)C(2，3)D．(3，2)答案：C例4、（煙臺市）如圖（單位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線L向正方形移動，直到AB與CD重疊．設x秒時，三角形與正方形重疊部分的面積為ym2．（1）寫出y與x的關系式；（2）當x=2，3.5時，y分別是多少？（3）當重疊部分的面積是正方形面積的二分之一時，三角形移動了多長時間？求拋物線頂點坐標、對稱軸.例5、已知拋物線y=x2+x-．（1）用配措施求它的頂點坐標和對稱軸．（2）若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B，求線段AB的長．【點評】本題（1）是對二次函數(shù)的“基本措施”的考察，第（2）問重要考察二次函數(shù)與一元二次方程的關系．例6.已知：二次函數(shù)y=ax2-(b+1)x-3a的圖象通過點P(4，10)，交x軸于，兩點，交y軸負半軸于C點，且滿足3AO=OB．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在二次函數(shù)的圖象上與否存在點M，使銳角∠MCO>∠ACO?若存在，請你求出M點的橫坐標的取值范圍；若不存在，請你闡明理由．(1)解：如圖∵拋物線交x軸于點A(x1，0)，B(x2，O)，則x1·x2=3<0，又∵x1<x2，∴x2>O，x1<O，∵30A=OB，∴x2=-3x1．∴x1·x2=-3x12=-3．∴x12=1.x1<0，∴x1=-1．∴．x2=3．∴點A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2b=3∴．二次函數(shù)的解析式為y-2x2-4x-6．(2)存在點M使∠MC0<∠ACO．(2)解：點A有關y軸的對稱點A’(1，O)，∴直線A，C解析式為y=6x-6直線A'C與拋物線交點為(0，-6)，(5，24)．∴符合題意的x的范圍為-1<x<0或O<x<5．當點M的橫坐標滿足-1<x<O或O<x<5時，∠MCO>∠ACO．例7、“已知函數(shù)的圖象通過點A（c，－2），求證：這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=3。”題目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法識別的文字。（1）根據(jù)已知和結論中既有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請寫出求解過程，并畫出二次函數(shù)圖象；若不能，請闡明理由。（2）請你根據(jù)已經(jīng)有的信息，在原題中的矩形框中，填加一種合適的條件，把原題補充完整。點評：對于第（1）小題，要根據(jù)已知和結論中既有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把本來的結論“函數(shù)圖象的對稱軸是x=3”當作已知來用，再結合條件“圖象通過點A（c，－2）”，就可以列出兩個方程了，而解析式中只有兩個未知數(shù)，因此可以求出題中的二次函數(shù)解析式。對于第（2）小題，只要給出的條件可以使求出的二次函數(shù)解析式是第（1）小題中的解析式就可以了。而從不一樣的角度考慮可以添加出不一樣的條件，可以考慮再給圖象上的一種任意點的坐標，可以給出頂點的坐標或與坐標軸的一種交點的坐標等。[解答]（1）根據(jù)的圖象通過點A（c，－2），圖象的對稱軸是x=3，得解得因此所求二次函數(shù)解析式為圖象如圖所示。（2）在解析式中令y=0，得，解得因此可以填“拋物線與x軸的一種交點的坐標是（3+”或“拋物線與x軸的一種交點的坐標是令x=3代入解析式，得因此拋物線的頂點坐標為因此也可以填拋物線的頂點坐標為等等。函數(shù)重要關注：通過不一樣的途徑（圖象、解析式等）理解函數(shù)的詳細特性；借助多種現(xiàn)實背景理解函數(shù)；將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關系”的數(shù)學模型；滲透函數(shù)的思想；關注函數(shù)與有關知識的聯(lián)絡。用二次函數(shù)處理最值問題例1已知邊長為4的正方形截去一種角後成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1．試在AB上求一點P，使矩形PNDM有最大面積．【評析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識有機的結合在一起，能很好考察學生的綜合應用能力．同步，也給學生探索解題思緒留下了思維空間．例2某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x（元）與產(chǎn)品的曰銷售量y（件）之間的關系如下表：x（元