第九章整式（12個知識歸納+15類題型突破）1.掌握代數式的概念和分類；掌握單項式、多項式的概念與區別；2.掌握合并同類項的方法和技巧；3.掌握同底數冪的乘法和整式的乘法運算；4、掌握乘法公式并熟練運用乘法公式進行計算；5、掌握因式分解的方法；6、掌握整數的除法，尤其是同底數冪的除法計算；知識點1．代數式代數式的概念：像a-1、a+6、40-m+n、0.015m(n-20)、和2a2這樣的式子都是代數式。注意：1、代數式不能有等號和不等號，有就不是代數式，而是等式或者不等式。2、單獨一個數字或者字母也是代數式。3、代數式可以包含絕對值。4、注意π并不是字母，而是一個數字。知識點2．整式一、單項式1.單項式的概念：如，，-1，它們都是數與字母的積，像這樣的式子叫單項式，單獨的一個數或一個字母也是單項式。詮釋：（1）單項式包括三種類型：①數字與字母相乘或字母與字母相乘組成的式子；②單獨的一個數；③單獨的一個字母。（2）單項式中不能含有加減運算，但可以含有除法運算．如：可以寫成。但若分母中含有字母，如就不是單項式，因為它無法寫成數字與字母的乘積。2.單項式的系數：單項式中的數字因數叫做這個單項式的系數。詮釋：（1）確定單項式的系數時，最好先將單項式寫成數與字母的乘積的形式，再確定其系數；（2）圓周率π是常數．單項式中出現π時，應看作系數；（3）當一個單項式的系數是1或-1時，“1”通常省略不寫；（4）單項式的系數是帶分數時，通常寫成假分數，如：寫成。3.單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數。詮釋：單項式的次數是計算單項式中所有字母的指數和得到的，計算時要注意以下兩點：（1）沒有寫指數的字母，實際上其指數是1，計算時不能將其遺漏；（2）不能將數字的指數一同計算。二、多項式1.多項式的概念：幾個單項式的和叫做多項式。詮釋：“幾個”是指兩個或兩個以上。2.多項式的項：每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數項。詮釋：（1）多項式的每一項包括它前面的符號。（2）一個多項式含有幾項，就叫幾項式，如：是一個三項式。3.多項式的次數：多項式里次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數。詮釋：（1）多項式的次數不是所有項的次數之和，而是多項式中次數最高的單項式的次數。（2）一個多項式中的最高次項有時不止一個，在確定最高次項時，都應寫出。三、整式1.整式的概念：單項式與多項式統稱為整式。詮釋：單項式、多項式、整式這三者之間的關系如圖所示。即單項式、多項式必是整式，但反過來就不一定成立。（2）分母中含有字母的式子一定不是整式。知識點3．代數式的值代數式的值：將具體數字代替代數式中對應的字母,計算所得的結果就是這個代數式的值知識點4．合并同類項同類項的概念：一個多項式中，字母相同，并且相同字母的指數也相同的項，叫做同類項。注意所有的常數項都是同類項。 比如：多項式a2b-a2c-4+3a2b+ab2-a2c+5-ab2中，a2b和3a2b是同類項，-a2c和-a2c是同類項，-4和5是同類項，ab2和-ab2是同類項，而a2b和-a2c不是同類項，因為它們字母不同，a2b和ab2不是同類項，因為它們雖然字母相同，但是相同字母的指數不同。合并同類項的概念：按照乘法分配律把同類項合并成一項叫做合并同類項。合并同類項法則同類項的系數相加，所得的結果作為系數，字母和指數不變。詮釋：(1)注意項的系數為負數時的情況，也就是在多項式中遇到減號時，注意此時是加了一個系數為負數的項。(2)字母和指數不變，也就是說，合并同類項之后，僅僅是系數發生了變化，而字母和字母的指數不會發生任何變化，否則就是錯誤。(3)合并同類項之前，應該先移動項，將同類項移動到一起，在移動項的時候，要注意將減號當做負號一起移動。知識點5．去括號一、去括號法則如果括號外的因數是正數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的因數是負數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相反。詮釋：去括號法則實際上是根據乘法分配律得到的結論：當括號前為“+”號時，可以看作+1與括號內的各項相乘；當括號前為“-”號時，可以看作-1與括號內的各項相乘。去括號時，首先要弄清括號前面是“+”號，還是“-”號，然后再根據法則去掉括號及前面的符號。(3)對于多重括號，去括號時可以先去小括號，再去中括號，也可以先去中括號．再去小括號．但是一定要注意括號前的符號。（4）去括號只是改變式子形式，不改變式子的值，它屬于多項式的恒等變形。二、添括號法則（1）添括號后，括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變符號；（2）添括號后，括號前面是“-”號，括到括號里的各項都要改變符號。詮釋：(1)添括號是添上括號和括號前面的符號，也就是說，添括號時，括號前面的“+”號或“-”號也是新添的，不是原多項式某一項的符號“移”出來得到的。(2)去括號和添括號的關系如下：如：，知識點6．整式的加減一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項。詮釋：（1）整式加減的一般步驟是：①先去括號；②再合并同類項。（2）兩個整式相減時，減數一定先要用括號括起來。(3)整式加減的最后結果的要求：①不能含有同類項，即要合并到不能再合并為止；②一般按照某一字母的降冪或升冪排列；③不能出現帶分數，帶分數要化成假分數。知識點7．同底數冪的乘法法則：(其中都是正整數).即同底數冪相乘，底數不變，指數相加.特別說明：（1）同底數冪是指底數相同的冪，底數可以是任意的實數，也可以是單項式、多項式.（2）三個或三個以上同底數冪相乘時，也具有這一性質，即（都是正整數）.（3）逆用公式：把一個冪分解成兩個或多個同底數冪的積，其中它們的底數與原來的底數相同，它們的指數之和等于原來的冪的指數。即（都是正整數）.知識點8．冪的乘方與積的乘方一、冪的乘方法則(其中都是正整數).即冪的乘方，底數不變，指數相乘.特別說明：（1）公式的推廣：(，均為正整數)（2）逆用公式：，根據題目的需要常常逆用冪的乘方運算能將某些冪變形，從而解決問題.二、積的乘方法則(其中是正整數).即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.特別說明：（1）公式的推廣：(為正整數).（2）逆用公式：逆用公式適當的變形可簡化運算過程，尤其是遇到底數互為倒數時，計算更簡便.如：三、注意事項（1）底數可以是任意實數，也可以是單項式、多項式.（2）同底數冪的乘法時，只有當底數相同時,指數才可以相加.指數為1，計算時不要遺漏.（3）冪的乘方運算時，指數相乘，而同底數冪的乘法中是指數相加.（4）積的乘方運算時須注意，積的乘方要將每一個因式(特別是系數)都要分別乘方.（5）靈活地雙向應用運算性質，使運算更加方便、簡潔.（6）帶有負號的冪的運算，要養成先化簡符號的習慣.知識點9．整式的乘法單項式的乘法法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數作為積的一個因式.特別說明：（1）單項式的乘法法則的實質是乘法的交換律和同底數冪的乘法法則的綜合應用.（2）單項式的乘法方法步驟：積的系數等于各系數的積，是把各單項式的系數交換到一起進行有理數的乘法計算，先確定符號，再計算絕對值；相同字母相乘，是同底數冪的乘法，按照“底數不變，指數相加”進行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數寫在積里作為積的一個因式.（3）運算的結果仍為單項式，也是由系數、字母、字母的指數這三部分組成.（4）三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.單項式與多項式相乘的運算法則單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即.特別說明：（1）單項式與多項式相乘的計算方法，實質是利用乘法的分配律將其轉化為多個單項式乘單項式的問題.（2）單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數與原多項式的項數相同.（3）計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.（4）對混合運算，應注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結果.多項式與多項式相乘的運算法則多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.特別說明：多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數應該等于兩個多項式的項數之積.多項式與多項式相乘的最后結果需化簡，有同類項的要合并.特殊的二項式相乘：.知識點10．乘法公式一、平方差公式平方差公式：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差. 特別說明：在這里，既可以是具體數字，也可以是單項式或多項式.抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉化為公式的標準型（2）系數變化：如（3）指數變化：如（4）符號變化：如（5）增項變化：如（6）增因式變化：如二、完全平方公式完全平方公式：兩數和(差)的平方等于這兩數的平方和加上（減去）這兩數乘積的兩倍.特別說明：公式特點：左邊是兩數的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.以下是常見的變形：三、添括號法則添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號.特別說明：添括號與去括號是互逆的，符號的變化也是一致的，可以用去括號法則檢查添括號是否正確.四、補充公式；；；.知識點11．因式分解一、公因式多項式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.特別說明：（1）公因式必須是每一項中都含有的因式.（2）公因式可以是一個數，也可以是一個字母，還可以是一個多項式.（3）公因式的確定分為數字系數和字母兩部分：①公因式的系數是各項系數的最大公約數.②字母是各項中相同的字母，指數取各字母指數最低的.二、提公因式法把多項式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．特別說明：（1）提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關鍵是準確找出多項式各項的公因式.（3）當多項式第一項的系數是負數時，通常先提出“—”號，使括號內的第一項的系數變為正數，同時多項式的各項都要變號.（4）用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變為：“＋1”或“－1”，不要把該項漏掉，或認為是0而出現錯誤.三、公式法——平方差公式兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的積，即：特別說明：（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數（整式）的和與這兩個數（整式）的差的積.（3）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.四、公式法——完全平方公式兩個數的平方和加上（減去）這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.特別說明：（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.右邊是兩數的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.五、十字相乘法利用十字交叉線來分解系數，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法.對于二次三項式，若存在，則特別說明：（1）在對分解因式時，要先從常數項的正、負入手，若，則同號(若，則異號)，然后依據一次項系數的正負再確定的符號（2）若中的為整數時，要先將分解成兩個整數的積(要考慮到分解的各種可能)，然后看這兩個整數之和能否等于，直到湊對為止.六、首項系數不為1的十字相乘法在二次三項式(≠0)中，如果二次項系數可以分解成兩個因數之積，即，常數項可以分解成兩個因數之積，即，把排列如下：

按斜線交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項式的一次項系數，即，那么二次三項式就可以分解為兩個因式與之積，即.特別說明：（1）分解思路為“看兩端，湊中間”（2）二次項系數一般都化為正數，如果是負數，則提出負號，分解括號里面的二次三項式，最后結果不要忘記把提出的負號添上.七、分組分解法對于一個多項式的整體，若不能直接運用提公因式法和公式法進行因式分解時，可考慮分步處理的方法，即把這個多項式分成幾組，先對各組分別分解因式，然后再對整體作因式分解——分組分解法.即先對題目進行分組，然后再分解因式.特別說明：分組分解法分解因式常用的思路有：方法分類分組方法特點分組分解法四項二項、二項①按字母分組②按系數分組

③符合公式的兩項分組三項、一項先完全平方公式后平方差公式五項三項、二項各組之間有公因式六項三項、三項

二項、二項、二項各組之間有公因式三項、二項、一項可化為二次三項式八：添、拆項法把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合于提公因式法、公式法或分組分解法進行分解.要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形.添、拆項法分解因式需要一定的技巧性，在仔細觀察題目后可先嘗試進行添、拆項，在反復嘗試中熟練掌握技巧和方法.九：因式分解的解題步驟因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分組分解法,十字相乘法,添、拆項法等.特別說明：落實好方法的綜合運用：首先提取公因式，然后考慮用公式；兩項平方或立方，三項完全或十字；四項以上想分組，分組分得要合適；幾種方法反復試，最后須是連乘式；因式分解要徹底，一次一次又一次.知識點12．整式的除法一、同底數冪的除法法則同底數冪相除，底數不變，指數相減，即（≠0，都是正整數，并且）特別說明：（1）同底數冪乘法與同底數冪的除法是互逆運算.（2）被除式、除式的底數相同，被除式的指數大于除式指數，0不能作除式.（3）當三個或三個以上同底數冪相除時，也具有這一性質.（4）底數可以是一個數，也可以是單項式或多項式.二、零指數冪任何不等于0的數的0次冪都等于1.即（≠0）特別說明：底數不能為0，無意義.任何一個常數都可以看作與字母0次方的積.因此常數項也叫0次單項式.題型一代數式1．（2023秋·七年級課時練習）下列式子符合書寫要求的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·陜西寶雞·七年級統考期中）如圖，下列整式中不能正確表示圖中陰影部分面積的是（

）

A． B．C． D．鞏固訓練：1．（2023春·黑龍江哈爾濱·六年級哈爾濱德強學校校考階段練習）如圖，某長方形廣場四角均設計一塊半徑為的四分之一圓形的花壇，正中是一個半徑為的圓形噴水池，廣場長為，寬為，則廣場空地面積為（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·全國·七年級專題練習）一個兩位數的十位上的數字是a，個位上的數字是十位上數字的2倍，則這個兩位數是．3．（2023春·河北衡水·九年級校考期中）已知的相反數比的2倍多4．(1)用含的式子表示；(2)若，且，求的所有負整數值．題型二代數式的值3．（2023春·浙江杭州·七年級杭州市十三中教育集團（總校）校聯考期中）若，則的值是（）A．2 B．1 C． D．34．（2023春·安徽合肥·七年級校考期中）已知，當時，y的值為2；當時，y的值為．則當時，y的值為（

）A．4 B．1 C．3 D．2鞏固訓練1．（2023春·浙江溫州·七年級校聯考期中）已知，那么多項式的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（2023秋·重慶沙坪壩·八年級重慶市第七中學校校考開學考試）若實數，滿足，則．3．（2023秋·湖南長沙·八年級校考開學考試）已知代數式，當和時，它的值都為5，當時，它的值為1．(1)求a，b，c的值；(2)當時，求代數式的值．題型三合并同類項5．（2023春·湖南郴州·七年級校考階段練習）若與的和是單項式，則，的值為(

)A． B．C． D．6．（2023秋·全國·七年級專題練習）下列說法正確的是（

）A．與是同類項 B．與是同類項C．與是同類項 D．與是同類項鞏固訓練1．（2023春·山東泰安·六年級校考開學考試）如果單項式與的和仍然是一個單項式，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·全國·七年級專題練習）如果與是同類項，則的值為．3．（2023春·福建福州·七年級統考開學考試）已知a是最大的負整數，與是同類項，且a，b，c分別對應數軸上的點A，B，C．(1)求出a，b，c的值；(2)若點A以每秒1個單位長度的速度沿數軸向左運動，同時點B以每秒2個單位長度的速度沿數軸向右運動，當點B恰好是的中點時，求運動時間t的值．題型四整式的加減7．（2023秋·七年級課時練習）減去等于（

）A． B． C． D．8．（2023秋·七年級課時練習）如果關于的代數式的值與無關，那么（

）A． B． C． D．鞏固訓練1．（2023秋·全國·七年級專題練習）某同學在完成化簡：的過程中，具體步驟如下：解：原式①②③以上解題過程中，出現錯誤的步驟是（

）A．① B．② C．③ D．①，②，③2．（2023秋·七年級課時練習）若式子的值與字母的取值無關，則式子的值為．3．（2023春·河北衡水·九年級校考期中）小明在做一道數學題：“化簡：．”他根據此題拓展提出了下列問題：(1)如果這個整式化簡后是常數，求的值；(2)若，，求原式的值；(3)若，原式的值為4，求的值．題型五同底數冪的乘法9．（2023春·湖南永州·七年級校考期中）已知，，則的值為（

）A．2 B．6 C．8 D．1610．（2023春·山東聊城·七年級統考期末）若，則（

）A．15 B．5 C．6 D．14鞏固訓練1．（2023春·江蘇淮安·七年級統考期末）如果，那么我們規定．例如：因為，所以．記，，．則a、b和c的關系是（

）A． B． C． D．無法確定2．（2023春·廣東河源·七年級統考期末）已知，，則．3．（2023秋·八年級課時練習）計算：(1)；(2)；(3)（為大于1的整數）；(4)．題型六冪的乘方與積的乘方11．（2023春·浙江寧波·七年級寧波市海曙外國語學校校考期中）若，，則（

）A． B． C． D．12．（2023春·陜西榆林·七年級校考期中）計算的結果是（

）A． B． C． D．鞏固訓練1．（2023春·遼寧阜新·七年級校聯考期中）若，，則的值為（

）A．40 B．100 C． D．2．（2023春·遼寧朝陽·七年級校考期中）計算；；．3．（2023春·山東東營·六年級校考階段練習）計算：(1)(2)(3)(4)題型七整式的乘法13．（2023春·安徽滁州·七年級校考期中）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．14．（2023春·廣西賀州·七年級校考期中）已知，則代數式的值為（

）A．8 B．14 C． D．2鞏固訓練1．（2023春·四川雅安·七年級統考期末）已知，則的值為（

）A．1 B． C． D．42．（2023春·四川達州·七年級四川省大竹中學校考期末）若的積中不含項與項．則代數式的值為．3．（2023春·陜西寶雞·七年級校考階段練習）觀察下列各式．(1)請你按照以上各式的運算規律，填空．①____________②____________③(2)應用規律計算：題型八平方差公式15．（2023春·陜西寶雞·七年級校考階段練習）下列算式能用平方差公式計算的是（

）A． B．C． D．16．（2023春·山東菏澤·七年級統考期中）化簡的結果是（

）A． B． C． D．鞏固訓練1．（2023春·河北石家莊·七年級校考期中）已知，則括號里應填（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·八年級專題練習）已知，則的個位數字為．3．（2023秋·河南濮陽·八年級校考期末）觀察下列各式：；；．(1)請你按照以上各式的運算規律，填空．①；②；③．(2)應用規律計算：．題型九完全平方公式17．（2023春·陜西西安·七年級校考階段練習）如果，那么（

）A．5 B．7 C．9 D．1118．（2023春·河北衡水·九年級校考期中）下列各式中，能用完全平方公式計算的是（

）A． B．．C． D．鞏固訓練1．（2023秋·八年級課時練習）若，則的結果是（

）A．23 B．8 C． D．2．（2023春·福建三明·七年級校考階段練習）我們把形如“”的式子稱為完全平方式，若是一個完全平方式，，且，則．3．（2023春·安徽宣城·七年級校考期中）配方法是數學中重要的一種思想方法．它是指將一個式子的整體或某一部分通過恒等變形，化為一個完全平方式或幾個完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數式的變形中，并結合非負數的意義來解決一些問題．我們定義：一個正整數能表示成（a、b是正整數）的形式，則稱這個數為“完美數”，例如，5是“完美數”，理由：因為，所以5是“完美數”．【解決問題】（1）已知29是“完美數”，請將它寫成（a、b是正整數）的形式：______；（2）已知，求的值；【探究問題】（3）已知（x是正整數，y是大于1的正整數，k是常數），要使S為“完美數”，試求出符合條件k的值，并說明理由．題型十乘法公式在幾何背景下的應用19．（2023春·山東棗莊·七年級校考階段練習）如圖，將邊長為的正方形沿虛線剪成兩個正方形和兩個長方形．若去掉邊長為的小正方形后，再將剩余部分拼成一個長方形，則長方形的面積為（

）

A． B． C． D．20．（2023春·浙江杭州·七年級統考期中）如圖張長為a、寬為b（）的長方形紙片，按如圖的方式拼成一個邊長為的正方形，圖中空白部分的面積為，陰影部分的面積為．若，則（）

A． B． C． D．鞏固訓練1．（2023春·甘肅蘭州·七年級統考期中）下面給出的三幅圖都是將陰影部分通過割，拼，形成新的圖形，其中不能驗證平方差公式的是（

）

A．① B．②③ C．①③ D．③2．（2023春·山東聊城·七年級統考期末）現有甲、乙兩個正方形紙片，將甲、乙并列放置后得到圖1，已知點H為的中點，連接．將乙紙片放到甲的內部得到圖2．已知甲、乙兩個正方形邊長之和為6，圖2的陰影部分面積為2，則圖1的陰影部分面積為．

3．（2023春·山東濟南·七年級統考期中）圖1是一個長為2a、寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．

(1)圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于___________；面積等于___________．(2)觀察圖2，請你寫出下列三個代數式之間的等量關系為___________．(3)運用你所得到的公式計算：若m、n為實數，且，試求的值．(4)如圖3所示，兩正方形和正方形邊長分別為α、b，且，，求圖中陰影部分的面積．題型十一提取公因式法21．（2023秋·全國·八年級課堂例題）把分解因式時，應提取的公因式是（

）A．2 B． C． D．22．（2023春·浙江溫州·七年級校聯考期中）已知，，則的值為（）A． B． C． D．2鞏固訓練1．（2023春·河北邯鄲·八年級統考期末）將多項式因式分解，結果為（

）A． B． C． D．2．（2023春·安徽合肥·七年級統考期末）已知關于的二次三項式可分解為，則的值為．3．（2023秋·八年級課時練習）分解因式：(1)．(2)．(3)．題型十二公式法23．（2023秋·八年級課時練習）下列等式從左到右的變形，屬于因式分解且正確的是（

）A． B