專題02整式及其加減思維導圖核心考點聚焦1.列代數式2.單項式、系數、次數3.多項式、項、系數、次數4.已知同類項求指數中字母或者代數式的值5.整式的加減運算6.整式的加減中的化簡求值7.整式的加減中的無關型問題8.已知式子的值，求代數式的值9.整式加減的應用10.單項式規律題11.數字類規律探究問題12.圖形類規律探究問題一、字母表示數字母可以表示任意的數，但在一道題中只能表示一個數.也可以表示特定意義的公式，還可以表示符合條件的某一個數，甚至可以表示具有某些規律的數，總之字母可以簡明地將數量關系表示出來.二、列代數式及書寫要求代數式：用運算符號把字母和數字連接而成的式子就叫代數式.代數式的值：用具體數值代替代數式中的字母，就可以得到代數式的值.代數式的書寫要求：①字母與數字相乘，或字母與字母相乘，乘號不用“×”，而是“”，或略去不寫.因“×”與“x”易混淆.②字母與數字相乘，一般數字在前，系數帶分數的，一般寫成假分數.因3x易混淆為3x.③系數是1時，一般省略不寫.④多項式后面帶單位，多項式須用括號括起來.三、單項式的概念單項式：數或字母的積.（單獨的一個數或一個字母也是單項式）.例：5x；100；x；10ab等注：分母中有字母的不是單項式.例：不是單項式.單項式的系數：單項式中的數字叫做單項式的系數.例：的系數為.單項式的次數：一個單項式中所有字母的指數的和.例：的次數為3次.四、多項式的有關概念多項式：幾個單項式的和.注：關于“和”的理解，減某個單項式，實際是加該單項式的“相反數”.例如：32x3y﹣y2+xy可以視作：32x3y+（﹣y2）+xy．項：每個單項式叫做多項式的項，有幾項，就叫做幾項式.常數項：不含字母的項.多項式的次數：所有項中，次數最高的項的次數就是多項式的次數（最高次數是n次，就叫做n次式）.五、整式的概念整式：單項式與多項式統稱為整式.注：=1\*GB3①多項式是由多個單項式構成的；=2\*GB3②單項式和多項式的區別在于是否含有加減運算；=3\*GB3③分母中含有字母的式子不是整式．六、合并同類項同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項（即僅系數不同或系數也相同的項）．例:5abc2與3abc2是同類型，3abc與3abc是同類型．判斷同類項需要同時滿足2個條件：=1\*GB3①所含字母相同；=2\*GB3②相同字母的指數相同．合并同類項：將多項式中的同類項合并成一項叫做合并同類項．同類項合并的方法：系數對應相加減，字母及指數不變.七、去（添）括號法則（1）括號前是“+”，去括號后，括號內的符號不變；（2）括號前是“-”，去括號后，括號內的符號全部要變號；（3）括號前有系數的，去括號后，括號內各項都要乘此系數．解題技巧：去多重括號，可以先去大括號，再去中括號，后去小括號；也可以先從最內層開始，先去小括號，再去中括號，最后去大括號.可依據簡易程度，選擇合適順序.八、整式的加減（合并同類項）整式的加減運算實際就是合并同類項的過程，具體步驟為：=1\*GB3①將同類項找出，并放在一起；=2\*GB3②合并同類項.解題技巧：（1）當括號前面有數字因數時，應先利用乘法分配律計算，然后再去括號，注意不要漏乘括號內的任一項.（2）合并同類項時，只能把同類項合并，不是同類項的不能合并，合并同類項實際上就是有理數的加減運算.合并同類項要完全、徹底，不能漏項.九、整式的實際應用（幾何圖形類）解題技巧：解決此類問題，需要先根據題干意思和具體圖形，列代數式表示量的大小，再根據題目要求進行分析求解.十、整式的實際應用（綜合應用）解題技巧：解決此類問題，需要先根據題干意思，列代數式表示量的大小，再根據題目要求進行分析求解.1.遇到含π的單項式，單項式的系數里要帶上π，這一點要特別注意.2.去括號時括號前是負號時要特別注意，去括號后，括號內的符號全部要變號.3.單項式規律探究是整式加減部分的一個重難點，主要有兩類題型，一類是數字規律探究，另一類是圖形規律探究，需要多練習揣摩.考點剖析考點一、列代數式例題1：已知a是一位數，b是兩位數，若將a放在b的左邊，所得到的三位數是．【答案】【解析】根據題意可得所得到的三位數是，故答案為：．考點二、單項式、系數、次數例題2：單項式的系數是，次數是次．【答案】；6【解析】單項式的系數和次數分別是，．故答案為：，6．考點三、多項式、項、系數、次數例題3：單項式的系數是；若是三次二項式，則等于．【答案】；【解析】單項式的系數是；若是三次二項式，所以且，所以，故答案為：，．考點四、已知同類項求指數中字母或者代數式的值例題4：如果單項式與是同類項，那么．【答案】1【解析】因為單項式與是同類項，所以，解得，所以，故答案為：1．考點五、整式的加減運算例題5：計算：(1)．(2)．【解析】（1）；（2）．考點六、整式的加減中的化簡求值例題6：先化簡，再求值：，其中，．【解析】==；當時，原式．考點七、整式的加減中的無關型問題例題7：已知：，．(1)計算的表達式；(2)若代數式的值與字母的取值無關，求代數式的值．【解析】（1）；（2），因為代數式的值與字母的取值無關，所以，所以，所以．考點八、已知式子的值，求代數式的值例題8：“整體思想”是中學數學解題中一種重要的思想方法，它在多項式的化簡與求值中應用極為廣泛．如我們把看成一個整體，則，嘗試應用整體思想解決下列問題：(1)把看成一個整體，合并；(2)已知，求的值；(3)已知，，，求的值．【解析】（1）；（2）因為，所以；（3）因為，，，所以，，所以．考點九、整式加減的應用例題9：隨著生活水平的提高，改善型住宅已成為人們的購房趨勢．小王家新買了一套商品房，其建筑平面圖如圖所示（單位：米）．(1)這套住房的建筑總面積是________平方米．（用含，的式子表示）(2)已知，且客廳面積是臥室①面積的倍，求小王家這套住房的建筑總面積．(3)在（2）的條件下，小王準備將房子的地面鋪上地磚，他找到裝修公司共同確定了選用材料的品牌、規格及品質要求，裝修公司的報價如下：客廳地面220元/平方米，書房和兩個臥室地面200元/平方米，廚房和衛生間地面180元/平方米．求小王鋪地磚的總費用．【解析】（1）由題意可得：這套住房的建筑總面積是：平方米，即這套住房的建筑總面積是平方米．故答案為：．（2）由題意可得：，，總面積（平方米）．（3）總費用（元）．答：小王鋪地磚的總費用是20320元．考點十、單項式規律題例題10：按一定規律排列的單項式：，，，，，，…，則第個單項式是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】第一個單項式為，第二個單項式為，第三個單項式為，第四個單項式為，……所以可以得到規律：第n個單項式的系數為，次數為，即第n個單項式為，故選D．考點十一、數字類規律探究問題例題11：將一列有理數-1，2，-3，4，-5，6，…按如圖所示進行有序排列，根據圖中的排列規律可知，“峰1”中峰頂的位置（C的位置）是有理數4，那么，“峰6”中C的位置是有理數________，-2023在A，B，C，D，E中的________位置。（）A．30，A B．-29，B C．-31，C D．28，B

【答案】B【解析】由4，-9，14，??????得，n為奇數時，峰n中峰頂的位置（C的位置）是4+5（n-1）；n為偶數時，峰n中峰頂的位置（C的位置）是-4-5（n-1）．所以峰6中峰頂的位置（C的位置）是-4-5×（6-1）=-29，由4+5×（405-1）=2024，得2024在C位置，所以-2023在B位置．故選B．考點十二、圖形類規律探究問題例題12：用火柴棒按如圖的方式搭三角形組成的圖形(1)填寫下表：三角形個數12345…火柴棒根數357________…(2)當三角形的個數是n時，所用的火柴的根數是________（用含n的代數式表示）．(3)是否存在三角形的個數是x由2022根火柴棒拼成？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）因為觀察圖形可知：第一個圖形中，有個三角形、有根火柴棒；第二個圖形中，有個三角形、有根火柴棒；第三個圖形中，有個三角形、有根火柴棒；第四個圖形中，有個三角形、有根火柴棒；所以第五個圖形中，有個三角形、有根火柴棒；填表如下：三角形個數12345…火柴棒根數357911…（2）由（1）列出的三角形個數對應的火柴棒根數可知，照這樣的規律搭下去，搭個這樣的三角形需要根火柴棒，故答案為：；（3）不存在三角形的個數是x由2022根火柴棒拼成．理由如下：由（2）得出的規律可得：，解得，因為火柴棒根數x為正整數，所以不合題意，舍去，所以不存在三角形的個數是x由2022根火柴棒拼成．過關檢測一、選擇題1．計算等于（

）A．4a B．a C．4 D．10a【答案】A【解析】；故選A．2．有下列四個式子：①，②，③(不等于)，④，⑤，其中不符合代數式的書寫格式的為(

)A．①③⑤ B．②③④ C．①③④ D．②④⑤【答案】C【解析】①，應寫為；③(不等于)，應寫為(不等于)，；④應寫為；②；⑤符合代數式的書寫格式，故選C．3．下列說法正確的是（

）A．與是同類項 B．多項式是四次四項式C．100，和都是單項式 D．的系數是1，次數是4【答案】B【解析】A、與不是同類項，選項錯誤；B、多項式是四次四項式，選項正確；C、100，是單項式，是多項式，選項錯誤；D、的系數是，次數是3，選項錯誤；故選B．4．已知為有理數，，，則，的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以；故選A.5．已知代數式，把代入這個代數式，結果為；再把代入這個代數式，結果為；……以此類推，代入這個代數式，結果為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，所以，所以，所以，，所以每3次運算結果循環一次.因為，所以，把代入這個代數式，結果為，故選A．二、填空題6．一瓶礦泉水的價格為2.5元，一盒酸奶的價格為4元，購買m瓶礦泉水和n盒酸奶共需付元．【答案】【解析】由題意得：購買m瓶礦泉水和n盒酸奶共需付元，故答案為：．7．如果等式成立，那么．【答案】2【解析】因為等式成立，所以都是同類項，所以，解得，所以，故答案為：2．8．當的值為時，與的和不含的一次項．【答案】（或0.5）【解析】.因為和不含的一次項，所以，解得，故答案為：．9．小艾同學進行必讀名著閱讀規劃，已知她第一周閱讀《朝花夕拾》頁，閱讀《西游記》頁，第一周共閱讀16頁．第二周閱讀《朝花夕拾》頁，《西游記》頁，第二周共閱讀頁．【答案】32【解析】由題意得：，則第二周共閱讀（頁），故答案為：32．10．下列說法正確的是（填寫序號）．①0是單項式；

②若的次數是5，則；③是單項式，它的系數是2，次數是7；④單項式的系數是；

⑤單項式的次數是2；⑥多項式的一次項是x；⑦多項式按y升冪排列是．【答案】①②⑦【解析】一個數也是單項式，所以①正確；單項式的次數是未知數的次數和，所以，，②正確；是單項式，它的系數是，次數是4，所以③錯誤；單項式的系數是，所以④錯誤；單項式的次數是3，所以⑤錯誤；多項式的一次項是，所以⑥錯誤；多項式按y升冪排列是，所以⑦正確．故答案為：①②⑦．三、解答題11．化簡．(1)； (2)；(3)； (4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．12．已知代數式，，．(1)當，則______；(2)______（填化簡后的結果）；(3)仿照（2）設計一個關于多項式，的加法或減法算式，使化簡結果不含二次項，并寫出化簡過程．【解析】（1）因為，所以當時，，故答案為：；（2），故答案為：；（3）．（答案不唯一）13．先化簡，再求值：(1)，其中x，y滿足；(2)若關于x的多項式與多項式的和是二次三項式，求代數式的值．【解析】（1）．因為，所以，解得，所以原式；（2）因為關于x的多項式與多項式的和是二次三項式，所以，解得或，又因為，所以，．當時，．14．如圖所示，光明小學打算將一塊長方形空地美化，計劃將空地的四角建圓形的草坪，并緊接著在上下兩邊各修建一個半圓形草坪，其余部分（圖中陰影部分）修建花壇．各圓形半徑均為r米．(1)請列式表示圖中陰影部分的面積；（用含r，的式子表示）(2)如果修建草坪每平方米花費50元，修建花壇每平方米花費100元，求美化空地的總費用．（用含r，的式子表示）．【解析】（1）圖中陰影部分的面積為：；（2）美化空地的總費用為：元．15．定義一種新運算“”：，比如：．(1)_____________；_____________；(2)當時，是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，請給出一組的具體值加以說明；(3)若，比較與的大小．【解析】（1）；；（2）不成立.因為，假設，則；；故不成立；（3）；；當時，；當時，；當時，．16．有四個數，第一個數是，第二個數比第一個數的2倍少，第三個數是第一個數與第二個數的差的3倍，第四個數比第一個數少，若第二個數用x表示，第三個數用y表示，第四個數用z表示．(1)用a，b分別表示x，y，z三個數；(2)若第一個數的值是3時，求這四個數的和；(3)已知m，n為常數，且的結果與a，b無關，求m，n的值．【解析】（1）因為第一個數是，第二個數比第一個數的2倍少，第三個數是第一個數與第二個數的差的3倍，第四個數比第一個數少，所以第二個數；第三個數；第四個數；（2）這4個數的和為=，因為第一個數的值是3，所以，所以4個數的和為；（3）===，因為結果與a，b無關，所以，，解得．17．我們在學習“字母表示數”時，研究