學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2。3第二課時離散型隨機變量的方差一、課前準備1．課時目標(1）理解離散型隨機變量的方差的定義;(2)能熟練應用離散型隨機變量的方差公式求方差；(3）能熟練應用二項分布、兩點分布、超幾何分布的方差公式求方差。2．基礎預探1．設離散型隨機變量X的分布列為X……P……則描述了相對于均值EX的偏離程度，而________。為這些偏離程度的加權平均，刻畫了隨機變量X與其均值EX的平均偏離程度.我們稱DX為隨機變量X的方差。其算術平方根為隨機變量X的標準差,記作_______.2。兩點分布:若X服從兩點分布，則_______.3.二項分布：若，則__________.二、學習引領1.隨機變量方差的意義①隨機變量X的方差與標準差都反映了隨機變量ξ取值相對于它的均值EX的穩定與波動、集中與離散的程度。②DX越小，穩定性越高，波動越小。③顯然DX≥0,且標準差與隨機變量本身有相同單位。④由方差的定義可知，計算方差DX必須先求均值E（X），并且由此定義進一步可得到公式。。2.隨機變量的方差與樣本方差的關系隨機變量的方差即為總體方差，它是一個常數，不隨著抽樣樣本而客觀存在；樣本方差則是隨機變量,它是隨樣本不同而變化的.對于簡單隨機樣本,隨著樣本容易的增加,樣本方差越來越接近于總體方差.3.求隨機變量的方差的步驟①分析試驗的特點,若為兩點分布、二項分布，則直接套用公式；②否則，根據題意設出隨機變量，分析隨機變量的取值；③列出分布列；④利用離散型隨機變量的均值公式求得均值；⑤利用離散型隨機變量的方差公式求得方差。三、典例導析題型一一般離散型隨機變量方差的計算例1兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X1和X2．根據市場分析,X1和X2的分布列分別為X15%10％P0。80.2X22％8％12%P0。20.50。3在兩個項目上各投資100萬元，Y1和Y2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤,求方差,.思路導析:根據分布列先求出兩個隨機變量的均值，在此基礎上再求得其方差。解：由題設可知和的分布列分別為Y1510P0。80.2Y22812P0。20.50.3，，,．方法規律：求一般的離散型隨機變量的方差，需先列出分布列,求出期望，然后才能利用定義求方差．變式訓練：已知隨機變量X的分布列為下表所示：X135P0.40。1則X的標準差為（）.A.3.56B.C。3。2D。題型二二項分布的方差例2某陶瓷廠準備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經過兩次燒制,當第一次燒制合格后方可進入第二次燒制,兩次燒制過程相互獨立．根據該廠現有的技術水平，經過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產品合格的概率依次為，，，經過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產品合格的概率依次為，，,若經過前后兩次燒制后，合格工藝品的個數為X，求隨機變量X的期望與方差．思路導析：本題中合格工藝品的個數為X顯然服從二項分布，因此，可套用相關公式求解。解：因為每件工藝品經過兩次燒制后合格的概率均為，所以，故方法規律：若給出的問題為二項分布、二點分布的期望、方差的計算問題，可直接套用公式求解，從而回避復雜的運算．變式訓練：甲、乙兩隊參加奧運知識競賽,每隊3人,每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分．假設甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為，且各人回答正確與否相互之間沒有影響．用X表示甲隊的總得分．求隨機變量X的數學期望和方差．題型三方差的實際應用問題例3甲、乙兩個建材廠，都想投標參加某重點建設,為了對重點建設負責,政府到兩建材廠抽樣檢查，他們從中各取等量的樣品檢查，得到它們的抗拉強度指數如下：X1101201251301350。10。20.40。10。2Y1001151251301450。10.20。40。10。2其中X和Y分別表示甲、乙兩廠材料的抗拉強度，在使用時要求抗拉強度不低于120的條件下，問甲、乙兩廠的材料哪一種穩定性較好？思路導析：通過分布列分別求出兩個隨機變量的期望和方差，從而可以比較他們的平均水平及材料關于平均水平的穩定性。解：首先看兩廠材料的抗拉強度的期望，然后再比較它們的方差．因為，又因為，，由可知，甲、乙兩廠材料的平均抗拉強度是相等的，且不低于120,但，即乙廠材料的抗拉強度指標與其均值偏差較大．故甲廠的材料穩定性好．方法規律：方差反映了離散型隨機變量取值的集中與離散、波動與穩定的程度,在實際問題中有非常重要的比較價值，若兩個隨機變量的期望相同，難以判斷產品質量或技術水平的高低等問題時，可考慮再用方差值來進一步判斷．四、隨堂練習1。任意確定四個日期，設X表示取到四個日期中星期天的個數，則D（X)等于()．A．B．C．D．2．設一隨機試驗的結果只有兩種：發生和不發生，其發生的概率為,令隨機變量，則的方差等于（）．A．B．2(1—)C．（—1)D．（1—)3．已知的分布列為—101P則在下列式子中：①，②,③，正確的有（）．A．0個B．1個C．2個D．3個4．設隨機變量服從二項分布，即;=．5.從1，2,3，4,5中任取2個不同數作和，如果和為偶數得2分，和為奇數得1分,若表示取出后的得分，則．6．編號為1，2，3的3位同學隨意入座編號為1，2，3的三個座位，每位同學坐一個座位,設與座位編號相同的學生個數是,求，．五、課后作業1.已知,且,則等于（)．A．3B．10C．D．202．甲、乙兩名作者,在同樣的條件下向某報社投稿，假設他們每周投稿的數目相等,稿件被采用的篇數X、Y及其概率P的分布列如下：甲X012P0.60.10。3乙Y012P0.50。30。2則下列關于兩人寫作水平穩定性的判斷正確的是（）.A．甲較穩定B．乙較穩定C．甲、乙穩定性相同D．無法判定3。已知隨機變量的分布列為01Pa則．4．為了檢驗某一種新合成物體的強度，需要進行多次試驗，設進行一次試驗成功的概率為p，若某科研機構進行了100次獨立重復試驗,當p=時，成功次數的標準差最大,最大值為．5.某校組織科普知識競賽．已知學生答對第一題的概率是0.6,答對第二題的概率是0.5，并且他們回答問題相互之間沒有影響．（=1\*ROMANI）求一名學生至少答對第一、二兩題中一題的概率；（Ⅱ）記為三名學生中至少答對第一、二兩題中一題的人數，求的期望與方差．6.某選手進行n次射擊訓練，每次擊中目標的概率都為P,且每次擊中目標與否是相互獨立的，X記為擊中目標的次數，若隨機變量X的數學期望EX=3，方差(I）求n,P的值；（II）若這n次射擊有3次或3次以上未擊中目標，則需繼續訓練，求該選手需要繼續訓練的概率．參考答案2.3第二課時離散型隨機變量的方差2．基礎預探1。2.3。三、典例導析例1變式訓練答案：Ｂ解析：由題意,根據隨機變量分布列的性質知:0。4＋0。1＋＝1，所以＝0.5.,，所以標準差。例2變式訓練解：根據題設可知，,所以．例3變式訓練解：四、隨堂練習1.答案：B解析：因為,所以．2．答案：D解析：根據題意,隨機變量服從兩點分布，所以=（1—）．3．答案：C解析:，,故①③是正確的．4．答案:21；解析：，所以;．5.答案：解析：和所有可能取值為3,4，5,6，7，8,9，其中和為5,6，7時都有兩種情況所以．6．解析:所以的分布列為013P所以．五、課后作業1.答案：C解析：因為，所以，則，所以,故．2．答案：B解析：因為，；.由，可知乙的寫作水平比較穩定．故選B．3.答案:解析：由分布列的性質得所以，所以．4．答案:解析：因為，所以，所以，