數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力(高級中學(xué))(科目代碼：404)教師資格考試數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力(高級中學(xué))標(biāo)準(zhǔn)預(yù)測試卷(六)參考答案及解析 教師資格考試數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力(高級中學(xué))標(biāo)準(zhǔn)預(yù)測試卷(七)參考答案及解析 教師資格考試數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力(高級中學(xué))標(biāo)準(zhǔn)預(yù)測試卷(八)參考答案及解析 教師資格考試數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力(高級中學(xué))標(biāo)準(zhǔn)預(yù)測試卷(九)參考答案及解析 教師資格考試數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力(高級中學(xué))標(biāo)準(zhǔn)預(yù)測試卷(十)參考答案及解析 教師資格考試數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力(高級中學(xué))標(biāo)準(zhǔn)預(yù)測試卷(六)參考答案及解析0,A=1。故本題選B。0(有界量與無窮小量的乘積是無窮小量)。所以1存在且為0。而f(0)=0,所以f(x)在x=0處連續(xù)。中y>0,所以旋轉(zhuǎn)曲面方程為z=ev2+2。故本題選D。(y+4)2+(z+3)2=36,所以球心的坐標(biāo)為(1,-4,-3)。根據(jù)幾何性質(zhì)可知，所求的切平面垂直于過點(5,-2,1)和(1,-4,-3)的直線，即可得切平面的一個法向量n=(4,2,4),所以所求的切平面的方程為4(x-5)+2(y+2)+4(z-1)=0,化簡得2x+y+2z=10。故本題選B。。故本題選D。由題意知根據(jù)矩陣乘法的結(jié)合律有A"=B'CB'CB*C…B'C=B'(CBT)(CBT)…(CB1)C=3-B'C=聯(lián)立方程可求得曲線和直線的交點坐標(biāo)為(-1,2)和(2,-1),因此由定積分的幾何應(yīng)用可知(1)假設(shè)“第一個人取出的是黃球”為事件A,“第二個人取出的是黃球”為事件B。則(2)根據(jù)貝葉斯公式(2)數(shù)學(xué)教師要努力提升通識素養(yǎng)創(chuàng)新，也包括從教學(xué)實踐中總結(jié)經(jīng)驗；包括指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的創(chuàng)新，也包括對學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的探索；包括對數(shù)學(xué)知識更為深刻的理解，也包括對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的梳理。(3)數(shù)學(xué)教師要努力提升數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)教師必須提升自身的“四基”水平、提升數(shù)學(xué)專業(yè)能力，自覺養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題、用數(shù)學(xué)的思維分析和解決問題、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)和交流問題的習(xí)慣。(4)數(shù)學(xué)教師要努力提升數(shù)學(xué)教育理論素養(yǎng)教師要結(jié)合教育教學(xué)實踐，閱讀和理解數(shù)學(xué)教育經(jīng)典著作，關(guān)注前沿進(jìn)展的要求。認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)，理解和把握高中數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)，深入思考教與學(xué)的關(guān)系。基于課程標(biāo)準(zhǔn)，認(rèn)真研讀教材，把握“四基”與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)；基于理論與實踐，不斷探索數(shù)學(xué)教學(xué)的規(guī)律，特別是學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的規(guī)律，探索如何把科學(xué)形態(tài)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的數(shù)學(xué)。理解和把握評價的作用，思考如何通過評價鼓勵學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺性、如何通過評價調(diào)整自己的教學(xué)。(5)數(shù)學(xué)教師要努力提升教學(xué)實踐能力數(shù)學(xué)教師應(yīng)用理論指導(dǎo)實踐，不斷總結(jié)與反思自己的教學(xué)實踐，不斷提高教學(xué)能力，并最終落實到課堂、落實到學(xué)生。①以學(xué)生發(fā)展為本，指導(dǎo)學(xué)生合理選擇課程、制定學(xué)習(xí)計劃；②幫助學(xué)生打好基礎(chǔ)，發(fā)展能力；③注重聯(lián)系，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的整體認(rèn)識；④注重數(shù)學(xué)知識與實際的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和能力；⑤關(guān)注數(shù)學(xué)的文化價值，促進(jìn)學(xué)生科學(xué)觀的形成；⑥改善教與學(xué)的方式，使學(xué)生主動地學(xué)習(xí)；⑦恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，提高教學(xué)質(zhì)量。(1)由于P(AB)≤P(A)=0.6,P(AB)≤P(B)=0.7,所以當(dāng)P(AB)=P(A)時，P(AB)取得最大值0.6。(2)由于P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)=1.3-P(AUB),所以當(dāng)P(AUB)=1時，P(AB)取得最小值0.3。教學(xué)從本質(zhì)上講就是“預(yù)設(shè)”與“生成”的矛盾統(tǒng)一體。“預(yù)設(shè)”是預(yù)測與設(shè)計，是教師在課前對教學(xué)進(jìn)行有目的、有計劃的設(shè)想和安排。“生成”是生長和構(gòu)想，是師生在與教學(xué)情境的交互作用以及師生對話互動中超出師生預(yù)設(shè)方案的新問題、新情況。因此，在新課程理念下的教學(xué)設(shè)計，應(yīng)充分考慮學(xué)生的知識背景、生活經(jīng)歷與情感體驗，在知識學(xué)習(xí)的過程中，吸引學(xué)生主動參與，處理好預(yù)設(shè)與生成的關(guān)系，是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生主動探究的關(guān)鍵。在“勾股定理的應(yīng)用”教學(xué)中設(shè)計了這樣一堂課。準(zhǔn)備了皮尺，把學(xué)生帶到操場上，讓學(xué)生分別在體育老師和校長那里獲取籃板和教學(xué)樓的高度，提出問題：在籃板的右上角有一只小鳥要飛到教學(xué)樓的左上角，請你利用皮尺和所學(xué)知識求出小鳥飛行的最短路徑(籃板和教學(xué)樓的頂端不能到達(dá))。學(xué)生開始活動，有的測量籃板頂端與教學(xué)樓頂端的水平距離，有的在繪制幾何圖形，每一個同學(xué)都很認(rèn)真，大家也很開心，樂在其中，課堂 上洋溢著和諧、愉悅、輕松的氣氛。這堂課既訓(xùn)練了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想，又讓學(xué)生深切體會到數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)。教學(xué)應(yīng)當(dāng)在預(yù)設(shè)與生成的和諧中發(fā)展，只有架起教學(xué)預(yù)設(shè)與動態(tài)生成和諧的橋梁，才能讓智慧之火“激情”燃燒在課堂教學(xué)之中。(1)教師A運(yùn)用的引入方法為溫故引入法，這種引入方式一方面可以幫助學(xué)生復(fù)習(xí)舊知，另一方面可以幫助學(xué)生建立起新舊知識之間的聯(lián)系，使學(xué)生在學(xué)習(xí)新知的過程中與舊知形成對比，從而加深學(xué)生對舊知的掌握和對新知的理解。案例中教師A復(fù)習(xí)舊知后，出示例題讓學(xué)生初步感受新知，引發(fā)學(xué)生思考，學(xué)生會聯(lián)想舊知中等差數(shù)列前n項和的推導(dǎo)方法來思考等比數(shù)列前n項和的推導(dǎo)方法，從而可以很好地發(fā)揮學(xué)生在新知學(xué)習(xí)中的主動性，提升學(xué)生分析和解決問題的能力。教師B運(yùn)用的引入方法為直接引入法，這種引入方法可以幫助學(xué)生快速進(jìn)入課堂狀態(tài)，準(zhǔn)確把握課堂重點。案例中教師B引入新知后，通過例題激發(fā)學(xué)生的好奇心及探索新知的興趣并進(jìn)行進(jìn)一步的講解，可以幫助學(xué)生了解新知在實際解題中的應(yīng)用。但這種引入方法使學(xué)生成為知識的被動接受者，不能很好地發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，從而不能很好地提升學(xué)生自主思考、分析問題的能力。(2)分析教師B“新知學(xué)習(xí)”環(huán)節(jié)可知，教師B在給出例題后，沒有給學(xué)生留時間思考，而是直接演示解題方法，讓學(xué)生進(jìn)行觀看，之后出示習(xí)題讓學(xué)生自主解題。教師的教學(xué)要以學(xué)生為主體，教師B的新知教學(xué)過程沒有做到這點，沒有讓學(xué)生經(jīng)歷新知探索、自主思考等過程，這不利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提高，從而學(xué)生對于新知的理解及掌握也必然達(dá)不到一定的教學(xué)要求。對教師B的“新知學(xué)習(xí)”環(huán)節(jié)的改進(jìn)建議如下：①教師在出示例題后，應(yīng)該給學(xué)生留有一定的時間自主思考、小組討論，從而培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣，以及一定的分析、解決問題的能力；②教師可以讓學(xué)生匯報討論結(jié)果，通過層層設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生自主得出新知結(jié)論，這一方面符合學(xué)生的認(rèn)知過程，另一方面可以啟發(fā)學(xué)生的思維，從而幫助學(xué)生更深入地理解和記憶新知內(nèi)容；③教師在讓學(xué)生進(jìn)行自主練習(xí)時，應(yīng)該進(jìn)行巡視指導(dǎo)，一方面可以對學(xué)生因材施教，另一方面可以幫助教師了解學(xué)生對于新知的掌握情況。(1)教學(xué)目標(biāo)①理解幾何概型的概念，掌握幾何概型的概率計算公式，理解古典概型和幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系；②在探究學(xué)習(xí)的過程中，提升將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型問題的能力；③經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成過程，體會數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的眼光看待世界的意識。(2)教學(xué)過程帶領(lǐng)學(xué)生回顧古典概型的相關(guān)知識。問題1:若x的取值是區(qū)間[0,5]中的整數(shù)，任取一個x的值，求“取得值不小于3”的概率。(古典概型)問題2:若x的取值是區(qū)間[0,5]中的實數(shù)，任取一個x的值，求“取得值不小于3”的概率。(幾何概型)學(xué)生自主討論、比較問題1,2的不同，引入新知“幾何概型”。1.試驗：取一個邊長為8cm的正方形及其內(nèi)切圓，隨機(jī)向其中丟一粒黃豆，那么黃豆落入圓內(nèi)的概率有多大?學(xué)生利用模具自主探究，教師指導(dǎo)，最終形成下表。項目歸納黃豆落在正方形內(nèi)某一點對應(yīng)的整個圖形上的一點(隨機(jī))正方形面(S正=64cm2)隨機(jī)事件A對應(yīng)的集合內(nèi)切圓面(S圓=16πcm2)區(qū)域D中的某一個指定區(qū)域d(續(xù)表)項目歸納項目定義滿足古典概型兩大特征(基本事件有限、等可能性)的長度(面積或體積)成比例有限個(可列n個)②問題2為幾何概型，區(qū)域D的長度為5,區(qū)域d的長度為2,故P(取得值不小于3)=3。5.拓展延伸：上述邊長為8cm的正方形及其內(nèi)切圓，隨機(jī)向正方形內(nèi)丟一粒黃豆，求黃豆落入圓心的概率。解題過程：在線段AC上取一點M,使得AB=AM,如下圖所示假設(shè)“AP<AB”為事件A,事件A所對應(yīng)的區(qū)域d為∠ABM=67.5°。故解幾何概型問題的步驟：①判斷該概率模型是不是幾何概型；②如果是，注意幾何度量的選擇；③把實際問題中的度量關(guān)系轉(zhuǎn)化成長度、面積、體積等形式；④根據(jù)幾何概型計算公式求出概率。教師資格考試數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力(高級中學(xué))標(biāo)準(zhǔn)預(yù)測試卷(七)參考答案及解析a=1或2,d=1或2,即a∈Ω,d∈Ω。故本題選D。1)處的法平面方程為(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0,化簡得x+2y+3z-6=0。 ,可得.解得.所以(方法二)根據(jù)計算。因為,所以|M|=-5,。由于P(ABC)≤P(AB),而P(AB)=0,所則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得,又F'(x)=f(x)+xf'(x),f(ξ)+ξf'(ξ)。所知兩邊和一邊的對角可利用正弦定理和余弦定理4,∠C=60°,求其他的邊和角。,要使原線性方程組有無窮多解，則有r(A,b)=r(A)<4,所以有1-a?=0且-a-a2=0,解得a=-1。當(dāng)a=-1時，,可知導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為(1,1,1,1)',非齊次線性方程組的特解為(0,-1,0,0),故其通解為(0,-1,0,0)'+k(1,1,1,1)',其中k為任意常數(shù)。①確定分析目的分析數(shù)據(jù)之前首先需要確定分析的目的是什么,保證之后的數(shù)據(jù)分析不會偏離主題。確定分析目的后要②數(shù)據(jù)收集③數(shù)據(jù)的處理由于采集到的數(shù)據(jù)可能包含誤差或者其他干擾因子，所以要采取必要的數(shù)學(xué)方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行加工整理④數(shù)據(jù)分析⑤數(shù)據(jù)展現(xiàn)(2)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)可以從以下幾個方面入手。展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。(3)解法一：設(shè)P(x,y)為雙曲線上任意一點，因為48。故所求雙曲線方程(1)教學(xué)過程,解,解如圖，平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點E,點F為線段AD的中點，設(shè)AB=a,AD=b,用向量a,b的線性運(yùn)算來表示向量EF,A,B。【設(shè)計意圖】復(fù)習(xí)向量的線性運(yùn)算，可以幫助學(xué)生在鞏固舊知的基礎(chǔ)上，建立起新舊知識之間的聯(lián)系；結(jié)合例題，可以幫助學(xué)生初步感知用給定的向量表示平面內(nèi)其他向量的方法，從而為新知的教學(xué)做鋪墊。教師：我們可以發(fā)現(xiàn)通過平面內(nèi)兩個給定向量的線性運(yùn)算，可以表示出許多不同的向量，那么我們想通過線性運(yùn)算表示某些向量，必須給定兩個向量嗎?學(xué)生思考并回答。(注意特殊情況：零向量)提問：通過平面內(nèi)兩個給定向量的線性運(yùn)算可以表示多少向量?學(xué)生猜想并回答。教師引導(dǎo)學(xué)生正確猜想：通過同一平面內(nèi)兩個不共線向量的線性運(yùn)算可以表示這一平面內(nèi)任意一個向量。【設(shè)計意圖】回憶數(shù)乘向量的幾何意義和平行向量的基本定理，說明當(dāng)給定的兩個不全為零的向量共線時，只能表示與他們共線的向量，從而形成定理中的“不共線”;當(dāng)給定的兩個向量不共線時，只能表示與他們探究1.教師出示課件，給定一組不共線的向量e?,e?(共起點),待分解的向量a,請學(xué)生在黑板上作圖，并試著說明作圖過程及能夠用e?,e?的線性運(yùn)算來表示的原因。教師引導(dǎo)學(xué)生通過物理學(xué)中力的分解來完成。【設(shè)計意圖】基底共起點的情況使學(xué)生更容易想到逆用平行四邊形法則進(jìn)行分解；通過較簡單情況下向量a的分解，讓學(xué)生體會將向量a用不共線向量e?,e?的線性運(yùn)算進(jìn)行表示的方法和依據(jù)。探究2.當(dāng)向量a可以用不共線向量e?,e?的線性運(yùn)算進(jìn)行表示時，不改變向量的方向，只改變向量的大小，驗證分解的存在性。①從形的角度來看，可以先想象再配合幾何畫板直觀觀察分解的存在性。②從數(shù)的角度思考，由共線向量基本定理，與向量a方向相同的向量一定可以寫成ma,a=λ?e?+A?e?,那么ma=mλ?e?+mλ?e?。【設(shè)計意圖】形的角度更加直觀，數(shù)的角度更為嚴(yán)謹(jǐn)，潛移默化地使學(xué)生體會到向量是有著數(shù)、形兩種屬性的數(shù)學(xué)對象。探究3.向量a繞其起點旋轉(zhuǎn)，隨著旋轉(zhuǎn)，向量a的分解方法有什么不同嗎?有哪些情況?請同學(xué)畫出代表不同情況的向量，對它們分別進(jìn)行研究，找到一般方法，驗證任意性，同時利用幾何畫板進(jìn)行動態(tài)演示，直觀確認(rèn)任意性。【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生分類討論的意識，從分解出的向量與基底方向的關(guān)系到線性運(yùn)算中系數(shù)的符號，為后續(xù)課程中建立坐標(biāo)系，劃分象限埋下伏筆；對向量a與e?,e?其中一個共線情況的討論，為后面分析平面向量基本定理與共線向量基本定理之間的聯(lián)系做鋪墊。問題1:我們定性地說明了滿足要求的實數(shù)λ?,A?存在，那么到底存在多少組呢?問題2:得到的“平面向量的基本定理”與共線向量的基本定理有什么聯(lián)系?【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，使學(xué)生進(jìn)一步體會向量是集數(shù)、形于一身的數(shù)學(xué)概念；理解當(dāng)基底選定后，平面內(nèi)的任意向量與有序?qū)崝?shù)對(λ?,A?)一一對應(yīng)。完善定理：如果e?,e?是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a存在唯一一對實數(shù)λi,A?使a=λ?e?+λ?e?。四、課堂小結(jié)教師：這節(jié)課，我們從一個具體問題的探究開始提出我們的猜想，一步一步地完善我們定理的證明。平面向量基本定理是將平面向量任意化歸為確定的線性組合的理論依據(jù)，是由幾何到代數(shù)的橋梁。希望同學(xué)們通過這節(jié)課能夠體會一個數(shù)學(xué)定理的產(chǎn)生過程以及發(fā)展過程中蘊(yùn)含的合理的思維方式。【設(shè)計意圖】應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算，共線向量定理的應(yīng)用對解答此類問題起著至關(guān)重要的作用。當(dāng)基底確定后，任一向量的表示都是唯一的。(3)在高中數(shù)學(xué)課程中，向量占有很重要的地位，它是聯(lián)系代數(shù)、幾何以及三角函數(shù)的重要工具，具有非常豐富的實際背景。平面向量的基本定理既是向量加法、減法和數(shù)乘的延續(xù)和發(fā)展，也是后面學(xué)習(xí)向量的坐標(biāo)表示，數(shù)量積，向量解決立體幾何問題的基礎(chǔ)和重要工具，起著承上啟下的作用，并且很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，這也就確立了平面向量基本定理在向量中的核心地位，同時它也是向量由一維到二維過渡的重要橋梁。教師資格考試數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力(高級中學(xué))標(biāo)準(zhǔn)預(yù)測試卷(八)參考答案及解析0,所以數(shù)列收斂；C項和D項中，因為所以數(shù)列|n2}和數(shù)列均發(fā)散。故本題選B。4.【答案】B。解析：因為二次型f(x?,x?,x?)=2x2+3x2+3x3+2ax?xs=x'Ax=(x?,x?,正定，所以A是正定矩陣，則A的所有順序主子式全都大于0,即有2>0,,可得a的取值范圍是-3<a<3。故本題選B。是kA的特征值，λ-1是A-E的特征值。所以矩陣A2-3A-E的特征值為A2-3λ-1(A=1,2,-3),即為-3,-3,17。因為矩陣的行列式的值等于矩陣所有特征值的乘積，所以|A2-3A-E|=(-3)×(-3)×知，以O(shè)A,OB,0C為三鄰邊的平行六面體體積等于三向量混合積的絕對值，因為(OA,OB,oC)=為解為x=1-y,其中y∈R為自由變量。,所以r(A)=2,即得σ的秩為2。σ?1(0)={X|σ(X)=0},又σ在基e?,E?,E?,e?下的矩陣為A,所以σ?(0)為齊次線性方程組AX=0的解空間。易知AX=0的基礎(chǔ)解系為,αx?=(-1,-2,0,1)T,所以核σ-1(0)=(1)復(fù)習(xí)導(dǎo)入法生復(fù)習(xí)“等差數(shù)列”的相關(guān)知識，幫助學(xué)生找到新舊知識之間的聯(lián)結(jié)點，之后帶領(lǐng)學(xué)生探索新知。(2)類比導(dǎo)人法類比是指當(dāng)兩個對象具有某些相同或類似屬性，而且已經(jīng)了解其中一個對象的某些性質(zhì)時，推測另一個對象也有相同或類似性質(zhì)的思維形式。類比導(dǎo)入法就是以這種思維形式為基礎(chǔ)，通過新知與舊知之間的類比，在舊知的基礎(chǔ)上探索發(fā)現(xiàn)新知。類比導(dǎo)入法簡潔明快，既培養(yǎng)了學(xué)生的類比推理能力，又能高效地調(diào)動學(xué)生思維的積極性。以“等比數(shù)列”為例，學(xué)生在學(xué)習(xí)新知之前已經(jīng)學(xué)習(xí)過“等差數(shù)列”的相關(guān)知識。教師可以抓住等差數(shù)列的定義，采用類比導(dǎo)入法，列舉一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列，讓學(xué)生通過對比觀察兩種數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，來類比分析等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)特征。同化是指有機(jī)體面對一個新的刺激情景時，把刺激整合到已有的圖式或認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。順應(yīng)是指當(dāng)有機(jī)體不能利用原有圖式接受和解釋新刺激時，其認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生改變來適應(yīng)刺激的影響。同化論強(qiáng)調(diào)新舊知識的相互作用涉及上位學(xué)習(xí)、下位學(xué)習(xí)、并列結(jié)合學(xué)習(xí)三種形式；強(qiáng)調(diào)概念和命題的不斷分化和綜合貫通；強(qiáng)調(diào)原有知識的鞏固及教材由一般到個別的循序組織。實際應(yīng)用中，教師要了解學(xué)生對新舊知識的掌握程度及接受能(1)證明：因為α'β=0,所以(a'B)?=β'α=0。因為α,β為三維單位列向量，所以α'a=1,β'β=1。由A=aβ?+βa1,可知Aα=(aβ?+βa1)a=βa2)β=α,所以A(α+β)=α+β,A(α-β)=-(α-B)。由矩陣特征值、特征向量的概念可知1,-1是矩陣A的特征值，它們對應(yīng)的一個特征向量分別為α+β,α-β。又因為r(A)=r(aβ?+Ba2)≤r(aβ1)+r(Ba2)=1+1=2,所以|A|=0,所以0也是矩陣A的特征值，由于矩陣A有3個各不相等的特征值1,-10,所以A可相似對角化。(2)因為Ar=0,r≠0,可知r是矩陣A的特征值0對應(yīng)的一個特征向量，而2(α+β),β-α分別是特征值1和-1對應(yīng)的一個特征向量，易得在數(shù)學(xué)課堂上，教師恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用類比思想，可以促進(jìn)學(xué)生對于知識的理解與吸收，能夠加深學(xué)生的知識掌握程度，使知識應(yīng)用能力也得到很好的鍛煉。①概念形成中的有效類比概念教學(xué)是理論知識教學(xué)的重要組成部分，在概念教學(xué)中教師可以充分利用類比思想做輔助教學(xué)。中學(xué)數(shù)學(xué)的很多知識點存在相似性，教師可以靈活地運(yùn)用類比思想來輔助理論知識的教學(xué)，并且在比較與聯(lián)系的過程中幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系，充分發(fā)揮類比教學(xué)的作用，極大地促進(jìn)學(xué)生對概念的理解與吸收。②知識整合時的有效類比教師可以引導(dǎo)學(xué)生以類比的形式來實現(xiàn)對于新知識點的理解與吸收，也可以讓學(xué)生在知識點間的類比與對照中更好地認(rèn)識知識點間的聯(lián)系與區(qū)別。這樣不僅能夠幫助學(xué)生實現(xiàn)知識的良好整合，也可以保障學(xué)生對于每一個具體的知識點都有更好的理解與掌握。③問題解決時的類比探究在很多實際問題的解答中，培養(yǎng)學(xué)生掌握問題解決的方法是教學(xué)的核心，也是學(xué)生知識應(yīng)用能力的一種良好體現(xiàn)。教師可以有意識地向?qū)W生滲透類比思想，讓學(xué)生在問題解答時類比一些有效的數(shù)學(xué)思想方法，并且通過解題技巧的遷移來解決更多實際問題，從而極大地提升學(xué)生的知識應(yīng)用能力與實踐能力。(1)對該備課組擬定的教學(xué)目標(biāo)的評析如下。①該目標(biāo)目的明確，貼合高中階段概率知識的教學(xué)內(nèi)容，目標(biāo)主體明確，行為動詞恰當(dāng)。②就知識與技能目標(biāo)而言，上述目標(biāo)還存在一些不足。概率知識學(xué)習(xí)之前，教師首先介紹事件的定義并引入頻數(shù)、頻率的概念，以此為基礎(chǔ)引入概率知識。此目標(biāo)沒有對頻數(shù)和頻率的闡述。③教學(xué)目標(biāo)還包括過程與方法目標(biāo)和情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)，而備課組擬定的教學(xué)目標(biāo)中對這兩方面的內(nèi)容沒有具體體現(xiàn)。教學(xué)目標(biāo)①了解事件的種類，了解隨機(jī)事件的概念并能夠舉出一些生活中的隨機(jī)事件，理解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，理解概率的概念，了解事件發(fā)生的頻率與概率的區(qū)別；②通過概率實驗經(jīng)歷獲取實驗數(shù)據(jù)的過程，培養(yǎng)獲取數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)結(jié)論的探究能力；③通過經(jīng)歷探究活動過程并得出結(jié)論，感受經(jīng)過思考解決問題的喜悅感，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系。(2)教師甲在課堂開始前給學(xué)生預(yù)設(shè)了摸球的情境，以一種情境導(dǎo)入的方式引入新知。這種引入方式能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的興趣，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣。但是，由于學(xué)生此前沒有接觸過這種摸球可能性的問題，所以這種導(dǎo)入方式較難引起學(xué)生的共鳴，與學(xué)生的思維轉(zhuǎn)換沒有達(dá)到很好的契合，同時割裂了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與生活之間的聯(lián)系。教師乙將生活中的事例與新知相結(jié)合，運(yùn)用事例導(dǎo)入法巧妙引出新知。這種導(dǎo)入強(qiáng)調(diào)了實踐性，能使學(xué)生產(chǎn)生親切感，起到觸類旁通的效果，同時讓學(xué)生感受到生活處處有數(shù)學(xué)。但是，這種導(dǎo)入方式只是單方面讓學(xué)生知道不同種事件的定義，沒有讓學(xué)生感受到影響事件可能性大小的因素。(1)教學(xué)片段提出問題：我們知道，在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系。我們能否得到這個邊角關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢?探究一：直角三角形中邊與角的關(guān)系長分別為a,b,c。問題：由銳角三角函數(shù)的定義，你能寫出sinA與sinB的關(guān)系嗎?教師引導(dǎo)學(xué)生利用初中所學(xué)知識找出,因為兩個式子都含有c,對兩個式子變形得到,又因為sinC=1,上式可以寫問題：我們發(fā)現(xiàn)的結(jié)i在直角三角形中成立，在任意的三角形中成立嗎?教師引導(dǎo)學(xué)生分兩種情況(銳角三角形和鈍角三角形),然后按照化未知為已知的思路，構(gòu)造直角三探究二：銳角三角形中的邊角關(guān)系教師給出任意銳角三角形圖形，出示已知條件及問題。問題：在銳角三角形ABC中，∠A,∠B,∠C所對的邊長分別為a,b,c。你能得到結(jié)?教師引導(dǎo)學(xué)生過點C作AB邊上的高CD,然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，在Rt△CDB,Rt△CDA中，可以寫出CD=asinB,CD=bsinA,由此可以得到;同理，過A點作BC邊上的高，也可以得到,由此得到結(jié)從而證得此結(jié)論在銳角三角形中也成立。問題：當(dāng)三角形是鈍角三角形時，結(jié)成立嗎?延用上述方法，學(xué)生自己進(jìn)行證明操作，全班交流證明過程，教師巡視指導(dǎo)。教師總結(jié)：通過上面的探索我們發(fā)現(xiàn)任意三角形中都存在結(jié)教師給出正弦定理的定義，并強(qiáng)調(diào)對任意三角形都存在此定理。(2)習(xí)題：在三角形ABC中，已知a=2√2,b=2/3,∠A=45°,解三角形。【設(shè)計意圖】讓學(xué)生用正弦定理解題，感受到應(yīng)用該定理的簡便之處，題目隱含兩種結(jié)果，考查了學(xué)生對已學(xué)知識的掌握程度，幫助學(xué)生加深對解三角形這類題目的理解。(3)A,B兩村莊在河的兩岸，有一工程隊，要在A,B兩村莊建一座大橋，要測量兩點之間的距離，測量者在A村的同側(cè)，在所在河岸邊選定一點C,測出AC之間的距離是55米，∠ACB=60°,∠BAC=45°,求AB之間的距離。【設(shè)計意圖】讓學(xué)生認(rèn)識到正弦定理在生活中的應(yīng)用，激發(fā)其學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)其學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。教師資格考試數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力(高級中學(xué))標(biāo)準(zhǔn)預(yù)測試卷(九)參考答案及解析0,c=-b,則(b∈R),即是W的一個基，所以W的維數(shù)是1。故本題選A。。故本題選A。0.8=16。所以E(X2)=D(X)+[E(X)]2=16+202=416。量為n?=(2,1,1),所以兩平面夾角的余弦值,則。故本題選C。n-r(A),所以齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系由一個非零向量構(gòu)成。由題意無法確定α?是不是零向量，所排除C;而α?≠α?=α?-α?≠0。故本題選D。當(dāng)x=-1時過直線的平面系方程為A(2x+y-2z+1)+μ(x+2y-z-2)=0,即(2λ+μ)x+(2λ+μ)×1+(A+2μ)×1-(2λ+μ)×1=0,整理得λ=-2u,不妨令μ=-1,則λ=2,所求平面方程(1)證明：設(shè)矩陣A的特征值為λ?,A?,A?(λ?≠A?≠A?),則存在可逆矩陣P使得A=P-?1diag(λi,A?,(2)因為r(A)=2,所以齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中只有一個非零解向量，由于α?+2α2-α?=0,所以基礎(chǔ)解系為：,又由β=α?+α?+α?,得非齊次方程組Ax=β此方程組Ax=β的通解為因(1)向量的引入有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法是數(shù)形結(jié)合思想方法的體現(xiàn)。因此，學(xué)習(xí)向量知識有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法。(2)向量的引入有利于拓寬解題思路向量方法既是數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn)，又是問題解決的一種方法途徑。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，向量使數(shù)與形合二為一，聯(lián)系幾何、代數(shù)、三角函數(shù)等知識。它既是解決問題的思想方法，又是手段工具，它使得學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時思路清晰明確，降低思維轉(zhuǎn)換過程的難度。向量方法對于解決數(shù)學(xué)問題及日常生活中的實際問題具有重要價值。(3)向量的引入有利于發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力向量的線性運(yùn)算與多項式的運(yùn)算相類似，其運(yùn)算特點主要表現(xiàn)在向量的數(shù)量積運(yùn)算。向量的運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算、多項式的運(yùn)算既有聯(lián)系又有區(qū)別，向量的運(yùn)算形式比較多，比較全面。學(xué)習(xí)向量知識可以發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力，增強(qiáng)學(xué)生對代數(shù)運(yùn)算本質(zhì)的認(rèn)識。13.【參考答案】實施合作學(xué)習(xí)應(yīng)注意的問題主要有以下幾點：(1)確定適當(dāng)?shù)暮献鲗W(xué)習(xí)內(nèi)容，合作學(xué)習(xí)是一種學(xué)習(xí)方式，也是一種手段，學(xué)習(xí)方式與所學(xué)內(nèi)容要互相適應(yīng)，不是所有的學(xué)習(xí)領(lǐng)域和學(xué)習(xí)主題都需要合作學(xué)習(xí)的方式；(2)合作學(xué)習(xí)的主要目的是加強(qiáng)師生之間的交流與互動；(3)合作學(xué)習(xí)應(yīng)在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行；(4)要防止合作學(xué)習(xí)流于形式。14.【參考答案】當(dāng)g(x)=0,x∈[a,b]時，有,此時任意ξ∈[a,b],f(ξ)當(dāng)g(x)≠0時，因為g(x)在[a,b]上不變號，所以必有對任意x∈[a,b],g(x)>0或g(x)<0。不妨設(shè)x∈[a,b]時，g(x)>0。根據(jù)最值定理知，f(x)在[a,b]上連續(xù)，則必取到最小值m和最大值M,所以對任意因為,可得,根據(jù)介值定理可知，至少存在一點ξ∈[a,b],使綜上，至少存在一點ξ∈[a,b],使。結(jié)論得證。15.【參考答案】“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。”這里的“人人”指的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的所有人，是大眾教育，而不是指少數(shù)人。知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度與價值觀的整體發(fā)展是“良好教育的標(biāo)志”。“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”,這是對人的主體性地位的回歸與尊重。平時在教學(xué)中要注重學(xué)生的主體性地位，正視學(xué)生的差異，尊重學(xué)生的個性，促進(jìn)學(xué)生更好地自主發(fā)展。例如，課程的設(shè)計要滿足學(xué)生未來生活、工作和學(xué)習(xí)的需要。使學(xué)生掌握必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，發(fā)展學(xué)生的抽象思維和推理能力，培養(yǎng)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，在情感態(tài)度與價值觀等方面都要得到發(fā)展。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，可以采用多層次教學(xué)。多層次教學(xué)法能夠提高我們教與學(xué)的目的性、層學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。冷冷(1)情境導(dǎo)入(2)實例1②3是12的約數(shù)；⑥10可以被2或5整除；⑦菱形的對角線互相垂直且平分；【設(shè)計意圖】將初中所學(xué)知識與本節(jié)要學(xué)習(xí)的知識連接起來，方便學(xué)生理解簡單命題與復(fù)合命題的概念與區(qū)別。師：對于三種復(fù)合命題，如何判斷其真假呢?下面要求學(xué)生自己設(shè)計或真或假的命題來填下面表格：P真假Pq真真真假假真假假Pq真真真假假真假假結(jié)合學(xué)生回答情況，將上面的表格補(bǔ)充完整，并給出真值表的定義。要求學(xué)生對每一真值表用一句話總結(jié)，之后教師小結(jié)：①“非p”形式的復(fù)合命題的真假與p的真假相反；②“p且q”形式的復(fù)合命題當(dāng)p與q同為真時為真，其他情況時為假；③“p或q”形式的復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時為假，其他情況時為真。【設(shè)計意圖】運(yùn)用圖表的形式，形象而直觀地將如何判斷復(fù)合命題的真假展現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生自己動手填寫更能加深印象。(3)難點：正確區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)中的邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”與日常生活中“或”“且”“非”的含義；簡潔準(zhǔn)確地運(yùn)用邏輯聯(lián)結(jié)詞表述命題；準(zhǔn)確判斷復(fù)合命題的真假。教師資格考試數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力(高級中學(xué))標(biāo)準(zhǔn)預(yù)測試卷(十)參考答案及解析dx=2atdt。曲線)和兩坐標(biāo)軸所圍成的面積乘A,化簡得3(A-2E)B=A,所以|。故本題選B。所以故本題選D。兩個條件，一是圖形是連通的(圖形的各部分之間連接在一起),二是圖形中的奇點(與奇數(shù)條邊相連的點)個數(shù)為0或2。(1)由交空間的維數(shù)公式知，dim(W?∩W?)=dimW?+dimW?-dim(W?+W?),其中dimW?=r(α?,x?,(2)由(1)知dim(W?∩W?)=1,所以交空間的一個基只有一個非零向量，不妨設(shè)為α?(α≠0),則存在一組實數(shù)a?,a?,a?,b?,b?,有a?α?+a?α?+a?X?=b?β,+b?β?=α?(a?,a?,a?,b?,b?不全為0),(a?,a?,a?,-b?,-b?)即為線性方程組(α?,α?,α?,β?,β?)X=0的一組非零解。計算得線性方程組的一組非零解為(6,-2,0,-3,1)",則αo=6α?-2a?+0a?=3β?-β?=(4,10,-4,-10)",即為W?nW?的一個基。歸納推理是由某類事物的不同對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理。它是由部分到整體，由特殊到一般的推理，思維過程大致由“實驗、觀察”到“概括、推廣”再到“猜測一般性結(jié)論”。例如，在學(xué)習(xí)“勾股定理”內(nèi)容時，教師以直角三角形的三邊為邊長分別向三角形外側(cè)畫出對應(yīng)的正方形，讓學(xué)生觀察三個正方形面積的關(guān)系，再引導(dǎo)學(xué)生思考三個正方形面積的關(guān)系與直角三角形三邊的關(guān)系，從而初步發(fā)現(xiàn)該直角三角形三邊存在的關(guān)系，最后通過上述過程歸納出猜想，推廣至一般性結(jié)論，即“勾股定理”。類比推理是根據(jù)兩個或兩類對象有部分屬性相同或相似，從而推出它們的其他屬性也相同或相似的推學(xué)習(xí)“立體幾何”內(nèi)容時可以類比“平面幾何”的性質(zhì)特征，立體幾何與平面幾何的許多概念、性質(zhì)是相似的，類比“長方形的每一邊恰好與其相對的邊平行，而與其相鄰的邊垂直”可以推出“長方體的每一面恰好與其相對的面平行，而與其相鄰的面垂直”。又如，在學(xué)習(xí)“球的標(biāo)準(zhǔn)方程”內(nèi)容之前學(xué)過“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”,由于圓和球都是到定點的距離等于常數(shù)的點的集合，所以在學(xué)習(xí)球的相關(guān)內(nèi)容時自然會聯(lián)想到圓，所以通過類比可以引導(dǎo)學(xué)生由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程“(x-xo)2+(y-yo)2=r2”,推出球的標(biāo)準(zhǔn)方程“(x-xo)2+(y-yo)2+比，然后提出猜想的推理。從推理結(jié)論來看，二者所得結(jié)論均不一定正確，有待進(jìn)一步證明。合情推理是指“合乎情理”的推理，在數(shù)學(xué)的研究中，得到一個新結(jié)論之前，歸納推理和類比推理常常幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，為我們提供證明新結(jié)論的思路和方向。數(shù)學(xué)素養(yǎng)是新時代公民文化素養(yǎng)的重要組成部分，當(dāng)今信息化的時代也要求人們具有更高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，就是要讓學(xué)生懂得用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，具體可以從以下幾個方面來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。(1)注重學(xué)生理論聯(lián)系實際，將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實際生活能力的培養(yǎng)我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識最終都要回歸到實際生活中去。一方面，教師在教學(xué)新知的過程中要恰當(dāng)?shù)匾肱c新知相關(guān)的實際生活情境，讓學(xué)生在生活情境中去感悟數(shù)學(xué)元素，引導(dǎo)學(xué)生從實際案例中體會數(shù)學(xué)概念，從而加深學(xué)生對新知的理解和記憶。另一方面，要啟發(fā)學(xué)生將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實際問題中，學(xué)會分析實際問題并抽象出一般的數(shù)學(xué)模型，從而掌握解決問題的技能與方法。(2)注重學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生具備的核心素養(yǎng)有數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的。教師在教學(xué)中一方面要夯實自身的學(xué)科素養(yǎng)，另一方面要積極引領(lǐng)學(xué)生形成相應(yīng)的學(xué)科素養(yǎng)。比如，在數(shù)據(jù)分析這一學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)中，教師可給出一個統(tǒng)計案例，讓學(xué)生獨(dú)立分析數(shù)據(jù)，并提出從數(shù)據(jù)中可以發(fā)現(xiàn)的信息，進(jìn)行必要討論，總結(jié)經(jīng)驗，從而提升學(xué)生獲取有價值信息并進(jìn)行定量分析的意識和能力。(3)注重學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法是人們對數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識，常見的有函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合等。在實際教學(xué)中，教師要注重滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生在解決問題時主動使用數(shù)學(xué)思想方法的意識，學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)生今后學(xué)習(xí)或步入職場分析、解決問題必備的基本素養(yǎng)。(4)注重學(xué)生對數(shù)學(xué)歷史的了解，滲透數(shù)學(xué)文化教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)增設(shè)相關(guān)的數(shù)學(xué)史的介紹。一方面，可以有效地拓寬學(xué)生的眼界，讓學(xué)生清楚數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；另一方面，了解知識的形成歷史，有助于加深學(xué)生對相關(guān)概念的理解，對學(xué)生學(xué)習(xí)的新知起到鞏固的作用。直線l?,l?上分別有定點P?(-2,2,-9),P?(1,-6,-4),其方向向量分別為s?=(0,1,8),S?=(1,(1)由于(,即向量8?,s?,P?P?不共面，所以兩直線異面。(2)(方法一)由于),故過l?與l?平行的平面π的法向量為(-4,8,-1),且過P?(1,-6,-4),其方程為-4(x-1)+8(y+6)-(z+4)=0,整理得4x-8y+z-48=0。所以兩直線的距離轉(zhuǎn)化為求點P?到平面π的距離， (方法二)公垂線的方向向量l=s,×8?=(-4,8,-1),P?P2=(3,-8,5),則兩直線之間的距離等于向 量P?P在向量I方向上的投影的長度，即(3)由題意知，所求平面過線段P?P?的中點,其法向量為s?×S?=(-4,8,-1),故(4)設(shè)公垂線為1,其方向向量l=s?×S?=(-4,8,-1)。l與l?相交所成平面π?的法向量l×s?=,又