2025年春九年級數學中考二輪復習《二次函數的圖象與性質》專題提升訓練（附答案）一、單選題1．關于二次函數y=x?52+7A．開口向上 B．頂點坐標是5,7C．它有最大值為7 D．當x>5時，y隨x的增大而增大2．若點Px0,y0在拋物線y=ax2a≠0上，則下列各點在拋物線A．x0+?,yC．x0??,y3．直線l:y=kx+bk≠0與拋物線y=x?22?3交于A，B兩點，與拋物線y=?x?12+3交于C，DA．3,32 B．32,?1 C．4．已知點A(a,b)，B(a+2,c)兩點均在函數y=(x?1)2?2025的圖象上．若b<c，則aA．a>2 B．a>1 C．a>0 D．0<a<25．將拋物線y=12x+1A．2,2 B．2,?2 C．?2,2 D．4,?26．已知二次函數y=3x?2①其圖象的開口向上；②其圖象的對稱軸為直線x=?2；③其最大值為1；④當x<2時，y隨x的增大而減小；⑤頂點坐標為?2，A．1 B．2 C．3 D．47．已知拋物線y=x?22?1與y軸交于點D0,?3，其頂點為點A，與x軸交于B,?C兩點（B在C的左側），連接DB,?A．2,??1 B．0.5,?1.25 C．8．如圖，矩形ABCD中，E為AB中點，連接CE．點F為點B關于CE的對稱點，連接AF，BF，tan∠BAF=43．設AB=x，△ABF的面積為y，則y與xA．B． C． D．二、填空題9．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=?2x?12+3的頂點與點10．已知拋物線y=?x2+2，則當?1≤x≤5時，y11．將二次函數y=x?32+4的圖象向下平移bb>0個單位長度后，所得到的二次函數圖象經過點A2,?312．已知拋物線C1與C2關于原點成中心對稱，若拋物線C1的解析式為y=?5x?2213．若某飛機落地時，飛機在地面滑行距離S（米）與滑行時間t（秒）的關系近似滿足：S=?2t?152+20014．如圖，拋物線y=x??2+12與平行于x軸的直線l交于A,?B15．如圖，點A，B和點C，D分別在y=12x2和y=12x2?4的圖像上．若點A，C的橫坐標均為?2，點B16．已知二次函數y=x?3a2+a?1（a為常數）．當a取不同的值時，其圖象構成一個“拋物線系”．如圖，這些分別是當a=?1，a=0，a=1，三、解答題17．已知函數y=?1(1)函數圖象的開口方向是______，對稱軸是______，頂點坐標為______．(2)當x______時，y隨x的增大而減?。?3)當x取什么數時函數能取到最值？是最大值還是最小值？函數的最值是多少？(4)怎樣平移拋物線y=?12x18．已知拋物線C:y=ax2+bx+c(1)求b，c的值；(2)若a=1，拋物線與直線L:y=12x+2相交，P為y軸右側拋物線C上一動點，過P作直線PN⊥x軸交x軸于點N，交直線L于M點，設P點的橫坐標為m，當2PM=PN(3)已知點P0,2、Q0,4，若點A、B均為y軸右側拋物線C上兩動點，且∠APO=∠BPQ，求證：直線19．“強化課程建設，提升育人質量”，瑤海區某中學校本課程“物理@數學”學習小組對一款熱水器的工作電路展開研究，將變阻器R的滑片從一端滑到另一端，繪制出變阻器R消耗的電功率P隨電流I變化的關系圖象如圖所示，該圖象是經過原點的一條拋物線的一部分．(1)求拋物線解析式（不必寫出取值范圍）；(2)變阻器R消耗的電功率P最大為多少瓦？20．如圖所示將運動員的身體看作一點，則他在跳水過程中運動的軌跡可以看作為拋物線的一部分．建立如圖所示的平面直角坐標系xOy，運動員從點A0,10起跳，從起跳到入水的過程中，運動員的豎直高度ym與水平距離水平距離x00.51豎直高度y1011.2510(1)在平時的訓練完成一次跳水動作時，運動員甲的水平距離x與豎直高度y的幾組數據如表：根據上述數據，求出y關于x的關系式；(2)在（1）的這次訓練中，求運動員甲從起點A到入水點的水平距離OD的長；(3)信息1：記運動員甲起跳后達到最高點B到水面的高度為km，從到達到最高點B開始計時，則他到水面的距離?m與時間ts信息2：已知運動員甲在達到最高點后需要1.5s的時間才能完成極具難度的270問題解決：①請通過計算說明，在（1）的這次訓練中，運動員甲能否成功完成此動作？②運動員甲進行第二次跳水訓練，此時他的豎直高度ym與水平距離xm的關系為y=ax2?ax+1021．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線C1：y=x2+bx+c與y軸相交于點A0,?3，與x(1)求拋物線C1的函數表達式及d(2)M是拋物線上的一點，且在第四象限內．①如圖1，當點M到x軸的距離為3時，△BDM的面積為_______．②如圖2，過點M作MN⊥AB于點N，當線段MN最大時，求此時點M的坐標．(3)將拋物線C1：y=x2+bx+c沿x軸翻折，得到拋物線C2，點P（橫坐標為x）在拋物線C2上，其最大值為m，最小值為n．若對于任意22．如圖，點A，C為拋物線y=ax2+4(a為常數，且a<0)上兩定點，點B為點A，C之間的拋物線上一動點（不與點A，C重合），過點B作x軸垂線，交直線AC于點E，過點A，C作直線BE的垂線，垂足分別為F(1)若a=?1，點A，B，C的橫坐標分別為?3，m，1，(?3<m<1)，①求直線AC的函數關系式；②BE=______；（用含m的代數式表示）③試猜想BE，AF，CD之間的數量關系并證明：(2)若（1）中a的值改為?2，其余條件不變，請直接寫出BE，AF，CD之間的數量關系；(3)當a的值確定，點B在點A，C之間的拋物線上運動時，BE，AF，CD之間的數量關系是______．23．如圖1，已知拋物線y1=x2+bx+c與x軸交于點A、B，與y軸交于點C(0,?3)，其對稱軸為直線l1:x=1，頂點為D，將拋物線y1繞點O旋轉180°后得到新拋物線y2，拋物線y2與y軸交于點(1)試求拋物線y1和拋物線y(2)在圖1中，點P的坐標為(5,0)，動點M在直線l1上，過點M作MN∥x軸與直線l2交于點N，連接PM,EN，求(3)如圖2，將直線DF沿y軸平移，交y軸于點Q，當點Q在線段CE上運動（包括端點），△QDF的面積為正整數時，恰好直線DF與拋物線y1或拋物線y2交點的橫、縱坐標均為整數，請直接寫出此時點Q的坐標為參考答案1．解：對于二次函數y=x?5由于a=1>0，故圖象開口向上，拋物線頂點坐標為5,7，有最小值，對稱軸為直線x=5，當x>5時，y隨x的增大而增大；故選項C錯誤，符合題意；故選：C．2．解：∵點Px0,∴將Px0,y0A、x0+?,y0代入B、x0+?,y0+k代入y=aC、x0??,y0?k代入y=aD、?x0??,y0+k代入故選：D．3．解：設直線l與拋物線y=x?22?3的交點A的坐標為x1,聯立y=kx+by=得：x2∴x1+∴AB========1+同理可得：CD=1+∵AB=CD，∴1+∴4+k解得：b=?3∴y=kx+b=kx?3當x=32時，∴直線l必過的定點為32故選：C．4．解：∵函數y=x?1∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x=1，∵b<c，∴點A到對稱軸的距離小于點B到對稱軸的距離，∴a+2?1>1?a，解得：a>0，故選：C．5．解：將拋物線y=12x+12向右平移3個單位，再向下平移2個單位所得到的拋物線的解析式為y=1∵拋物線y=1∴關于頂點對稱后得到的新拋物線的頂點坐標為2,?2，故選：B．6．解：∵二次函數y=3(x?2)則a=3>0，∴該函數圖象開口向上，故①正確；其圖象的對稱軸為直線x=2，故②錯誤；當x=2時，函數有最小值1，故③錯誤；當x<2時，y隨x增大而減小，故④正確；頂點坐標為(2,1)，故⑤錯誤；∴錯誤的有②③⑤，共3個，故選：C．7．解：依題意，拋物線上存在一點P，故連接PC,OP,DC,BD，如圖所示：∵點D0,∴OD=3，∵y=x?22?1與x軸交于B,?C∴令y=0，則0=x?2解得x∴B1,0∴OC=3,BC=3?1=2，∵拋物線上存在一點P，使得S△POC∴12則3×y即yP把yP=2代入y=x?2解得x觀察四個選項，唯有2?3故選：D．8．解：設BF,CE交于點G，∵點F為點B關于CE的對稱點，∴CE垂直平分BF，∴BG=FG,∠EGB=90°，∵E為AB中點，∴EG為△AFB的中位線，∴EG∥AF，∴∠AFB=90°，∴tan∠BAF=∴設BF=4m,AF=3m，則：AB=5m=x，∴m=x∴BF=4∴y=12BF?AF=625∴y與x的函數圖象大致為：故選D．9．解：∵拋物線y=?2x?1∴頂點坐標為1,3，∵O為坐標原點，∴兩點間的距離公式為x2將頂點與原點坐標代入，得1?02故答案為：10．10．解：∵a=?1<0，對稱軸為y軸，∴x>0時，y隨x的增大而減小，∵?1≤x≤5，x=?1,與x=1關于y軸對稱，∴x=0時，y的最大值=2；當x=5時，y最小=?5∴y的取值范圍是?23≤y≤2．故答案為：?23≤y≤2．11．解：將二次函數y=x?32+4的圖象向下平移b∵拋物線經過點2,?3，∴?3=2?3解得b=8，故答案為：8．12．解：∵拋物線C1的解析式為y=?5∴拋物線C1的開口向下，頂點坐標為2,?1∵拋物線C1與C∴拋物線的開口向上，頂點坐標為?2,1，∴拋物線的解析式為y=5x+2故答案為：y=5x+213．解：對于二次函數S=?2(t?15)2+200根據二次函數頂點式y=a(x??)2+k(a≠0)，當x=?時，y在函數S=?2(t?15)2+200中，當t=15故答案為：15．14．解：設點B的坐標為Bm,n∵AB平行于x軸，且AB=3，∴點A的坐標為Am?3,n將點Am?3,n，Bm,n代入y=x??解得m??=3將m??=32代入②得：所以點B的縱坐標為114故答案為：11415．解：如圖，分別連接AB、CD．∵若點A，C的橫坐標均為?2，點B，D的橫坐標均為4，∴BD∥又∵上面的拋物線為y=12x∴AC=BD=4．∴四邊形ACDB為平行四邊形．又由平移可得，∴陰影部分的面積為平行四邊形ACDB的面積=AC·x故答案為：24．16．解：∵y=x?3a2+∴設x=3ay=a?1，消去a得y=∴它們的頂點坐標滿足的函數解析式是y=1故答案為：y=117．（1）解：∵函數y=?1∴該函數的圖象的開口方向是向下，對稱軸是x=4，頂點坐標為4,?1．故答案為：向下，x=4，4,?1．（2）解：∵函數y=?12x?42?1∴當x>4時，y隨x的增大而減小．故答案為：x>4．（3）解：∵函數y=?12x?42?1∴當x=4時，函數能取到最大值，最大值為?1．（4）解：拋物線y=?12x18．（1）解：設這個拋物線的表達式為y=ax??∵這個拋物線的頂點是0,0，∴這個拋物線的表達式y=ax∴b=0，c=0；（2）解：當a=1時，拋物線的表達式為y=x∵P為y軸右側拋物線C上一動點，∴設點P的坐標為Pm,m2∵2PM=PN，∴21∴m=?17+12（舍去）或17+1∴m=17+12或（3）解：作點A關于y軸對稱的對應點M，∵拋物線關于y軸對稱，∴點M在拋物線上，連接MP，∵∠MPO=∠APO=∠BPQ，∴M，P，B三點共線，設Ap,ap2設直線PM的解析式為y=kx+b，得ap∴k=2?a∴直線PM的解析式為y=2?a∵點B，點M是拋物線C與直線PM的交點，∴y=2?a∴ax∴xB∵xM∴xB把xB的值代入y=ax2∴點B的坐標為2ap∵Ap,a∴同理可求直線AB的解析式為y=2+a當x=0時，y=?2，∴直線AB恒過一個定點，定點坐標為0,?2．19．（1）解：∵該圖象是經過原點的一條拋物線的一部分，過1,165和4,0點，∴拋物線的對稱軸為I=2，設拋物線的解析式為P=aI?2∴解得，a=?55∴拋物線解析式為P=?55I?2（2）解：由（1）可知，拋物線解析式為P=?55I?2∵?55<0，∴當I=2時，P取最大值220，∴變阻器R消耗的電功率P最大為220瓦．答：變阻器R消耗的電功率P最大為220瓦．20．（1）解：∵拋物線經過點0,10,∴拋物線的對稱軸是直線x=0+1∵拋物線經過點0.5,11.25，∴拋物線的頂點坐標是0.5,11.25，設拋物線解析式為y=ax?把0,10代入y=ax?∴10=a×0?解得：a=?5，拋物線解析式為y=?5x?（2）解：把y=0代入y=?5得?5x?解得x1=2，∴運動員甲從起點A到入水點的水平距離OD的長為2米；（3）解：①運動員甲能成功完成此動作，理由如下：運動員甲起跳后達到最高點B到水面的高度k為454即k=45把?=0代入?=?5t得?5t解得t1=1.5，∵1.5=1.5，∴運動員甲能成功完成此動作；②由運動員甲進行第二次跳水訓練，豎直高度ym與水平距離xm的關系為該拋物線的頂點為12∴k=10?1∴?=?5t把?=0代入?=?5t整理得：t2由運動員甲在達到最高點后需要1.5s的時間才能完成極具難度的270C得t≥1.5，則t2≥1.5解得a≤?5.1．21．（1）解：把A0,?3，B3,0代入c=?39+3b+c=0，解得：b=?2∴拋物線C1的函數表達式y把Dd,0代入yy解得：d1=?1，∴D?1,0∴d=?1．（2）解：①∵B3,0，D∴BD=3?∵當點M到x軸的距離為3時，∴S△BDM②過點M作MP⊥x于P，連接MA，MB，∵A0,?3，B∴AB=32設點Mx,∵點M在第四象限內，∴MP=?x2?2x?3=?x∴1∴1∴MN=?∵?∴當x=32時，MN有最大值∴當x=32∴當線段MN最大時，此時點M的坐標為32（3）解：∵拋物線C1：y=x2?∴拋物線C2：y=?∵?1<0∴拋物線C2：y=?x?12+4開口向下，當x<1時，y隨x增大而增大，當x>1時，，y隨x增大而減小，當當t+1≤1，即t≤0時，在t?1≤x≤t+1時，最大值m=?t+1?1最小值n=?t?1?1∵m?n≤6∴?解得：t≥?∴?1∴t的整數值為0，②當t?1<1且t+1>1，即0<t<2時，在t?1≤x≤t+1時，i)當0<t≤1時，最大值m=?t+1?1最小值n=?t?1?1∵m?n≤6，∴?t解得：t≥1∴12∴t的整數解為1；ii)當1<t<2時，∴t無整數解；③當t?1≥1，即t≥2時，最大值m=?t?1?1最小值n=?t?1?1∵m?n≤6，∴?t解得：t≤5∴2≤t≤5∴t的整數解為2；綜上，若對于任意t?1≤x≤t+1，m?n≤6恒成立，實數t的所有整數值的和為0+1+2=3．22．（1）解：①若a=?1，拋物線的表達式為：y=?x當x=?3時，y=??3當x=m時，y=?m當x=1時，y=?1∴A?3,?5，Bm,?m設直線AC的解析式為y=kx+b，∴?3k+b=?5k+b=3，解得k=2∴直線AC的表達式為：y=2x+1；②對于直線AC：y=2x+1，當x=m時，y=2x+1=2m+1，∴Em,2m+1∴BE=?m故答案為：?m③BE=AF?CD，理由如下：∵A?3,?5，C1,3，Bm,?BE=?m2?2m+3，AF=m+3∴BE=AF?CD；（2）解：BE=2AF?CD，理由如下：當a=?2時，拋物線的表達式為：y=?2x∴A?3,?14，Bm,?2m同理可得：直線AC的表達式為：y=4x?2，∴Em,4m?2∴BE=?2mCD=1?m，AF=m+3，∴BE=2AF?CD；（3）解：BE=?a?AF?CD，理由如下：設點At,a