21/21南陽市社旗縣2024年八年級(jí)《數(shù)學(xué)》上學(xué)期期末試題與參考答案一、選擇題本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（3分）下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）A．﹣2023 B． C．0 D．【分析】整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．﹣2023是整數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B．是無理數(shù)；C．0是整數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；D．是分?jǐn)?shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查無理數(shù)的識(shí)別和算術(shù)平方根，熟練掌握相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．2．（3分）下列說法正確的是（）A．4的平方根是2 B．40的算術(shù)平方根是20 C．兩個(gè)整數(shù)相除，如果永遠(yuǎn)都除不盡，那么結(jié)果一定是一個(gè)無理數(shù) D．負(fù)數(shù)有立方根【分析】根據(jù)平方根，算術(shù)平方根，立方根，無理數(shù)的定義逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：4的平方根是±2，則A不符合題意；40的算術(shù)平方根是2，則B不符合題意；如2÷3＝，它是有理數(shù)；任何數(shù)都有立方根，則D符合題意；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查平方根，算術(shù)平方根，立方根，無理數(shù)，熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．3．（3分）對某校八年級(jí)（1）班60名同學(xué)的一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如果80.5—90.5分這一組的頻數(shù)是18那么這個(gè)班的學(xué)生這次數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績在80.5—90.5分之間的頻率是（）A．18 B．0.3 C．0.4 D．0.35【分析】根據(jù)頻率、頻數(shù)的關(guān)系：頻率＝求解即可．【解答】解：成績在80.5—90.5分之間的頻率為＝2.3．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查頻率、頻數(shù)的關(guān)系：頻率＝．4．（3分）下列計(jì)算結(jié)果，正確的是（）A．x12÷x6＝x2 B． C． D．（a﹣2）2＝a2﹣4【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法、算術(shù)平方根、立方根、完全平方公式分別計(jì)算判斷即可．【解答】解：A、x12÷x6＝x6，故此選項(xiàng)不符合題意；B、，故此選項(xiàng)不符合題意；C、，故此選項(xiàng)符合題意；D、（a﹣2）2＝a6﹣4a+4，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了完全平方公式，算術(shù)平方根，立方根，同底數(shù)冪的除法，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．5．（3分）若（）?2a2b＝2a3b，則括號(hào)內(nèi)應(yīng)填的單項(xiàng)式是（）A．a(chǎn) B．2a C．a(chǎn)b D．2ab【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則（或根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則）求出答案即可．【解答】解：2a3b÷4a2b＝a，即括號(hào)內(nèi)應(yīng)填的單項(xiàng)式是a，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則，能熟記掌握單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則是解此題的關(guān)鍵．6．（3分）某同學(xué)要統(tǒng)計(jì)本校圖書館最受學(xué)生歡迎的圖書種類，以下是排亂的統(tǒng)計(jì)步驟：①從扇形圖中分析出最受學(xué)生歡迎的種類②去圖書館收集學(xué)生借閱圖書的記錄③繪制扇形圖來表示各個(gè)種類所占的百分比④整理借閱圖書記錄并繪制頻數(shù)分布表正確統(tǒng)計(jì)步驟的順序是（）A．②→③→①→④ B．③→④→①→② C．①→②→④→③ D．②→④→③→①【分析】根據(jù)題意和頻數(shù)分布表、扇形統(tǒng)計(jì)圖制作的步驟，可以解答本題．【解答】解：由題意可得，正確統(tǒng)計(jì)步驟的順序是：②去圖書館收集學(xué)生借閱圖書的記錄→④整理借閱圖書記錄并繪制頻數(shù)分布表→③繪制扇形圖來表示各個(gè)種類所占的百分比→①從扇形圖中分析出最受學(xué)生歡迎的種類，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查扇形統(tǒng)計(jì)圖、頻數(shù)分布表，解答本題的關(guān)鍵是明確制作頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖的制作步驟．7．（3分）如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的大正方形．若圖中的直角三角形的兩條直角邊的長分別為1和3，則中間小正方形的周長是（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出小正方形的邊長，然后即可得到小正方形的周長．【解答】解：由題意可得，小正方形的邊長為3﹣1＝4，所以小正方形的周長為2×4＝4，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)、有理數(shù)的加減法，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．8．（3分）△ABC中，∠A，∠B，b，c，有下列說法錯(cuò)誤的是（）A．如果a：b：c＝7：24：25，則∠C＝90° B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，則△ABC為直角三角形 C．如果a，b，c長分別為6，8，10，則a，b，c是一組勾股數(shù) D．如果∠A﹣∠B＝∠C，則△ABC為直角三角形【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，勾股數(shù)的定義進(jìn)行分析判斷即可．【解答】解：A、、因?yàn)閍：b：c＝7：24：25，所以設(shè)a＝7k，b＝24k，因?yàn)閍3+b2＝（7k）8+（24k）2＝625k2，c2＝（25k）2＝625k2，所以a3+b2＝c2，所以∠C＝90°，故不符合題意；B、因?yàn)椤螦：∠B：∠C＝3：4：5，所以∠C＝180°×＝75°，所以△ABC不是直角三角形，故符合題意；C、因?yàn)閍，b，4，10，所以a2+b2＝c4，且a，b，c長都是正整數(shù)，所以a，b，c是一組勾股數(shù)．故不符合題意；D、因?yàn)椤螦﹣∠B＝∠C①，∠A+∠B+∠C＝180°②，將①代入②得：2∠A＝180°，所以∠A＝90°，所以△ABC是直角三角形，故不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，銳角三角形ABC中，AB＝AC，E分別在邊AB，AC上，CD．下列命題中，假命題是（）A．若CD＝BE，則∠DCB＝∠EBC B．若∠DCB＝∠EBC，則CD＝BE C．若BD＝CE，則∠DCB＝∠EBC D．若∠DCB＝∠EBC，則BD＝CE【分析】由AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB，而BC＝BC，∠DCB＝∠EBC，可得△DCB≌△EBC（ASA），故CD＝BE，判斷選項(xiàng)B是真命題；BD＝CE，判斷選項(xiàng)D是真命題；根據(jù)BC＝BC，∠ABC＝∠ACB，BD＝CE，得△DCB≌△EBC（SAS），有∠DCB＝∠EBC，判斷選項(xiàng)C是真命題；不能證明CD＝BE時(shí)，∠DCB＝∠EBC，可判斷選項(xiàng)A是假命題．【解答】解：因?yàn)锳B＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，因?yàn)锽C＝BC，∠DCB＝∠EBC，所以△DCB≌△EBC（ASA），所以CD＝BE，故選項(xiàng)B是真命題；BD＝CE，故選項(xiàng)D是真命題；因?yàn)锽C＝BC，∠ABC＝∠ACB，所以△DCB≌△EBC（SAS），所以∠DCB＝∠EBC，故選項(xiàng)C是真命題；不能證明CD＝BE時(shí)，∠DCB＝∠EBC，符合題意；故選：A．10．（3分）若k為任意整數(shù)，則（2k+3）2﹣4k2的值總能（）A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除【分析】先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，分解因式后再逐個(gè)判斷即可．【解答】解：（2k+3）2﹣4k2＝8k2+12k+9﹣4k2＝12k+9＝4（4k+3），因?yàn)閗為任意整數(shù)，所以（3k+3）2﹣6k2的值總能被3整除，故選：B．二、填空題本大題共5小題，每小題3分，共15分．請把正確答案填在題中的橫線上。11．（3分）請寫出一個(gè)比小的整數(shù)4（答案不唯一）．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無理數(shù)的大小即可．【解答】解：因?yàn)?2＝16，52＝25，而16＜23＜25，所以4＜＜8，所以比小的整數(shù)有4（答案不唯一），故答案為：4（答案不唯一）．【點(diǎn)評】本題考查估算無理數(shù)的大小，理解算術(shù)平方根的定義是正確解答的前提．12．（3分）如果等腰三角形的一個(gè)底角是50°，那么它的頂角是80度．【分析】由已知等腰三角形的一個(gè)底角是，50°，利用等腰三角形的性質(zhì)得另一個(gè)底角也是50°，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求頂角的度數(shù)．【解答】解：因?yàn)槿切问堑妊切危詢蓚€(gè)底角相等，因?yàn)榈妊切蔚囊粋€(gè)底角是50°，所以另一個(gè)底角也是50°，所以頂角的度數(shù)為180°﹣50°﹣50°＝80°．故答案為：80．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；借助三角形的內(nèi)角定理求解有關(guān)角的度數(shù)問題是一種很重要的方法，要熟練掌握．13．（3分）如圖，數(shù)字代表所在正方形的面積，則A所代表的正方形的面積為100．【分析】三個(gè)正方形的邊長正好構(gòu)成直角三角形的三邊，根據(jù)勾股定理得到字母A所代表的正方形的面積A＝36+64＝100．【解答】解：由題意可知，直角三角形中，一直角邊的平方＝64，則斜邊的平方＝36+64＝100．故答案為100．【點(diǎn)評】本題考查正方形的面積公式以及勾股定理．14．（3分）若m+n＝10，mn＝5，則m2+n2的值為90．【分析】根據(jù)完全平方公式計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)閙+n＝10，mn＝5，所以m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝106﹣2×5＝100﹣10＝90．故答案為：90．【點(diǎn)評】本題考查了完全平方公式以及代數(shù)式求值，掌握完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D為AC上一點(diǎn)，則AD＝5．【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，由角平分線的性質(zhì)得到CD＝DE，再通過HL證明Rt△BCD≌Rt△BED，得到BC＝BE＝6，根據(jù)勾股定理可求出AB＝10，進(jìn)而求出AE＝4，設(shè)CD＝DE＝x，則AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，因?yàn)椤螩＝90°，所以CD⊥BC，因?yàn)锽D是∠ABC的角平分線，CD⊥BC，所以CD＝DE，在Rt△BCD和Rt△BED中，，所以Rt△BCD≌Rt△BED（HL），所以BC＝BE＝6，在Rt△ABC中，＝＝10，所以AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝7，設(shè)CD＝DE＝x，則AD＝AC﹣CD＝8﹣x，在Rt△ADE中，AE2+DE6＝AD2，所以45+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，所以AD＝8﹣x＝6．故答案為：5．三、解答題本大題共8個(gè)小題，共75分。16．（10分）（1）計(jì)算：（﹣6x2）2+（﹣3x）3?x；（2）分解因式：x3﹣25x．【分析】（1）先算積的乘方，再算單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，最后合并同類項(xiàng)即可；（2）先提公因式，再利用平方差公式進(jìn)行分解即可．【解答】解：（1）（﹣6x2）5+（﹣3x）3?x＝36x5﹣27x3?x＝36x4﹣27x8＝9x4；（2）x2﹣25x＝x（x2﹣25）＝x（x﹣5）（x+8）．【點(diǎn)評】本題主要考查單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，積的乘方，分解因式，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．17．（9分）近日，教育部印發(fā)了《關(guān)于舉辦第三屆中華經(jīng)典誦寫講大賽的通知》，本屆大賽以“傳承中華經(jīng)典，分為“誦讀中國”經(jīng)典通讀，“詩教中國”詩詞講解，“印記中國”印章篆刻比賽四類（依次記為A，B，C，D）．為了解同學(xué)們參與這四類比賽的意向（調(diào)查問卷如圖所示），所有問卷全部收回，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下所示的統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表（均不完整），解答下列問題：“中華經(jīng)典誦寫講大賽”參賽意向調(diào)查問卷請?jiān)谙铝羞x項(xiàng)中選擇您有參賽意向的選項(xiàng)，在其后“（）”內(nèi)打“√”A．“誦讀中國“經(jīng)典誦讀（）B．“詩教中國”詩詞講解（）C．“筆墨中國“漢字書寫（）D．“印記中國“印章篆刻（）類別占調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比A70%B30%CmD20%（1）參與本次問卷調(diào)查的總?cè)藬?shù)為120人，統(tǒng)計(jì)表中C的百分比m為50%；（2）請補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；（3）（3）小華想用扇形統(tǒng)計(jì)圖反映有意向參與各類比賽的人數(shù)占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比，是否可行？若可行，求出表示C類比賽的扇形圓心角的度數(shù)；若不可行，請說明理由．【分析】扇形統(tǒng)計(jì)圖及條形統(tǒng)計(jì)圖結(jié)合進(jìn)行數(shù)據(jù)計(jì)算．【解答】解：（1）總?cè)藬?shù)＝24+20%＝120：m＝60＝120×100%＝50%：（2）補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如解圖（3）不可行．理由：由統(tǒng)計(jì)表可知，70%+30%+50%+20%＞1．【點(diǎn)評】本題考查扇形統(tǒng)計(jì)圖及相關(guān)計(jì)算．在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，每部分占總部分的百分比等于該部分所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)與360°的比．18．（9分）某同學(xué)化簡（a+2b）2﹣（a+b）（a﹣b）的解題過程如下解：原式＝a2+4b2﹣（a2﹣b2）（第一步）＝a2+4b2﹣a2﹣b2（第二步）＝3b2（第三步）（1）該同學(xué)的解答過程從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤．（2）請寫出此題正確的解答過程．并求出當(dāng)a＝時(shí)原代數(shù)式的值．【分析】（1）觀察該同學(xué)解題過程，確定出出錯(cuò)的步驟即可；（2）寫出正確的解答過程，把a(bǔ)的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：（1）該同學(xué)的解答過程從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；故答案為：一；（2）正確解答為：原式＝a2+4ab+7b2﹣（a2﹣b7）＝a2+4ab+8b2﹣a2+b3＝4ab+5b8，當(dāng)a＝﹣，b＝3時(shí)）×7+5×28＝﹣4+20＝16．19．（9分）輪船A以16海里/時(shí)的速度離開港口O向東北方向航行，輪船B在同時(shí)同地以12海里/時(shí)的速度向西北方向航行．試求A、B兩船離開港口O一個(gè)半小時(shí)后的距離．【分析】根據(jù)題意得出∠AOB＝90°，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：由題意可得：BO＝1.5×12＝18（海里），AO＝5.5×16＝24（海里），故∠AOB＝90°，所以AB＝＝30（海里），答：A、B兩船離開港口O一個(gè)半小時(shí)后的距離為30海里．【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，得出∠AOB＝90°是解題關(guān)鍵．20．（9分）求證：全等三角形對應(yīng)邊上的中線相等．我們在證明文字命題時(shí)，通常應(yīng)遵循這樣的步驟：（按要求填空，寫出證明過程）（1）要弄清命題的條件和結(jié)論，那么這個(gè)命題的條件是：兩條線段是全等三角形的對應(yīng)邊的中線，結(jié)論是：這兩條線段相等．（2）結(jié)合命題的條件和結(jié)論，畫出符合題意的圖形，如圖所示．（3）結(jié)合所畫圖形和這個(gè)命題的條件和結(jié)論寫出已知和求證，并進(jìn)行證明．已知：如圖，①△ABC≌△A′B′C′，，線段AD，A′D′分別是邊BC，B′C′上的中線．求證：②AD＝A′D′．證明：…【分析】（1）根據(jù)命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)解答；（3）根據(jù)題意寫出已知和求證，證明△BAD≌△B'A'D'，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明即可．【解答】解：（1）條件是：兩條線段是全等三角形的對應(yīng)邊的中線，結(jié)論是：這兩條線段相等，故答案為：兩條線段是全等三角形的對應(yīng)邊的中線，這兩條線段相等；（3）已知：①△ABC≌△A′B′C′，求證：②AD＝A′D′；證明：因?yàn)椤鰽BC≌△A′B′C′（已知），所以AB＝A'B'，BC＝B′C′（全等三角形的對應(yīng)邊相等），BC＝B′C′（全等三角形的對應(yīng)角相等），因?yàn)锳D，A′D′分別是△ABC和△A'B'C'中線（已知），所以BD＝BAB′C′（中線的定義），所以BD＝B'D'，在△BAD和△B′A′D′中，，所以△BAD≌△B'A'D'（ASA），所以AD＝A'D'（全等三角形的對應(yīng)邊相等），故答案為：①△ABC≌△A′B′C′，②AD＝A′D′．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、三角形的角平分線，熟記三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．21．（9分）如圖，BD是等邊△ABC的中線，以D為圓心，交BC的延長線于E，連接DE．求證：CD＝CE．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BD⊥AC，∠ACB＝60°，求得∠DBC＝30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠E＝∠DBC＝30°，求得∠E＝∠DBC＝30°，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：因?yàn)锽D是等邊△ABC的中線，所以BD⊥AC，∠ACB＝60°，所以∠DBC＝30°，因?yàn)锽D＝DE，所以∠E＝∠DBC＝30°，因?yàn)椤螩DE+∠E＝∠ACB＝60°，所以∠E＝∠CDE＝30°，所以CD＝CE．【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（10分）閱讀下列材料，回答問題：“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值、最小值等．根據(jù)閱讀材料，解決下列問題：（1）若多項(xiàng)式x2﹣4x+k是一個(gè)完全平方式，則常數(shù)k＝4．（2）已知代數(shù)式x2-6x+11，用配方法說明，不論x取何值，這個(gè)代數(shù)式的值總是正數(shù)；再直接寫出當(dāng)x取何值時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值最小，最小值是多少？【分析】（1）先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)是x和2，再根據(jù)完全平方公式求解即可；（2）首先將原式變形為（x﹣3）2+2，根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義就可以得出代數(shù)式的值．【解答】解：（1）因?yàn)閤2﹣4x+k＝（x﹣8）2，所以k＝4，故答案為：6；（2）因?yàn)閤2﹣6x+11＝x6﹣6x+9﹣4+11＝（a﹣3）2+5≥2，所以當(dāng)a＝3時(shí)，x3﹣6x+11的最小值是2．【點(diǎn)評】本題考查了反方向的性質(zhì)：偶次方，是完全平方公式的應(yīng)用，此題解題的關(guān)鍵是利用平方項(xiàng)來確定這兩個(gè)數(shù)積的2倍．23．（10分）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作一個(gè)角的平分線的討論片段，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．小明：如圖1，（1）分別在射線OA，OB上截取OC=OD，OE=OF（點(diǎn)C，E不重合）；（2）分別作線段CE，DF的垂直平分線L1，L2，交點(diǎn)為P，垂足分別為點(diǎn)G，H；

（3）作射線OP，射線OP即為∠AOB的平分線．簡述理由如下：由作圖知，∠PGO=∠PHO=90°，OG=OH，OP=OP；所以Rt△PGO≌Rt△PGO，則∠POG=∠POH，即射線OP是∠AOB平分線．小軍：我認(rèn)為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進(jìn)如下，如圖2，（1）分別在射線OA，OB上截取OC=OD，OE=OF（點(diǎn)C，E不重合）；（2）連接DE，CF，交點(diǎn)為P；（3）作射線OP．射線OP即為∠AOB的平分線．任務(wù)：（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PGO的依據(jù)是⑤（填序號(hào)）