丹東市2024~2025學年度（上）期末教學質量監測高二數學總分150分時間120分鐘命題：楊曉東郭欣葛冰阮征石婧審核：楊曉東注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量是直線l的一個方向向量，則直線l的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用直線的方向向量求得直線斜率，即可求出直線傾斜角.【詳解】由直線的方向向量為可知直線斜率，又因為傾斜角，且，所以.故選：C2.拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據拋物線標準方程可直接求解.【詳解】由標準方程可得，即；所以準線方程為.故選：A3.圓與圓的位置關系是（）A.內含 B.內切 C.外切 D.相交【答案】D【解析】【分析】求圓與圓的圓心及半徑，再求圓心距及半徑的和與差，結合圓與圓的位置關系的定義判斷結論.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，，，所以圓與圓相交，故選：D.4.一個口袋里裝有大小不同的2個紅球和4個白球，從中取3個球，則至少含有1個紅球和1個白球的取法有（）A.35種 B.32種 C.16種 D.14種【答案】C【解析】【分析】求出從裝有大小不同的2個紅球和4個白球的口袋里取3個球的取法，求出其中全部為白球的取法即可求解.【詳解】從裝有大小不同的2個紅球和4個白球的口袋里取3個球有種取法，其中全部為白球有種取法，則至少含有1個紅球和1個白球的取法有種.故選：C.5.在四面體中，，，，點滿足，為的中點，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的線性運算計算即可.【詳解】由題意，所以，解得，故選：B6.將甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三個地區參加公益活動，要求每個地區都要有志愿者且最多不超過2人，則不同的分配方案有（）A.90種 B.180種 C.60種 D.120種【答案】A【解析】【分析】先將5名志愿者按要求分成三組，再將分得的三組分配到A，B，C三個地區，按分組分配方法計算即可得解.【詳解】由題先將5名志愿者分成三組有種分法，再將分得的三組分配到A，B，C三個地區參加公益活動有種分法，所以所求的不同的分配方案有種.故選：A.7.在三棱錐中，兩兩互相垂直，為的中點，且，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標系求出平面的法向量，再由線面角的向量求法可得結果.【詳解】因為兩兩互相垂直，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：由可設，則，因此，顯然，，設平面的一個法向量為，則，令，則；所以，設直線與平面所成的角為，所以.故選：A8.已知橢圓，過點的直線l與C交于兩點，若的中點坐標為，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據點差法結合直線斜率可求出，即可得到橢圓的離心率.【詳解】由題意得，.設，則，∵點在橢圓上，∴，兩式相減得，，即，∴，∴，∴C的離心率.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在的展開式中，則（）A.x的系數為135 B.第4項的二項式系數為10C.無常數項 D.所有項的系數之和為125【答案】BC【解析】【分析】求出二項展開式的通項公式，再逐項計算判斷即可.【詳解】的展開式的通項公式為，對于A，令，則，故的系數為，故A錯誤；對于B，令，則，故第4項的二項式系數為，故B正確；對于C，因為為奇數，故展開式中無常數項，故C正確；對于D，令，則所有項系數之和為，故D錯誤；故選：BC.10.已知直線與圓交于兩點，則（）A.直線恒過定點 B.圓與軸相切C.最大值為2 D.的面積最大值為【答案】BCD【解析】【分析】選項A，當時，，可判斷；選項B，圓心到軸的距離為半徑可判斷；選項C，直線的定點在圓上，故最大為直徑2；選項D，設到的距離為，則，進而可得.【詳解】選項A：當時，，故直線恒過定點，故A錯誤；選項B：圓圓心為，半徑為，由圓心到軸的距離為，即等于半徑，故圓與軸相切，故B正確；選項C：由題意在圓上，故當為圓的直徑時，最大為2，故C正確；選項D：設到的距離為，則，，，當且僅當，即時等號成立.故D正確，故選：BCD11.已知正三棱柱中，，且滿足，，則（）A.當時，與所成角的余弦值為B.當時，平面平面C.存在，，使平面平面D.存在，，使二面角為鈍角【答案】AC【解析】【分析】根據正三棱柱的性質建立空間直角坐標系，利用異面直線成角、面面平行、面面垂直和二面角的向量求法逐項判斷即可.【詳解】因為三棱柱是正三棱柱，取，中點，，分別以為軸建立如圖所示坐標系，設，則，，，，，，，選項A：當時，，，此時與所成角的余弦值為，說法正確；選項B：當時，，，，，設平面的法向量，平面的法向量，則，解得平面的一個法向量，，解得平面的一個法向量，因無解，所以平面與平面不平行，B說法錯誤；選項C：顯然當，，即與重合，與重合時，由正三棱柱的性質可知平面平面，C說法正確；選項D：過作，垂足為，過作，垂足為，因為四邊形為正方形，故，同理，故，故，所以，同理，，所以，而，故，所以，故為銳角即的平面角為銳角，而的平面角不超過的平面角，故二面角的平面角小于，故D錯誤.故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，是雙曲線的左右焦點，點P在雙曲線上，若，則__________.【答案】2或14【解析】【分析】利用雙曲線標準方程及其定義計算即可求出結果.【詳解】由雙曲線可知，所以，因此的最小值為；再由雙曲線定義可知，可知2或14.故答案為：2或1413.計算：__________.（結果用數字作答）【答案】【解析】【分析】利用可求代數式的值.【詳解】，故答案為：14.已知橢圓的左右焦點為，，雙曲線（，）的左右頂點分別為，，C與D在第一，第二象限的交點為，則__________；若直線，的斜率之積為，則D的漸近線方程為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據圖形的對稱性及橢圓定義可得的值；設，，表示，根據點在雙曲線上可求得的值，即可得到結果.【詳解】設橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，則，故，則.由圖形對稱性得，，∴.設，則，則，，∴，∵點在雙曲線上，∴，故，∴，解得，∴D的漸近線方程為，即.故答案為：；.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用點在雙曲線上，結合直線、的斜率之積確定的值，即可得到雙曲線的漸近線方程.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知，是橢圓的焦點，，且過點.（1）求C的方程；（2）若點P在C上，，求的面積.【答案】（1）（2）2.【解析】【分析】（1）根據橢圓頂點坐標和焦距長代入標準方程即可求得結果；（2）利用橢圓定義以及勾股定理計算可得，再由的面積是的面積的一半即可求解.【小問1詳解】因為是橢圓短半軸的一個頂點，則，又，則，由，則，所以C的方程為.【小問2詳解】如下圖所示：根據橢圓的定義及可得①②聯立①②得，則的面積為，因為的面積是的面積為，所以的面積為2.16.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，是邊長為2的等邊三角形，.（1）證明：平面平面ABCD：（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）由，得到，再由，利用線面垂直和面面垂直的判定定理證明；（2）法一：由（1）可知平面PCD，過D作，由三垂線定理得到是二面角的平面角求解；法二：以D為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系，先求得平面APC的一個法向量為，再由是平面PCD的法向量，由求解.【小問1詳解】證明：因為，所以.因為，，所以平面PCD.因為平面ABCD，所以平面平面ABCD.【小問2詳解】法一：因為，由（1）可知平面PCD.如圖所示：在平面PCD內過D作，垂足為E，連結AE，由三垂線定理可得，因此是二面角的平面角.在等邊中，，，所以.于是二面角的余弦值為.法二：以D為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，由（1）可知z軸在平面PCD內.則，，，，.設平面APC的一個法向量為，由，可得，可取.又是平面PCD的法向量，故.因為二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.17.已知點M到定點的距離比它到直線的距離小2，記動點M的軌跡為C.（1）求C的方程；（2）直線交C于P，Q兩點，點，直線AP，AQ的斜率之和為0，求直線的斜率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據給定條件，利用拋物線定義求出軌跡方程.（2）設出點坐標，利用斜率坐標公式列式計算得解.【小問1詳解】由點M到點的距離比它到直線的距離小2，得點M到點的距離等于它到直線的距離，因此點M的軌跡C是以點為焦點，直線為準線的拋物線，所以C方程為.【小問2詳解】由（1）設點，，顯然，由直線AP，AQ的斜率之和為0，得，解得，所以直線的斜率.18.如圖，四棱錐中，底面ABCD是正方形，，，E、F分別是線段PA，CD的中點.（1）求EF；（2）求直線EF與BD所成的角的余弦值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）解法一：以為基底，根據結合空間向量的數量積運算求解即可；解法二：過點P作平面ABCD，垂足為Q，連接QB，QD，QA，以A為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系，再根據兩點間的坐標公式求解即可；（2）解法一：根據空間向量數量積運算可得，結合求解即可；解法二：根據空間向量的坐標運算求解即可.【小問1詳解】解法一：以為基底，則，，.因為.因此解法二：過點P作平面ABCD，垂足為Q，連接QB，QD，QA，由，，所以，在，中，得，有，則，即AQ是的平分線，以A為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，由三余弦定理知，得，所以，，，，則，，所以.【小問2詳解】解法一：因為而，所以，于是EF與BD所成的角的余弦值為.解法2：由（1）知，所以，于是EF與BD所成的角的余弦值為.【點睛】19.某核磁實驗基地建設兩條電磁輻射隔離帶，兩條電磁輻射隔離帶的形狀可近似的看成雙曲線.記雙曲線（，），其漸近線方程為，且過點.（1）求C的方程；（2）在點處存在一個強輻射中心，并釋放著一個近似圓形的高能粒子團，記為，其半徑可變（范圍不超過隔離帶），控制中心為更好的監測高能粒子區域，在點發射兩條與相切的伽馬射線，兩條切線與電磁輻射隔離帶分別交于，兩點（異于點）.若經過點反射的光線不經過點，則系統才能正常工作，為使系統正常運行，需要擺放一個光線屏蔽器，求此光線屏蔽器所在位置的坐標.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由雙曲線的漸近線方程為，可得，將點代入雙曲線