PAGE5-其次章推理與證明2.2干脆證明與間接證明2.2.2反證法A級基礎鞏固一、選擇題1．應用反證法推出沖突的推導過程中，要把下列哪些作為條件運用()①結論的否定即假設；②原命題的條件；③公理、定理、定義等；④原命題的結論．A．①② B．①②④C．①②③ D．②③解析：由反證法的定義知，可把①②③作為條件運用，而④原命題的結論是不行以作為條件運用的．答案：C2．用反證法證明命題：“設a，b為實數，則方程x2＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設是()A．方程x2＋ax＋b＝0沒有實根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一個實根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有兩個實根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有兩個實根解析：“方程x2＋ax＋b＝0至少有一個實根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0沒有實根．”答案：A3．用反證法證明命題“若直線AB、CD是異面直線，則直線AC、BD也是異面直線”的過程歸納為以下三個步驟：①則A、B、C、D四點共面，所以AB、CD共面，這與AB、CD是異面直線沖突；②所以假設錯誤，即直線AC、BD也是異面直線；③假設直線AC、BD是共面直線．則正確的序號依次為()A．①②③ B．③①②C．①③② D．②③①解析：結合反證法的證明步驟可知，其正確步驟為③①②.答案：B4．否定結論“自然數a，b，c中恰有一個偶數”時，正確的反設為()A．a，b，c都是奇數B．a，b，c都是偶數C．a，b，c中至少有兩個偶數D．a，b，c都是奇數或至少有兩個偶數解析：自然數a，b，c中奇數、偶數的可能狀況有：全為奇數，恰有一個偶數，恰有兩個偶數，全為偶數．除去結論即為反設，應選D.答案：D5．設實數a、b、c滿意a＋b＋c＝1，則a，b，c中至少有一個數不小于()A．0 B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．1解析：假設a，b，c都小于eq\f(1,3)，則a＋b＋c<1，與a＋b＋c＝1沖突，選項B正確．答案：B二、填空題6．已知平面α∩平面β＝直線a，直線b?α，直線c?β，b∩a＝A，c∥a，求證：b與c是異面直線，若利用反證法證明，則應假設________．解析：∵空間中兩直線的位置關系有3種：異面、平行、相交，∴應假設b與c平行或相交．答案：b與c平行或相交7．完成反證法證題的全過程．設a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一個排列，求證：乘積p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)為偶數．證明：假設p為奇數，則a1－1，a2－2，…，a7－7均為奇數．因奇數個奇數之和為奇數，故有奇數＝________＝0.但0≠奇數，這一沖突說明p為偶數．解析：由假設p為奇數可知(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均為奇數，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…a7)－(1＋2＋…＋7)＝0為偶數．答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)8．已知數列{an}，{bn}的通項公式分別為an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常數，且a>b)，那么這兩個數列中序號與數值均對應相同的項有________個．解析：假設存在序號和數值均相等的項，即存在n使得an＝bn，由題意a>b，n∈N*，則恒有an>bn，從而an＋2>bn＋1恒成立，所以不存在n使an＝bn.答案：0三、解答題9．設x，y都是正數，且x＋y>2，試用反證法證明：eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2中至少有一個成立．證明：假設eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2都不成立，即eq\f(1＋x,y)≥2，eq\f(1＋y,x)≥2.又因為x，y都是正數，所以1＋x≥2y，1＋y≥2x.兩式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，則x＋y≤2，這與題設x＋y>2沖突，所以假設不成立．故eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2中至少有一個成立．10．已知三個正數a，b，c，若a2，b2，c2成公比不為1的等比數列，求證：a，b，c不成等差數列．證明：假設a，b，c成等差數列，則有2b＝a＋c，即4b2＝a2＋c2＋2ac又a2，b2，c2成公比不為1的等比數列，且a，b，c為正數，所以b4＝a2c2且a，b，c互不相等，即b2＝ac，因此4ac＝a2＋c2＋2ac，所以(a－c)2＝0，從而a＝c＝這與a，b，c互不相等沖突．故a，b，c不成等差數列．B級實力提升1．設a，b，c大于0，則3個數：a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)的值()A．都大于2 B．至少有一個不大于2C．都小于2 D．至少有一個不小于2解析：假設a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)都小于2則a＋eq\f(1,b)<2，b＋eq\f(1,c)<2，c＋eq\f(1,a)<2∴a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)<6，①又a，b，c大于0所以a＋eq\f(1,a)≥2，b＋eq\f(1,b)≥2，c＋eq\f(1,c)≥2.∴a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)≥6.②故①與②式沖突，假設不成立所以a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)至少有一個不小于2.答案：D2．對于定義在實數集R上的函數f(x)，假如存在實數x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫作函數f(x)的一個好點．已知函數f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好點，那么a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,2)))C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：假設函數f(x)存在好點，則x2＋2ax＋1＝x有實數解，即x2＋(2a－1)x所以Δ＝(2a－1)2－4≥0，解得a≤－eq\f(1,2)或a≥eq\f(3,2).所以f(x)不存在好點時，a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2))).答案：A3．已知二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，c>0)的圖象與x軸有兩個不同的交點，若f(c)＝0且0<x<c時，恒有f(x)>0.(1)證明：eq\f(1,a)是f(x)＝0的一個根；(2)試比較eq\f(1,a)與c的大小．(1)證明：因為f(x)的圖象與x軸有兩個不同的交點，所以f(x)＝0有兩個不等實根x1，x2.因為f(c)＝0，所以x1＝c是f(x)＝0的根，又x1x2＝eq\f(c,a)，所以x2＝eq\f(1,a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)≠c))，所以eq\f(1,a)是f(x)＝0的一個根．(2)解：假設eq\f(1,a)<c，又eq\f(1,a)