專題04易錯易混淆集訓：等腰三角形中易漏解或多解的問題

寧忖【考點導航】

目錄

【典型例題】..................................................................................1

【易錯點一求等腰三角形的周長時忽略構成三角形的三邊關系產生易錯】.......................1

【易錯點二當等腰三角形中腰和底不明求角度時沒有分類討論產生易錯】.......................4

【易錯點三求有關等腰三角形中的多解題沒有分類討論產生易錯】..............................8

【易錯點四三角形的形狀不明時與高線及其他線結合沒有分類討論產生易錯】..................12

學優

【典型例題】

【易錯點一求等腰三角形的周長時忽略構成三角形的三邊關系產生易錯】

例題：（2022春?浙江?八年級期末）己知:等腰三角形的兩邊長分別為6和4,則此等腰三角形的周長是.

【答案】16或14##14或16

【分析】分6是腰長和底邊兩種情況，利用三角形的三邊關系判斷，然后根據三角形的周長的定義列式計

算即可得解.

【詳解】解：①6是腰長時，三角形的三邊分別為6、6、4,能組成三角形，

周長是6+6+4=16,

②6是底邊時，三角形的三邊分別為6、4、4,能組成三角形，

周長是6+4+4=14,

綜上所述，三角形的周長為16或14.

故答案為：16或14.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩

種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.已知實數x,y滿足|尤-5|+。-10）2=0,則以無，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）

A.20B.25C.20或25D.以上答案均不對

【答案】B

【解析】

【分析】

先根據非負數的性質列式求出x、y的值，再分5是腰長與底邊兩種情況討論求解即可.

【詳解】

解：?.?|x-5|+(y-10)2=0,|x-5|>0,(y-10)2>0

?*.x-5=0,y-10=0,

解得x=5,y=10,

當5是腰長時，三角形的三邊分別為5、5、10,

回5+5=10,

團不能組成三角形；

當5是底邊時，三角形的三邊分別為5、10、10,

能組成三角形，周長=5+10+10=25,

所以，三角形的周長為25,

故選：B.

【點睛】

本題考查了三角形的三邊關系，等腰三角形的性質，絕對值非負數，平方非負數的性質，根據幾個非負數

的和等于0,則每一個算式都等于0,求出x、y的值是解題的關鍵，難點在于要分情況討論并且利用三角形

的三邊關系進行判斷.

2.(北京市延慶區2022-2023學年八年級上學期期末數學試題)等腰三角形有兩條邊長分別為3cm和7cm,

則這個等腰三角形的周長為cm.

【答案】17

【分析】由等腰三角形兩腰長相等的性質，分7為腰長或3為腰長兩種情況，結合三角形三邊關系即可求

解.

【詳解】解：根據題意，當腰長為7cm時，7、7、3能組成三角形，周長為：7+7+3=17(cm)；

當腰長為3cm時，3+3<7,7、3、3不能構成三角形，

故答案為：17.

【點睛】本題主要考查等腰三角形的定義和三角形的三邊關系，解題的關鍵是掌握"三角形兩邊之和大于第

三邊，兩邊之差小于第三邊

3.(2022春?江蘇蘇州?八年級校考期中)已知一個等腰三角形的兩邊長分別為9cm,5cm,則該等腰三角形

的周長為cm.

【答案】23或19

【分析】分9a找是腰長與底邊長兩種情況，再結合三角形的三邊關系討論求解.

【詳解】解：①若9。根是腰長，則三角形的三邊分別為9c"z、9cm、5cm,

5+9>9,能組成三角形，

周長=9+9+5=23(cm),

②若9c:w是底邊長，則三角形的三邊分別為9c加、9cm、5cm,

5+5>9,能組成三角形，

周長=9+5+5=19(cm).

綜上所述，三角形的周長為23或19cm.

故答案為：23或19.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的三邊關系，難點在于分情況討論并利用三角形三邊關系

判斷是否能組成三角形.

4.（2022春?吉林長春?八年級統考期末）若AABC的三邊長分別為10-a,7,6,當AABC為等腰三角形時，

則a的值為.

【答案】3或4##4或3

【分析】根據等腰三角形的性質分兩種情況：當10-。=6時，當10-a=7時，再結合三角形三邊關系檢驗

即可.

【詳解】解：回AABC為等腰三角形，

回當10-a=6時，

解得a=4,

團三邊長為6,6,7

06+6>7,

回符合三角形三邊的條件，

當10-。=7時，

解得a=3,

團三邊長為7,7,6

06+7>7,

回符合三角形三邊的條件，

回a的值為4和3.

故答案為：4和3.

【點睛】本題考查了三角形的三邊關系和等腰三角形的定義（兩邊相等的三角形），靈活運用所學知識求解

是解決本題的關鍵.

5.（2022春?湖北武漢?八年級統考期中）用一條長為28cm的細繩圍成一個等腰三角形，已知這個等腰三角

形一邊長是另一邊長的L5倍，則它的底邊長為cm.

【答案】12或7

【分析】可設一邊為'em,則另一邊為L5xcm,然后分x為腰和底兩種情況，表示出周長，解出x,再利用

三角形三邊關系進行驗證即可.

【詳解】解：設一邊為xcm,則另一邊為1.5xcm,

①當長為xcm的邊為腰時，此時三角形的三邊長分別為xcm、xcm、1.5xcm,

由題意可列方程：x+x+1.5x=28,

解得x=8,

此時三角形的三邊長分別為：8cm、8cm和12cm,滿足三角形三邊之間的關系，符合題意；

②當長為xcm的邊為底時，此時三角形的三邊長分別為：xcm、L5xcm、1.5xcm,

由題意可歹!I方程：x+1.5x+1.5x=28,

解得：x=7,

此時三角形的三邊長分別為：7cm、10.5cm、10.5cm,滿足三角形的三邊之間的關系，符合題意；

團這個三角形的底邊長為12cm或7cm.

故答案為：12或7.

【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質及三角形三邊關系，分情況討論且進行三邊驗證是解題的關鍵.

【易錯點二當等腰三角形中腰和底不明求角度時沒有分類討論產生易錯】

例題：（2022春?浙江?八年級期中）等腰三角形的一個內角為70。，則這個等腰三角形的頂角為

【答案】70°或40°##70°或40°

【分析】首先要進行分析題意，”等腰三角形的一個內角"沒明確是頂角還是底角，所以要分兩種情況進行討

論.

【詳解】本題分兩種情況，

①當70。角為頂角時，頂角的度數為70。，

②當70。角為底角時，頂角的度數為180。-2乂70。=40。；

回這個等腰三角形的頂角為40。或70。.

故答案為：70。或40。.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質及三角形內角和定理；題目中沒有明確頂角或底角的度數，做題時

要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2022秋?上海閔行,七年級校考階段練習）如果等腰三角形的一個角的度數為80。，那么其余的兩個角

的度數是.

【答案】50°,50。或20。,80°

【分析】根據等腰三角形性質，分類討論即可得到答案.

【詳解】解：①當80。時頂角時，其余兩個角是底角且相等，則有：（180。-80。）+2=50。；

②當80。時底角時，則有：頂角180°-80°x2=20°；

故答案為：50°,50°或20。，80°.

【點睛】本題考查等腰三角形性質：兩個底角相等，還考查了分類討論的思想.

2.（2022春?黑龍江黑河?八年級校考期末）等腰三角形的一個角比另一個角的2倍少20。，則這個等腰三角

形的頂角度數是.

【答案】44。或80。或140。

【分析】設另一個角是x,表示出一個角是2x-20。，然后分①%是頂角，2x-20。是底角，②x是底角，

2x-20。是頂角，③x與2x-20。都是底角根據三角形的內角和等于180。與等腰三角形兩底角相等列出方程

求解即可.

【詳解】解：設另一個角是X,表示出一個角是2x-20。，

①x是頂角，2x-20。是底角時，x+2（2x—20°）=180°,

解得x=44。，

所以，頂角是44。；

②x是底角，2x—20。是頂角時，2x+（2x—20°）=180°,

解得x=50。，

所以，頂角是2x50。-20。=80。；

③x與2尤-20°都是底角時，x=2x-20°,

解得x=20。，

所以，頂角是180°-20°x2=140。；

綜上所述，這個等腰三角形的頂角度數是44。或80。或140。.

故答案為：44。或80。或140。.

【點睛】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質，三角形的內角和定理，難點在于分情況討論，特別是

這兩個角都是底角的情況容易漏掉而導致出錯.

3.（2022春?河北石家莊?八年級石家莊市第十七中學校考階段練習）如圖，ZAOB=40°,OC平分/A0B,

如果射線Q4上的點E滿足是等腰三角形，NOEC的度數為.

【答案】20。或80。或140°##20°或140°或80°##80°或20°或140。##80°或140°或20°##140°或20°或80°##

140。或80。或20。

【分析】求出—AOC,根據等腰得出三種情況，OE=CE,OC=OE,OC=CE,根據等腰三角形性質和

三角形內角和定理求出即可.

【詳解】回OC平分/AO3,

團ZAOC」ZAO3=20。，

2

分三種情況：①當oc=o?時，如圖，

^OC=OE,

團NQEC=NOCE,

0ZOEC=1(18O0-ZAOC)=8O°

②當OC=CE時，如圖,

0ZOEC=ZAOC=20°:

③當OE=CE時，如圖,

團OE—CE,

團NQCE=NAOC=20。，

團ZOEC=180°-ZOCE-ZAOC=140°,

綜上，NOEC的度數為：20。或80。或140。，

故答案為：20。或80。或140。

【點睛】本題考查了角平分線定義，等腰三角形性質，三角形的內角和定理的應用，用了分類討論思想.

4.（2022春?黑龍江哈爾濱?八年級哈爾濱德強學校校考期中）在AABC中，AB=AC,ZBAC=im°,點、D

在邊3c上（不與8、C重合），連接A。，若AABD是等腰三角形，則—ADC的度數為.

【答案】80。或110。

【分析】在AASC中，根據鉆=AC,Zfi4C=100°,得至!!/3=^^=（180。-100。）+2=40°,再根據AABD

是等腰三角形及三角形外角公式分類討論即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，

在AABC中，

0AB=AC,ZBAC=100°,

團N5=NC=(180°—100°)+2=40°,

若是等腰三角形，

①當ND=AZ）時，

ZB=ZBAD=40°,

ZADC=ZB+ZBAD=80°,

②當班=BD時，

NBAD=NBDA,

ZBAD=（180°-40°）2=70°,

ZADC=ZB+ZBAD=110°,

綜上所述80。或110。.

【點睛】本題考查利用等腰三角形性質求角度及三角形內外角關系，解題關鍵是分析出右4犯的腰.

5.（2022春?江西贛州?八年級統考期中）如圖，在AABC中，ZB=20°,NA=105。，點P在AABC的三邊

上運動，當AR4c為等腰三角形時，頂角的度數是.

【答案】105。或55。或70°

【分析】作出圖形，然后分點P在A8上與BC上兩種情況討論求解.

【詳解】解：①如圖1,

圖1

點P在A3上時，AP=AC,頂角為NA=105。,

②回/5=20。，ZA=105。，

EZC=180°-20°-105。=55°,

如圖2,點尸在BC上時，若AC=PC,

頂角為NC=55。，

如圖3,若AC=AP,

則頂角為/675=180°-2"=18。°一2*55°=70°，

綜上所述，頂角為105。或55。或70。.

故答案為：105。或55。或70。.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，注意要分情況討論求解.

6.（2022春?上海虹口?八年級校考期中）如果三角形的一個內角是另一個內角的2倍，那么稱這個三角形為

"倍角三角形”，例如，在AABC中，如果44=50。,/3=100。，那么AABC就是一個“倍角三角形如果一

個倍角三角形是一個等腰三角形，那么它的頂角的度數是.

【答案】90°或36°##36°或90°

【分析】分兩種情況：當頂角是底角的2倍時和當底角是頂角的2倍時，根據三角形的內角和定理，列出

方程，計算即可.

【詳解】解：當頂角是底角的2倍時，

設頂角為了，則底角為gx,

團XH---XH---X=180°,

22

解得：尤=90。，

當底角是頂角的2倍時，

設頂角為x,則底角為2x,

Elx+2尤+2x=180°,

解得：尤=36°,

綜上所述，它的頂角的度數是90。或36。.

故答案為：90。或36°

【點睛】本題考查了三角形的內角和定理、等腰三角形的定義、解一元一次方程，解本題的關鍵在分情況

討論思想的應用.

【易錯點三求有關等腰三角形中的多解題沒有分類討論產生易錯】

例題：（2022春?河南平頂山?八年級校聯考期中）如圖，B、C、D在同一直線上，BC=CD,AB=AC=5,

AOIBC^-O,AO=3,P為線段上一個動點，點尸從點。向終點B運動（不包括。、B）,當△ACP

為等腰三角形時，。尸的長為.

【答案】3或入或13

O

【分析】根據勾股定理求出。8,進而求出2C和的長，分CP=AC、P"A=P"C.CP'"=C4三種情況,

根據勾股定理、等腰三角形的性質計算，得到答案.

【詳解】解:SAB=AC,AOLBC,

SBO=OC,

在及AAOB中，OB=^AB2-AO2=V52-32=4>

團BC=2OB=8,

國BC=CD,

當CP=AC=5時，0P=8—5=3,

當尸"A=P〃C時，O尸〃=4—P"C,

在Rt^AOP"中，OA2+OP"2=AP"2,即32+（4-CP"）2=CP"2,

25

/r

解得，CP=-f

o

則￡>P'=至+8=雙，

88

當CP"'=C4=5時，DP〃'=8+5=13,

25

綜上所述，尸是等腰三角形時，線段0P的長度為3或■^或13.

O

故答案為：3或925或13.

O

【點睛】本題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊

長為C,那么4+62=02.

【變式訓練】

1.（2022春?江蘇泰州?八年級統考期中）如圖,在長方形ABCD中，點E是C。上的一點，過點E作￡F，BE,

交AD于點尸，作點。關于環的對稱點G,依次連接BG、EG、FG.已知AB=16,BC=12,且當

是以防為腰的等腰三角形時，則CE的值為.

【答案】彳或干

23

【分析】①當3E=GE時，A3EG是以BE為腰的等腰三角形，設DE=x，則OE=GE=3E=x,CE=16-x,

在RtA^CE中，根據勾股定理，可列出方程求出x的值，進而可得CE的值；

②當3E=3G時，△班G是以BE為腰的等腰三角形，過點2作證明ACEB絲AEHB,CE=HE,

再列方程求解即可.

【詳解】解：①當鹿=GE時，A3￡G是以防為腰的等腰三角形，

在長方形ABCD中，

回。關于EF的對稱點G,

0DE=GE,

0ABEG是以BE為腰的等腰三角形，

團GE=BE,

團DE=GE=BE,

設。石=%，貝ij5E=Z)E=x,CE=16—%,

222

在RtABCE中BC+CE=BE,

25

即：122+(16-X)92=X2,解得：X=E，

257

CE=16-x=16——=—,

22

7

團CE的值為,；

②當BE=8G時，ABEG是以防為腰的等腰三角形，

如下圖1,過點B做BH_LGE,

AB

圖1

團四邊形ABC。是長方形，

團NECB=90。，AB=CD=16,

團NCEB+NCB石=90。，

0EF1BE,

團NDEF+NCEB=90。，

國NDEF=NCBE,

團點。關于斯的對稱點G,

SAEDF=^EGF,

國DE=EG,ZDEF=ZGEF,

國EFLBE,HBLGE,

國NGEF+NHEB=90Q,/HBE+ZHEB=9U。,

田NGEF=NHBE,

?NDEF=NCEB,ZGEF=ZHBEfZDEF=ZGEF,

⑦NCBE=NHBE,

團/石CB=90。，HBYGE,

⑦NECB=NEHB=90°,

NCBE=ZHBE

在ACEB和LEHB中<EB=EB

ZECB=ZEHB

國ACEB、EHB(AS?,

國HB=BC=12,HE=EC,

設CE=x,貝ijD￡=CD-CE=16—%,

國DE=GE,BE=BG,HBLGE,

SHE=-GE=-DE^-(16-x),

222V7

國HE=CE,

0—(16—x)=x,解得：x=—,

0C￡=—；

3

綜上所述，當ABEG是以BE為腰的等腰三角形時，則CE的值為:或

【點睛】本題考查了長方形、等腰三角形、軸對稱的性質，根據勾股定理巧妙設方程求解是解本題的關鍵，

綜合性較強，難度較大.

2.(2022春?陜西西安?八年級西安市第二十六中學校考階段練習)如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCO

的四個頂點分別為點A。,2）,5（10,2）,C（10,0）,0（0,0）,點。是線段0c的中點，點P在"邊上，若40如

是腰為5的等腰三角形，則點P的坐標為.

二I-U

ODCX

【答案】（5+在',2）或（后1,2）

【分析】先求出點。的坐標為（5,0）,設點尸的坐標為：（。,2）,分兩種情況：OD=DP=5或OD=OP=5,

求出。的值，即可得出答案.

【詳解】解：回點c（io,o）,0（0,0）,點。是線段OC的中點，

回點。的坐標為（5,0）,OD=5,

回點4（1,2）,5（10,2）,

ElA5〃x軸，

設點P的坐標為：（a,2）,

當OD=Z）尸=5時，（a-5『+2?=5?,

解得：a=5+A/21或a=5'—V2T，

0a=5-V21<l>

0a=5-5/21舍去，

回此時點尸的坐標為：（5+01,2）；

當OD=O尸=5時，（a-0）2+22=52,

解得：a=V21-A/21（舍去），

回此時點P的坐標為：（J五,2）；

綜上分析可知，點尸的坐標為（5+01,2）或（直,2）.

故答案為：（5+方',2）或（庖,2）.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的定義，勾股定理，平面直角坐標系中點的特點，解題的關鍵是設出

點P的坐標，列出方程，注意進行分類討論.

【易錯點四三角形的形狀不明時與高線及其他線結合沒有分類討論產生易錯】

例題：（2022春?福建龍巖?八年級校聯考階段練習）若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為4。。，則頂角

的度數是.

【答案】50。或130。

【分析】首先根據題意畫出圖形，一種情況是等腰三角形為銳角三角形，即可推出頂角的度數為50。；另

一種情況是等腰三角形為鈍角三角形，即可推出頂角的度數為130。；

【詳解】如圖1,等腰三角形為銳角三角形，

圖1

0BD1AC,ZABD=40°,

0ZA=5O°；

如圖2,等腰三角形為鈍角三角形,

01AC,ZABD=40°,

0ZS4D=5O°,

0ZBAC=130°.

故答案為：50°或130。

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，直角三角形的性質，正確的畫出圖形，結合圖形利用數形結

合的思想求解是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2022春?北京西城?八年級校考期中）在AABC中，AB=AC,。是AB邊上的高，ZACD=40°,則

的度數為.

【答案】65。或25。

【分析】分兩種情況：當。在線段A3上時，根據題意，得出/ADC=90。，再根據三角形的內角和定理，

得出NA=50。，再根據等邊對等角，得出=再根據三角形的內角和定理，計算即可得出Z8的

度數;當。在線段A3的延長線上時，根據題意，得出NADC=90。，再根據三角形的內角和定理，得出

NA=50。，再根據等邊對等角，得出=再根據三角形的外角的性質，計算即可得出-3的度數，

綜合即可得出答案.

【詳解】解：如圖，當D在線段A3上時，

A

團CO是A5邊上的高，

0ZAZ)C=9O°,

又團NACD=40。，

0ZA=180°-90°-40°=50°,

0AB=AC,

國NB=NACB,

團2ZB=180。一ZA=180。一50°=130°,

0ZB=65°；

如圖，當O在線段的延長線上時,

團CO是A5邊上的高，

0ZAZ）C=9O°,

又回NACD=40。，

BZDAC=180°-90°-40°=50°,

BAB=AC,

團NB=NACB,

又回ZDAC=/B+ZACB=2ZB,

回2/5=50。，

0ZB=25°,

綜上所述，25的度數為65。或25。.

故答案為：65。或25。.

【點睛】本題考查了三角形的內角和定理、等邊對等角、三角形的外角的性質，解本題的關鍵在熟練掌握

相關的性質定理，分類討論.

2.（2022春?廣東廣州?八年級校考階段練習）在△ABC中，AB=AC,AC上的中線50把三角形的周長分

成24和30兩部分，則底邊BC的長為.

【答案】22或14

【分析】分兩種情況：AB+AD=24；AB+AD^30,可得AB的長，再由另一部周長即可求得底邊BC的

長.

【詳解】解：由題意得：AD=CD

：.AB=AC^2AD,

當AB+AD=24時，

即2AD+4)=24,

/.AD=8,

?/BC+CD=30,

30=30—8=30—8=22；

當AB+AZ)=30時，

即2AZ)+AD=30,

:.AD=\Q,

?/BC+CD=24,

5C=24—8=24—10=14；

綜上，底邊的長為22或14；

故答案為：22或14.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，中線的含義，涉及分類討論.

3.(2022春?重慶沙坪壩?八年級重慶市第七中學校校考階段練習)一個等腰三角形的周長為36,其中一條

邊的長度為10,則底邊上高的長度為.

【答案】6或12##12或6

【分析】分兩種情況：①當長度為10的邊是腰時，②當長度為10的邊是底時，根據勾股定理即可得到結

論.

【詳解】解回①當長度為10的邊是腰時，則底為36-10-10=16,

???底邊上高的長度為7102-82=6；

②當長度為10的邊是底時，則腰為;(36-10)=13,

???底邊上高的長度為＞/132-52=12，

綜上所述，底邊上