一元一次不等式和一元一次不等式組壓軸專練

（十一大題型）

目錄：

題型1:新定義（一元一次不等式組）

題型2：新定義（二元一次方程組與一元一次不等式組）

題型3：新定義（含絕對值的一元一次不等式組）

題型4：數軸的最值問題

題型5：程序框圖

題型6：新定義（一元一次不等式（組）在平面直角坐標系中的應用）

題型7：在平面直角坐標系中的幾何問題

題型8：絕對值不等式與分段函數

題型9：一元一次不等式（組）的實際應用（含與一次函數結合）

題型10：分類討論一幾何圖形中的行程問題

題型11：三角形證明中的取值范圍問題

題型1：新定義（一元一次不等式組）

1.新定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內，則稱該一元一次方程為該不等式組的“相

fx-1>1

依方程”，例如：方程X—1=3的解為、=4,而不等式組）,的解集為2<、<5,不難發現X=4在2<x<5

x-2<3

[x-1>1

的范圍內，所以方程x-1=3是不等式組。，的“相依方程”.

[x-2<3

、f2x—1>x+1

⑴在方程①6（X+2）-（X+4）=23：②9X-3=0；③2x-3=0中，不等式組〃@_2）_苫<4的'湘依方程”是

;（填序號）

（2）若關于x的方程3x-左=6是不等式組的“相依方程”，求左的取值范圍；

』2一1②

12一3

x-4m\2x+3>m?

⑶若關于x的方程="2是關于1的不等式組的“相依方程”，且此時不等式組有5個

2[x-m<2m+l@）

整數解，試求加的取值范圍.

【答案】⑴①

（2）-9<k<-3；

4

【分析】本題考查了解一元一次不等式組，一元一次方程的解，理解材料中的不等式組的“相依方程”是解題

的關鍵.

（1）分別解三個一元一次方程與不等式組，再根據新定義作判斷即可；

“6

（2）分別解不等式組與方程，再根據新定義列不等式組-1〈丁W1,解不等式組可得答案；

（3）先解不等式組可得甘<xW3機+1,再根據此時不等式組有5個整數解，令整數的值為：n,?+1,

72+2,72+3,77+4,再求解-'!<"<!，而〃為整數，貝或0,分兩種情況討論，從而可得答案.

【詳解】（1）解：①6（x+2）-（x+4）=23,

整理得：5x=15,

解得：x=3；

②9x-3=0,

解得：X=g;

③2x-3=0,

3

解得：x=-；

f2x-l>x+l

|s(x-2)-x<4'

解不等式2x—l>x+l可得：x>2,

解不等式3（x-2）-x44可得：%<5,

所以不等式組的解集為：2<xW5；

根據新定義可得：方程①是不等式組的“相依方程”.

故答案為：①;

3x+lG

------->x(l)

2

（2）解：，

I2-3

由①得：x>—l,

由②得：X<1,

所以不等式組的解集為：

3x—k=6,

k+6

x=------

3

根據“相依方程”的含義可得:

3

—3vk+6W3,

解得：-9<k<-3；

2%+3〉m?

（3）解:

x-m<2加+1②

由①得：x>甘，

由②得：x<3m+l,

二不等式組的解集為：生產<x43加+1,

此時不等式組有5個整數解，

令整數的值為："，M+1,n+2,〃+3,〃+4,

1q<n

2

n+4<3m+l<?+5

2n+l<m<2n+3

<〃+3〃+4

<m<

3

_1〃+4

2n+1<------

3

則<

〃+3cr

------<2〃+3

I3

解得：，而〃為整數，則〃=-1或o,

-1<m<1

當〃二一1時，<21,

—<m<\

13

<m<1,

3

x-4m

因為—2,

2

解得：x=4加一4,

[8m-8+3>m

根據“相依方程”的含義可得：LI，

<2m+1

解8加一8+3>加可得：m>—,

7

解4m-4-m<2m+1可得：m<5,

所以不等式組的解集為：!<?<5；

1<m<3

當〃=0時，,4,

1<m<—

I3

14

I<m<—,

3

4

綜上：l<m<-.

2.我們約定：不等式組冽<x<〃,m<x<n,m<x<n,機<xW〃的“長度”上勻為d=〃一加，（m<幾）,不

等式組的整數解稱為不等式組的“整點”.例如：-2<xV2的“長度”d=2-（-2）=4,“整點，，為x=-l,0,I,

2.根據該約定，解答下列問題:

[5x+3>3x

⑴不等式組C一八的“長度”d=；“整點”為；

[2x-l<0

'l<x<3

⑵若不等式組cIc的“長度”d=2,求4的取值范圍；

ax-3<—x+2

I2

'l<x<31

3ry+l>m

⑶若不等式組,1）的“長度"d==,此時是否存在實數冽使得關于〉的不等式組1-0恰有

a<x<—a+22[ay-l<2m

4個“整點”，若存在，求出加的取值范圍；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）2；x=-l,0

13

⑵aq

o

（3）存在，1.54加<2.5

【分析】本題考查解一元一次不等式組及求不等式組的整數解，正確理解“長度”與“整點”的定義，并分類討

論是解題關鍵.

（1）先解不等式組，求出不等式組的解集，根據及“整點”的定義即可得答案；

(2)先整理不等式辦一3<；x+2得出(2a-l)x<10,分2a-l>0和2。一1<0兩種情況，根據"=2及1WXW3

列不等式完成不等式的解集即可得答案；

3fy+1>m

(3)分情況，根據d得出。值，得出不等式組廠,用加表示不等式組的解集，根據恰有4個“整

2

點”列不等式組求出解集即可得答案.

5x+3>3x①

【詳解】(1)解:

2x-lV0②

3

解不等式①得：x>--,

解不等式②得：

31

???不等式組的解集為

?.?"=；一(一|)=2,整點為x=T,0

故答案為：2；x=-l,0；

’14x43

(2)解：。1.

[2

解不等式。x—3<；%+2得：(2tz-l)x<10,

當2。-1>0時，即〃〉工時，x<10,

22。-1

■:d=2,l<x<3,3—1=2,

13

解得：

6

113

—<aW—,

26

當2a—1<0時，即a<‘時，x>

22a—1

u：d=2,l<x<3,3-1=2,

1,

2a-l

解得，

當時，方程組解為：14x43,

滿足題意，

綜上所述：〃的取值范圍

6

(3)解：存在，理由如下：

l<x<3

<1

a<x<—a+2

I2

當041<34*+2時，不等式的解集為1WXV3,

3

:?d=2,不符合I、，

當aWl<g〃+243時，不等式的解集為14x<g“+2,

-：d=~,

2

.?.-o+2-l=-,

22

解得：a=\,

當14。<5〃+243時，不等式的解集為。%</a+2,

13

??—。+2-u——,

22

解得：a=\,

當"a<3W；a+2,不等式的解集為。<x<3,

3—ci=一,

2

331111

解得：。=一，當。=一時，一。+2=—<3,不符合1<〃<3<—。+2,

22242

當;。+2<1或0>3,方程組無解，

綜上所述：。=1,

[j+1>m、+1>m

\ay-1<2m為jy-1W2m'

y+1>m

解不等式組得：m-\<y<2m+\,

[j-1<2m

Iy+l>m

?.?關于y的不等式組恰有4個“整點”,

3.5<2w+l-（m-l）<4.5,

解得:1.5<m<2.5.

題型2：新定義（二元一次方程組與一元一次不等式組）

3.定義：使方程（組）和不等式（組）同時成立的未知數的值稱為此方程（組）和不等式（組）的“夢想

解”.

例：已知方程2x-3=1與不等式x+3>0,方程的解為尤=2,使得不等式也成立，則稱“x=2”為方程2x-3=1

和不等式x+3>0的“夢想解”.

（l）x=—l是方程2x+3=l和下歹U不等式的“夢想解”：（填序號）

13Y-1

②2（x+3）<4,③口<3；

222

「3X-2_V=3TM+2[x>y—5

（2）若關于x，了的二元一次方程組、"匚和不等式組-有“夢想解”，且加為整數，求機的

[2x-y=m-5[x-yvl

值.

[2x—322”-1

（3）若關于x的方程x-4=-3〃和關于x的不等式組有“夢想解”，且所有整數“夢想解”的和為

[x-l<4

10,試求”的取值范圍.

【答案】⑴③；

⑵-5或-4；

（3）-1<77<0.

【分析】本題考查了解一元一次方程和一元一次不等式，解二元一次方程組和一元一次不等式組，理解“夢

想解”的定義是解題的關鍵.

（1）分別把x=-l代入每個不等式，判斷是否是不等式的解即可；

（2）求出方程組的解，代入不等式組，再解不等式組求出機的取值范圍，最后結合加為整數即可求解，

（3）求出方程的解為x=-3"+4,不等式組的解集為"+lWx<5,由所有整數“夢想解”的和為10可得

0<?+1<1,解得-1W”WO.

13133

【詳解】（1）解：把x=T代入不等式得，左邊=

22222

13

=T不是不等式的解；

22

把x=T代入不等式2（x+3）<4得，左邊=2x（-l+3）=4,

x=-1不是不等式2（x+3）<4的解；

Y-1-1-1

把x=—l代入不等式；-<3得，左邊=與一=—1<3,

x—1

=是不等式下-<3的解；

故答案為：③；

x=-m-12

（2）解：解方程組得

y=一3加一19'

3x-2y=3加+2和不等式組［\xa>”y-5］有“夢想解”，

二元一次方程組

2x-y=m-5

x=-m-12

是不等式組的解,

y=-3m-19

x=-m-12-m-12>-3m-19-5

代入不等式組得,

y=-3m-19-m-12-(-3m-19)<1

解不等式組得-6<加<-3,

?.?加為整數，

加二-5或一4；

（3）解：由方程%—4二一3〃得，x=-3n+4,

2x-3>2?-1

解不等式組1/得：n+l<x<5,

x-l<4

???所有整數“夢想解”的和為IO,

?,?整數“夢想解”為I、2、3、4或0、I、2、3、4,

2x-3>2n-l

V關于％的方程％-4=-3〃和關于x的不等式組x-l<4有“夢想解”,

.\0<H+l<l,解得：-l<71<0.

綜上，-iWnWO.

4.定義：使方程（組）與不等式（組）同時成立的未知數的值稱為此方程（組）和不等式（組）的“完美

解”.

例：已知方程2x—3=I與不等式x+3>0,當x=2時，2x—3=2x2—3=1,x+3=2+3=5>0同時成立，

則稱“x=2”是方程2x-3=1與不等式x+3>0的“完美解”.

(1)已知①2x+l>3,②3x+7<4,③2-x>2x+l,則方程2x+3=1的解是不等式_(填序號)的“完美解”;

[x=x[x>2

⑵若°n是方程x-3y=5與不等式組?的“完美解”，求七+3%的取值范圍；

U=%[y<i

[x=xfx+y=af2x-7y<1

⑶若n°(七,%是整數)是方程組，「2與不等式組</"的一組“完美解”，求整數。

[尸為[4x-5y=a+3[5x-6y<14

的值.

【答案】⑴③

(2)X()+3%的取值范圍為-1<x0+3y0<11

(3”=4或7

【分析】(1)先解方程，再分別解三個不等式，再根據新定義的含義作判斷即可；

(2)依題意得%-3%=5,可得Xo=3%+5,可得/+3%=3%+5+3%=6%+5,再建立不等式組可得

可得-1<6%+5<11,從而可得答案；

2。+1.2。+1tz—11

xn=-------2x----------/x------<1

(3)先求解°\3,將其代入不等式組得$3]3,可得2<。<丁31.再確定〃的整數

6Z-1L2Q+1,Q-1-4

y=------5x----------6x------<14

Ln°3133

值即可.

【詳解】(1)解：：2x+3=l,

解得：x=-l,

V?2x+1>3,

X>1,

②3x+7<4,

??XV—1,

(3)2-x>2x+1f

x<—

3

程2x+3=1的解是不等式③的“完美解”；

(2)依題意得％-3%)=5,即Xo=3%)+5

毛+3%=3%+5+3%=6y0+5.

13y+5＞2

將x°=3%+5代入不等式組得Zon,解得

I為＜1

—1<6yo+5<11.

%）+3乂）的取值范圍為-1＜玉）+3為＜11.

x=xx+y=a

(3)???°n是方程組//2的解，

41一5歹=。+3

2a+1

%=丁

a-1

%

_2。+1Q—11

2x----------7x------<l-

3331

將其代入不等式組得o,解得2<a<：

2a+1a—\4

5x---------6x------<14

33

???〃為整數,

?\Q=3,4,5,6,7.

2a+1

xo=~~

I為整數,

a—\

%=~^~

.??。=4或7.

【點睛】本題考查的是一元一次不等式的解法，一元一次方程的解法，二元一次方程組與一元一次不等式

組的解法，理解新定義的含義是解本題的關鍵.

題型3：新定義（含絕對值的一元一次不等式組）

5.閱讀理解：

定義：若一個方程（組）的解也是一個不等式（組）的解，我們稱這個方程（組）的解是這個不等式（組）

的“友好解”.例如，方程2x-l=l的解是x=l,同時x=l也是不等式x+l＞0的解，則稱方程2x-l=l的解

尤=I是不等式x+1＞0的“友好解”.

31x—3

⑴試判斷方程寸-2=y+1的解是不是不等式亍〉0的“友好解”？不必說明理由；

⑵若關于1、＞的方程組:’47’的解是不等式白-2"7的“友好解、求左的取值范圍；

[5x-y=4k+52

⑶當上＜3時，方程3（x-1）=后的解是不等式4x-1＜x+2加的“友好解”,求m的最小整數值.

【答案】⑴不是

(2)左<-11

(3)加=3

【分析】本題考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根據方程組的解的情況，求參數的范圍，掌握“友

好解”的定義，是解題的關鍵：

(1)求出方程的解，不等式的解集，根據“友好解”的定義，判斷即可；

(2)兩個方程相減后，結合不等式，得到關于上的不等式，求解即可；

(3)求出方程的解，不等式的解集，根據“友好解''的定義，求出加的范圍，進而求出加的最小整數值即可.

【詳解】⑴解：解臺-2=b+1,得：x=3,

解寧>0,得：x>3,

方程的解不是不等式的解，

*,?不是；

j2x+3歹=5左+2①

(2)15%-j^=4^+5@，

②-①，得：3x—4y=3-左，

3

-x-2y>7,

/.3x-4j/>14,

即：3—女〉14,

?,?左<-11；

(3)由3(x—1)=左，得X=y+1,

,:k<3,

3

+1<2,即x<2,

,,/曰2m+1

由44x—1<x+2m，得％<---.

1/方程3(x-1)=上的解是不等式4x-l<x+2m的“友好解”.

3

解得m>|,

二加的最小整數值為：m=3.

6.在數學學習過程中，自學是一種非常重要的學習方式，通過自學不僅可以獲得新知，而且可以培養和鍛

煉我們的思維品質.請你通過自學解答下面的問題：解決含有絕對值符號的問題，通常根據絕對值符號里

所含式子的正負性，去掉絕對值符號，轉化為不含絕對值符號的問題再解答.例如：解不等式卜-3|>2.解:①

當X-320,即x?3時，原式化為：x-3>2,解得x>5,止匕時，不等式忖-3|>2的解集為x>5；②當

尤-3<0,即x<3時，原式化為：3-x>2,解得x<l,止匕時，不等式|無-3|>2的解集為乂<1；綜上可知，

原不等式的解集為了〉5或久<1.

(1)請用以上方法解不等式關于X的不等式：|5》-20|>10

(2x+3y=5m-10..

⑵已知關于X、y的二元一次方程組，-1C1的解滿足x+yV9,其中加是正整數，求加值；

[3x+2y=15加+511

—3|+y=5n

(3)已知關于x、v的方程組、滿足方程組的未知數x的值為整數，系數〃也為整數且

—\x-i\+y=-5n

”70.求滿足條件的〃和x的值.

【答案】⑴xN6或x42

(2)加=1或2

(3)x=12或x=-6,n=±3

【分析】本題主要考查了絕對值方程的解法，絕對值的性質，解一元一次不等式，二元一次方程組；

(1)仿照例題，分情況討論，分別解一元一次不等式，即可求解；

(2)根據方程組的特征得出x+y=4機-1,根據題意可得|4加-1,9,進而按照(1)的方法解不等式，即

可求解.

(3)將方程組中兩方程相減，進而用|x-3|表示〃，再結合未知數尤的值為整數，系數〃也為整數且

便可得出結果；

【詳解】(1)解：①當5x-20?0時，即加時，

原式化為：5x-20>10,

解得：x>6,此時，不等式|5x-20|210的解集為在6；

②當5x-20<0時，即加<4時,

原式化為：20-5x>10

解得:x<2,此時，不等式|5x-20110的解集為x42；

綜上可知，原不等式的解集為x26或xV2

{2x+3y=5機-10①

（2）卜x+2y=15加+5②

D+②5x+5y=20冽-5

x+y=4m—1

V\x+y\<9,

|4m-l|<9,

①當4加—120時，即冽2,時，

4

原式化為：4m-l<9,

解得：m<1,此時，不等式|4加-1歸9的解集為:《加V：；

②當4加—1<0時，即m冽時，

4

原式化為：1-4冽W9

解得：m>-2,此時，不等式|4加一1歸9的解集為一24加<］；

114

綜上可知，原不等式的解集為-2W機（|,

?：m為正整數，

???加=1或2

〃卜-3|+y=5〃①

⑶解：「小

_x-3+y=-3n?

①-②得，［"-:卜-3|=8〃

2\x-3\8

*Yi———-----'——=1H-------------

1,|x-3|-8|x-3|-8

:未知數x的值為整數，系數〃也為整數且“70,

2

/.|x-3|-8=l,n=9

x=12或x=-6,"=±3

7.若任意一個代數式，在給定的范圍內求得的最大值和最小值恰好也在該范圍內，則稱這個代數式是這個

范圍的“湘一代數式”.例如：關于x的代數式當-IVxVl時，代數式/在乂=±1時有最大值，最大值為

1;在x=0時有最小值，最小值為0,此時最值1,0均在-IVxVl這個范圍內，則稱代數式f是-14x4的“湘

一代數式”.

⑴若關于x的代數式忖，當K3時,取得的最大值為最小值為所以代數式國_(填“是”或“不

是“)的“湘一代數式”.

a,

(2)若關于x的代數式兩工-1是一24xW2的“湘一代數式”，求a的最大值與最小值.

(3)若關于x的代數式,-2|是的“湘一代數式”，求m的取值范圍.

【答案】(1)3,1,是.⑵a的最大值為6,最小值為-2；(3)-2<m<0.

【分析】(1)先求解當14x43時，國的最大值與最小值，再根據定義判斷即可；

(2)當-2?尤42時，得24國+244,分a<Q,分別求解百6-1在-2VxV2內時的最大值與最小

值，再列不等式組即可得到答案；

(3)當加WxW4時，分24xW4,機WxW2兩種情況分別求解|x-2|的最大值與最小值，再列不等式(組)

求解即可.

【詳解】解：(1)1.,l<x<3

當x=3時，忖取最大值3,

當x=l時，忖取最小值1,

所以代數式國是1WxW3的“湘一代數式”.

故答案為：3,1,是.

(2),/-2<x<2,

?,.0<|x|<2,

/.2<|x|+2<4,

Q1a

①當a>0時，x=0時,訴T有最大值為5-1,

x=2或-2時,危一1有最小值為±1,

q-142①

所以可得不等式組，產，

3-12-2②

14

由①得：a<6,

由②得：a>-4,

所以：

a1o

②aVO時，x=O時，忖+2-有最小值為5一1，

x=2或-2時,忖+2-I的有大值為--I,

區一12—2①

所以可得不等式組,2,

q-142②

,4

由①得：a>-2,

由②得：a<U,

所以：-2Wa<0,

綜上①②可得-24。46,

所以a的最大值為6,最小值為-2.

（3）；卜-2|是加"W4的“湘一代數式”，

當2Wx<4時，|x-2|的最大值是2,最小值是0,

/.m<0,

當加時，|x—2|=2—x,

當x=2時，卜-2|取最小值0,

當x=w時，,一2|取最大值2-加，

m<0

2-m<4

解得：-2（加W0,

綜上：加的取值范圍是：-2<m<0.

【點睛】本題考查的是新定義情境下的不等式或不等式組的應用，理解定義列不等式（組）是解題的關鍵.

題型4：數軸的最值問題

8.對于數軸上兩條線段尸。,MN,給出如下定義：若線段尸。的中點〃與線段"N上點的最小距離不超過

1,則稱線段PQ是線段取乂的“限中距線段”.

已知：如圖，在數軸上點P,M,N表示的數分別為-6,1,2.

p.......................My....

-54-3-2-16I~23456yrX

⑴設點。表示的數為加，若線段尸。是線段肱v的“限中距線段”，

①"2的值可以是；

A.1B.6C.14

②m的最大值是；

⑵點尸從-6出發，以每秒1個單位的速度向右運動，運動時間為t秒.

當f<6時，若線段近的“限中距線段”PQ的長度恰好與PM+PN的值相等，求出尸。的中點”所表示的數；

（3）點尸從-6出發，以每秒1個單位的速度向右運動，同時線段"N以每秒2個單位的速度向左運動，設運

動時間為/秒.若對于線段上任意一點。，都有線段尸。是線段"N的“限中距線段”，則/的最小值為

,最大值為.

【答案】⑴①B；②12

⑵之

⑶510

⑶“T

【分析】（1）尸。的中點表示的數是含二可得04爸g3,故64機V12,①由6V冽W12可得答案；②

由6VmW12得機的最大值為12；

（2）設。表示的數是x,根據線段的“限中距線段”尸。的長度恰好與尸W+PN的值相等，且f<6,有

3

X_（_6+Z）=I_（_6+/）+2-（-6+/）,可得X=9_,即可得PQ的中點H所表示的數是,；

（3）根據題意，戶表示的數是-6+7,M表示的數是l-2f,N表示的數是2-2/,設。表示的數是V,則

l-2r<y<2-2/,又線段尸。是線段MN的“限中距線段“，有1一2，一"+-211,從而

6-5t<m<12-5t,由6-5/VI-2r得此g,由2-2,V12-5;得fV與，即可得答案.

【詳解】（1）解：???？表示的數是-6,。表示的數是加，

二尸。的中點表示的數是苫二

根據題意得04日詈V3,

:.6<m<12,

①由6W〃?V12可知，當加=6時，線段P。是線段M2V的“限中距線段”，

故答案為：B；

②由64〃?V12可知，線段尸。是線段MV的“限中距線段“，加的最大值為12,

故答案為：12；

(2)設。表示的數是x,根據題意知尸表示的數是-6+7,

.??P。的中點〃所表示的數是

...線段跖V的“限中距線段”尸。的長度恰好與PW+PN的值相等，且/<6,

x—6+/)=1—6+/)+2—(—6+/),

x=9-t,

.—6+￡+x—6+/+(9—/)3

??—―，

222

二尸。的中點”所表示的數是；3；

(3)根據題意，戶表示的數是-6+f,M表示的數是1-2乙N表示的數是2-2f,

設。表示的數是了，貝口

???線段如是線段MV的“限中距線段”，

:A-2t-l<~6+t+y<2-2t+l,

2

解得6-5dyV12-5,,

由6-5/M1-2，得/N：,

由2-2lM12-5t得/V1，

510

33

.一最小值為?，最大值為g,

故答案為：I",g.

【點睛】本題教材一元一次方程和一元一次不等式組的應用，涉及新定義，解題的關鍵是讀懂題意，理解“限

中距線段”的概念.

9.【問題提出】卜-1|+|”2|+卜-3|+…+卜-2023|的最小值是多少？

【閱讀理解】

為了解決這個問題，我們先從最簡單的情況入手.|a|的幾何意義是a這個數在數軸上對應的點到原點的距

離，那么可以看作a這個數在數軸上對應的點到1的距離；|。-1|+|。-2|就可以看作。這個數在數軸上

對應的點到1和2兩個點的距離之和.下面我們結合數軸研究+的最小值.

我們先看。表示的點可能的3種情況，如圖所示：

如圖①，。在1的左邊，從圖中很明顯可以看出。到1和2的距離之和大于1.

如圖②，a在1和2之間(包括在1,2上)，可以看出。到1和2的距離之和等于1.

如圖③，。在2的右邊，從圖中很明顯可以看出a到1和2的距離之和大于1.

所以。到1和2的距離之和最小值是1.

【問題解決】

(1)|。-2|+,-4|的幾何意義是；請你結合數軸探究：|a-2|+|a-4|的最小值是；

(2)請你結合圖④探究：|。-2|+k-3|+卜-4|的最小值是,此時°為；

(3)|a-[+|a-2|+|a-3|+|a-4]+|a-5]+|a-6|的最小值為；

(4)|a-l|+|a-2|+|t?-3|H-----2023]的最小值為.

【拓展應用】

如圖⑤，已知a到-1,2的距離之和小于4,請寫出。的范圍為.

-2-I0Ia234

圖①圖②

AA11AA.AAAA1i11

-2-10I23a4-2-101234

圖③圖④

11」」」

-5-4-3-2-I0I2345

圖⑤

【答案】【問題解決】(1)。這個數在數軸上對應的點到2和4兩個點的距離之和，2；(2)2,3；(3)9；

(4)1023132；【拓展應用】一1.5<a<2.5

【分析】【問題解決】(1)根據題目提供的方法，說明即可；

(2)根據題目提供的方法，當。在2和4之間，且處于中點時，即當a=3時，|a-2|+|a-3|+|a-4|最小;

(3)根據題目提供的方法，當“在1和6之間，且處于中點時，所求式子最小；

(4)根據題目提供的方法，當。在1和2022之間，且處于中點時，即當。=1011時，所求式子I最小；

【拓展應用】分①當。>2時，②當-1W.W2時，③當。<-1時，求出。的范圍，再合并即可.

【詳解】解：【問題解決】(1)根據題目提供的方法，可知：。這個數在數軸上對應的點到表示2和4兩個

數的點的距離之和；此時最小值為2；

故答案為：”這個數在數軸上對應的點到表示2和4兩個數的點的距離之和；2；

(2)根據題目提供的方法，可知：|"2|+k-3|+卜-4|當a處于2和4的中點，即a=3時最小，最小值為:

|3-2|+|3-3|+|3-4|=2;

故答案為：2；3；

(3)根據題目提供的方法，可知：當。在1和6之間，|。-1|+卜-6|取最小值，

當a在2和5之間，|。_2|+卜_5|取最小值，

當a在3和4之間，|。-3|+卜-4|取最小值，

.,.當a在3和4之間，所求式子Ia-11+［。-21+1a-31+J4-41+1a-51+|1最小;

不妨取。=3,最小值為：|3-1|+|3-2|+|3-3|+|3-4|+|3-5|+|3-6|=9;

故答案為：9；

(4)總結規律可知，最中間一個數或者中間兩個數之間取最小值.

I,2,3,4,5……2023的中間數為：1012

/.|a—+—2|+|a—+—20211

=|1012-1|+|1012-2|+|1012-3|----+|1012-2023|

=1011+1010+1009+???+2+1+0+1+2+3+---+1011

=1011x(1011+1)

=1011x1012

=1023132；

故答案為：1023132；

【拓展應用】使它到-1,2的距離之和小于4,

a—(-1)|+1a—21<4,

.,.①當a〉2時，貝lj有Q—(―1)+。一2<4,

解得：”2.5.

：.2<a<2.5；

②當一1WQW2時，貝U有。一(一1)+2—q=3<4,

-l<a<2；

③當“<-l時，則有-1-a+2-a<4,

解得：a>-1.5,

—1.5<67<1;

由①②③不得式得出：-1.5<a<2.5.

故答案為：-1.5<a<2.5.

【點睛】本題考查數軸、絕對值的幾何意義，簡單的一元一次不等式的解法等知識，解題的關鍵是理解題

目提供的方法，靈活運用這一方法解題.

題型5：程序框圖

io.如圖是一個“函數求值機”的示意圖.其中y是x的函數.下面表格中，是通過該“函數求值機”得到的幾

組X與了的對應值.

根據以上信息，解答下列問題：

(1)當輸入的X的值為6時，此時輸出的了的值為；

(2)當輸出的了的值滿足-24〉<-1時，求輸入的x的值的取值范圍；

(3)若輸入x的值分別為加，加+4,對應輸出了的值分別為M，%，是否存在實數加，使得乂>%恒成立？

若存在，請求出加的取值范圍；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴0;

(2)-2<x<0,8<x<10；

(3)存在，m>2.

【分析】本題考查了待定系數法求一次函數的表達式，一次函數的性質，解一元一次不等式以及一元一次

不等式組.

(1)因為x=6>4,所以將其代入>=x+3,即可解得V的值；

(2)當x<4時觀察表格可得答案，當x*4時解不等式即可；

(3)先求出尤<4時，了與x的關系式，然后分加24,m<4_|=l.m+4>4,拉+4<4時三種情況進行討論,

分析機的取值范圍.

【詳解】(1)???x=6>4,

.,.將x=6代入y=_；x+3,得：y=0,

故答案為：0;

(2)觀察表格得，當x<4時，當輸出的了的值滿足-24了<-1時，-2<x<0；

當x±4時，y=~x+3,當輸出的V的值滿足-2V〉<-1時，得

-2<--.r+3

<2

1C「

——x+3<-1

[2

/.8<x<10

故答案為：-2<x<0^8<x<10；

(3),**x=—2<4,x=0<4,

.?.將(―2,—2),(0,—1)代入〉=h+6,得：

j-2k+b=-2

[6=-1

解得：k=51b=-1,

11

-y=~x-i，

當加上4時，(加，必)和(加+4,%)在y=-gx+3上，

此時左=-；<0,V隨x的增大而減小，7〃+3>根，所以%>為恒成立，

當加<4,加+424時，(加,弘)在y=gx-l上，(機+4,%)在y=-gx+3上，

所以當乂>為恒成立時,

BP—m-1>(m+4)+3,

解得：m＞2,

又?.?加＜4,加+424

/.2＜m＜4；

當m+4＜4時，O,必）和（加+4,%）在y=—l匕

止匕時左=；＞0,V隨x的增大而增大，加+4＞心，所以必＜為.

綜上所述，當機＞2時，恒成立.

題型6：新定義（一元一次不等式（組）在平面直角坐標系中的應用）

11.在平面直角坐標系xQy中，已知點M（a,6）（點M不與原點。重合），將點。（x+My+初）（左＞0）稱為

點尸（X4）關于點M的“左倍平移點”.

（1）已知點P的坐標是（4,3）,

①若點M（2,-2）,則點P關于點M的“2倍平移點”Q的坐標是」

②點N（-3,-2）,7（1,-2）,點"在線段NT上，過點尺位,0）作直線/lx軸，若直線/上存在點尸關于點M

的“2倍平移點”，求r的取值范圍.

（2）點5（1,-1）,￡（5,7）,歹（8,4）,以為邊在直線的上方作正方形48CD,點M（a,b）在

正方形N3C。的邊上，且a＞0,b＞0,對于正方形/8CD的邊上任意一點P,若線段E尸上都不存在點P

關于點N的“左倍平移點”，直接寫出左的取值范圍.

【答案】⑴①②-2X6

（2）左＞9或0（人＜5

【分析】本題主要考查了解不等式，解不等式組，新定義運算，坐標與圖形，解題的關鍵是理解題意，數

形結合，正確計算.

（1）①根據題目中提供的定義進行解答即可；

②根據點N（-3,-2）,7（1,-2）,點/在線段N7上，設點M的坐標為（肛-2）（-3W加41）,根據“2倍平移點”

的定義得出。點的坐標為：（4+2九-1）,求出-2V4+2機V6,得出-24r＜6；

（2）先求出點C的坐標（1,1）,點。的坐標為（一1,1）,根據點M（a,6）在正方形的邊上，且。＞0,

b>Q,得出0<aWl,0<6Wl,先求出當點尸的橫坐標最小時，點P關于點M（a,b）的“倍平移點”的橫

坐標為-1+版，當點尸的縱坐標最小時，點尸關于點的%倍平移點”的縱坐標為-1+祐，判斷得出

當點尸的橫坐標或縱坐標最小時，點尸向右或向上平移的最大距離為-1+左，結合點尸的坐標列出不等式,

即可求解.

【詳解】（1）解：①???點P的坐標是（4,3）,點M（2,-2）,

點P關于點M的“2倍平移點”。的坐標是：［4+2x2,3+2x（-2）］,

即點。的坐標為（8,-1）；

②：點N（-3,-2）,7（1,-2）,點M在線段N7上，

設點M的坐標為（私-2）（-3VMVI）,

...點P關于點M的“2倍平移點”為：0［4+2加,3+2x（-2”，

即。點的坐標為：（4+2加,-1）,

?：-3<m<l,

—2<4+2m<6,

:過點A（r，O）作直線/，%軸，若直線I上存在點P關于點M的“2倍平移點”，

r=4+2m,

-2<r<6；

（2）解：：點N（-1,T）,以N8為邊在直線48的上方作正方形48cD,

...點C的坐標（1,1）,點。的坐標為（一1,1）,

:點在正方形48cZ）