整式乘法（5大易錯+7大壓軸）

01思維導圖

目錄

【易錯題型】...................................................................................1

易錯題型一利用單項式乘多項式求字母的值......................................................1

易錯題型二已知多項式乘積不含某項求字母的值.................................................3

易錯題型三完全平方式中的字母參數問題........................................................8

易錯題型四乘法公式中簡便運算變換...........................................................10

易錯題型五乘法公式中項數的變換.............................................................14

【壓軸題型】..................................................................................18

壓軸題型一平方差公式中連續相乘應用.........................................................18

壓軸題型二多項式乘多項式與圖形面積中無關型問題............................................24

壓軸題型三多項式乘法中的規律性問題.........................................................31

壓軸題型四平方差公式在幾何圖形中的應用....................................................34

壓軸題型五完全平方公式在幾何圖形中的應用..................................................39

壓軸題型六利用完全平方式求代數式的最值問題................................................45

壓軸題型七整式的運算中的新定義型問題.......................................................49

02易錯題型

易錯題型一利用單項式乘多項式求字母的值

例題：（24-25八年級上?河南周口?階段練習）若%（%+2）=加+及，貝lj〃+b=（）

A.3B.2C.1D.0

鞏固訓練

1.（23-24七年級下?河南周口?階段練習）若一+辦=x（x+4）,則。的值為（）

A.2B.3C.4D.8

2.（23-24七年級下?山東淄博?階段練習）已知x（x-a）+/x+a）=x2+5x-6,當x為任意數時該等式都成

立，則。僅一1）+6（。+1）的值為（）

A.17B.-7C.-1D.-17

3.（23-24八年級上?重慶渝中?期中）若x（x2-“）+3x-26=/+5x-6對任意x都成立，則0+6=.

易錯題型二已知多項式乘積不含某項求字母的值

例題：（24-25八年級上?河南駐馬店?期中）若（--加x-〃）（x+2）的乘積中不含Y項和x項，則

nm=.

鞏固訓練

1.（2025七年級下?全國?專題練習）已知（5-3x+加/-6/乂1-2x）的計算結果中不含d項，則加的值為

2.（24-25八年級上?四川內江?階段練習）若（/+分+8乂尤2-3工+0）的積中不含》2項和工3項.求：

（1）2、q的值；

⑵代數式（24）2（一2p）L（-3P療的值.

3.（23-24六年級下?山東青島?階段練習）已知-2x3，"+ya與4婷/的積與一4//是同類項.

⑴求加，”的值,

（2）先化簡，再求值：5m3n-（-3w）2+（6WM）*'（-/??）-mn3-（-4m.

4.（24-25八年級上?重慶?階段練習）若12+》一?。｝-%+34）的積中不含x與f項.

（1）求。，夕的值；

⑵求代數式（-P?J+°2。2%2。23的值.

5.（23-24七年級下?貴州畢節?階段練習）若-￡|（x2-3x+q）的積中不含X項與d項.

（1）求〃，q的值；

⑵求代數式（-2P2/+（3功）-2的值.

易錯題型三完全平方式中的字母參數問題

例題：（24?25八年級上?吉林,期末）若式子/+玄+16是一個完全平方式，貝!J左=.

2

鞏固訓練

1.（24-25八年級上?吉林松原?期末）若/-12x+左是一個完全平方式，則常數左的值為.

2.（24-25八年級上?四川涼山?階段練習）如果25f+10x+/是一個完全平方式，那么后的值是.

3.（24-25八年級上?全國?階段練習）如果關于x的多項式，+（加+l）x+4是完全平方式，那么加的值

為.

4.（24-25八年級上?山東日照?階段練習）如果關于x的整式9工2-（2加-1卜+；是某個整式的平方，那么〃z

的值是.

5.（24-25八年級上?重慶萬州?期中）已知〃是含字母x的單項式，要使多項式16/+M+1是某個多項式的

平方，則/為.

易錯題型四乘法公式中簡便運算變換

例題：（24-25八年級上?山東泰安?階段練習）簡便計算

（1）11X1022-11X982

（2）121x0.13+12.1x0.9-12x1.21

鞏固訓練

1.（24-25八年級上?吉林長春?階段練習）簡便運算

（1）20212-2022x2020;

21

（2）20-X19-.

2.（23-24七年級下?全國?單元測試）簡便計算：

⑴吟29；

（2）972

3.（24-25八年級上?四川宜賓?階段練習）簡便運算

（1）20242-2023x2025;

（2）186/2-2X186.7X86.7+86.7，

4.（24-25八年級上?吉林長春?階段練習）用簡便算法計算.

（1）20242-2025x2023;

（2）4+4x196+982.

5.（23-24七年級下?全國?單元測試）運用乘法公式計算：

3

(l)30|x291；

（2）1.352+2xl.35x2.65+2.652.

易錯題型五乘法公式中項數的變換

例題：（23-24七年級下?全國?單元測試）計算：（5a+36-2c）（5a-36+6c）.

鞏固訓練

1.（23-24七年級下?遼寧錦州?期中）計算：（2a-6+5）（2a+6-5）.

2.（24-25七年級上?上海嘉定?期中）計算：（3a-6+2）（30+6-2）.

3.（24-25七年級上,上海?期中）計算：（2x+y-3）（2x-y+3）

4.（24-25七年級上?上海楊浦?期中）計算：（a+2Z）-3c）（a-2Z7-3c）.

5.（24-25七年級上,上海虹口,期中）計算：（2x-/+3/2x+f-3）.

6.（24-25七年級上?上海?期中）利用乘法公式計算：（2a-3b+c）（3H2a-c）.

7.（24-25七年級上"上海松江?期中）計算:（x+y-3）（x-y+3）+（y+3『；

8.（2024八年級上?全國?專題練習）計算：（2a+36-l）（l+2”3b）+（l+2a-36）2.

03壓軸題型

壓軸題型一平方差公式中連續相乘應用

例題：（23-24七年級上?全國?專題練習）計算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+^=

鞏固訓練

1.（23-24七年級下?山東淄博?期末）計算2⑵-3x5x（24+1.28+1）…Q6，+l）的結果是

1

2.（23-24七年級下?江蘇徐州?期中）計算:

4

3.（2024八年級上?全國?專題練習）計算：…[1一金.

4.（23-24七年級下?山東濟南?期末）（1）計算：（a+6）（"6）=_；（?-l）（a+l）（a2+1）=_；

（2）利用平方差公式進行計算：98x102

2481024

（3）計算：（2+1）X（2+1）X（2+1）X（2+1）X...X（2+1）+1=_;并直接寫出上面結果的個位數字是」

（4）數學公式可以逆用，有時能達到簡便運算的效果.根據上面用到的數學公式，從下面的兩個題中，任

選一個題進行計算.（若兩個題都進行計算，只第一個題得分）

①計算：20242-20232+20222-20212+---+22-I2

②計算：卜…“一/JxD

5.（24-25八年級上?海南?期中）春秋時期，孔子有一天對他的弟子們說道：“舉一隅，不以三隅反，則不復

也.”這句話的意思是說：“教書先生舉出一個墻角，學生就應該會獨立思考，融會貫通，從而類推到其余三

個墻角，然后用三個墻角反證老師先前提出的墻角，如果每個學生都這樣學習和思考，教書先生就不用再

費力氣教學生了”.請閱讀下面的解題過程，感受從特殊到一般的數學思想，類比推理解決以下問題.

例題：化簡（2+1）3+1）（2*+1）.

解：原式=（2-1）（2+1乂2?+1）（24+1）

-（22-1）（22+1）（24+1）

-1）

=2?-1.

⑴填空：x（b+a）=a2-b2；

（2）化簡（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）；

（3）運用上面所學內容直接寫出下面兩題的答案.

@（5-1）（52+1）（54+1）---（5128+1）=；

②若機（機*1）、"均為正整數,則（加+DM+1）（切4+1）=.

壓軸題型二多項式乘多項式與圖形面積中無關型問題

例題：（23-24八年級上?福建廈門?期中）如圖1,有足夠多的邊長為。的小正方形類），長為6、寬為a

的長方形（B類）以及邊長為6的大正方形（C類）卡片，發現利用圖1中的三種卡片各若干可以拼出一些

5

長方形來解釋某些等式.

例如圖2可以解釋的等式為(。+26)(°+?=/+3ab+2b~.

(1)圖3可以解釋的等式為:

(2)要拼成一個長為(。+9?,寬為(5。+6)的長方形，那么需用/類卡片一張，B類卡片一張，C類卡片一張；

(3)用5張B類卡片按圖4的方式不重疊地放在長方形內，未被遮蓋的部分(兩個長方形)用陰影表示，設

右下角與左上角的陰影部分的面積之差為S,AB=x,若S的值與x無關，試探究。與6的數量關系，并說

明理由.

鞏固訓練

1.(23-24七年級上?廣東廣州?期中)如圖，長為》，寬為x的大長方形被分割成7部分，除陰影圖形4B

外，其余5部分為形狀和大小完全相同的小長方形C,其中小長方形C的寬為4.

(1)計算：小長方形C的長=，小長方形C的周長=；(用含歹的代數式表示)；

(2)小明發現陰影圖形A與陰影圖形B的周長之和與V值無關，請你通過計算對他的發現作出合理解釋.

2.(23-24七年級上?福建福州?期中)如圖，長為y(cm),寬為x(cm)的大長方形被分割為7小塊，除陰影48

外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短的邊長為4cm.

(1)從圖可知，每個小長方形的較長邊的長是一cm(用含V的代數式表示)；

(2)分別計算陰影43的周長(用含X/的代數式表示)，并說明陰影A與陰影B的周長差與x的取值無關;

6

(3)當y=24時，比較陰影48面積的大小

3.(23-24八年級上?福建泉州?階段練習)【知識回顧】

七年級學習代數式求值時，遇到這樣一類題“代數式如-丁+6+3》-5了-1的值與》的取值無關，求a的值”,

通常的解題方法是：把x、y看作字母，?？醋飨禂岛喜⑼愴?，因為代數式的值與x的取值無關，所以含x

項的系數為0,即原式=(a+3)x-6y+5,所以“+3=。，貝物=-3.

(1)若關于x的多項式(2x-3)加+2/-3x的值與x的取值無關，求m值;

【能力提升】

(2)7張如圖1的小長方形，長為a,寬為6,按照圖2方式不重疊地放在大長方形NBC。內，大長方形中未

被覆蓋的兩個部分(圖中陰影部分)，設右上角的面積為H，左下角的面積為$2,當的長變化時，s1-s2

的值始終保持不變，求。與6的等量關系.

b

圖1圖2

4.(23-24七年級下?安徽淮北?期中)［知識回顧］

有這樣一類題：

代數式辦->+6+3x-5y-1的值與x的取值無關,求。的值；

通常的解題方法；

把x,y看作字母，?？醋飨禂岛喜⑼愴?，因為代數式的值與x的取值無關，所以含x項的系數為0,即原

式=(a+3)x-6y+5,所以a+3=0,即a=-3.

A

b

a

―D

圖1圖2

［理解應用］

(1)若關于x的多項式(2機-3)x+2"?2-3加的值與x的取值無關，求m的值；

7

(2)已知3[(2x+l)(x-l)-x(l-3y)]+6(-x2+孫-1)的值與x無關,求y的值;

(3)(能力提升)如圖1,小長方形紙片的長為°、寬為6,有7張圖1中的紙片按照圖2方式不重疊地放在

大長方形N5CD內，大長方形中有兩個部分(圖中陰影部分)未被覆蓋，設右上角的面積為H，左下角的

面積為邑，當的長變化時，$2的值始終保持不變，求。與6的等量關系.

壓軸題型三多項式乘法中的規律性問題

例題：(23-24七年級下?廣東揭陽?階段練習)問題情境：數學活動課上，王老師出示了一個問題：

觀察下列各式：

+=x2-1；

+x+l^=x3-1；

+x2+x+l)=x4-1；

請根據你發現的規律完成下列各題：

⑴根據規律可得(X-+…+X+1)=;

(2)請你利用上面的結論解答下列小題：

①若卜一1)卜6+/+/+/+x?+x+l)=-2,求/必的值.

②計算驢+3%+…+3+1的值.(結果用幕表示)

鞏固訓練

1.(24-25八年級上?河南南陽?階段練習)已知

x^l,(l-x)(l+x)=l-x2,(l-x)(l+x+x2)=l-x3,(l—x)(l+x+x2+x3)=l-x4.

(1)根據以上式子計算：

①(1-2)x(1+2+22+23+24+25)；

②(x-D(/+X98+X97+...+X2+X+1).

(2)請你進行下面的探索：

①(a_b)(a+b)=；

8

②（Q-b）.+46+/）=

2.（24?25八年級上?四川內江?階段練習）我國古代數學的許多發現都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就

是一例、如圖，這個三角形的構造法則：兩腰上的數都是1,其余每個數均為其上方左右兩數之和，它給出

了（。+?〃（〃為正整數）的展開式（按〃的次數由大到小的順序排列）的系數規律、例如，在三角形中第

四行的四個數1,3,3,1,恰好對應著（。+6）3=〃3+3/6+3仍2+/展開式中的系數.

I

11

121（q+6）i=a+6

133]）2=cr+2ab+b2

（。+6）3=。3+3。％+3/+63

14641（a+b^a^^b+Ga^+^+b4

⑴根據上面的規律不難發現，（。+95的展開式共有項，請寫出它的展開式

（a+W=；

（2）（a+4的展開式共有項，系數和為；

（3）利用上面的規律計算:23-5x24+10x23-10x22+5x2-l;

（4）運用：若今天是星期二，經過a0°天后是星期.

壓軸題型四平方差公式在幾何圖形中的應用

例題：（2024八年級上?全國?專題練習）【探究】（1）如圖①，邊長為。的大正方形中有一個邊長為6的小正

方形，把圖①中的陰影部分拼成一個長方形（如圖②所示），通過觀察比較圖②與圖①中的陰影部分面積,

可以得到乘法公式：一（用含6的等式表示）；

圖①圖②

【應用】（2）請應用上述乘法公式解答下列各題：

①已知加2=16+4/,m+2n=4,則加-2〃的值為_；

9

②計算：20232-2024x2022.

【拓展】（3）計算：502-492+482-472+---+42-32+22-12.

鞏固訓練

1.（24-25八年級上?吉林長春?階段練習）綜合探究某數學興趣小組用“等面積法”分別構造了以下四種圖形

驗證“平方差公式”:

（1）【探究】以上四種方法中能夠驗證“平方差公式”的有（填序號）;

⑵【應用】利用“平方差公式”計算：2024。-2023x2025;

（3）【拓展】計算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）--（264+1）.

2.（24-25八年級上?全國?期末）從邊長為。的正方形剪掉一個邊長為6的正方形（如圖①），然后將剩余

部分拼成一個長方形（如圖②）.

圖①圖②

（1）上述操作能驗證的等式是一（請選擇正確的一個）.

A.a2-2ab+b2=[a-b^B.a2-b2=（a+Z＞）（a-/＞）

C./+Qb=Q（Q+b）

⑵若——9/=12,x+3y=4,求X—3y的值.

壓軸題型五完全平方公式在幾何圖形中的應用

10

例題：（24-25八年級上?四川宜賓?期末）圖1是一個長為46,寬為。的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分

成四塊小長方形,然后用這四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）.

⑴觀察圖2,請你寫出（.+6）2,（a-b）2,必之間的等量關系:

（2）若加一”=3,wn=8,求（加+〃）2的值為：

（3）若根2+巨■=7,求加+'的值為：

mm

鞏固訓練

1.（24-25八年級上?廣東汕頭?階段練習）把幾個圖形拼成一個新的圖形，通過圖形面積的計算，常?？梢?/p>

得到一些等式，這是研究數學問題的一種常用方法.我們在學習“從面積到乘法公式”時，曾用兩種不同的方

法計算同一個圖形的面積，探索了完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2（如圖1）.

拓展應用：根據（1）中的等量關系及課本所學的完全平方公式知識，解決如下問題：

7

（2）若x+y=4,xj="且x>y,求x-y的值；

（3）若（2025-加『+（加一2024『=7,求（2025-加）（加-2024）的值；

（4）如圖3,在中，/3?！?90。,。￡=8,點M在邊8c上，CM=3,在邊CE上取一點。，使

BM=EQ,分別以8C,C。為邊在ABCE外部作正方形/BCD和正方形COP。，連接8。，若△BC。的面積

等于m，設B”=MX>0）,求正方形NBCD和正方形尸。的面積和.

2.（24-25八年級上?湖北孝感?階段練習）將完全平方公式（。±2仍+尸進行適當的變形，可以解

11

決很多數學問題.

例如：若a-b=3,ab=l,求力十〃的值.

解：'''a—b=3,ab=\,

a2+b2=(a-6)一+2ab=32+2x1=11請根據上面的解題思路和方法，解決下列問題:

(1)若x+y=7,x2+y2=25,求硬的值.

(2)將邊長為x的正方形ABC。和邊長為夕的正方形CE尸G按如圖所示方式放置，其中點。在邊CE上，連

接NG,EG,若x+.v=10,孫=14,求陰影部分面積.

3.(24-25八年級上?廣東惠州?階段練習)拓廣探索：

若x滿足(9-x)(x-4)=4,求(9一同,+^-勺?的值.

解：設9一X=Q,x-4=b,

貝lj(9—x)(x_4)=Q6=4,a+b=(9—x)+(x—4)=5,

,?,(9-X)2+(X-4)2=a2+Z>2=(a+/?)2-2oZ)=52-2x4=17.

請仿照上面的方法求解問題：

⑴若x滿足(5-x)(x-2)=2,求(5一才+(尸2)2的值.

(2)已知正方形48CD的邊長為x,E、尸分別是N。、DC上的點，且4E=1,CF=3,長方形ENFD的面

積是48,分別以MR、。尸為邊作正方形，求陰影部分的面積.

壓軸題型六利用完全平方式求代數式的最值問題

例題：(23-24八年級上?四川眉山?期末)把完全平方公式(°±6)2=/±2仍+〃*0適當地變形，可解決很多

12

數學問題例如：若a+b=3,ab=\,求/+6?的值.

解：a+b-3,ab=l,

(a+b)2=9,2ab=2,

???a2+b2+lab=9,2ab=2,

得/+/=7.

根據上面的解題思路與方法，解答下列問題：

⑴若x+y=6,x2+/=20,求切的值；

(2)若2加+〃=3,mn=1,求2a一”的值.

(3)求代數式/-4°+/一66-15的最小值，并求出此時的6的值.

鞏固訓練

1.(23-24八年級上?福建泉州?期中)老師在講完乘法公式(“±6)2=/±2"+〃的多種運用后，要求同學

們運用所學知識解答：求代數式/+4尤+5的最小值？同學們經過交流、討論，最后總結出如下解答方法：

解：x2+4x+5=x2+4x+22-22+5=(x+2)2+l.

???(x+2)2>0,.-.(X+2)2+1>1.

當(x+2)=0時，(x+2『+l的值最小，最小值是1,:"+4》+5的最小值是1.

請你根據上述方法，解答下列各題：

(1)直接寫出：的最小值為；

⑵求出代數式V-10x+33的最小值；

(3)若-/+7x+y+12=0,求x+了的最小值.

2.(24-25九年級上?江蘇揚州?期中)利用我們學過的完全平方公式及不等式知識能解決代數式一些問題.觀

察下列式子：

(T)X2+4X+2=(X2+4X+4)-2=(X+2)2-2,

???(x+2)2>0；

+4x+2=(尤+2)~-220；

代數式V+4x+2有最小值-2；

@-X2+2^+3=-(X2-2X+1)+4=-(X-1)2+4,

13

v-(x-l)2<0；

一x2+2x+3——(x—1)~+4W4；

二代數式*+2x+3有最大值4；

閱讀上述材料并完成下列問題：

(1)代數式/-2a+3的最小值為;代數式-/-60+4的最大值為；

(2)求代數式/+6?+46-8a+13的最小值；

(3)如圖，在四邊形A8CZ)中，對角線/C、3。相交于點。，且NC/8。，若NC+5D=12,求四邊形48CZ)

面積的最大值.

壓軸題型七整式的運算中的新定義型問題

例題：(24-25七年級上?上海虹口?期中)定義：整式A乘以整式3,得到整式C,如果整式C的項數正好比

整式A的項數多1,那么我們稱整式B是整式A的“相鄰增項式”.

(1)如果/=x-2,8=2x+5,判斷B是否是A的“相鄰增項式”，并說明理由；

⑵已知/=x-3,3=X2+2"ZX+〃都是關于x的整式且加、"均為不等于0的有理數.

①填空：當”=1時，如果3是A的“相鄰增項式”，那么加的值為；

②設。=3(/+2),E=B-A-n,如果關于x的整式。中不含x的二次項，且整式E是整式。的“相鄰增項

式”，求”的值.

鞏固訓練

1.(23-24七年級下?安徽宿州?階段練習)閱讀材料：

在學習多項式乘以多項式時，我們知道(2x+5)(3x-6)的展開結果是一個多項式，并且最高次項為

2x-3x=6x2,常數項為5x(-6)=-30.那么一次項是多少呢？

要解決這個問題，就是要確定該一次項的系數.通過觀察，我們發現一次項系數就是：2x(-6)+3x5=3,

即一次項為3x.

14

參考材料中用到的方法，解決下列問題：

（1）求（3x-l）（5x-3）展開所得多項式中的一次項系數；

⑵已知（x2+x+l）（/-3x+a）展開所得多項式中不含x的二次項，求a的值.

2.（22-23七年級下?遼寧沈陽?階段練習）用