38第7章圓之垂徑切線圖

一、單選題

1.如圖，。。的半徑為2,點A為。。上一點，。。，弦3c于O,如果N3AC=60。，那么的長是（）

A.J3B."C.1

D.2

2

2.。。的直徑為26cm,AB、CD是。。的兩條弦，AB〃CD,AB=24cm,CD=10cm,則AB和CD之間

的距離為（）cm

A.7B.5C.7,17D.5,17

3.如圖，AB是。。的直徑，。是圓心，弦CZJLAB于E,AB=1Q,CD=8,則的長為（）

A.2B.3C.4D.5

4.如圖，已知半徑為2的。O與直線1相切于點A,點P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點，過點P作直線1

的垂線，垂足為C,PC與。0交于點D,連接PA、PB,設(shè)PC的長為x（2<x<4）,則PD?CD的最大值

是（）.

B

A.2B.3C.4D.6

5.如圖，已知A（—2,0）,3為反比例函數(shù)y=V的圖象上一點，以為直徑的圓的圓心C在V軸上，：.C

與y軸正半軸交于。（0,4）,則上的值為（）

A.4B.5C.6D.8

6.如圖，。的直徑A3垂直于弦。，垂足是點E,NC4O=22.5°,OC=8,則弦。的長為（）

A.872B.4」C.8百D.473

二、填空題

7.如圖，兩個同心圓，大圓的弦AB切小圓于點C,且AB=10,則圖中陰影部分面積為

8.如圖所示，拋物線y=6x+8與x軸交于A、B兩點，過點B的直線與拋物線交于點C（點C在尤

軸上方），過ABC三點的。M滿足NMBC=45。，則點C的坐標為.

9.如圖，圓柱形水管的截面半徑是加，陰影部分為有水部分，水面寬A3=1.6加，則水的最大深度是

_________m.

10.如圖所示，在（0中，AB為弦，OCLAB交AB于點D,且OD=OC,尸為。上任意一點，連接

PA,PB,若C。的半徑為1，則SMB的最大值為.

11.如圖，AB是圓。的直徑，CDLAB于點E,交圓。于點D,OFLAC于點F,BD=5,則

0F=.

12.已知PA、P5分別切.。于點AB,C為一）。上不同于48的一點，/尸=80。，則NACB的度數(shù)是

三、解答題

13.如圖，已知是。。的直徑，C,。是上的點，OCIIBD,交AZ）于點E,連結(jié)3C.

（1）求證：AE=ED；

（2）若AB=6,ZABC=30°,求圖中陰影部分的面積.

14.已知AB是。。的直徑，C是。。上的一點(不與點A,B重合)，過點C作AB的垂線交。。于點D,

垂足為E點.

(1)如圖1,當AE=4,BE=2時，求CD的長度；

(2)如圖2,連接AC,BD,點M為BD的中點.求證：MEXAC.

15.如圖，是一個圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，如果水面寬為8%,為。。的劣

弧，截面有水部分的最大深度為2加，求水管半徑.

16.如圖已知。。的半徑長為25,弦AB長為48,0C平分AB,求AC的長.

17.如圖，RtZVRC中，ZABC=90°,以為直徑作半圓交AC與點。，點E為的中點,

連結(jié)OE.

(1)求證：。石是半圓的切線；

(2)若4AC=30°,DE=2,求AZ)的長.

18.《九章算術(shù)》中記載了這樣一道題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一

尺，問徑幾何？”用現(xiàn)代的語言表述為：“如果為。。的直徑，弦8，/由于石，AE=1寸，CD=10

寸，那么直徑A3的長為多少寸？”請你補全示意圖，并求出A6的長.

19.如圖，AB、C。是。。中兩條互相垂直的弦，垂足為點E,且AE=CE,點尸是BC的中點，延長FE

交于點G,已知AE=1,BE=3,OE=也.

D

(1)求證：△AED咨ACEB；

(2)求證：FG±AD；

(3)若一條直線/到圓心。的距離〃=石，試判斷直線/是否是圓。的切線，并說明理由.

20.如圖，AB是的直徑，點C,點。在上，AC=CD-AD與3c相交于點E,AF與。相

切于點4與延長線相交于點?

(1)求證：AE=AF.

3

⑵若EF=12,sinZABF=-,求。的半徑.

21.如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于。O,CF與。。相切于點C,交AB延長線于點F.

(1)若AE=DC,ZE=ZBCD,求證：DE=BC；

(2)若0B=4,AB=BD=DA,ZF=45°,求CF的長.

22.如圖，AB為。。的直徑，R為弦AC的中點，連接O尸并延長，交弧AC于點。，過點。作。。的

切線，交的延長線于點E.

E

(1)求證：AC〃DE；

(2)連接A。、CD、0C.填空

①當NQ4C的度數(shù)為時，四邊形AOCD為菱形；

②當Q4=AE=2時，四邊形ACDE的面積為.

23.如圖，：)。中，A3是：。的直徑，G為弦AE的中點，連接0G并延長交。。于點。，連接交AE

于點尸，延長AE至點C,使得尸C=BC,連接BC.

(1)求證：3c是:。的切線；

3

(2)。的半徑為5,tanA=—,求FD的長.

4

24.如圖，A8為。。的直徑，點C在。。上，A。與過點C的切線互相垂直,垂足為D連接3c并延長,

交AO的延長線于點E.

(1)求證：AE=AB；

(2)若AB=10,BC=6,求CD的長.

25.如圖，AB是。的直徑，點C是弧AF的中點.

(1)如圖1,求證：AH=FH；

(2)如圖2,若于點。，交A尸于點E，求證：AE=CE；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接3C交AF于T,連接OT,CRIIAB交AF千S、交?。于點R,

已知NOTB=45°,TH=\,求CR的長.

26.如圖，A3是。。的直徑，點C是。上一點，AD和過點。的切線互相垂直，垂足為點。，直線。C

與A3的延長線相交于點尸.弦CE平分NACB,交直徑AB于點/，連接5E.

(1)求證：AC平分NDW；

(2)探究線段PC,尸尸之間的大小關(guān)系，并加以證明;

3

(3)若tan/PCB=w,BE=5近，求PR的長.

38第7章圓之垂徑切線圖

一、單選題

1.如圖，。。的半徑為2,點/為。。上一點，ODL勃BC千D,如果/為C=60°,那么辦的長是（）

A.6B.日

C.1D.2

【答案】C

【分析】由于N物C=60°,根據(jù)圓周角定理可求N80C=12O。，又必，皮；根據(jù)垂徑定理可知N仇切=60°,

在必中，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出必.

【詳解】解：???切，弦比；

：.ZBDO=<dO°,

?:/BOD=/BAC=6。。,

1

：?OD=-OB=3

2

故答案選：C.

【點評】本題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、特殊角的三角函數(shù)計算.

2.。。的直徑為26cln,AB、CD是。。的兩條弦，AB〃CD,AB=24cm,CD=10cm,則AB和CD之間的距離為

)cm

A.7B.5C.7,17D.5,17

【答案】C

【分析】作OELAB于E,交CD于F,連結(jié)OA、0C,如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)得OF,CD,再利用垂徑定理

得到AE=-AB=12,CF=—CD=5,接著根據(jù)勾股定理，在Rt△OAE中計算出0E=5,在RtaOCR中計算

22

出0F=12,然后分類討論:當圓心。在AB與CD之間時,EF=OF+OE；當圓心0不在AB與CD之間時,EF=OF-OE.從

而可得答案.

【詳解】解：作0ELAB于E,交CD于F,連結(jié)OA、0C,

由。0的直徑為26cm,則。0的半徑為13cm,

如圖，??，AB〃CD,

A0FXCD,

AAE=BE=-AB=12,

2

1

CF二DF二一CD=5,

2

在RtZkOA后中，?.?0A=13,AE=12,

??-0E=7OA2-AE2=5,

在Rtaoc戶中，：0C=13,CF=5,

?■-0F=VOC2-CF2=12,

當圓心0在AB與CD之間時，

EF=0F+0E=12+5=17；

當圓心0不在AB與CD之間時，

EF=0F-0E=12-5=7；

即AB和CD之間的距離為7cm或17cm.

故選：c.

【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了勾股定

理.學會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，也是。。的直徑，。是圓心，弦切于￡,/后10,CD=8,則必的長為（)

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】先根據(jù)垂徑定理得出CE的長，再根據(jù)勾股定理求出0E即可.

【詳解】連接0C.

?.?直徑AB=10,

.?.OC=5.

VCD±AB,AB為直徑，

.?.CD=2CE=8,Z0EC=90°,

；.CE=4,

由勾股定理得：0E=,52—42=3.

故選：B.

【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理，利用垂徑定理求出CE的長是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，已知半徑為2的。。與直線1相切于點A,點P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點，過點P作直線1的

垂線，垂足為C,PC與。0交于點D,連接PA、PB,設(shè)PC的長為x(2<x<4),則PD?CD的最大值是().

A.2B.3C.4D.6

【答案】A

【分析】過點。向BC作垂線OH,垂足為H,由垂徑定理得到H為PD的中點，設(shè)PC=x,根據(jù)CD=PC-PD,進

而求出PD?CD,整理后得到關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出所求式子的最大值及此時x

的取值.

【詳解】過點。向BC作垂線0H,垂足為H,

；PD是。0的弦,OHXPD,

.\PH=HD.

NCH0=NHCA=N0AC=90°，

，四邊形OACH為矩形,

；.CH=OA=2,

VPC=x,

.\PH=HD=PC-CH=x-2,

CD=PC-PD=x-2(x-2)=4-x,

；.PD?CD=2(x-2)(4-x)=-2X2+12X-16=-2(X-3)2+2,

V2<x<4,

.?.當x=3時，PD-CD的值最大，最大值是2,

故選：A.

【點評】本題主要考查了垂徑定理、矩形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，作0HLBC,利用垂徑定理求解

是解答的關(guān)鍵.

5.如圖，已知A(—2,0),3為反比例函數(shù)y=與的圖象上一點，以A3為直徑的圓的圓心C在V軸上，iC

與y軸正半軸交于Q(o,4),則上的值為()

A.4B.5C.6D.8

【答案】C

【分析】過B點作BH，x軸于H點，由AB為直徑，推出H在圓上，再由垂徑定理求出0H的長，再在△COH

中由勾股定理求出圓的半徑，進而求出CO,最后再求出BH,求得上的值.

【詳解】解：過B點作BHJ_x軸于H點，連接CH,如下圖所示：

：AB為圓的直徑，且/AHB=90°

由直徑所對的圓周角為90°知：

H必在圓C上.

又AHLy軸，由垂徑定理知：0A=0H=2.

設(shè)圓的半徑CD=CH=r,則C0=D0-CD=4-r

在RtZXCOH中，由勾股定理有：CH2=CO~+OH2

：.r2=(4-r)2+22,解得r

3

ACO=4-r=~

2

又。為AH的中點

ACO^AABH的中位線

.\BH=2C0=3

，B點坐標為⑵3）,故左=6.

故答案為：C.

【點評】本題考查了垂徑定理、圓周角定理及其推論、中位線定理、反比例函數(shù)解析式的求法，屬于綜合

題，熟練掌握圓周角定理及推論是解決此題的關(guān)鍵.

6.如圖，。的直徑A3垂直于弦C。，垂足是點E，NC4O=22.5°,OC=8,則弦CD的長為（）

A.872B.4應(yīng)C.8石D.4月

【答案】A

【分析】先根據(jù)垂徑定理得到CE=DE,再根據(jù)圓周角定理得到/B0C=2/A=45°,則^OCE為等腰直角三角

形，所以CE=曰OC=40,從而得到CD的長.

【詳解】解：VCDXAB,

/.CE-DE,

VZB0C=2ZA=2X22.5°=45°,

.,.△OCE為等腰直角三角形，

二CE=sin45°X0C=^X8=472.

；.CD=2CE=80.

故選：A.

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

圓心角的一半.也考查了垂徑定理，以及銳角三角函數(shù)的知識.

二、填空題

7.如圖，兩個同心圓，大圓的弦AB切小圓于點C,且AB=10,則圖中陰影部分面積為.

O

【答案】25〃

【分析】如圖(見解析)，先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得再根據(jù)垂徑定理可得AC=5,然后利

用勾股定理可得。A?=25,最后根據(jù)陰影部分面積等于大圓面積減去小圓面積即可得.

【詳解】如圖，連接OA、0C,

由圓的切線的性質(zhì)得：OC1AB,

由垂徑定理得：AC=-AB=-xlO=5,

22

在R/AA0C中，OA2-OC2=AC2=52=25;

則圖中陰影部分面積為TZ-(9A2-^OC2=7Z-(OA2-OC2)=25萬，

故答案為：25乃.

【點評】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、垂徑定理等知識點，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵.

8.如圖所示，拋物線y=f—6x+8與x軸交于A、B兩點，過點B的直線與拋物線交于點C（點C在x軸

上方），過ABC三點的。M滿足/MBC=45°,則點C的坐標為.

【答案】（5,3）

【分析】作"軸，C￡d_x軸，MF1.CE,垂足分別為D、E、F,連接DF,求出CF=BD=1,

DM=MF=FE=X—3,求出CE=X-2,再由點C在拋物線上，設(shè)C（尤,V—6x+8）,可得方程

%—2=x2—6x+8＞求解方程即可.

【詳解】作軸，CEJ,九軸，MF1CE,垂足分別為D、E、F,連接DF,貝i]NDMR=90°

"中，CM=BM,NMFC=ZMDB=9。。,

ZMBC=45°

:.ZBMC=90°

ZDMF=90°

:.ZBMD=ZCMF

設(shè)點C的坐標為(x,無2—6X+8)

對于丁=/一6》+8,令y=0,則%2一6%+8=0，

解得，X]=2,々=4

,-.A(2,0),B(4,0)

,-.AB=4-2=2

VMD±AB,

；.BD=1

.-.CF=BD=1

;.DM=MF=x—3

.1.EF=DM=x—3,

CE=CF+EF=x-2,

x—2=—6x+8，

解得，苞=2(舍去)，》?=5,

.1.x—2=5—2=3

C(5,3)

故答案為(5,3).

【點評】此題主要考查了圓的基本性質(zhì)和拋物線上點的坐標特征，熟練掌握拋物線的圖象與性質(zhì)是解答本

題的關(guān)鍵.

9.如圖，圓柱形水管的截面半徑是1〃?，陰影部分為有水部分，水面寬A3=L6m,則水的最大深度是

_________m.

【答案】1.6

【分析】如圖(見解析)，先根據(jù)圓的性質(zhì)得出水的最大深度為CD的長，再根據(jù)垂徑定理、勾股定理求出

0C的長，由此即可得.

【詳解】如圖，設(shè)圓心為點0,過點。作于點C,延長C0交圓0于點D,連接0A

由圓的性質(zhì)可知，圓的半徑為。4=OD=17",水的最大深度為CD的長

由垂徑定理得：AC--AB=0.8m

2

在R/VAO。中，OC=A/OA2-AC2=#-0.82=0.6(m)

則CD=OC+OD=0.6+1=1.6(m)

即水的最大深度是1.6機

故答案為：1.6.

【點評】本題考查了圓的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識點，理解題意，正確找出水的最大深度為CD的

長是解題關(guān)鍵.

10.如圖所示，在；。中，AB為弦，交AB于點D,且8=OC,尸為。上任意一點，連接PA,

PB,若。的半徑為1,則SPAB的最大值為.

【答案】w

【分析】如圖（見解析），先根據(jù)垂徑定理求出AB的長，再根據(jù)圓的性質(zhì)得出AB邊上高的最大值，然后利

用三角形的面積公式即可得.

【詳解】如圖，連接0A

0的半徑為1

OD=DC

:.OD=DC=-OC=-

22

OC±AB,0C為圓的半徑

:.AB^2AD

在中,AD=V<9A2-AD2=—

2

...AB=2x是=6

2

要使取得最大值，則AB邊上的高需最大，即點P到AB的距離需最大

13

由圓的性質(zhì)可知，當點P,。,。共線時，點P到AB的距離最大，最大值為OP+OD=1+—=—

22

則SMB=；XGX|=￥

故答案為：述

4

【點評】本題考查了垂徑定理、勾股定理等知識點，利用圓的性質(zhì)得出AB邊上的高的最大值是解題關(guān)鍵.

11.如圖，AB是圓。的直徑，CDLAB于點E,交圓。于點D,OF_LAC于點F,BD=5,貝U

OF=.

【答案】-

2

【分析】利用垂徑定理可得3c=50,推出BD=BC,再根據(jù)三角形的中位線定理可得BC=20F,即可解決問

題.

【詳解】,??直徑AB，弦CD,

???BC=BD，

???BD=BC=5,

VOFXAC,

.\AF=FC,

VOA=OB,

???OF是三角形ABC的中位線,

?9?2OF——BC——,

22

故答案為：

2

【點評】本題考查垂徑定理、三角形中位線定理等知識，熟知垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所

對的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵.

12.已知。A、/>3分別切。于點A3,C為。。上不同于A3的一點，/尸=80。，則NACB的度數(shù)是

【答案】50°或130°

【分析】連接0A、0B,先確定NAOB,再分就點C在上和A3C上分別求解即可.

【詳解】解：如圖，連接0A、0B,

VPA,PB分別切于A、B兩點,

.\ZPA0=ZPB0=90°

AZA0B=360°-90°-90°-80°=100°,

當點G在ABC上時，貝i|NACB=gNA0B=50°

當點G在ABB上時，貝iJ/AGB+/AGB=180°,即./ACB=130°.

故答案為50°或130°.

【點評】本題主要考查了圓的切線性質(zhì)和圓周角定理，根據(jù)已知條件確定NA0B和分類討論思想是解答本題

的關(guān)鍵.

13.如圖，已知是。。的直徑，C,〃是:)。上的點，OCHBD,交AD于點￡,連結(jié)3C.

(1)求證：AE=ED；

(2)若AB=6,ZABC=30°,求圖中陰影部分的面積.

【答案】⑴見解析；⑵3萬-9土百

4

【分析】⑴根據(jù)圓周角定理得到/ADB=90°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/AE0=/ADB=90°,即0CLAD,于

是得到結(jié)論；

(2)連接CD,0D,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/0CB=/0BC=30°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/0CB=/CBD=30°,

求得/A0D=120。，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：：AB是。。的直徑，

.?.ZADB=90°,

VOC^BD,

AZAE0=ZADB=90°,即OC_LAD,

又?.?OC為半徑，

AAE=ED；

(2)解：連接CD,OD,

VOC=OB,

AZ0CB=Z0BC=30°，

：.ZA0C=Z0CB+Z0BC=60°,

VOC^BD,

AZ0CB=ZCBD=30°,

AZC0D=2ZCBD=60°,ZABD=60°,

AZA0D=120°,

TAB=6,

BD=3,AD=3退,

V0A=0B,AE=ED,

13

??OE——BD——,

22

2

.ar_120^-X31.r-3_Q973

360224

【點評】本題考查扇形的面積公式，垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的

關(guān)鍵.

14.已知AB是。。的直徑，C是。。上的一點（不與點A,B重合），過點C作AB的垂線交。0于點D,垂足

為E點.

（1）如圖1,當AE=4,BE=2時,求CD的長度；

（2）如圖2,連接AC,BD,點M為BD的中點.求證：ME±AC.

【答案】（1）4&；（2）見解析

【分析】（1）先求出半徑，然后利用勾股定理求出CE的長度，最后利用垂徑定理即可求出CD的長度;

（2）延長ME與AC交于點N,先利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出/CEN=/DEM=/D,

然后利用/B=/C,NB+ND=90°得出NC+NCE7V=9O°,則/CNE=90°,則結(jié)論可證.

【詳解】解：（1）如圖1,連接0C.

,/AE=4,BE=2,

.\AB=6,

ACO=A0=3,

AOE=AE-AO=1,

VCD±AB,

；?CE=yloC2-OE2=V32-I2=2>/2

：AB是。0的直徑，CD±AB,

.\CE=DE,

CD=2CE=4^/2.

(2)證明：如圖2,延長ME與AC交于點N.

VCDXAB,

AZBED=90°.

???M為BD中點，

1

AEM二一BD二DM,

2

???NDEM=ND,

NCEN=NDEM=ND.

VZB=ZC,ZB+ZZ)=90°

:.ZC+ZCEN=90°

：.ZCNE=90°,

即ME±AB.

【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，掌握等腰

三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，是一個圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，如果水面36寬為8偏4?為。。的劣弧,

截面有水部分的最大深度為2），求水管半徑.

【答案】5

【分析】過點。作0DJ_AB于點D,連接OA,根據(jù)垂徑定理得到AD=4cm,設(shè)0A=r,貝l]0D=r-2,利用勾股定

理得到CM?即/=（「—2）2+42,求值即可.

【詳解】如圖，過點0作0DLAB于點D,連接0A,

V0DXAB,

AD=—AB=—X8=4cm,

22

設(shè)0A=r,則0D=r—2,

在RtaAOD中，OA2=OD2+AD2,

即/=（l—2）2+42,

解得r=5cm.

【點評】此題考查圓的垂徑定理，勾股定理，再圓中，通常求圓的半徑，弦的一半及弦心距三者中的一個

量，都是利用垂徑定理及勾股定理解決.

16.如圖已知。0的半徑長為25,弦AB長為48,0C平分AB,求AC的長.

【答案】30

【分析】OC平分AB,根據(jù)圓的性質(zhì)得0HLAB,通過勾股定理計算得OH,從而得到HC,再通過勾股定理計

算即可得到AC.

【詳解】連接0A

VOCWAB,即H為AB的中點

.\0H±AB

在RtZ!\OAH中，OA=25,AH=24

根據(jù)勾股定理得：OH=y/o^-AH2=7

，HC=0C-0H=25-7=18

在Rt^AHC中，根據(jù)勾股定理得：

AC=yjAH2+HC2=A/242+182=30-

【點評】本題考查了圓和直角三角形勾股定理的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理和勾股定理的性質(zhì),

從而完成求解.

17.如圖，RtZVRC中，ZABC=9Q°,以AB為直徑作半圓0。交AC與點。，點E為5c的中點，

連結(jié)DE.

(1)求證：。石是半圓。。的切線；

(2)若4AC=30°,DE=2,求AD的長.

【答案】⑴見解析；(2)6.

【分析】(1)連接0D,OE,BD,證(SSS),得N0DE=NABC=90°；(2)證△口￡(：為等邊三角

形，得DC=DE=2.

【詳解】(1)證明：連接0D,0E,BD,

?；AB為圓0的直徑,

.,.ZADB=ZBDC=90°,

在Rt/XBDC中，E為斜邊BC的中點，

，DE=BE,

在和中，

OB=0D

<OE=OE,

BE=DE

AAOBE^AODE(SSS),

AZ0DE=ZABC=90°,

則DE為圓。的切線；

(2)在Rtz^ABC中,ZBAC=30°,

BC——AC,

2

,.?BC=2DE=4,

???AC=8,

又??,NC=60°,DE=CE,

???ADEC為等邊三角形，即DC=DE=2,

則AD=AC—DC=6.

【點評】考核知識點：切線的判定和性質(zhì).

18.《九章算術(shù)》中記載了這樣一道題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一

尺，問徑幾何？”用現(xiàn)代的語言表述為：“如果為。。的直徑，弦。0，M于石，AE=1寸，CD=10

寸，那么直徑的長為多少寸？”請你補全示意圖，并求出A3的長.

【答案】補圖見解析；AB=26.

【分析】連接0D,由直徑AB與弦CD垂直，根據(jù)垂徑定理得到E為CD的中點，由CD的長求出DE的長，設(shè)

OD=OA=x寸，則AB=2x寸，0E=(xT)寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半徑，即可得出直徑AB的長.

【詳解】解：如圖所示，連接0D.

?.?弦CDLAB,AB為圓。的直徑，

.?.E為CD的中點，

又：CD=10寸，

ACE=DE=—CD=5寸，

2

設(shè)OD=OA=x寸,則AB=2x寸，0E=(xT)寸,

由勾股定理得：0E，DE2=0D2,

即(x-1)2+52=X2,

解得：x=13,

.?.AB=26寸，

即直徑AB的長為26寸.

【點評】此題考查了垂徑定理，勾股定理；解答此類題常常利用垂徑定理由垂直得中點，進而由弦長的一

半，弦心距及圓的半徑構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題.

19.如圖，AB.繆是。。中兩條互相垂直的弦，垂足為點￡,且/￡=出點尸是理的中點，延長期交/〃

于點G,已知力￡=1,BE=3,0E=72-

(1)求證：XAE噲MCEB；

(2)求證：FGLAD-,

（3）若一條直線，到圓心。的距離占出，試判斷直線，是否是圓。的切線，并說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）直線，是圓。的切線，理由見解析

【分析】（1）由圓周角定理得/A=/C,由ASA得出△AEDgZXCEB；

（2）由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得EF=^BC=BF,由等腰三角形的性質(zhì)得/FEB=/B,由圓周角定

2

理和對頂角相等證出NA+NAEG=90°,進而得出結(jié)論；

（3）作OH_LAB于H,連接0B,由垂徑定理得出AH=BH=工AB=2,貝ljEH=AH7E=L由勾股定理求出OH

2

=L0B=百，由一條直線1到圓心0的距離（1=百=。。的半徑，即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：由圓周角定理得：AA=AC,

ZA=ZC

在△/旗和△面中，（AE=CE,:AAE蜂山CEB（ASA）；

ZAED=ZCEB

（2）證明：'JABLCD,:./AED=/CEB=9Q°,：.ZC+ZB=90°,

,點尸是優(yōu)的中點，：.EF=—BC=BF,:.NFEB=NB,

2

'：ZA=AC,ZAEG=ZFEB=ZB,：.Z^+ZAFG=ZZ5=90°,

：.ZAGF=9Q°,：.FG±AD；

（3）解：直線，是圓。的切線，理由如下：作OH1AB于H,連接力，如圖所示：

'：AE=\,BE=3,：.AB=AE+BE=4,

,/OHLAB,：.AH=BH=—AB=2,：.EH=AH-AE=\,

2

0H=sjoE1-EH-=7（V2）2-12=1，0B=y]BH2+OH2=^22+l2=小，

即。。的半徑為逃,

?.?一條直線，到圓心。的距離d=、后的半徑，，直線，是圓。的切線.

【點評】本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、垂徑定理、切線的判定、全等三角形的判定、直角三

角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識；本題綜合性強，熟練掌握圓周角定理和垂

徑定理是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，AB是：。的直徑，點G點〃在。。上，AC=CD>與3C相交于點￡,AF與（。相

切于點4與3c延長線相交于點尸.

（1）求證：AE=AF.

3

（2）若EF=12,sinZABF=-,求。的半徑.

【答案】（1）見解析；（2）

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到NACB=90°,根據(jù)切線性質(zhì)得到/BAF=90°,由AC=C。得出/CAD=

ZCDA,結(jié)合NCDA=/ABC,證明/CAF=/CAD,從而證明4ACF會Z\ACE,即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)EF求出CE,結(jié)合sin/ABF=sin/CAD求出AE,再利用勾股定理算出AC,最后根據(jù)sin/ABF=——

AB

求出AB即可得到半徑.

【詳解】解：(1)???AB為圓0直徑，

AZACB=90°,

???AF與圓。相切，

AZBAF=90°=NCAF+NCAB,

AZCBA+ZCAB=90°,

;AC=CD，

，AC=CD,

???NCAD=NCDA,

又TNCDA=NCBA,

AZCDA+ZCAB=ZCAD+ZCAB=90°,

???NCAF=NCAD,又AC=AC,ZACF=ZACE=90

AAACF^AACE(ASA),

.\AE=AF；

(2)YNABF=NADC=NCAD,

CF3

sinZABF=sinZCAD=——=—,

AE5

VAACF^AACE,EF=12,

.\CE=CF=6,

63

----,解得：AE=10,

AE5

?"?AC=7AE2-CE2=8-

.\sinZABF=——

AB-5

...圓0的半徑為

3

【點評】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正弦的定義，知識點較多，有

一定難度，解題時要注意多個知識點相結(jié)合.

21.如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于。0,CF與。。相切于點C,交AB延長線于點F.

(1)若AE=DC,ZE=ZBCD,求證：DE=BC；

(2)若0B=4,AB=BD=DA,ZF=45°,求CF的長.

【答案】(1)見解析；(2)CF=4+2行.

【分析】(1)由圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得出AE=DC，由圓周角定理得出/ADE=NDBC,證明4ADE

/△DBC,即可得出結(jié)論；

(2)連接C0并延長交AB于G,作0HLAB于H,則N0HG=N0HB=90°,由切線的性質(zhì)得出/FCG=90°,

得出△CFG、△0GH是等腰直角三角形，得出CF=CG,0G=720H,由等邊三角形的性質(zhì)得出/0BH=30°,

由直角三角形的性質(zhì)得出OH=g()B=l,OG=0,即可得出答案.

【詳解】(1)證明：：AE=DC,

AE^DC

???NADE=NDBC.

在4ADE和ADBC中，

/ADE=ZDBC

<ZE=ZBCD.

AE=DC

AAADE^ADBC(AAS).

ADE=BC；

(2)解：連接CO并延長交AB于G,作OH_LAB于H,如圖所示：則N0HG=N0HB=90°,

???CF與。。相切于點C,

???NFCG=90°.

VZF=45°,

???△CFG、AOGH是等腰直角三角形，

.\CF=CG,OG=75OH.

???AB=BD=DA,

AABD是等邊三角形，

???NADB=60°.

???NA0B=2NADB=120°

，

.\ZB0H=—2ZB0A=60°

.\Z0BH=30°

1

???0H=-0B=2.

2

???0G=2a.

，CF=CG=0C+0G=4+2夜.

【點評】本題主要考查了圓的綜合應(yīng)用，準確計算是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，AB為。。的直徑，R為弦AC的中點，連接Ob并延長，交弧AC于點。，過點。作。。的

切線，交B4的延長線于點E.

（1）求證：AC//DE；

（2）連接A。、CD、0C.填空

①當NOAC的度數(shù)為時，四邊形AOCD為菱形；

②當。4=A石=2時，四邊形ACDE的面積為.

【答案】（1）見解析；（2）①30°；②2百

【分析】（1）由垂徑定理以及切線的性質(zhì)可得FOLAC,OD±DE,可得AC〃DE；

（2）①當/0AC=30°時，四邊形A0CD是菱形，連接CD,AD,OC,由題意可證AADO是等邊三角形，由等

邊三角形的性質(zhì)可得DF=OF,AF=FC,且ACLOD,可得四邊形AOCD為菱形；

AQOFAF21

②由題意易證△AFOs^ODE,利用相似三角形的性質(zhì)可得一=—=—=——=-,即0D=20F,

OEODDE2+22

DE=2AF=AC,可證四邊形ACDE是平行四邊形，由勾股定理可求DE的長，即可求四邊形ACDE的面積.

【詳解】（1）為弦AC的中點,

.\AF=CF,且OF過圓心0,

；.FOJ_AC,

：DE是。0切線，

AODXDE,

；.DE〃AC；

(2)①當/0AC=30°時，四邊形AOCD是菱形,

理由如下：如圖，連接CD,AD,OC,

.\ZA0F=60°,

VA0=D0,ZA0F=60°,

*,.AADO是等邊三角形，

XVAFXDO,

.\DF=FO,且AF=CF,

，四邊形AOCD是平行四邊形,

又?；AO=CO,

二四邊形AOCD是菱形；

故答案為：30。；

②如圖，連接CD,

.,.△AFO^AODE,

.AOOF_AF_2_1

**OE-OD-DE-2+2-2?

A0D=20F,DE=2AF,

VAC=2AF,

???DE二AC,且DE〃AC,

???四邊形ACDE是平行四邊形，

VOA=AE=OD=2,

.?.OF=DF=1,OEM,

???在RSODE中，="2_22=2。

S四邊形ACDE=DE.DF=2若xl=2B

故答案為：2G.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，菱形的判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定

和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵.

23.如圖，一）。中，AB是.。的直徑，G為弦AE的中點，連接OG并延長交；.。于點。，連接BD交AE

于點延長AE至點C,使得FC=BC,連接3C.

（1）求證：BC是。的切線;

3

⑵一，。的半徑為5,tanA：,求陽的長.

【答案】（1）見解析（2）場

【分析】（1）由垂徑定理可知ODLAE,由于FC=BC,所以/CFB=/DFG=/CBF,由于/D+/DFG=90°,所以

Z0BD+ZCBF=90°,從而可知BC是。。的切線；

3

（2）連接AD,根據(jù)0A=5,tanA=—,得出0G=3,AG=4,易證△DAGs^FDG,所以DG?=AG-FG,從而可求

4

出FG的長度，利用勾股定理即可求出FD的長度.

【詳解】（1）,點G是AE的中點，

:.OD±AE

FC=BC

:.ZCBF=ZCFB

ZCFB=ZDFG

ZCBF=ZDFG

OB=OD

Z.ODB=ZOBD

ZODB+ZDFG=90°

:.ZOBD+ZCBF=90°

即ZABC=90°

Q03是:.。的半徑，

.?.3C是］。的切線

（2）連接AD

:.OG=3,AG-4

:.DG=OD-OG=2

QAB是。的直徑

:.ZADF=9Q°

ZDAG+ZADG=90°,ZADG+ZFDG=90°

:.ZDAG=ZFDG

:.ADAGAFDG

DGFG

,AG-DG

:.DG2=AGFG

.-.4=4FG,

:.FG=1

二由勾股定理可知：FD=yB

【點評】本題考查圓的綜合問題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，切線的判定

與性質(zhì)等知識，本題屬于中等題型.

24.如圖，4?為。。的直徑，點,在。。上，4）與過點，的切線互相垂直，垂足為〃連接8c并延長，交

4?的延長線于點反

（1）求證：AE=AB；

（2）若/戶10,BC=6,求G9的長.

24

【答案】（1）見解析；（2）CD-.

【分析】（1）連接OC,由同旁內(nèi)角互補得出AD〃0C,可得/0CB=/E,即可推出/ABE=/E,AE=AB.

⑵連接AC,由勾股定理求出AC,由△EDCs/^ECA得出相似比，求出CD即可.

（1）證明：連接OC

?.?切與。0相切于。點

：.OCLCD

又??,0_L/￡

OC//AE

???NOCB=NE

V0(=0S

???NABE=NOCB

???NABE=NE

:?*AB

(2)連接ZC

???46為。0的直徑

???NACB=90°

???AC=JU—6?=8

■;AB=AE,ACLBE

:?EOBO6

,/NDEC=NCEA,NEDC=ZECA

:.XEDCsgCA

.DCEC

，9~AC~~EA

變.AC」x8=%

EA105

【點評】本題考查圓與三角形的綜合性質(zhì)及相似的證明和性質(zhì),關(guān)鍵在于合理作出輔助線將已知條件轉(zhuǎn)換求

解.

25.如圖，AB是。的直徑，點。是弧AF的中點.

（1）如圖1，求證：AH=FH；

（2）如圖2,若COLAS于點。，交AF于點E,求證：AE=CE；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接3c交AF于T,連接OT,CR/IAB交AF千S、交；。于點R,

已知NO7B=45°,TH=1,求CR的長.

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）6

【分析】

（1）連接OF,根據(jù)等弧對等角得出ZAOC^ZFOC,再根據(jù)三線合一即可證明AH=FH.

（2）延長CD交C。于點M，連接AC,由弧長等量代換和等弧對等角，得出ZFAC=ZMCA,即可得AE=CE.

AC1

（3）連接EB,推出AT=AO,再連接AC,作。K_L3C,由AACE0ABKO推出tanN（z=—=—，再由

BC2

⑴中的信息求出BC,作RP，A3于點P,連接OR,證明RtACDO絲ARtARPO,由矩形性質(zhì)即可求出CR.

【詳解】

解：（1）連接