26第5章相似三角形之X型相似

一、單選題

1.如圖，△ABC中，NACB=90。，AB=12,點D,E分別是邊AB,BC的中點，CD與AE交于點O,

則OD的長是（）

A.1.5B.1.8C.2D.2.4

2.如圖，在△ABC中，A3=15cm,AC=12cm,AZ）是N5AC的外角平分線，OE〃回交AC的延長線于點

E,那么CE等于（）cm.

A.32B.24C.48D.64

3.如圖，在平行四邊形ABC。中,NA5C的平分線交AC于點E,交AO于點尸，交CD的延長線于點G,

BF

若AF=2FD,則——的值為（)

EG

1122

A.B.C.D.

2334

4.如圖，已知。。的內接AA3C中，AB+AC=12,于。，A￡>=3,直徑AE交3c邊于點G,

有下列四個結論：①AGEG=BGCG；②BE?=EGAE；③當A3=6時，。。的面積取得最大值

36萬；④三角形外接圓直徑等于它的任兩邊的積與第三邊上的高的比.其中正確結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.如圖，在正方形A3CD中，E,尸分別為3C,8的中點，連接AE,BF交于點G,將△3CF沿5尸

對折，得到尸尸，延長EP交班延長于點。，若？尸=1,則。5+豐A右的值為（）

7

A.1B.2C.3D.-

5

二、填空題

若黑=黑且AD=3‘則

6.已知^ABC中，AB=6,AC=9,D、E分別是直線AC和AB上的點,

BE=.

7.如圖，在RtZkACfi中，NACB=90°,AC=4,BC=3,點。為AC上一點，連接3D，E為AB

上一點，CELBD于點F,當AO=CD時，求CE的長.

8.如圖，在△ABC中，A￡）是3c邊上的中線，R是4。上的一點，且”：ED=1:5,連結C歹并延

長交AB于點E，則AE:E3等于（）.

9.如圖△ABC中，AB=AC=5,BC=8,G是4ABC的重心，GH±AB于H,則GH的長為

10.如圖R3ABC中，NBAC=90。，42=3,AC=4,點尸為BC上任意一點，連接B4,以B4,PC為鄰

邊作平行四邊形R1QC,連接尸。，則PQ的最小值為一.

三、解答題

11.如圖，是一個照相機成像的示意圖.

35mm

(1)如果像高MN是35mm,焦距是50mm,拍攝的景物高度AB是4.9m,拍攝點離景物有多遠？

(2)如果要完整的拍攝高度是2m的景物，拍攝點離景物有4m,像高不變，則相機的焦距應調整為多少？

12.如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸正半軸上，AC//X軸，點、B、C的橫坐標都是3,且5。=2,

點。在AC上，若反比例函數y=；(x>0)的圖象經過點A。，且A。BC=3：2.

(1)求點。坐標;

(2)將△AQD沿著8折疊，設頂點A的對稱點為A'，試判斷點A'是否恰好落在直線5。上，為什么.

S1

13.已知，如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,對角線AC與8D相交于點。.若黃也=—,SABOC=八試

、bACD3

求^AOD的面積.

14.如圖，△ABC是。。的內接三角形，為0。的切線，3為切點，P為線段AB上一點，過尸點作

3C的平行線，交直線于點E,交直線AC于求證：APPB=PEPF.

15.如圖，CD、BE是AABC的兩條高，連DE.

(1)求證：AEAC=ABAD；

DE

(2)若NR4c=120。，點M為3C的中點，求——的值.

DM

16.如圖，在四邊形A尸中，ZQAF=45°,ADLDQ,AQ與陽相交于。點，線段。4=3,DO=2,

<9F=|,OQ=g.試問：AQ與”之間有怎樣的數量關系？

17.如圖，矩形A3CD的對角線AC、6。相交于點。，過。點作OELAC交于E，連EC交OB于

M，若BC=4,AAOE的面積為5,求也的值.

MC

18.如圖，在等腰ZkABC中，AB=AC,分別過點3、C作兩腰的平行線，經過點A的直線與兩平行線

分別交于點。、E，連結。C、BE,DC與A6邊相交于點M，巫與AC邊相交于點N,求證：

AM=NC.（提示：關鍵是找出題中的“A”型與“X”型寫出比例線段進行等比線段的代換）

13

19.已知，拋物線y=-N-x+—與x軸分別交于A、B兩點（A點在8點的左側），交y軸于點足

-44

（1）A點坐標為;8點坐標為；尸點坐標為；

（2）如圖1,C為第一象限拋物線上一點，連接AC,BF交于點M,若BM=FM,在直線AC下方的拋物

線上是否存在點P,使SAACP=4,若存在，請求出點尸的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）如圖2,D、E是對稱軸右側第一象限拋物線上的兩點，直線A。、AE分別交y軸于M、N兩點，若

OM,ON=L求證：直線DE必經過一定點.

4

20.如圖1,A（-4,0）.正方形O8C￡）的頂點8在x軸的負半軸上，點C在第二象限.現將正方形

繞點。順時針旋轉角a得到正方形OEFG.

(1)如圖2,若a=60。，OE^OA,求直線跖的函數表達式.

(2)若a為銳角，tana=L，當AE取得最小值時，求正方形OEFG的面積.

3

(3)當正方形OEFG的頂點尸落在y軸上時，直線AE與直線PG相交于點P,AOE尸的其中兩邊之比能

否為0：1?若能，求點尸的坐標；若不能，試說明理由.

26第5章相似三角形之X型相似

一、單選題

1.如圖，△ABC中，/ACB=90。，AB=12,點D,E分別是邊AB,BC的中點，CD與AE交于點O,

則0D的長是（）

A.1.5B.1.8C.2D.2.4

【答案】C

【解析】根據直角三角形中斜邊的中線等于斜邊的一半，求得CD的長，根據中位線的性質，得到DE〃AC,

求得△AOC-EOD,根據三角形相似的性質求出0D和0C的關系，進而得出0D和CD的關系，然后即可

求解.

【解答】解：:△ABC為直角三角形，

D點為AB的中點，

/.CD=—AB=6

2

D和E點分別為AB,BC的中點，

；.DE〃AC,DE=-AC

2

...AAOC^AEOD,

OPDE_1

OC~AC~2'

:.OD=-CD=2

3

故選C.

【點睛】本題考查了中位線性質，相似三角形的判定和性質，解決本題的關鍵是熟練掌握中位線的性質,

能夠利用平行線判定兩三角形相似.

2.如圖，在△ABC中，AB=15cm,AC=12cm,是N8AC的外角平分線，。石〃交AC的延長線于點

E,那么CE等于（）cm.

A.32B.24C.48D.64

【答案】C

【解析】根據平行線的性質及相似三角形的判定與性質即可求解.

【解答】解：標出字母，如圖:

??,在AABC中，AD是NBAC的外角平分線,

AZEAD=ZMAD,

???DE〃AB交AC的延長線于點E,

AZEDA=ZMAD,ZBAC=ZCED,

???NEAD=NEDA,

???ED=EA,

???在三角形ABC與三角形CED中,

ZBAC=ZCED,ZBCA=ZECD,

AAABC^ACED,

.ABAC

??一,

DECE

*.*AB=15cm,AC=12cm,

設ED=15k,

ACE=12k,

???ED=15k=EA=EC+CA=12k+12,

A3k=12,

.*.k=4,

???CE=12k=48(cm),

故選：C.

【點睛】本題考查了平行線的性質及相似三角形的判定與性質，本題的解題關鍵是由三角形相似邊的比例

關系即可得出答案.

3.如圖，在平行四邊形ABCQ中,/ABC的平分線交AC于點E,交A。于點孔交CO的延長線于點G,

RF

若AF=2PD,則——的值為()

EG

G

A_____FZD

BC

1123

A.—B.-C.-D.一

2334

【答案】c

【解析】由AF=2Z)F,可以假設。F=鼠則AF=2歷AD=3k,證明A8=AF=2A,DF=DG=k,再利用平

行線分線段成比例定理即可解決問題.

【解答】解：由4尸=2。尸，可以假設。F=七則&尸=2左，AD=3k,

四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,AB//CD,AB=CD,

：.ZAFB=ZFBC=ZDFG,ZABF=ZG,

：BE平分/ABC,

/.ZABF^ZCBG,

：.NABF=NAFB=/DFG=/G,

：.AB=CD^2k,DF=DG=k,

：.CG=CD+DG=3k,

■:AB//DG,

：.AABEsACGE,

.BE_AB_2k_2

"EG-CG-3l-3；

故選：C.

【點睛】本題考查了比例的性質、相似三角形的判定及性質、等腰三角形的性質、角平分線的性質、平行

四邊形的性質、平行線分線段成比例定理，熟練掌握性質及定理是解題的關鍵.

4.如圖，已知。。的內接AA3C中，AB+AC^U,于。，AD=3,直徑AE交5C邊于點G,

有下列四個結論：①AGEG=BGCG；②BE?=EGAE；③當A3=6時，。。的面積取得最大值

36"；④三角形外接圓直徑等于它的任兩邊的積與第三邊上的高的比.其中正確結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】本題需根據三角形外接圓、相交弦定理、相似三角形的性質、圓周角定理、二次函數的性質去解

答.

【解答】由相交弦定理得①是正確的；

由條件并不能得出ABEG與AAEB相似，故②是錯誤的；

由條件可證AABE與AADC相似，從而可得AC,進而可得0。的半徑，

1

設AB=x,0。的半徑為V,則有y=--x9+2x,

故當A3=6時，。。的最大面積為36?,故③是正確的；

由=這一結論一般化，得④是正確的，

故選C.

【點睛】本題主要考查三角形外接圓、相交弦定理、相似三角形的性質、圓周角定理、二次函數的性質，

解題的關鍵是理解運用這些性質定理.

5.如圖，在正方形A3CD中，E,尸分別為5C,8的中點，連接AE,BF交于點G,將△3CR沿5尸

對折，得到延長EP交助延長于點Q,若則+的值為（）

35

Q'B

A.1B.2C.3

【答案】D

【解析】先根據折疊的性質得到△BCF會ZkBPF,RtAABM^RtABMP,在RtADMF中，MF2=FD2+DM2,

列式求出AM,再根據相似三角形求出AQ,得到BQ的長，再根據勾股定理求出AE的長，代入即可求解.

【解答】如圖，連接BM,

在正方形A3CD中，E,尸分別為5C,CD的中點，

???折疊，

.,.△BCF^ABPF

2

；.BC=BP,ZCBF=ZPBF,CF=PF=DF=j

41

；.AB=BP=-且BM=BM

5

RtAABM之RtABMP

在RtADMF中，MF2=FD2+DM2.

224

(-+AM)2=(-)2+(--AM)2

555

4

.?.AM=—,

15

448

51515

VDF//AQ

ADFM^AAQM

.DFDM

"AQ~AM

28

即5=與

AQ±

15

解得AQ=g

14

.\BQ=AQ+AB=-+y=l

：E點是AE的中點,

.2

??BE=—,

5

則AE=JAB?+BE?=|75

??斗咚|火」

J527

???QB+—AE=l+-=~

555

故選D.

【點睛】本題考查了折疊問題，正方形的性質，勾股定理及相似三角形的性質，靈活運用這些性質解決問

題是本題的關鍵.

二、填空題

ADAF

6.已知AABC中，AB=6,AC=9,D、E分別是直線AC和AB上的點，若——=—且AD=3,則

ACAB

BE=

【答案】4或8

【解析】通過比例式，可以確定AE的長度，點E是直線AB上的點，沒有限定E的位置，只限定AE的長

度，以點A為圓心，AE長為半徑的圓與直線AB的交點是點E位置，有兩個，要分類求即可.

【解答】如圖

..ADAE

?AB—6,AC=9,AD=3,.......-------

ACAB

AD.AB3x6

AAE=------------=——=2,

AC9

當E在AB上，

；.BE=AB-AE=6-2=4,

當E在AB延長線上,

BE=AB+AE=6+2=8,

則BE的長為4或8.

故答案為：4或8.

【點睛】本題考查比例式下的線段問題，用比例求出的線段只限定長度，要考慮線段的位置，要會分類計

算是解題關鍵.

7.如圖，在RtzXACfi中，NACB=90°,AC=4,BC=3,點。為AC上一點，連接3。，E為AB

上一點，CELBD于點F,當AO=CD時，求CE的長.

【答案】二姮

17

【解析】將RtzXACB補成矩形ACBH,延長CE交于點G,可得△3CDsZ\C4G,結合已知可求

AG=§、CG=￡姮，再由△AEGS/XBEC即可求出CE.

33

【解答】解：如解圖，補成矩形ACBH,延長CE交于點G,

VZACB=90°,CELBD,

/.ZACG+NBCG=90°,ZABD+ZBCG=90°,

；?ZACG^ZCBD,

：.ABCDs^CAG,

,CDCBBD

"AG-AC-CG'

23V13

AG4CG

AG=§CGZ

33

???設CE=x,則=—x，

3

又?.?在矩形ACBH中,AG!IBC,

：.AAEGsABEC,

4A/13

AGEGan3---------x

---=----,即3

BCCE立3

3x

解得.照

17

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，平行線分線段成比例，直角三角形的性

質，證明4G是本題的關鍵.

8.如圖，在ZVIBC中，A￡＞是3c邊上的中線，R是AO上的一點，且AF:ED=1:5,連結C尸并延

長交AB于點E，則AE:￡B等于（

【答案此

【解析】先過點D作GD〃EC交AB于G,由平行線分線段成比例可得BG=GE,再根據GD〃EC,得出

FGFG

=—,最后根據AE:EB=-^-:2EG,即可得出答案.

【解答】解：過點D作GD〃EC交AB于G,

：AD是BC邊上中線,

BG

——=1,即BG=GE,

~GEDC

又；GD〃EC,

AE_AF

EG~FD~3

5

AE:EB=——:2EG=1:10

5

【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，用到的知識點是平行線分線段成比例定理，關鍵是求

出AE、EB、EG之間的關系

9.如圖△ABC中，AB=AC=5,BC=8,G是△ABC的重心，GH_LAB于H,則GH的長為

Q

【答案】I

【解析】首先證明AEGF?AAG”,求得——=2,再證明AAGH~AEG/即可得到結論.

GE

【解答】連接AG并延長交3C于E,連接3G并延長交AC于F,連接EF,如圖,

A

?G點是重心，

.班；AE是AABC的中線，

.E,F分別是3C,AC邊的中點,

.麻是△ABC的中位線，

.EF//AB,EF=-AB,

2

△EGF?AAGB,

ABAGc

EFGE

,AB=AC,E為BC的中點

.\AE±BC

.-.ZAEB=9Q°

-.-GH±AB

:.ZGHA^90°

:.NGHA=ZAEB

又/HAG=/EAB

:.AAGH~AABE

AGGH

"AB~BE

?.-BC=8

:.BE=4

在RtAABE中，AB=5,BE=4,

AE=NAB?-BE?=A/52-42=3

AGc

----=2,

GE

AG2

??—9

AE3

AG=2AE=2

3

…AGBF2x48

CJH=---------=------=—.

AB55

Q

故答案為：—.

【點睛】本題考查了三角形重心，三角形重心的性質為重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：

1.也考查了相似三角形的判定與性質.

10.如圖R3A3C中，/BAC=90。，AB=3,AC=4,點尸為2C上任意一點，連接B4,以%,PC為鄰

邊作平行四邊形B4QC,連接尸。，則PQ的最小值為_.

【解析】利用勾股定理得到BC邊的長度，根據平行四邊形的性質，得知OP最短即為PQ最短，利用垂線

段最短得到點P的位置，再證明△C48s△CPO利用對應線段的比得到OP的長度，繼而得到PQ的長度.

【解答】'：ZBAC=90°,AB=3,AC=4,

.-.BC=7AC2+AB2=5-

四邊形APCQ是平行四邊形,

：.PO=QO,CO=AO,

PQ最短也就是PO最短，

...過。作BC的垂線OP',

VZACB=ZP'CO,ZCP'O=ZCAB=90°,

：./\CAB^/\CP'O,

.COOP'

??二,

BCAB

.2OP,

,?一=,

53

6

：.0P'=~,

5

12

???則PQ的最小值為20P=y,

5-,12

故答案為：y.

【點睛】考查線段的最小值問題，結合了平行四邊形性質和相似三角形求線段長度，本題的關鍵是利用垂

線段最短求解，學生要掌握轉換線段的方法才能解出本題.

三、解答題

11.如圖，是一個照相機成像的示意圖.

35mm

(1)如果像高MN是35mm,焦距是50mm,拍攝的景物高度AB是4.9m,拍攝點離景物有多遠?

(2)如果要完整的拍攝高度是2m的景物，拍攝點離景物有4m,像高不變，則相機的焦距應調整為多少？

【答案】(1)7m.

(2)70mm.

【解析】

試題分析：(1)利用相似三角形對應邊上的高等于相似比即可列出比例式求解.

(2)和(1)一樣，利用物體的高和拍攝點距離物體的距離及像高表示求相機的焦距即可.

MNLC

解：根據物體成像原理知：ALMNs^LBA,——=—

ABLD

(1):像高MN是35mm,焦距是50mm,拍攝的景物高度AB是4.9m,

3550.,口

---=----,斛得：LD=7.

4.9LD

二拍攝點距離景物7m.

(2)拍攝高度AB是2m的景物,拍攝點離景物LC=4m,像高MN不變，是35mm,

35LC-

——------------1解傳：LC=70.

24

.?.相機的焦距應調整為70mm.

12.如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸正半軸上，AC//X軸，點6、C的橫坐標都是3,且5。=2,

0)的圖象經過點A。，且A。8c=3:2.

(1)求點。坐標;

(2)將△AOD沿著OD折疊，設頂點A的對稱點為A',試判斷點A'是否恰好落在直線60上，為什么.

【答案】(1)。。,3)；(2)A不在直線5。上，理由見解析

【解析】(1)先根據AO：BC=3：2,BC=2得出OA的長，再根據點B、C的橫坐標都是3可知BC〃AO,

故可得出B點坐標，再根據點B在反比例函數y=8(x>0)的圖象上可求出k的值，由人(2〃*軸可設點

x

D(t,3)代入反比例函數的解析式即可得出t的值，進而得出D點坐標；

(2)過點A作EF〃OA交AC于E,交x軸于F,連接OA，，根據AC〃x軸可知/A，ED=NATO=90。，由

m3—〃

相似三角形的判定定理得出△DEA，S/\A，FO,設A，(m,n),可得出一=----，再根據勾股定理可得出

nm-1

m2+n2=9,兩式聯立可得出m、n的值，故可得出A，的坐標，用待定系數法求出經過點D(1,3),點B(3,

9

1)的直線函數關系式為y=-x+4,再把x=?代入即可得出結論.

【解答】⑴解：(1)VAO：BC=3：2,BC=2,

AOA=3,

???點B、C的橫坐標都是3,

ABC//AO,

???B(3,1),

???點B在反比例函數y=&(x>0)的圖象上，

X

k

1=—,解得k=3,

3

?「AC〃x軸，

???設點D(t,3),

/.3t=3,解得t=L

???D(1,3)；

(2)結論：點A，不在此反比例函數的圖象上.

理由：過點A作EF〃OA交AC于E,交x軸于F,連接O"(如圖所示),

?.?AC〃x軸,

JNA'ED=NA'FO=90。,

???ZOArD=90°,

???NA'DE=NOA'F,

AADEA^AATO,

設A'(m,n),

m3—n

nm—1

又在RtAATO中，m2+n2=9,

912912

m=—,n=—，BPAr(—,—),

55

設直線BD的解析式為y=kx+b,

??,點D(L3),點B(3,1)在y=kx+b,

k+b-3

3k+b=l'

k=-l

<b=4

y=-x+4,

.9291112

??當x=一時，y=------1-44=-W—

5555

.?.點A，不在直線BD±.

【點睛】本題考查的是反比例函數綜合題，涉及到勾股定理、相似三角形的判定與性質、反比例函數圖象

上點的坐標特點等知識，難度適中.

S1

13.已知，如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,對角線AC與2。相交于點。.若黃也=—,5。℃=九試

3AAe￡>3

求aAOD的面積.

H7

【答案】V

【解析】由題意可知三角形AOD和三角形DOC中AO和CO邊上的高相等，所以面積比等于對應邊AO,

CO的比值，進而求出AO：CO的值，又因為△AODS/XBOC,利用兩三角形相似，面積比等于相似比的

平方即可求出SAAOD：SABOC的值；從而求出△A。。的面積.

【解答】過點D作DELAC于E,

?-AO-DE1

則沁-------=-1

?AACD-AC-DE3

2

.AO1

,,一,

AC3

y.\'AO+OC=AC,

.AO1

?,9

OC2

9

：AD//BCf

：.心跡=（型）2=上，即黑也」

S&BOCOC4m4

/.SAAOD=—

4

14.如圖，△ABC是。。的內接三角形，為0。的切線，3為切點，P為線段AB上一點，過尸點作

3C的平行線，交直線于點E，交直線AC于R,求證：APPB=PEPF.

【答案】見解析

D4PF

【解析】欲證PA?PB=PE?PF即證——=——，觀察圖形可得：證明線段所在的兩個三角形△PAFV^PEB相

PEPB

似即可.再根據弦切角和平行線的性質證出對應角相等，利用相似三角形的判定證出APAFS^PEB,從而

使命題得證

【解答】證明：如圖

?「BT為切線，BA為弦,

:.ZABE=ZC,

又??，EF〃BC,

ZC=ZAFP,

JZABE=ZAFP.

?.?ZAPF=ZEPB,

，AAPF^AEPB,

.PAPF

"'~PE~~PB

.".PA?PB=PE?PF.

【點睛】本題給出圓內接三角形和圓的切線，求證線段的積相等.著重考查了弦切角定理、平行線的性質

和相似三角形的判定與性質等知識，屬于中檔題.

15.如圖，CD、BE是△ABC的兩條高，連DE.

(1)求證：AEAC=ABAD；

DE

（2）若44C=120°,點/為3c的中點，求——的值.

DM

【答案】（1）見解析;⑵1.

【解析】（1）由BE、CD是△ABC的高得NAEB=/ADC=90。，力口上/EAB=NDAC,根據相似三角形的判

定方法得到△AEBs^ADC,則AB：AC=AE：AD,利用比例性質即可得到結論；

（2）連結ME,由/BAC=120。得到/BAE=60。，則/EBA=30。，由點M為BC的中點，根據直角三角形

斜邊上的中線等于斜邊的一半得到MB=ME=MD=MC,于是可判斷點B、E、D、C在以M點為圓心，MD

為半徑的圓上，根據圓周角定理得/DME=2NEBD=60。，則可判斷△MED為等邊三角形，所以DE=DM.所

DF

以——的值為1

DM

【解答】（1）證明：

：BE、CD是△ABC的高，

ZAEB=ZADC=90°,

而/EAB=NDAC,

/.△AEB^AADC,

AAB：AC=AE：AD,

:?AE?AC=AB?AD；

(2)連結ME,如圖,

VZBAC=120°,

ZBAE=60°,

JZEBA=30°,

??,點M為BC的中點，

二?MB=ME二MD二MC,

???點B、E、D、C在以M點為圓心，MD為半徑的圓上,

JZDME=2ZEBD=2x30°=60°,

.,.△MED為等邊三角形，

???DE=DM.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質：有兩組對應角相等的兩個三角形相似；相似三角形對應邊

的比等于相等，都等于相似比.也考查了直角三角形斜邊上的中線性質以及圓周角定理.

16.如圖，在四邊形人尸。。中，ZQAF=45°,ADA.DQ,A。與田相交于。點，線段。4=3,DO=2,

OF弓OQ=g.試問：AQ與A尸之間有怎樣的數量關系？

【答案】AQ=y[2AF

55AOOFA

【解析】根據OA=3,DO=2,OF=3,OQ=§得到而=而，進一步證明AAORs△。。。，

因為ADLOQ,于是可得NOZM=45°,因此可證得△AODs△尸OQ.并推出尸。為等腰三角形,

因此AQ=在1/

【解答】解：如圖，???線段0A=3,DO=2,OF=),0Q=~,

23

.AOOF

''~DO~^Q'

又：ZAOF=NDOQ,

：.^AOFsADOQ,

：.ZODQ=ZFAO=45°.

而NADQ=90。，

Z(9ZM=45°.

AOFO

又?:——=——，ZAOD=ZFOQ,

DOQO

：.AAODsAFOQ.

：.ZAQF=ZODA=45°,

△A尸Q為等腰三角形，

AQ=CAF.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，熟練掌握相似三角形的性質定理

和判定定理是解題的關鍵.

17.如圖，矩形A3CD的對角線AC、60相交于點。，過。點作OELAC交A6于E,連EC交0B于

M,若3。=4,"。石的面積為5,求也的值.

MC

【答案】正

4

【解析】先由矩形的性質和勾股定理求得OA=2百，0E=下,然后證OEBC四點共圓得

NEOM=NECB,再證得VOEMsACW.最后由相似的性質求出絲金的值.

MC

【解答】如題圖，；。為矩形A3CD對角線的交點，

二。為AC的中點.

又?.?￡(?LC4,

,*?EC-AE，S^COE=5s~5,

SA/\Az,iiCE=-EACB=1Q,AE=5=EC.

在Rt^CfiE中根據勾股定理可知EB=3.

...在RtZXABC中。4=LAC=LL必百=26.

222

在RtAAOE中OE=VAE2-OA2=j52-(275)2=下■

又：EOJ_C4,NCBE=90。,

???OEBC四點共圓，

'.ZEOM=ZECB,

NOEMs&CBM.

.OM_OE_45

"CM_-V

【點睛】本題考查了矩形的性質、勾股定理以及相似三角形的判定和性質.此題難度適中，注意四點共圓

在本題中的應用.

18.如圖，在等腰八45。中，AB=AC,分別過點3、。作兩腰的平行線，經過點A的直線與兩平行線

分別交于點。、E，連結。C、BE,DC與AB邊相交于點巫與AC邊相交于點N,求證：

AM=NC.（提示：關鍵是找出題中的“A”型與“X”型寫出比例線段進行等比線段的代換）

【答案】見解析

【解析】首先延長DB、EC交于點P,由BD〃AC,AB〃EC,可得四邊形ABPC為平行四邊形，又由AB=AC,

即可證得：nABPC是菱形，可得AB=BP=PC=CA,又可證得：△EACs^EDP與△AMCs/\pcD,根據

相似三角形的對應邊成比例，則可證得：CN=AM.

【解答】證明：延長DB、EC交于點P,

、?

?.,BD〃AC,AB〃EC,

工四邊形ABPC為平行四邊形，

VAB=AC,

**?DABPC是菱形，

???AB=BP=PC=CA,

VBD/7AC,

AAEAC^AEDP,

ACEC

,~DP~~EP

“NCEC

同理：---二----

BPEP

,AC_NC

,~DP~~BP

四邊形ABPC是平行四邊形，

???NBAC=NP,

VAC/7DP,

AZACD=ZCDP,

AAAMC^APCD,

MACP

,~CA~~DP

VAC=CP,

.MA_NC

,~CA~~BP

VAC=BP,

???AM=CN.

【點睛】此題考查了平行四邊形，菱形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質.此題綜合性很強，注

意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用.

13

19.已知，拋物線y=-N-x+—與x軸分別交于A、8兩點（A點在8點的左側），交y軸于點足

44

(1)A點坐標為；8點坐標為；F點坐標為；

(2)如圖1,C為第一象限拋物線上一點，連接AC,BF交于點M,若在直線AC下方的拋物

線上是否存在點尸，使&ACP=4,若存在，請求出點尸的坐標，若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,D、E是對稱軸右側第一象限拋物線上的兩點，直線A。、AE分別交y軸于M、N兩點，若

OM?ON=二,求證：直線。E必經過一定點.

4

3

【答案】(1)(1,0),(3,0),(0,-)；(2)在直線AC下方的拋物線上不存在點P,使SAACP=4,見解

4

析；(3)見解析

【解析】(1)根據坐標軸上點的特點建立方程求解，即可得出結論；

(2)在直線AC下方軸尤上一點，使SAACH=4,求出點”坐標，再求出直線AC的解析式，進而得出點”

坐標，最后用過點”平行于直線AC的直線與拋物線解析式聯立求解，即可得出結論；

1,3

(3)聯立直線DE的解析式與拋物線解析式聯立，得出一好一(左+1)%+一一m=0,進而得出a+Q4+4左，

44

加尸3—4"，再由得出型=任，進而求出(。—3),同理可得ON=LS—3),

MOAO44

再根據OM-ON=L(a—3),S—3)=,，即可得出結論.

444

13

【解答】(1)針對于拋物線y=——0—九+―,

44

3

令1=0,則丁=一，

4

3

???F(0,-),

13

令y=0,則一爐0一元+—=0,

44

解得，冗=1或％=3,

A(1,O),8(3,0),

3

綜上所述：41,。），“。），2。,/；

3

(2)由⑴知，B(3,0),F(0,-),

4

:BM=FM,

嗚|），

???A(l,0),

33

.?.直線AC的解析式為：y=

44

33

y=—x——

44

聯立拋物線解析式得：《

123

y--X-x-\—

44

%2=6

石=1

解得：,或＜15，

%=0%;

。(6,9,

如圖1,設H是直線AC下方軸x上一點，A”=Q且SZ,AS=4,

=4,

24

32

解得：a=15

47

H(—,0),

15

過H作I//AC,

347

；?直線/的解析式為y=—三

聯立拋物線解析式，解得5必—35X+62=0,

A=49-49.6=-0.6<0,

即：在直線AC下方的拋物線上不存在點P,使S“CP=4;

(3)如圖2,過。，E分別作x軸的垂線，垂足分別為G,H,

設。(a,—々2—a+—),石(4b+—),直線DE的解析式為丁=日+機,

4444

13

聯立直線DE的解析式與拋物線解析式聯立，得一d9_(左+1)%+——=Q

44mf

a+b—A-+4k,cib—3—4-m,

???OG_Lx軸，

C.DG//OM,

???ADAG^AMAO,

.DG_AG

??訪一而‘

即;(a—l)(a—

OM—1

OM=-(?-3),同理可得ON=！S—3)

44

444

cib—3(。+b)+5:=0,

即3—4m—3(4+4左)+5=0,

m=-3k—l,

直線DE的解析式為y=kx—3k—}=k{x—3)—1,

直線。E必經過一定點(3,-1).

圖2

【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合應用，熟練掌握二次函數與一次函數的綜合應用，交點的求法,

待定系數法求函數解析式等方法式解決本題的關鍵.

20.如圖1,A(-4,0).正方形02C。的頂點B在x軸的負半軸上，點C在第二象限.現將正方形。

繞點。順時針旋轉角a得到正方形OEFG.

(1)如圖2,若a=60。，OE=OA,求直線所的函數表達式.

(2)若a為銳角，tana=l，當AE取得最小值時，求正方形OEEG的面積.

3

(3)當正方形。EFG的頂點月落在y軸上時，直線AE與直線FG相交于點P,AOE尸的其中兩邊之比能

否為后：1?若能，求點尸的坐標；若不能，試說明理由.

【答案】(l)y=/x+孚；(2)高;(3)4。￡尸的其中兩邊的比能為0：1,點尸的坐標是：P(0,4),

P(-4,12),P(-12,24),P(-4,0),P(-12,4).

【解析】(1)過點E作即，OA于點H,EF與y軸的交點為由已知條件證明△AEO為正三角形，求

出點E的坐標及OM的長度，再利用E、M的坐標即可求出解析式；

(2)無論正方形邊長為多少，繞點。旋轉角a后得到正方形OEFG的頂點E在射線。。上，當AE，。。

時，線段AE的長最小利用a為銳角，tana='及勾股定理求出邊長OE2,即可求出正方形的面積；

3

(3)分點F在y軸的正半軸上或負半軸上，且點P與點F或點A重合或不重合時，利用AOEP的兩邊之

比為J5：1分別求出點P的坐標.

【解