九年級數學中考三輪沖刺練習三角形壓軸題綜合訓練

2.如圖，在△ABC中，。是AC的中點，CE±AB,BD與CE交于點O,且下

列說法錯誤的是（）

A.BD的垂直平分線一定與A2相交于點E

B./BDC=3/ABD

C.當￡為AB中點時，△ABC是等邊三角形

D.當E為A8中點時，也也￡=三

SLABC4

3.如圖，ZVIBC是等腰直角三角形，ZABC=9Q°,AB=4,點。，E分別從

在AC,BC邊上運動，連結AE,BD交于點F,且始終滿足4。=?成，

ZEn~

則下列結論：?—=V2；②/。/茁=135°；③△ABB面積的最大值是

BD

4V2-4；④CT的最小值是2內-2魚.其中正確的是（）B

A.①③B.①②④C.②③④D.①②③④

A.-B.-C.—D.-

5555

二、填空題

6.如圖，在△ABC中，AEi,BEi分別是內角NC48,外角/C8。的三

C

等分線，且NEiB￡)=稱NCBD,在△ABE1中,AE2,A

8及分別是內角/E1AB,外角NELBD的三等分線，且NE2AD=：N乙

1ABD

EiAB,ZEiBD^^ZEiBD,?■-,以此規律作下去，若NC=M,貝U

NEn=度.

8.如圖，四邊形A8CD的兩條對角線AC,8。互相垂直，AC=4,BD=6,

貝ijAD+BC的最小值是.

9.如圖，DE平分等邊AABC的面積，折疊△BDE得到△"￡,AC

分別與。R跖相交于G,X兩點.若DG=m,EH=n,用含

n的式子表示GH的長是

10.如圖，是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它

是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的一個大正方形.設圖中AP=a,DF=

標q2

b,連接AE,BE,若AAOE與△3EH的面積相等，則=+涓=_______.

azbz

三、解答題

11.綜合與實踐

如圖1,在△ABC中，8。是NA8C的平分線，8。的延長線交外角/CAM的平分線于點

E.

【發現結論】

結論1：NAEB=ZACB；

結論2：當圖1中/ACB=90°時，如圖2所示，延長8C交AE于點F,過點E作AF

的垂線交BF于點G,交AC的延長線于點H.則AE與EG的數量關系是.

【應用結論】

(1)求證：AH=GF；

(2)在圖2中連接F”,AG,延長AG交口/于點N,補全圖形，求證：FN=NH+V2AE.

圖1圖2

1

12.已知△ABC是等腰三角形，AB^AC,ZMAN=^ZBAC,/AMN在/BAC的內部，點

M、N在BC上，點M在點N的左側，探究線段BM、NC、MV之間的數量關系.

(1)如圖①，當NR4C=90°時，探究如下：

由/3AC=90°,AB=AC可知，將AACN繞點A順時針旋轉90°,得至!)△A3P,貝UCN

=BP且/P8M=90°,連接PM,易證可得MP=MN,在RtAPBM

中，BM1+BP2=MP-,則有8序+NC2=A/N2.

(2)當/BAC=60°時，如圖②：當NBAC=120°時，如圖③，分別寫出線段BM、NC、

MN之間的數量關系，并選擇圖②或圖③進行證明.

5/M~K

13.探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探究.

401

在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=BC,。是48邊上一點，且一=一(〃為正整數)，E

BDn

是AC邊上的動點，過點D作DE的垂線交直線BC于點F.

【初步感知】

(1)如圖1,當〃=1時，興趣小組探究得出結論：AE+BF=~-\B,請寫出證明過程.

【深入探究】

(2)①如圖2,當〃=2,且點/在線段8c上時，試探究線段AE,BF,之間的數量

關系，請寫出結論并證明；

②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段AE,BF,A8之間數量關系的一般結論(直接

寫出結論，不必證明).

【拓展運用】

(3)如圖3,連接EE設防的中點為若AB=2近,求點E從點A運動到點C的

14.如圖，在等邊三角形ABC中，點M為AB邊上任意一點，延長BC至點M使CN=AM,

連接MN交AC于點尸，M/_LAC于點

(1)求證：MP=NP；

(2)若求線段PH的長(結果用含。的代數式表示).

15.如圖，已知矩形ABC。中，A8=8,BC=x(0<x<8),將△ACS沿AC對折至I「△ACE

的位置，AE和a)交于點?

(1)求證：ACEF^AADF：

(2)求tan/D4F的值(用含x的式子表示).

參考答案

一、選擇題

題號12345

答案ADDBA

二、填空題

6.答案為：三小.

7.30°；1V3.

8.答案為：2g

9.答案為：Vm2+n2.

10.答案為：3.

三、解答題

11.【解答】【發現結論】解：結論1：??,5。是NABC的平分線,

???ZABC=2ZABEf

???AE是NC4M的平分線，

：.ZCAM=2ZEAM,

'：ZCAM=ZACB+ZABC,

：.2ZEAM=NAC3+2NA3E,

ZEAM=NAEB+/ABE,

：.2(NAEB+NABE)=ZACB+2ZABE,

1

???ZAEB=^^ACB,

，1

故答案為：二；

2

i

結論2：由結論1知，ZAEB=^BCB,

VZACB=90°,

1

ZAED=iZACB=45°,

*：EH±AFf

：.ZAEH=90°,

???ZAEB=ZBEG=45

?：NABE=NGBE,BE=BE,

:.AABE義AGBE(ASA),

：.AE=EG；

故答案為：AE=EG；

【應用結論】證明：(1)在RtZXAbC中，NEFG+NEAH=90°,

在RtZVkE”中，ZAHE+ZEAH=90°,

：?NEFG=/EHA,

在尸G和△MA中，

ZEFG=乙EHA

乙FEG=/-AEH,

EG=AE

：./\EFGAEHA(AAS)；

：.FG=HA；

(2)證明：補全圖形如圖所示，

圖2

在Rt2\AEG中，

9：ZEAG=ZEGA=45°,

：.AG=mAE,

ARtAEFG^RtAEHA(HL),

；?EF=EH,

9：ZFEH=90°,

：?NEFH=NEHF=45°,

:?/AFN=/FAN=45°,ZNGH=ZAGE=45°,

:?FN=AN,NNGH=/NHG=A5°,

:?GN=HN,

又?：AN=AG+GN,

：.FN=yj2AE+HN.

12.【解答】解：圖②的結論是BM2+NC2+BM.NC=MN2.

證明：'：AB^AC,ZBAC=60°,

/.△ABC是等邊三角形，

/.ZABC=ZACB=6Q°,

以點8為頂點在△ABC外作NABK=60°,在8K上截取8Q=CN,連接Q4、QM,過

點。作垂足為

:0HL8C,X,

A

HBMN\CB

/圖②'

"：AB=AC,ZC=ZABQ,CN=BQ,

:.AACN咨AABQ(SAS),

：.AN=AQ,ZCAN=ZQAB,

又：NCAN+N8AM=30°,

：.ZBAM+ZQAB^3Q°,

即ZQAM=/MAN,

又

/\AQM^AANM(SAS),

:.MN=QM；

'：ABQ=60°,ZABC=6Q°,

；.NQBH=60°,

：.ZBQH=30°,

：.BH=^BQ,QH=^-BQ,

：.HM=BM+BH=BM+^BQ,

在Rt/XQHM中，可得：QH2+HM2=QM2,即當BQ)2+(BM+^BQ)2=QM2,

整理得BM1+BQ1+BM'BQ=QM2.

：.BM2+NC2+BM'NC^MN2.

圖③的結論是：BM2+NC2-BM-NC=MN1.

證明：以點8為頂點在△ABC外作NA8K=30°,在BK上截取BQ=CN,連接

過點。作QHLBC,垂足為"

:.△ACNQXABQ(SAS),

：.AN=AQ,ZCAN=ZQAB,

又Y/CAN+/8AA/=60°,

AZBAM+ZQAB^60°,即/QAM=NM4N,

又

AAAQM^AANM(SAS),

：.MN=QM,

在RtZ^B。#中，/QBH=60°,/BQH=3Q°,

：.BH=^BQ,QH=^-BQ,

1

HM=BM-BH=BMQ,

在RtAQfflW中，可得：QH2+HM2=QM2,即(—BQ)2+(BM-^BQ)2^QM2,

2N

整理得BM2+BQ2-BM'BQ^QM2.

：.BM2+NC2-BM-NC=MN1.

13.【解答】(1)證明：連接CD,

圖1

VZC=90°,AC^BC,AD=DB,

：.AB=V2AC,ZA=ZB=ZACD=45°,AD=CD=BD,CD±ABf

VEDLFD,

：.ZEDF=ZCDB=90°,

；?NCDE=NBDF,

：./\CDE^/\BDF(ASA),

CE=BF,

：.AE+BF=AE+CE=AC=

(2)@AE+^BF=^AB,理由如下:

過點。作DNJ_A。于N,DH_LBC于H,

C

圖2

VZC=90°,AC=BC,

：.ZA=ZB=45°,

■:DN1AC,DH±BC,

：.△AON和△3。”是等腰直角三角形，

:.AN=DN,DH=BH,AD=V2ANfBD=y[2BH,ZA=ZB=45°=/ADN=/BDH,

：.叢ADNs叢BDH,

tADAN1

,?DB~DH~2

設AN=DN=x,BH=DH=2x,

.\AD=y/2x,BD=2y[2x,

.'.AB=3V2x,

?；DN1AC,DHLBC,NAC3=90°,

???四邊形OHCN是矩形，

AZNDH=90°=/EDF,

：.ZEDN=NFDH,

又.：/END=/FHD,

:.AEDNsAFDH,

.ENDN1

*'FH~DH~2f

:?FH=2NE,

：.AE+^BF^x+NE+1(2x-FH)=2x=當&

②如圖4,當點尸在射線8C上時，過點。作。ALLAC于MDH_LBC于H,

圖4

VZC=90°,AC=BC,

：.ZA=ZB=45°,

\'DN±AC,DH1BC,

...△AOV和△BOH是等腰直角三角形，

:.AN=DN,DH=BH,AD=V2AN,BD=&BH,ZA=ZB=45°=/ADN：NBDH,

：.AADNS￡\BDH,

,ADAN1

,?DB~DH~n

設AN=DN=x,BH=DH=nx,

.\AD=y[2x,BD=y/2nx,

.\AB=V2(n+1)x,

'：DN.LAC,DH±BC,ZACB=90°,

???四邊形O"CN是矩形，

:./NDH=90°=NEDF,

:?NEDN=/FDH,

又丁/END=NFHD,

:.AEDNsAEDH,

.ENDN1

?,FH~DH~n

：.FH=nNE,

.?.4￡+(2歹=尤-NE+：=2x=名48；

當點尸在CB的延長線上時，如圖5,

圖5

VZC=90°,AC=BC,

：.ZA=ZB=45°,

'：DN±AC,DHLBC,

.?.△AON和△BOX是等腰直角三角形，

：.AN=DN,DH=BH,AD=s/2AN,BD=y/2BH,ZA=ZB=45°=ZADN=ZBDH,

：.AADNsABDH,

#ADAN1

"DB~DH~n

設AN=DN=x,BH=DH=wc,

'.AD=V2x,BD=V2/ir,

'.AB=V2(n+1)x,

：DALLAC,DHA.BC,ZACB=90°,

，四邊形DHCN是矩形，

/.ZNDH=90°=ZEDF,

：.NEDN=ZFDH,

又,：Z.END=/FHD,

：.^EDN^/\FDH,

.ENDN1

"FH~DH~n

：.FH=nNE,

：.AE--BF^x+NE--QFH-nx)=2x=%AB；

nnn+1

綜上所述：當點尸在射線BC上時，AE+^-BF^^AB,當點尸在CB延長線上時，

nn+1

AE-n1BF=^/2lAB^

1

CM=DM=尹F,

???點M在線段CD的垂直平分線上運動，

如圖，當點E與點A重合時，點口在3。的延長線上,

當點E'與點。重合時，點F〃在CB的延長線上，

過點M作時氏_1尸。于R,

圖4

：.NTR//AC,

.MtRMiFi1FiR

**AC~AFt~2~FfC

：.NfR=l,FR=CR,

由圖2,設AN=DN=x,BH=DH=nx,

.\AD=y[2x,BD=y[2nx,

：.AB=V2(〃+l)x=2位,

,_2

,“一幣’

'：FD=BD=y[2nx,

FB=2nx,

CF=2nx-2,

由（2）可得：CD=7DN2+CN2=x71+濘,DF"=nDE"=wc-^l+n