專題09選擇中檔題四

1.(2023?西城區校級模擬)已知2023a=2035,2035)=2023,c=log20502023,貝U()

ccab

A.a<bB.c<cC.logac>logfccD.logca>logcb

【答案】B

【詳解】a=log20232035>log20232023=1,b=log20352023<log20352035=1.

因為6=---------------,c=----------，且log1=0<log?,2035<log。g2050，

2n2022339223

log20232035log20232050"°一儂

所以b>c>0,§P?>l>Z>>c>0.

由事函數的性質可知，ac>bc,故A錯誤；

由指數函數的性質可知，ca<cb,故3正確；

因為log〃c>log〃1=0,logac<loga1=0,所以log。cvlog/,故C錯誤；

由對數函數的性質可知，log-vlogc)，故Z)錯誤；

故選：B.

2.(2023?西城區校級模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知P是圓C:(x-3y+(y-4)2=l上的動點.若

A(-a,0),即/,0),"0,則|A5+而|的最大值為()

A.16B.12C.8D.6

【答案】B

【詳解】因為|西+而|=2|而|POU=|OC|+l=V32+42+1=6,

所以|麗+麗島=12.

故選：B.

3.(2023?西城區校級模擬)函數/■(x)=Asin(0x+e)(0>O),在區間［a,句上是增函數，且f(a)=-A,

f(b)=A,則函數g(x)=Acos(tox+0)在［a,切上()

A.單調遞增B.單調遞減C.最大值為AD.最小值為-A

【答案】C

【詳解】函數/(無)在區間［a,b］上是增函數，且/(a)=-A,f(b)=A,a?0,

jr-rr

則當，切時，a)x+(p^［--+lk7i,—+2k/r］(keZ).

而函數y=cosx在［-1+2版■,彳+2左萬］(左€2)上先增后減，

即函數g(x)=Acos(s+°)在［a,句上先增后減，有最大值A.

故選：C.

4.(2023?西城區校級模擬)明朝早期，鄭和七下西洋過程中，將中國古代天體測量方面所取得的成就創造

性地應用于航海，形成了一套先進航海技術--“過洋牽星術”.簡單地說，就是通過觀測不同季節、時辰

的日月星辰在天空運行的位置和測量星辰在海面以上的高度來判斷方位.其采用的主要工具是牽星板，由

12塊正方形木板組成，最小的一塊邊長約2厘米(稱一指)，木板的長度從小到大依次成等差數列，最大的

邊長約24厘米(稱十二指).觀測時，將木板立起，一手拿著木板，手臂伸直，眼睛到木板的距離大約為

72厘米，使牽星板與海平面垂直，讓板的下緣與海平面重合，上邊緣對著所觀測的星辰，依高低不同替換、

調整木板，當被測星辰落在木板上邊緣時所用的是幾指板，觀測的星辰離海平面的高度就是幾指，然后就

可以推算出船在海中的地理緯度.如圖所示，若在一次觀測中，所用的牽星板為六指板，貝han2a=()

星辰

牽星板/0

眼到牽星板的距離XI海平面

.空

A.UB.1CD.-

356373

【答案】A

【詳解】由題意知六指為2+5x竺工=12厘米，

12-1

ma121

所以tana=—=一,

726

2xl

所以tan2a=—^-=—.

1-tan-a,135

36

故選：A.

5.(2023?房山區二模)已知圓C的圓心在拋物線丁=4尤上,且此圓C過定點(1,0),則圓C與直線x+l=0

的位置關系為()

A.相切B.相交C.相離D.不能確定

【答案】A

【詳解】尸(L0)為拋物線焦點，圓心在拋物線上，由拋物線的定義，圓心到焦點的距離等于圓心到準線x=T

的距離,

即圓C與直線x+l=O相切,

故選：A.

6.（2023?房山區二模）一個高為滿缸水量為匕的魚缸的軸截面如圖所示，其底部破了一個小洞，滿

缸水從洞中流出.若魚缸水深為H時，魚缸里的水的體積為V,則函數丫=/（?）的大致圖象是（）

【答案】C

【詳解】魚缸水深為人時水的體積為n,.?.當/z=O時，v=%,;.A、8選項錯誤

根據魚缸形狀可知，隨著水深的減少，體積的變化速度是先快后慢再快,

C選項正確，。選項錯誤,

故選：C.

7.（2023?房山區二模）已知雙曲線。的方程為千-V=i,點尸，。分別在雙曲線的左支和右支上，則直

線尸。的斜率的取值范圍是（）

B.(-2,2)

D.(-00,-2)52，+0>)

【答案】A

【詳解】如圖,

雙曲線。:3f-丁=1的漸近線方程為尸±21尤，

要使直線PQ與雙曲線交左支于尸，交右支于。，

則直線尸。的斜率的取值范圍是（-；，1）.

故選：A.

8.（2023?房山區二模）已知函數/5）=＜2/+*一3％」則“知0”是“/（x）在R上單調遞減”的（

2ax2+x,x>\.

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

+辦一展％,1,在氏上單調遞減時,

【詳解】函數＜

lax2+x,x>1.

6,-4

應滿足＜a<0且----?1，解得<—，即-4；

C2+〃---3-..C2a+l1

2

所以“％0”是“/（%）在H上單調遞減”的必要不充分條件.

故選：B.

9.（2023?海淀區校級模擬）藥物在體內的轉運及轉化形成了藥物的體內過程，從而產生了藥物在不同器官、

組織、體液間的濃度隨時間變化的動態過程，根據這種動態變化過程建立兩者之間的函數關系，可以定量

反映藥物在體內的動態變化，為臨床制定和調整給藥方案提供理論依據，經研究表明，大部分注射藥物的

血藥濃度C⑺（單位：//近）隨時間/（單位：價的變化規律可近似表示為。⑺其中C。表示

第一次靜脈注射后人體內的初始血藥濃度，人表示該藥物在人體內的消除速率常數.已知某麻醉藥的消除速

率常數笈=0.5（單位：/L），某患者第一次靜脈注射該麻醉藥后即進人麻醉狀態，測得其血藥濃度為

4.5〃g/mL,當患者清醒時測得其血藥濃度為0.9〃g/mL,則該患者的麻醉時間約為（）（歷5?1.609）

A.3.5〃B.3.2/1C.2.2〃D.0.8〃

【答案】B

【詳解】由題意得，0.9=4.5e,

即產」，

5

則0.5?=ln5,

解得f=2加5^3.2.

故選：B.

10.（2023?海淀區校級模擬）等差數列｛4｝的前〃項和為S〃，出+4+%=12,則席=（）

A.32B.42C.52D.62

【答案】C

【詳解】\,等差數列｛%｝,%+q+4i=12,

3q+18d=12,「.4+6d=4,「.%=4,

..S、3~—52,

故選：C.

11.（2023?海淀區校級模擬）若非零向量萬，B滿足|苕|=3歷|,（22+3方），方，則4與坂的夾角為（）

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】C

【詳解】根據題意，設方與5的夾角為6,|5|=八則I源=3出|=3/,

若（2。+35）_15,則（24+3萬）啰=2無1+3應=6產cosd+3/=0,

即cosd=」，

2

又由噂股4,則6=二，

3

故選：C.

12.（2023?海淀區校級模擬）已知c,/3&R,則“0=/7+左萬，左eZ”是“sin2a=sin2/T'的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

［詳解】①當a=2+左萬，左￡Z時，則2。=2/+2k兀,keZ,

/.sin2a=sin（2萬+2ki）=sin24,/.充分性成立，

②當sin2a=sin2/時，馳？a=20+2k兀，keZ或2a+20=兀+2k兀,keZ,

、TC..

/.a-J3+k7r^a+/3=—+k7i,k^Z,必要性不成立，

故選：A.

13.（2023?海淀區校級模擬）設％wH,則“sin%=l"是"cosx=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】vsin2x+cos2x=l,

①當sin%=1時，則cosx=0,.,.充分性成立，

②當cosx=0時，則sinx=±l,.?.必要性不成立，

sin光=1是cosx=0的充分不必要條件，

故選：A.

14.（2023?海淀區校級模擬）直線/處+勿=0和圓C:Y+y2_2以_2b=0在同一坐標系的圖形只能是

【答案】A

2222

【詳解】???圓。的方程可化為：(x-a)+(y-b)=a+bf

二.圓心C(Q,Z?),r=yla2+Z?2>0,

又直線/的方程可化為：y=--x,

又4個選項的圓心C都在第三象限，

:.a<Q,b<0,--<0,二排除C,D選項；

b

又圓心C到直線的距離d=尸"=荷+我=r,

y/a2+b2

直線/與圓C相切，A選項正確，3選項錯誤.

故選：A.

15.(2023?海淀區校級模擬)已知S“為等差數列｛%｝的前w項和，滿足H=5,55=15,則數列停｝中(

)

A.有最大項，無最小項B.有最小項，無最大項

C.有最大項，有最小項D.無最大項，無最小項

【答案】C

【詳解】設等差數列｛an｝的公差為d,;q=S]=5,S5=5at+d=15,

解得d=-l,

cin=5+(〃-1)x(—1)—6—TI9

設。=2=j,則人=胃，

n2〃2"n+l2"+i

b7_b7--5-—--n---6-—--n-.5.—..n..—.2.(.6.—..r.i)-.n..—.7

n+ln2〃+l2〃2〃向+l2〃+l

當談加6時，bn+1-b?<Q,即數列｛6,｝單調遞減,

當〃=7時，bg—b7=0,即仇=Z>7，

當加.8時,bH+l-b?>0,即數列｛〃,｝單調遞增,

綜上可得，數列此,｝先減后增，在第七項和第八項處有最小項，第一項為最大項.

故選：c.

16.(2023?海淀區校級模擬)已知。是AABC的外心，外接圓半徑為2,且滿足2正=通+正，若麗在

品上的投影向量為。患，則而?而=()

4

A.-4B.-2C.0D.2

【答案】A

【詳解】如圖所示:

?.?O是AABC的外心，且滿足2而=麗+尼，

「.O為的中點，ABLAC,

???麗在冠上的投影向量為3/，外接圓半徑為2,

4

—.BC3—?-.

:.\BA\cosB-^^=-BC,.-.|BA|cosJ3=3,

|BC|4

AdBC=(AB+Bd)BC=ABBC+2BO

=|AB|-|BC|cos(^--B)+8

=-|AB||BC|cosB+8

=—12+8=4

故選：A.

17.(2023?西城區校級模擬)如圖，在同一平面內沿平行四邊形兩邊4?,AD向外分別作正方形

ABEF,ADMN,其中AB=2,AD=1,NBAD=%,則恁?質=()

A.-20B.20C.0D.-1

【答案】C

【詳解】由題意知,

AC=AB+AD,FN=FA+AN,

所以衣?麗=（荏+通）?（西+菽）

=ABFA+ABAN+AD-FA+ADAN

兀347C7C

=2x2xcos——l-2xlxcosFix2xcos——blxlxcos—

2442

=0.

故選：c.

18.（2023?西城區校級模擬）函數/（幻=0'|/"|-1的零點個數是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【詳解】由/（x）=0可得I氏v|="，，作出函數y=|欣|與〉="工的圖象如下圖所示:

由圖可知，函數＞=|"^與〉=6一，的圖象的交點個數為2,

故函數/（%）的零點個數為2.

故選：C.

19.（2023?西城區校級模擬）設片，F,分別是橢圓三+1=1（。＞匕＞0）的左、右焦點，過F。的直線交橢圓

ab

于尸，Q兩點，若N￡PQ=60。，|「耳|=|尸。|,則橢圓的離心率為（）

A1R22有D超

3333

【答案】D

【詳解】設I因|=才，

■：\PF^PQ\,ZF｛PQ=60°,

：\PQ\=t,\F.Q\=t,

由△月PQ為等邊三角形，得|￡P|=|耳。I，

由對稱性可知，P。垂直于x軸，

尸2為P。的中點，|P&|=g,

BEgl=*f,即2c=*r,

由橢圓定義：|尸￡|+|尸乙|=2°,即2a=r+；=：r,

巴

橢圓的離心率為：6=-=^-=—.

a33

2

故選：D.

20.（2023?西城區校級模擬）已知數列｛風｝是公差為1的等差數列，且各項均為正整數，如果4=3,%=45,

那么〃+d的最小值為（）

A.13B.14C.17D.18

【答案】B

【詳解】由等差數列的通項公式%=%+(〃-1)4,得

3+(H—l)d—459

(n—l)d—42=42xl=21x2=6x7,

二.只有〃-1=6,d=7,或“一1=7,d=6時，

即〃=7,d=7,或〃=8,d=6時，〃+d有最小值為14.

故選：B.

21.（2023?海淀區校級三模）二維碼與生活息息相關，我們使用的二維碼主要是21x21大小的，即441個

點，根據0和1的二進制編碼，一共有2匈種不同的碼，假設我們1秒鐘用掉1萬個二維碼，1萬年約為3x10”

秒，那么大約可以用（參考數據：lg2x03,/g3?0.5）（）

A.IO"’萬年B.117萬年C.萬年口.205萬年

【答案】A

,441

【詳解】由題意大約能用一W—萬年，

3x10"xlO4

,441

貝U1g3]015=44ng2-Zg3-15?441x0.3-0.5-15?117,

故選：A.

22.（2023?海淀區校級三模）若兩條直線4：y=2x+7〃，（：y=2x+”與圓V+產一4龍=0的四個交點能構

成正方形，貝『機-〃|=（）

A.4行B.2回C.2A/2D.4

【答案】B

【詳解】x2+y2-4x=0,（x-2）2+y2-4,

二.圓心C（2,0）,半徑為2,

由題意直線/「4平行，且與圓的四個交點構成正方形，則可知圓心到兩直線的距離相等且為應，

圓心C到/:y=2尤+機的距離為：4=學四=血

,1+4

加=—4,同理可得〃=-4,

又加可得|加一〃|=2^/10.

故選：B.

22

23.（2023?海淀區校級三模）已知《，F,分別為雙曲線C:二-==1（。>0/>0）的左、右焦點，過F,作C

ab

的兩條漸近線的平行線，與漸近線交于N兩點.若cos/嗎N=?,則C的離心率為（）

5

A.2B.c.百D.

3

【答案】C

【詳解】由對稱性知，M,N關于x軸對稱,

設/町6=1，則NMKN=2a,

cos/MF[N=一，cos2a=—，得2cos2cr-l=—,

1131313

z29.442

倚Hcosa=—,sin2a=—,nntan2a=—,n即ntana=一,

131393

直線=2尤，ME,:y=--（x-c）,兩式聯立得，3,即加（￡,處）,

a~a_be22a

A

be

±P7

22a-,即--2

tana=—=—————2.%a

32S

則離心率

故選：C.

aw

24.（2023?海淀區校級三模）已知等比數列｛氏｝的前〃項和為S“，則“6>0”是S2023>0的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】若公比q=l,則當4>0時，則$2023>0成立，

若行1,則邑。23產）

1一“

?.T-q與1一4g3符號相同，

ax與S2023的符號相同,

則“q>0"<=>“邑023>0”，

即“外>0”是“52023>0”充要條件，

故選：C.

25.(2023?北京模擬)設｛q｝是等比數列，貝「'用>1出”是“&｝為遞增數列”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【詳解】當出<0時，由蠟>%%,得見<%,則｛。"｝不為遞增數列，

當｛a/為遞增數列時，%>巧，若的<0,則用<%電，

所以“抬>2是"｛g｝為遞增數列”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

26.(2023?北京模擬)(l-x)(l+x)5展開式中/的系數是()

A.0B.5C.15D.20

【答案】A

【詳解】由(1-x)(l+x)5知展開式中含丁項情況為：

①IxC；=10/,

②(-幻、屐43._?=-10尤3,

所以(1-x)(l+尤),展開式中x3的系數是：10+(—10)=0.

故選：A.

27.(2023?北京模擬)已知函數/(尤)=卜一一5'X”-2,若方程/⑺=1的實根在區間已收+1),心Z上,

[xlg(x+2),x>-2

則后的最大值是()

A.-3B.-2C.1D.2

【答案】C

【詳解】當X,-2時，/(X)=X2-5,當f(x)=l時，解得了=—幾；

當x>—2時，/(尤)=x/g(x+2),其中/(1)=/g3<l,f(2)=2/g4=/gl6>l,

當/(x)=l時，解得xe(l,2),綜上后的最大值是1.

故選：C.

28.(2023?北京模擬)“牟合方蓋”是我國古代數學家劉徽在研究球的體積過程中構造的一個和諧優美的幾

何模型.如圖1,正方體的棱長為2,用一個底面直徑為2的圓柱面去截該正方體，沿著正方體的前后方向

和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一個牟合方蓋(如圖2).已知這個牟合方蓋與正方體外接球的

體積之比為4:3辰，則正方體除去牟合方蓋后剩余部分的體積為()

16

D.

~3

【答案】C

【詳解】：棱長為2的正方體的外接球的直徑2R=J4+4+4=2指，

半徑R=6，

...牟合方蓋的體積為^^'3%點(若)3=電，

3j3?33j3i33

，正方體除去牟合方蓋后剩余部分的體積為23-皆8-+|

故選：C.

29.(2023?東城區模擬)過拋物線丁=4x的焦點F的直線交拋物線于A、3兩點，若尸是線段AB的中點,

則|AB|=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【詳解】P是線段4?的中點，由拋物線的對稱性，可知，ABLx軸，

拋物線V=4尤，可得p=2,

所以|AB|=2p=4.

故選：D.

30.（2023?東城區模擬）已知｛%｝為等比數列，S,為其前〃項和，若邑=3%,用=%,則$4=（）

A.7B.8C.15D.31

【答案】C

【詳解】,.?｛?｝為等比數列，S,為其前〃項和，邑=34，《=%，

/q+%q=3q

,［（qq）2=請'

解得O1=1,4=2,

故選：C.

31.（2023?東城區模擬）已知非零向量a,5,則“苕與5共線”是“5-5|”II或-15||”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】若萬與B共線，取日方為方向相反的單位向量，貝商-6|=2,||苕|-出||=0,

\a-b\>\\a\-\b\\,充分性不成立；

若|苕一方I,,|團-|方||,則（”方）2,,（|萬|一|5|）2,整理得到|磯幾,不石,

若。=0或方=0,不等式成立，且m與方共線，

若@片0且方設a,B夾角為6,則0e［O,乃］,BP|a||^1?\a\-\b\cosO,BP1,,cos0,即6=0,故4

與B共線，必要性成立.

綜上所述，與B共線”是“|a-5|”||刃-15||"的必要不充分條件.

故選：B.

32.（2023?東城區模擬）血藥濃度（尸/as〃也Caice加陽〃力”）是指藥物吸收后在血漿內的總濃度.藥物在人體內

發揮治療作用時，該藥物的血藥濃度應介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.已知成人單次服用1單位

某藥物后，體內血藥濃度及相關信息如圖所示：

It，最低中毒濃度(MTC)

安

t)l峰濃度全

范

朝

圍

斐

*

市

5-最低有效濃度(MEC)

loi6789101112,（小時）

續期*殘留期

根據圖中提供的信息，下列關于成人使用該藥物的說法中：

①首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發揮治療作用；

②每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時，一定會產生藥物中毒；

③每向隔5.5小時服用該藥物1單位，可使藥物持續發揮治療作用；

④首次服用該藥物1單位3小時后，再次服用該藥物1單位，不會發生藥物中毒.

其中正確說法的個數是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【詳解】由圖可知，首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發揮治療作用所以①正確；

服用該藥物1單位后，藥物的持續作用時間約為5.5小時，所以②錯誤，③正確；

首次服用該藥物1單位3小時后，再次服用該藥物1單位，累計濃度會超過最低中毒濃度，會發生藥物中

毒，所以④錯誤.

所以正確的有①③，

故選：B.

33.(2023?順義區一模)已知a,/3&R,貝!J”存在keZ使得a=(2左+1)"+月"是"cosa+cos萬=0"的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】由cosa+cos尸=0,即有cosa=-cos尸,

貝Ia=(2k+1)乃±(3,左eZ,

所以“存在左eZ使得a=(2左+1)乃+尸"是"cos(z+cos￡=。”的充分不必要條件.

故選：A.

34.(2023?順義區一模)近年來純電動汽車越來越受消費者的青睞，新型動力電池迎來了蓬勃發展的風

口.Pe詼e〃于1898年提出蓄電池的容量C（單位：Ah）,放電時間f（單位：/?）與放電電流/（單位：A）

之間關系的經驗公式：C=I"t,其中〃為尸e"給H常數.為測算某蓄電池的Pe詼常數〃，在電池容量不

變的條件下，當放電電流/=20A時，放電時間r=20/?；當放電電流/=50A時，放電時間，=5/?.若計算時

取用2。0.3,則該蓄電池的尸e詼常數〃大約為（）

A.1.67B.1.5C.2.5D.0.4

【答案】B

20X20=C,所以，n所以（廠

【詳解】由題意可得20"x20=50x5,9=4,

50"x5=C2

g、i,,21g22x0.3..

所以〃=log,4=----------?-------------=1.5,

|l-2Zg2l-2x0.3

故選：B.

35.（2023?順義區一模）在棱長為1的正方體ABC。-A4GR中，動點P在棱月耳上，動點。在線段BQ

上、若4尸=4,BQ=〃，則三棱錐A-AP。的體積（）

A.與幾無關，與〃有關B.與幾有關，與M無關

C.與X,"都有關D.與4,〃都無關

【答案】D

【詳解】?.?正方體ABCD—A旦CQ中，G2//A4，cqu平面ABCQ,A旦仁平面A^G。，

.?.A4//平面A8CQ,

???動點P在棱A片上，，點P到平面ABGR的距離就是直線A片到平面ABCR的距離，

???動點。在線段BC1上，，點P到平面AQD,的距離為定值，

.?.點P到平面AQDt的距離為定值不隨同尸=2的變化面變化，

設點P到平面AQ0的距離為h,過點人作A.F1AD,,

根據正方體的特征知A3,平面ADQA,

ABALAF

Afu平面，-ABIA.F,QADX=A,.1廠_平面,則有〃==+，

,:C、DJIAB,且G2=AB,四邊形ABCQ為平行四邊形，.?.BC|//A2，

點。到AR的距離也是BG到AR的距離，且距離為1,

「.S△做Q=：XAD|X1=9(定值)，

=—XX

V■D在P"20=^〃P-QDAAQO3△/!