專題25圓中的范圍與最值問題

【考點預(yù)測】

涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解.一般地：

（1）形如〃=2二2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.

x-a

（2）形如。=雙+勿；的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.

（3）形如根=（x-a）2+（y-6）2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點到點Q,b）的距離平方的最值問

題

【方法技巧與總結(jié)】

解決圓中的范圍與最值問題常用的策略：

（1）數(shù)形結(jié)合

（2）多與圓心聯(lián)系

（3）參數(shù)方程

（4）代數(shù)角度轉(zhuǎn)化成函數(shù)值域問題

【題型歸納目錄】

題型一：斜率型

題型二：直線型

題型三：距離型

題型四：周長面積型

題型五：數(shù)量積型

題型六：坐標(biāo)與角度型

題型七：長度型

題型八：方程中的參數(shù)

【典例例題】

題型一：斜率型

例1.（2022?福建南平?三模）已知尸（私力）為圓C：（元-iy+（y-l）2=l上任意一點，則土二的最大值為

m+1

例2.（多選題）（2022?山東泰安?三模）已知實數(shù)x,y滿足方程丁+/一4x-2y+4=0,則下列說法正

確的是（）

A.上的最大值為《B.上的最小值為0

x3x

C.f+y2的最大值為君+1D.升y的最大值為3+0

例3.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））在正三角形43c中，M為8C中點，尸為三角形內(nèi)一動點，且

pA

滿足叢=22修，則二■最小值為（）

PB

A.1B.在C.受D.B

422

例4.（2022?河南?模擬預(yù)測（文））已知點尸（x,y）在圓（尤-iy+（yT）2=3上運動，則言的最大值為

（）

A.-6-730B.6+而C.-6+aD.6-730

題型二：直線型

例5.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知點P（無,丁）是圓Y+y2-6x-4y+12=0上的動點，則x+y的最大

值為（）

A.5+0B.5-0C.6D.5

例6.（2022?全國?高三開學(xué)考試（文））已知點尸（x,y）是圓C：（x-“）2+y2=3（a>0）上的一動點，若圓

C經(jīng)過點4（1,百），則的最大值與最小值之和為（）

A.4B.276C.-4D.-276

例7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）點P（x,y）是圓Y+y2=12上的動點，則》的最大值是.

題型三：距離型

例8.（2022?上海虹口?二模）設(shè)acR,keR,三條直線4：ax-y-2a+5=0,l2：x+ay-3a-4=0f

k：y=M,貝也與4的交點”到4的距離的最大值為.

\PA\r-

例9.（2022?黑龍江?哈九中模擬預(yù)測（文））若平面內(nèi)兩定點A、B間的距離為2,動點尸滿足阿二42,

則附常尸葉的最大值為.

2

例10.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若A,3是OO：f+y2=4上兩個動點，且方.礪=一2，A,8到

直線/：瓜+y-4=0的距離分別為4，d2f則4+a的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

例11.（2022?陜西安康?二模（文））已知直線/與圓+V=4交于A（&y）,5（孫％）兩點，且|明=2,

則|%+乂+4+|%2+%+4的最大值為.

例12.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知實數(shù)％1，%，%，%滿足：x；+￥=1，考+代=1,玉%2+%%=。，

則吟曰+$習(xí)的最大值為_____.

V2V2

例13.（2022?河北石家莊?模擬預(yù)測）若點P在曲線d+y'W+N上運動，則點尸到直線無+>+2=0的

距離的最大值為（）

A.272B.2C.72D.4

例14.（2022?浙江?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，直線、=履+%（k70）與x軸和y軸分別交于A,B

兩點，|AB|=20,若C4LCB,則當(dāng)％,加變化時，點C到點（L1）的距離的最大值為（）

A.4A/2B.3拒C.20D.&

例15.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）已知點P（TO）,圓（x-l）2+/=9上的兩個不同的點A（%,%）、網(wǎng)和為）

滿足Q=而（4eR）,貝”4占+3乂一25|+|4馬+3%—25|的最大值為（）

27

A.12B.18C.60D.—

2

例16.（2022?江西?寧岡中學(xué)高三開學(xué)考試（理））已知點尸（x,y）在圓V+y2=i上，則"以+仃一仔

的最大值為（）

A.拒B.2A/2C.1D.72+1

例17.（2022?河北衡水?二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在x軸上，點3在>軸上，|AB|=2,點C

滿足ACL8C,則點C到點尸（班,1）的距離的最大值為（）

7

A.3B.-C.5D.4

2

例18.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若x、為任意實數(shù)，若（a+iy+S-2）2=l,貝版尤-。）？+（lnx-6）2

最小值為（）

A.2A/2B.9C.9-4亞D.2a-1

，滿足：

例（立寧?東北育才學(xué)校二模）已知平面向量力/二DNER,a-xb>a-b,a=2,a.b=4,

19.2022VtUV

-2cJ=6,貝!|a-c的最小值為（）

A.1B.也土狗C.3V6-2

D.

32

例20.（2022?河南河南?三模（理））已知M,N為圓C：Y+y_2了_今=0上兩點，且|肱V|=4,點、p

IuuirUUBI?

在直線/：x-y+3=0上，則+的最小值為（）

A.2V2-2B.2A/2

C.20+2D.2A/2-V5

例21.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若平面內(nèi)兩定點A,B間的距離為2,動點尸滿足黑=石，則;（IW

I尸田/

+|PB|2）的最大值為（）

A.3+y/3B.7+46

C.8+4百D.16+8百

例22.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知尸是半圓C："2y_/=f上的點,Q是直線x-y-l=O上的一

點，則|尸。|的最小值為（）

A.還C.叵一1

B.72-1

22"-T

例23.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若M,N分別為圓G：（x+6y+（y-5）2=4與圓Cz：（x-2）2+（y-l）2=1

上的動點，P為直線x+y+5=0上的動點，貝11PMi+|「叫的最小值為（）

A.4A/5-3B.6C.9D.12

例24.（2022?全國?模擬預(yù)測（理））過圓C：。-1）2+/=1外一點尸作圓。的兩條切線出、PB,切點

分別為A、B,若BALM,則點尸到直線，：x+y-5=0的距離的最小值為（）

A.1B.&C.20D.3也

題型四：周長面積型

例25.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知點A（2,0）,B（0,-1）,點尸是圓爐+（y-1）2=1上任意一

點，則△PAB面積最大值為（）

A.2B.4+75C.1+—D.2+—

22

例26.（2022?河南安陽?模擬預(yù)測（文））已知圓C:（x-2）2+（y-6）2=4,點M為直線/：x-y+8=0上一

個動點，過點M作圓C的兩條切線，切點分別為A,B,則四邊形CWB周長的最小值為（）

A.8B.6他C.50D.2+40

例27.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知圓C:（尤-2）2+（y-6>=4,點M為直線/：彳->+8=。上一個動

點，過點M作圓C的兩條切線，切點分別為A,B,則當(dāng)四邊形C4MB周長取最小值時，四邊形C4M3的

外接圓方程為（）

A.（x-7）2+（y-l）2=4B.（x-1）2+（y-7）2=4

C.（x-7）2+（y-l）2=2D.（x-l）2+（y-7）2=2

例28.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C與圓O:f+產(chǎn)=】外切，且與直線

尤-百y+4=0相切，則圓C的面積的最小值為（）

7171

A.—B.兀C.—D.21

49

例29.（2022?北京昌平?二模）已知直線/：依7+1=0與圓C:（x-1）2+V=4相交于兩點A,B,當(dāng)。變化

時，△ABC的面積的最大值為（）

A.1B.72C.2D.272

例30.（2022?河南?高三階段練習(xí)（理））已知直線/1：7辦-〉=0（，"€氏）過定點人，直線4：x+my+4-2n?=。

過定點B,乙與4的交點為C,貝LABC面積的最大值為（）

A.710B.2逐

C.5D.10

題型五：數(shù)量積型

例31.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長為2,以B為圓心的圓與直線AC相切.若

點尸是圓2上的動點，則歷.屈的最大值是.

例32.（2022?遼寧大連?二模）已知A（4,0）,8（0,-6）,點P在曲線丁=1一M二百上，則西.麗的最小值

為.

例33.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知半徑為1的圓O上有三個動點A,B,C,且|4用=&,則就.炭

的最小值為.

例34.（多選題）（2022?福建龍巖?模擬預(yù)測）已知圓P:（x-5）2+（y-2>=4,直線/:y=依，點/（5,4）,

貝U（）

4

A.當(dāng)〃=二時，直線/與圓月相切

2

B.若直線/平分圓月的周長，則〃=不

C.若直線/上存在點A,使得NB4M=90。，則〃的最大值為15+庖

24

44

D.當(dāng)。=2時，N為直線/上的一個動點，則的最小值為不

例35.（多選題）（2022?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知圓M：（x-4）2+（y-5）2=12,直線/：mx-y-2m+3=O,

直線/與圓M交于A,C兩點，則下列說法正確的是（）

A.直線/恒過定點（2,3）

8.|林|的最小值為4

C.市.碇的取值范圍為［-12,4］

D.當(dāng)/AMC最小時，其余弦值為g

例36.（多選題）（2022?湖北?模擬預(yù)測）若動直線/：“a->+4-4m=0與圓（7：0-4）2+0-5）2=9相交

于A,8兩點，貝I］（）

A.|AB|的最小值為40

B.麗的最大值為-7

C.況?麗（O為坐標(biāo)原點）的最大值為78

D.而?通的最大值為18

2

例37.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知雙曲線V-1■=：!的右焦點為F,M（4,3石），直線與y軸交

于點N,點尸為雙曲線上一動點，且卜/<3正，直線與以為直徑的圓交于點M、。則1PMi?|尸。|的

最大值為（）

A.48B.49C.50D.42

22

例38.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知點M為橢圓二+匕=1上任意一點，A,8是圓（x-l）?+丁=8上

2726'"

兩點，且A3=4忘，則麗晨麗的最大值與最小值的和是（）

A.20B.12A/3C.40D.48—

例39.（2022?河南開封?二模（文））騎行是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運動，深受大眾喜愛.如

圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓。（后輪）的半徑均為石，AABE,

△BECAECD均是邊長為4的等邊三角形，設(shè)點P為后輪上一點，則在騎行該自行車的過程中，羽.而達(dá)

到最大值時點P到地面的距離為（）

C.-+y/3D.逅+若

22

題型六：坐標(biāo)與角度型

則l2V的最大值為（）

例40.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知龍，丁滿足爐+y2=4y-3,

獷+y

A.1B.2C.yj3D.

例41.（2022?福建泉州?模擬預(yù)測）若圓河:（％-85。）2+（y一51口。）2=1（0工。＜2?）與圓

":f+/―2%—4y=0交于A、B兩點，貝（J/wiNANB的最大值為（）

例42.（2022?全國?高三專題練習(xí)）己知￡,b，2是非零平面向量，同=2邛-4=1,（^c-b）-b=0,

II

W=口，則rr的最大值是.

例43.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））已知圓C:（尤-l>+（y+2應(yīng)了=16和兩點A（0,T〃）、8（0，M，若

圓C上存在點P,使得則機(jī)的最大值為（）

A.5B.6C.7D.8

例44.（多選題）（2022?河北?高三階段練習(xí)）已知圓C=1上兩點4、8滿足點

〃（%,0）滿足：|他4|=|府|,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.當(dāng)|AB|=0時，尤o=：

B.當(dāng)％=。時，過M點的圓C的最短弦長是2班

C.線段A8的中點縱坐標(biāo)最小值是上立

D.過M點作圖C的切線且切點為A,B,則為的取值范圍是

例45.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知直線質(zhì)—y+2左=0與直線尤+@-2=0相交于點尸，點A（4,0）,

O為坐標(biāo)原點，貝hanNCM尸的最大值為（）

A.2-s/3B.與C.1D.6

例46.（2022?北京?北大附中高三開學(xué)考試）已知圓C：（%-2）2+（y-2）2=r2（r>0）和兩點M（T,0）,N（l,0）,

且圓C上有且只有一個點P滿足NMPN=90。，則r的最大值為（）

A.2-72-1B.3C.2忘+1D.5

例47.（2022?全國?二模（理））動圓M經(jīng)過坐標(biāo)原點，且半徑為1,則圓心M的橫縱坐標(biāo)之和的最大值

為（）

A.1B.2C.72D.20

例48.（2022?湖北?房縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知0為坐標(biāo)原點，點A（cos/sina）,

B^cos:a+訃巾+功以為鄰邊作平行四邊形ACSQ（-2,0）,則"QO的最大值為（）

71n「兀一兀

4B.-C.—D.一

432

例49.（2022?江西?上饒市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知網(wǎng)3,4-20）,過點尸作圓C：（無一/+（、—

（。為參數(shù)，且aeR）的兩條切線分別切圓C于點A、B,貝Usin/APB的最大值為（）

A/3V6

CRz.----LnJ.------

24

例50.（2022?江蘇蘇州?高三階段練習(xí)）已知羽y滿足/+/=6丁一6,則的最大值為（)

5+y

c1+#K

A.1B.73

例51.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知圓C：N+y2=4,M、N是直線/：y=x+4上的兩點，若對線段

MV上任意一點P,圓C上均存在兩點A、3,使得cos/AP2=g,則線段MN長度的最大值為（）

A.2B.4C.40D.4月

題型七：長度型

例52.（2022?上海?高三階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的

幾何問題：在平面上給定兩點4B,動點P滿足PA|=%P3|（其中2是正常數(shù)，且Xrl）,則尸的軌跡是

一個圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓”.現(xiàn)已知兩定點”（T，。）、"（2,1）,2是圓0：尤2+9=3上的動點，

則也|PM|+|PN|的最小值為

例53.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知圓C是以點M（2,2道）和點N（6,-2道）為直徑的圓，點P為圓C

上的動點，若點A（2,0）,點3（1,1）,則21PAi-|尸目的最大值為（）

A.y/26B.4+0C.8+5尼D.應(yīng)

例54.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）己知圓G：（x-iy+（y+l）2=l，圓。2乂彳-4）2+（丫-5）2=9,點加、

N分別是圓C1、圓C?上的動點，點P為x軸上的動點，則上叫-|尸閭的最大值是（）

A.2.75+4B.9C.7D.275+2

例55.（2022?廣東?汕頭市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知A,8是曲線國一1=小4一（yr），上兩個不同的

點，C（0,l）,則|G4|+|CB|的最大值與最小值的比值是（）

A.述B.72C.漁D.6

52

例56.（2022?安徽?合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知曲線石:/+/=1,等邊三角形ABC的兩個頂

點A,8在E上，頂點C在E外，。為坐標(biāo)原點，則線段OC長的最大值為（）

A.3B.2A/2C.6D.2

例57.（2022?河南新鄉(xiāng)?三模（理））已知拋物線y2=16x的焦點為F,尸點在拋物線上，。點在圓

22

C：（%-6）+（y-2）=4±,則|尸。|+|尸盟的最小值為（）

A.4B.6C.8D.10

例58.（2022?北京西城?一模）已知點A為圓。心-帆）2+。-吁1）2=2上一點，點3（3,0）,當(dāng)根變化時,

線段A8長度的最小值為（）

A.1B.2C.72D.2A/2

例59.（2022?河北?石家莊二中模擬預(yù)測）已知P為拋物線C:/=8x上的動點，。為直線/：x-y+4=0

上的動點，過點P作圓E：（x-3『+y2=8的切線，切點為A,則期的最小值為（）

A.72+1B.272-1C.3母-1D.30-2

例60.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知直線/過點A0,后），則直線/被圓O：f+/=12截得的弦長的

最小值為（）

A.3B.6C.3乖）D.6百

例61.（2022?安徽馬鞍山?三模（文））己知尸（狐〃）為拋物線C：y2=i6x上一動點，過C的焦點F作。P：

（x-m）2+（y-nf=1的切線，切點為A,則線段加長度的最小值為（）

A.3B.715C.5D.3a

例62.（2022?全國?高三專題練習(xí)（文））己知圓￡:（*-1）2+（丫-1）2=1,圓Q：（x-4）?+（y-5p=9,點

M，N分別是圓C1、圓C?上的動點，點「為》=-%上的動點，貝“尸河|+歸時的最小值是（）

A.4B.病-4C.761+4D.761-8

例63.（2022?全國?模擬預(yù)測（理））已知圓C：x2+y2-2x-3=0,若直線/：辦一y+1—。=0