PAGEPAGE247第9章線性離散系統初步從控制系統中信號的形式來劃分控制系統的類型，可以把控制系統劃分為連續控制系統和離散控制系統，在前面各章所研究的控制系統中，各個變量都是時間的連續函數，稱為連續控制系統。隨著計算機被引入控制系統，使控制系統中有一部分信號不是時間的連續函數，而是一組離散的脈沖序列或數字序列，這樣的系統稱為離散控制系統。離散控制系統是以微處理器及微型計算機為基礎,融匯計算機技術、數據通信技術、CRT屏幕顯示技術和自動控制技術為一體的計算機控制系統,它對生產過程進行集中操作管理和分散控制。離散系統與連續系統相比，有許多分析研究方面的相似性。利用z變換法研究離散系統，可以把連續系統中的許多概念和方法，推廣應用于離散系統。本章首先給出信號采樣和保持的數學描述，然后介紹z變換理論和脈沖傳遞函數，最后研究線性離散系統穩定性、穩態誤差、動態性能的分析與綜合方法。9.1離散系統通常，當離散控制系統中的離散信號是脈沖序列形式時，稱為采樣控制系統或脈沖控制系統；而當離散系統中的離散信號是數碼序列形式時，稱為數字控制系統或計算機控制系統。在理想采樣及忽略量化誤差情況下，數字控制系統近似于采樣控制系統，將它們統稱為離散系統。9.1.1采樣器在采樣控制系統中可以有多個位置，用得最多的是誤差采樣控制的閉環采樣系統，其典型結構圖如圖9-1所示。圖中，S為采樣開關，為保持器的傳遞函數，為被控對象的傳遞函數，為測量元件的傳遞函數。圖9-1采樣系統典型結構圖9.1.2數字控制系統的典型原理圖如圖9-2所示。它由工作于離散狀態下的計算機（數字控制器），工作于連續狀態下的被控對象和測量元件H(s)組成。在每個采樣周期中，計算機先對連續信號進行采樣編碼(即轉換)，然后按控制律進行數碼運算,最后將計算結果通過轉換器轉換成連續信號控制被控對象。因此，轉換器和轉換器是計算機控制系統中的兩個特殊環節。圖9-2計算機控制系統典型原理圖1.轉換器轉換器是把連續的模擬信號轉換為離散數字信號的裝置。轉換包括兩個過程：一是采樣過程，即每隔秒對連續信號進行一次采樣，得到采樣信號如圖9-3所示；二是量化過程，在計算機中，任何數值都用二進制表示，因此，幅值上連續的離散信號必須經過編碼表示成最小二進制數的整數倍，成為離散數字信號，才能進行運算。數字計算機中的離散數字信號在時間和幅值上都是按斷續的。圖9-3A／D轉換過程2.轉換器轉換器是把離散的數字信號轉換為連續模擬信號的裝置。轉換也有兩個過程：一是解碼過程，把離散數字信號轉換為離散的模擬信號；二是復現過程，經過保持器將離散模擬信號復現為連續模擬信號。如果量化單位足夠小，則由量化引起的幅值的斷續性（即量化誤差）可以忽略。若認為采樣編碼過程瞬時完成，則轉換器就可以用一個每隔秒瞬時閉合一次的理想采樣開關來表示。這樣，數字控制系統等效于采樣控制系統。在離散系統中，系統的一處或多處信號是脈沖序列或數碼，控制的過程是不連續的；不能沿用連續系統的研究方法。研究離散系統的工具是變換，通過變換，可以把我們熟悉的傳遞函數、頻率特性、根軌跡法等概念應用于離散系統。9.2信號采樣與保持采樣和保持對于離散系統來說非常重要，因此，為了定量研究離散系統，必須用數學方法對信號的采樣過程和保持過程加以描述。9.2.1在采樣控制系統中，把連續信號轉變為脈沖序列的過程稱為采樣過程，簡稱采樣。實現采樣的裝置稱為采樣器，或采樣開關。用表示采樣周期，單位為。表示采樣頻率，單位為；＝2＝2/T表示采樣角頻率，單位為。在實際應用中，采樣開關多為電子開關，閉合時間極短，采樣持續時間遠小于采樣周期，也遠小于系統連續部分的最大時間常數。1.采樣信號的數學表示一個理想采樣器可以看成是一個載波為理想單位脈沖序列的幅值調制器，即理想采樣器的輸出信號，是連續輸入信號調制在載波上的結果，如圖9-4所示。圖9-4信號的采樣用數學表達式描述上述調制過程，則有（9-1）理想單位脈沖序列可以表示為(9-2)其中是出現在時刻，強度為1的單位脈沖，故式(9-1)可以寫為由于的數值僅在采樣瞬時才有意義，同時，假設所以又可表示為（9-3）2.采樣信號的拉氏變換對采樣信號進行拉氏變換，可得(9-4)根據拉氏變換的位移定理，有所以，采樣信號的拉氏變換(9-5)3.香農采樣定理前已指出，要對對象進行控制，通常要把采樣信號恢復成原連續信號。但是信號能否恢復到原來的形狀，主要決定于采樣信號是否包含反映原信號的全部信息。實際上這又與采樣頻率有關。下面分析采樣前后信號頻譜的關系。式(9-2)表明，理想單位脈沖序列是周期函數，可以展開為傅氏級數的形式，即(9-6)式中，，為采樣角頻率；是傅氏系數，其值為由于在區間中，僅在時有值，且，所以（9-7）將式(9-7)代入式(9-6)，得（9-8）再把式(9-8)代入式(9-1)，有（9-9）上式兩邊取拉氏變換，由拉氏變換的復數位移定理，得到(9-10)令，得到采樣信號的傅氏變換（9-11)其中，為非周期連續信號的傅氏變換，即（9-12）它的頻譜是頻域中的非周期連續信號，如圖9-5所示，其中為頻譜中的最大角頻率。圖9-5連續信號頻譜與采樣信號頻譜()的比較采樣信號的頻譜，是連續信號頻譜以采樣角頻率為周期的無窮多個頻譜的延拓，如圖9-5所示。其中，的頻譜稱為采樣頻譜的主分量，如曲線1所示，它與連續頻譜形狀一致，僅在幅值上變化了，其余頻譜()都是由于采樣而引起的高頻頻譜。圖9-5表明的是采樣角頻率大于兩倍的情況，采樣頻譜中沒有發生頻率混疊，利用圖9-6所示的理想低通濾波器可恢復原來連續信號的頻譜。如果加大采樣周期，采樣角頻率相應減小，當時，采樣頻譜的主分量與高頻分量會產生頻譜混疊，如圖9-7所示。這時，即使采用理想濾波器也無法恢復原來連續信號的頻譜。因此，要從采樣信號中完全復現出采樣前的連續信號，對采樣角頻率應有一定的要求。圖9-6理想低通濾波器的頻率特性圖9-7連續信號頻譜與采樣信號頻譜()的比較香農采樣定理指出：如果采樣器的輸入信號具有有限帶寬，即有直到的頻率分量，若要從采樣信號中完整地恢復信號，則模擬信號的采樣角頻率，或采樣周期必須滿足下列條件：(9-13)這就是說，如果選擇的采樣角頻率足夠高，使得對連續信號所含的最高次諧波，能做到在一個周期內采樣兩次以上的話，那么經采樣后所得到的脈沖序列，就包含了原連續信號的全部信息。就有可能通過理想濾波器把原信號毫無失真地恢復出來。否則采樣頻率過低，信息損失很多，原信號就不能準確復現。由圖9-5可見，在滿足香農采樣定理的條件下，要想不失真地將采樣器輸出信號復現成原來的連續信號，需要采用圖9-6所示的理想低通濾波器，然而理想低通濾波器物理上不可實現，因此工程上常用零階保持器。在設計離散系統時，香農采樣定理是必須嚴格遵守的一條準則，它指明了從采樣信號中不失真地復現原連續信號的采樣周期T的上界或采樣角頻率的下界。9.2.2在采樣控制系統中，把脈沖序列轉變為連續信號的過程稱為信號復現。實現復現過程的裝置稱為保持器。因為采樣器輸出的是脈沖序列，如果直接加到連續系統上，則中的高頻分量會給系統中的連續部分引入噪聲，影響控制質量，嚴重時還會加劇機械部件的磨損，因此，需要在采樣器后面串聯一個保持器，以使脈沖序列復原成連續信號，再加到系統的連續部分。如圖9-8所示，最簡單的保持器是零階保持器，它將脈沖序列復現為階梯信號。當采樣頻率足夠高時，階梯接近于原連續信號。圖9-8信號的復現零階保持器把前一采樣時刻的采樣值一直保持到下一采樣時刻到來之前。給零階保持器輸入一個理想單位脈沖，則其單位脈沖響應函數是幅值為1，持續時間為T的矩形脈沖，它可分解為兩個單位階躍函數的和，即（9-14）對脈沖響應函數(t)取拉氏變換，可得零階保持器的傳遞函數（9-15）在式(9-15)中，令，得零階保持器的頻率特性：(9-16)若以采樣角頻率來表示，則上式可表示為（9-17）根據上式，可畫出零階保持器的幅頻特性和相頻特性圖。如圖9-9所示。由圖可見，零階保持器具有如下特性：（1）低通特性：零階保持器基本上是一個低通濾波器，但不是理想低通濾波器。高頻分量仍有一部分可以通過，從而造成數字控制系統的輸出頻譜在高頻段存在紋波。圖9-9零階保持器的頻率特性（2）相角滯后特性：由相頻特性可見，零階保持器要產生相角滯后，且隨的增大而加大，從而使系統的穩定性變差。9.3離散系統的數學模型離散控制系統的數學模型，它包含三個基本內容：差分方程；變換；脈沖傳遞函數。這些內容與連續系統中數學模型的基本內容：微分方程；拉氏變換；傳遞函數有平行的對應關系。本節主要介紹差分方程及其解法，脈沖傳遞函數的定義，以及求開環脈沖傳遞函數和閉環脈沖傳遞函數的方法。9.對于線性定常離散系統，時刻的輸出，不但與時刻的輸入有關，而且與時刻以前的輸入有關，同時還與時刻以前的輸出有關。這種關系一般可以用階后向差分方程來描述，即(9-18)式中，，=1，2，…，和，＝0，1，…，為常系數，。式(9-18)稱為階線性常系數差分方程。線性定常離散系統也可以用階前向差分方程來描述,即(9-19)工程上求解常系數差分方程通常采用迭代法和變換法。迭代法適于用計算機求解，下面主要介紹變換法。方法如下：對差分方程兩端取變換，并利用變換的實數位移定理，得到以為變量的代數方程，然后對代數方程的解取反變換，可求得輸出序列。例9-1試用變換法解下列差分方程已知初始條件為。解：對方程兩邊取變換，并應用時移定理，得代入初始條件，整理后得查變換表，進行反變換得差分方程的解，可以提供線性定常離散系統在給定輸入序列作用下的輸出響應序列特性，但不便于研究系統參數變化對離散系統性能的影響。因此，需要研究線性定常離散系統的另一種數學模型--脈沖傳遞函數。9.1.脈沖傳遞函數定義圖9-10開環采樣系統設離散系統如圖9-10所示，如果系統的輸入信號為，采樣信號的變換函數為，系統連續部分的輸出為，采樣信號的變換函數為，則線性定常離散系統的脈沖傳遞函數定義為：在零初始條件下，系統輸出采樣信號的變換與輸入采樣信號的變換之比，記作圖9-10開環采樣系統(9-20)所謂零初始條件，是指在時，輸入脈沖序列各采樣值以及輸出脈沖序列各采樣值均為零。式(9-20)表明，如果已知和，則在零初始條件下，線性定常離散系統的輸出采樣信號為2.脈沖傳遞函數的性質（1）脈沖傳遞函數是復變量的復函數（一般是有理分式）；（2）脈沖傳遞函數只與系統自身的結構、參數有關；（3）系統的脈沖傳遞函數與系統的差分方程有直接關系；（4）系統的脈沖傳遞函數是系統的單位脈沖響應序列的變換；（5）系統的脈沖傳遞函數在平面上有對應的零、極點分布。3.由傳遞函數求脈沖傳遞函數傳遞函數的拉式反變換是單位脈沖函數，將離散化得到脈沖響應序列，將進行變換可得到，這一變換過程可表示如下：上述變換過程表明，只要將表示成變換表中的標準形式，直接查表可得。由于利用z變換表可以直接從得到，而不必逐步推導，所以常把上述過程表示為，并稱之為的變換。9.當開環離散系統由幾個環節串聯組成時，由于采樣開關的數目和位置不同，求出的開環脈沖傳遞函數也不同。1.串聯環節之間有采樣開關時圖9－11（a）所示兩個串聯環節間有采樣器隔開，所以有 式中、分別為線性環節、的脈沖傳遞函數，即，，則由式（9－21）和（9－22）可得所以，圖9－11（a）所示系統的脈沖傳遞函數為可見，兩個環節間有采樣器隔開時，則環節串聯等效脈沖傳遞函數為兩個環節的脈沖傳遞函數的乘積。同理，個環節串聯，且所有環節之間均有采樣器隔開時，則等效脈沖傳遞函數為所有環節的脈沖傳遞函數的乘積。即c(t)c(t)(a)c(t)(b)圖9－11環節串聯的開環系統2.串聯環節之間無采樣開關時如圖9－11（b）所示，由于環節間沒有采樣器，因而環節輸入的信號不是脈沖序列，而是連續函數，所以不能象圖9－11（a）那樣求，而應先把、進行串聯運算求出等效環節，則的變換才是、之間的脈沖傳遞函數。即（9－24）式中表示乘積經采樣后的z變換。顯然（9－25）即各環節傳遞函數乘積的z變換，不等于各環節傳遞函數z變換的乘積。由此可知，兩個串聯環節間無采樣器隔開時，則等效脈沖傳遞函數等于兩個環節傳遞函數乘積經采樣后的z變換。同理，此結論也使用于多個環節串聯而無采樣器隔開的情況，即有（9－26）3.有零階保持器時設有零階保持器的開環離散系統如圖9-12()所示。將圖9-12()

變換為圖9-12()所示的等效開環系統，則有 于是，有零階保持器時，開環系統脈沖傳遞函數為(a)＋－(b)圖9－12有零階保持器的開環系統(a)＋－(b)圖9－12有零階保持器的開環系統零階保持器不改變開環脈沖傳遞函數的階數，也不影響開環脈沖傳遞函數的極點，只影響開環零點。例9－2若圖9－12所示系統中，試求開環系統的脈沖傳遞函數。解：查變換表，進行z變換，得根據式9－27得4.并聯環節的脈沖傳遞函數如圖9-13，先介紹兩個等效圖形：等效于等效于（a）等效于（b）圖9－13并聯環節的等效注意并聯環節后的變量是相加減關系，只有同類型的變量才能相加減。因此我們討論圖9－14所示的并聯環節。圖,9－圖,9－14并聯環節方框圖顯然有即9.由于采樣器在閉環系統中可以有多種配置，因此閉環離散系統結構圖形式并不惟一。圖9-15是一種比較常見的誤差采樣閉環離散系統結構圖。圖中，虛線所示的理想采樣開關是為了便于分析而設的，所有理想采樣開關都同步工作，采樣周期為T。圖9-15閉環離散系統結構圖由脈沖傳遞函數的定義及開環脈沖傳遞函數的求法，對圖9-15可建立方程組如下：解上面聯立方程，可得該閉環離散系統脈沖傳遞函數（9-28）閉環離散系統的誤差脈沖傳遞函數（9-29）式(9-28)和(9-29)是研究閉環離散系統時經常用到的兩個閉環脈沖傳遞函數。與連續系統相類似，令或的分母多項式為零，便可得到閉環離散系統的特征方程：(9-30)式中，為開環離散系統脈沖傳遞函數。需要指出，閉環離散系統脈沖傳遞函數不能直接從和求變換得來，即這是由于采樣器在閉環系統中有多種配置的緣故。用與上面類似的方法，還可以推導出采樣器為不同配置形式的閉環系統的脈沖傳遞函數。但是，只要誤差信號處沒有采樣開關，輸入采樣信號便不存在，此時不可能求出閉環離散系統的脈沖傳遞函數，而只能求出輸出采樣信號的變換函數。表9－1列出了部分離散系統結構圖及其脈沖傳遞函數。表9－1部分離散系統結構圖及其脈沖傳遞函數－－結構圖1－－2－－－3－4－5－－6－－7－－C－C9.4離散系統的穩定性與穩態誤差穩定性和穩態誤差是線性定常離散系統分析的重要內容。在平面上分析離散系統的穩定性，可以借助于連續系統在平面上穩定性的分析方法。為此首先需要研究平面與平面的映射關系。本節主要討論如何在域和域中分析離散系統的穩定性，同時給出計算離散系統穩態誤差的方法。9.4.1域到在變換定義中，（為采樣周期）給出了域到域的映射關系。域中的任意點可表示為，映射到域則為(9-31)于是域到域的基本映射關系式為(9-32)令，相當于取平面的虛軸，當從變到時，由式(9-31)知，映射到平面的軌跡是以原點為圓心的單位圓。只是當平面上的點沿虛軸從移到時(其中，為采樣角頻率)，平面上的相應點沿單位圓從逆時針變化到，正好轉了一圈；而當平面上的點在虛軸上從移到時，平面上的相應點又將逆時針沿單位圓轉過一圈。依次類推，如圖9-16所示。由此可見，可以把平面劃分為無窮多條平行于實軸的周期帶，其中從到的周期帶稱為主帶，其余的周期帶稱為輔帶。為了研究平面上的主帶在平面上的映射，可分以下幾種情況討論。圖9-16平面虛軸在平面上的映射1.等線映射平面上的等垂線，映射到平面上的軌跡，是以原點為圓心，以為半徑的圓，如圖9-17所示。由于平面上的虛軸映射為平面上的單位圓，所以左半平面上的等線映射為平面上的同心圓，在單位圓內；右半平面上的等線映射為平面上的同心圓，在單位圓外。圖9-17平面和平面上的等軌跡2.等線映射在采樣周期確定的情況下，由式（9-32）可知，平面上的等水平線，映射到平面上的軌跡，是一簇從原點出發的射線，其相角，以實軸正方向為基準，如圖9-18所示。由圖可見，平面上水平線，在平面上正好映射為負實軸。圖9-18平面和平面上的等軌跡有了以上映射關系，現在討論平面上周期帶在平面上的映射。設平面上的主帶如圖9-19(a)所示，通過變換，映射為平面上的單位圓及單位圓內的負實軸，如圖9-19(b)所示。類似地，由于 因此左半平面上所有輔帶在平面上均映射為相同的單位圓及單位圓內的負實軸。圖9-19左半平面的主帶在平面上的映射9.離散系統穩定性的概念與連續系統相同。如果一個線性定常離散系統的脈沖響應序列趨于零，則系統是穩定的，否則系統不穩定。由域到域的映射關系及連續系統的穩定判據，可知:(1)左半平面映射為平面單位圓內的區域，對應穩定區域；(2)右半平面映射為平面單位圓外的區域，對應不穩定區域；(3)平面上的虛軸，映射為平面的單位圓周，對應臨界穩定情況，屬不穩定。所以，線性定常離散系統穩定的充分必要條件是：系統閉環脈沖傳遞函數的全部極點均分布在平面上以原點為圓心的單位圓內，或者系統所有特征根的模均小于l。－圖9－20例7－15的采樣系統例9-2圖9－20所示系統中，設采樣周期秒，試分析當－圖9－20例7－15的采樣系統解：系統連續部分的傳遞函數為則所以，系統的閉環脈沖傳遞函數為系統的閉環特征方程為①將，代入方程，得解得，均在單位圓內，所以系統是穩定的。②將代入方程，得解得因為在單位圓外，所以系統是不穩定的。。9.連續系統中的勞斯穩定判據，實質上是用來判斷系統特征方程的根是否都在左半平面。而離散系統的穩定性需要確定系統特征方程的根是否都在平面的單位圓內。因此在z域中不能直接套用勞斯判據，必須引入域到域的線性變換，使平面單位圓內的區域，映射成平面上的左半平面，這種新的坐標變換，稱為變換。1．變換與域中的勞斯判據如果令(9-33)則有(9-34)式(9-33)與（9-34）表明，復變量與互為線性變換，故變換又稱雙線性變換。令復變量，代入式(9-34)，得顯然由于上式的分母始終為正，因此可得圖9-21z平面與平面的對應關系①等價為，表明平面的虛軸對應于平面的單位圓周；②等價為，表明左半平面對應于平面單位圓內的區域；③等價為，表明右半平面對應于平面單位圓外的區域。平面和平面的這種對應關系，如圖9-21所示。經過變換之后，判別特征方程的所有根是否位于平面上的單位圓內，轉換為判別特征方程的所有根是否位于左半平面。后一種情況正好與在平面上應用勞斯穩定判據的情況一樣，所以根據域中的特征方程系數，可以直接應用勞斯判據判斷離散系統的穩定性，稱之為域中的勞斯穩定判據。2．朱利穩定判據朱利判據是直接在域內應用的穩定判據，朱利判據直接根據離散系統閉環特征方程的系數，判別其根是否位于平面上的單位圓內，從而判斷系統是否穩定。設系統的閉環特征式為（9－35）為系數，為階次，且有。首先將各系數排成朱利陣列，如表9－2所示表9－2朱利陣列行數………1………2………3………/4………/5……//6……//////表中，第一行為對應的方程系數。第二行及后面的偶次行的元素，分別為其前一行元素反順序排列而得到。陣列中各元素定義如下：，，……，，系統穩定的充要條件是：且滿足（9－36）當上述條件均滿足，系統是穩定的。例9-3已知采樣系統的閉環特征方程為試判別該系統的穩定性。解：朱利陣列：行數1.0.281.31212.121.310.283.-0.92-1.63-0.754.-0.75-1.63-0.92表中第三行元素為第四行只要將第三行元素反順序排列即可。現由式(9-36)判別個約束條件：，，所有條件均滿足，因此系統是穩定的。對于離散系統而言，采樣周期和開環增益都對系統穩定性有影響。當采樣周期一定時，加大開環增益會使離散系統的穩定性變差，甚至使系統變得不穩定；當開環增益一定時，采樣周期越長，丟失的信息越多，對離散系統的穩定性及動態性能均不利。9.離散系統的穩態誤差一般來說分為采樣時刻處的穩態誤差、與采樣時刻之間紋波引起的誤差兩部分。僅就采樣時刻處的穩態誤差來說，其分析方法與連續系統類似，同樣可以用終值定理來求取；同樣與系統的型別、參數及外作用的形式有關。下面僅討論單位反饋系統在典型輸入信號作用下的采樣時刻處的穩態誤差。1．一般方法（利用終值定理）設單位反饋的誤差采樣系統如圖9-22所示，為系統采樣誤差信號，其變換為系統誤差脈沖傳遞函數為圖9-22單位反饋離散系統如果的極點全部位于平面上的單位圓內，即離散系統是穩定的，則可用變換的終值定理求出采樣瞬時的穩態誤差(9-37)式9-37表明，線性定常離散系統的穩態誤差，與系統本身的結構和參數有關，與輸入序列的形式及幅值有關，而且與采樣周期的選取也有關。2．靜態誤差系數法由變換算子關系式可知，如果開環傳遞函數有個的極點，即個積分環節，與相應的必有個的極點。在離散系統中，把開環脈沖傳遞函數具有的極點數，作為劃分離散系統型別的標準，把中的系統，稱為型、I型和II型離散系統等。下面在系統穩定的條件下討論圖9-22所示的不同型別的離散系統在三種典型輸入信號作用下的穩態誤差，并建立離散系統靜態誤差系數的概念。（1）階躍輸入時的穩態誤差當系統輸入為階躍函數時，其變換函數因而，由式(6-50)知，穩態誤差為(9-38)式(6-51)代表離散系統在采樣瞬時的穩態位置誤差。式中(9-39)稱為離散系統的靜態位置誤差系數。對型離散系統，不會取無窮大，從而位置誤差；對I型或I型以上的離散系統，,因而位置誤差。（2）斜坡輸入時的穩態誤差當系統輸入為斜坡函數時，其變換函數因而穩態誤差為(9-40)仿照連續系統，稱之為速度誤差。式中(9-41)稱為離散系統的靜態速度誤差系數。在速度輸入條件下，型系統的，所以；I型系統的為有限值，存在常值速度誤差；II型和II型以上系統，穩態誤差為零。（3）加速度輸入時的穩態誤差；當系統輸入為加速度函數時，其變換函數因而穩態誤差為(9-42)稱為加速度誤差。式中(9-43)稱為離散系統的靜態加速度誤差系數。加速度輸入條件下，由于型及I型系統的，所以，II型系統的為常值，加速度誤差是非零常值。歸納上述討論結果，可以得出計算典型輸入下不同型別單位反饋離散系統穩態誤差的規律，見表9-3。

表9-3單位反饋離散系統的穩態誤差系統型別位置誤差速度誤差加速度誤差型∞∞Ⅰ型0∞Ⅱ型00可見，與連續系統相比較，離散系統的速度、加速度穩態誤差不僅與、有關，而且與采樣周期有關。9.5離散系統的動態性能分析計算離散系統的動態性能，通常先求取離散系統的階躍響應序列，再按動態性能指標定義來確定指標值。本節主要介紹在平面上定性分析離散系統閉環極點與其動態性能之間的關系。9.5設離散系統的閉環脈沖傳遞函數，則系統單位階躍響應的z變換通過反變換，可以求出輸出信號的脈沖序列。設離散系統時域指標的定義與連續系統相同，則根據單位階躍響應序列可以方便地分析離散系統的動態性能。例9-4設有零階保持器的離散系統如圖9-23所示，其中，，。試分析系統的動態性能。圖9-23閉環離散系統解先求開環脈沖傳遞函數閉環脈沖傳遞函數將代入上式，求出單位階躍響應序列的變換，即：9.5離散系統閉環脈沖傳遞函數的極點在平面上的分布，對系統的動態響應具有重要的影響。明確它們之間的關系，對離散系統的分析和綜合都具有指導意義。設系統的閉環脈沖傳遞函數為一般情況下，閉環脈沖傳遞函數可以表示為兩個多項式之比的形式，即(9－44)式中系統的閉環零點； 系統的閉環極點； 常系數，即系統穩態放大系數。對于實際系統來說，有。式中和可以是實數或復數。為了簡化討論，假定無相重極點。則系統在單位階躍輸入信號作用下，輸出的變換為進行部分分式展開取的反變換，即可求得系統輸出在采樣時刻的離散值為式中第一項為的穩態分量；第二項為的暫態分量，其中各子分量的形式則決定于閉環極點的性質及其在平面上的位置，閉環極點位置與系統過渡過程之間的關系表示在圖9－24及圖9－25中。現分別討論如下：(4)(4)(5)(2)(1)0(3)(6)圖9－24實數極點對應的暫態分量設為正實數，則對應的暫態分量按指數規律變化。又當（１），系統將是不穩定的。（２），極點在單位圓與正實軸的交點上，則對應的響應分量為等幅序列。系統則處于穩定邊界。（３），極點在單位圓內的正實軸上，則對應的響應分量按指數規律衰減。且極點越靠近原點，其值越小且衰減越快。b.設為負實數，則對應的暫態分量按正負交替方式振蕩。因為當為偶數時，為正值，而當為奇數時，為負值。振蕩角頻率為采樣頻率的一半，即。這種情況下，過渡過程特性最壞。又當（１），極點在單位圓外的負實軸上，對應的響應分量為正負交替發散振蕩形式。（２），極點在單位圓與負實軸的交點上，對應的響應分量為正負交替等幅振蕩形式。（３），極點在單位圓內的負實軸上，對應的響應分量為正負交替收斂振蕩形式。實數極點對應的暫態分量如圖9－24所示。c.當為復數時，則必為共扼復數，和成對出現，、＝。則對應的暫態響應分量為余弦振蕩形式，振蕩角頻率與共扼復數極點的幅