專題3旋轉重難點模型(5大類型)

_國重金喜鑒致蛙儂_____________________

【題型1手拉手模型】

【題型2“半角”模型】

【題型3構造旋轉模型解題】

【題型4奔馳模型】

【題型5費馬點模型】

至理型交度___________________________________________

模型一：“手拉手”模型

模型特征：兩個等邊三角形或等腰直角三角形或正方形共頂點。

模型說明：如圖1,AABE,AACF都是等邊三角形，可證AAEC絲^ABF。

如圖2,AABD,AACE都是等腰直角三角形，可證▲ADCgAABE

如圖2,四邊形ABEF,四邊形ACHD都是正方形，可證▲ABDg^AFC

模型二：“半角”模型

模型特征：大角含半角+有相等的邊，通過旋轉“使相等的邊重合，拼出特殊角”

模型說明：

(1)如圖，在正方形ABCD中，NEAF=45°,將AADF繞點A順時針旋轉90°,得至UAABG

可證^AEF之AEG,所以可到DF+BE=EF

(2)如圖，在等腰直角AABC中，ZMAN=45°,將▲ACN繞點A順時針旋轉90°,得到

▲ABQ,可證▲AMNg^AMQ,所以可得CM+BM?=MM

(3)如圖，等腰AABC中，AB=BC,NDBE=)/。及］將ACBD繞點B逆時針旋轉/CBA

的度數得到AABD'可證▲DBEVAD'BE。

BH

模型三：構造旋轉模型解題

方法指導：若一個圖形中含有相等的線段和特殊的角度，通常是以等線段的公共端點為旋

轉中心進行旋轉，使得相等的邊重合，得出特殊的圖形.

常見圖形旋轉：

(1)“等邊三角形”的旋轉

方法歸納：將等邊三角形內的一個小三角形，旋轉60度，從而使小三角形

的一邊與原等邊三角形的邊重合，連接小三角形的鈍角頂點，得三角形.通過旋

轉將不相關的線段轉化到同一個三角形中，將分散的已知條件集中起來，使問題

得以解決.

模型四：奔馳模型

如圖，等邊aABC,PA=3,PB=4,PC=5,

則①NAPB=150。，②SAABC=^AB2=2!”

44

模型五：費馬點模型

【費馬點問題】

問題：如圖1,如何找點P使它到△ABC三個頂點的距離之和PA+PB+PC最小？

圖文解析：

如圖1,把△APC繞C點順時針旋轉60。得到△APC,連接PP\貝必CPP，為等邊三角形,

CP=PP',PA=P'A',

；.PA+PB+PC=P'A'+PB+PPBC'.

:點A，可看成是線段CA繞C點順時針旋轉60。而得的定點，BAr

為定長

...當B、P、P\X四點在同一直線上時，PA+PB+PC最小.最小

值為BA/

園滿臺分珠

【題型1“手拉手”模型】

【典例1】(2022春?西安期末)如圖，在△ABC中，BC=5,以AC為邊向外作等邊

以為邊向外作等邊△ABE,連接CE、BD.

(1)若AC=4,ZACB=30°,求CE的長；

(2)若NABC=60°,48=3,求8。的長.

【解答】解：(1);△ABE與△ACC是等邊三角形,

：.AC=AD,AB=AE,

J.ZDCA^ZCAD=ZEAB=60°,

ZEAB+ZBAC=ZCAD+ZBAC,

即/￡AC=/BAO.

在△EAC和△540中，

，AE=BA

<ZEAC=ZBAD>

AC=AD

.".△EAC^ABAD(SAS),

：.EC=BD,

又二上AC3=30°，

ZDCB=ZACB+ZDCA=90°,

'：CD=AC=4,BC=5,

:,BD=JBC2KD2=“25+16=V41，

.?。=舊；

(2)如圖，作EK垂直于CB延長線于點K.

△ABE與△ACO是等邊三角形，

：.AC=AD,AB=AE,

：.ZDCA=ZCAD=ZEAB=6Q°,

ZEAB+ZBAC=ZCAD+ZBAC,

即/EAC=/BA。.

在△EAC和△BAO中，

'AE=BA

，ZEAC=ZBAD-

AC=AD

/.AfAC^ABAO(SAS),

：.EC=BD,

VZABC^60°,ZABE^60°,

/.ZEBK=60°,

：.ZBEK=30°,

.?.BK=_1BE=2,

22

EK=7EB2-BK2=而|=萼■'

EC=VEK2+KC2==7'

：.BD=EC=1.

【變式1-1]（2022秋?荔灣區校級期中）以△ABC的AB,AC為邊分別作正方形

正方形ACGR連接。C,BF.

（1）CO與B尸有什么數量與位置關系？說明理由.

（2）利用旋轉的觀點，在此題中，△AOC可看成由哪個三角形繞哪點旋轉多少角度得到

的.

【解答】解：(1)且COLBE理由如下：

四邊形ABED和四邊形ACGF都是正方形，

：.AD=AB,AC=AF,ZDAB=ZCAF=90°,

又：ZDAC=ZDAB+ZBAC,ZBAF=ZCAF+ZBAC,

：.ZDAC=ZBAF,

在AD4c與△BA尸中，

，AD=AB

<ZDAC=ZBAF>

AC=AF

：./\DAC^/\BAF(SAS),

：.DC=BF,

：.ZAFB=ZACD,

又〈NAFN+NANF=90°,NANF=/CNM,

：.ZACD+ZCNM=90°,

AZNMC=90°,

J.BFLCD-,

(2)'：AD=AB,AC=AF,CD=BF,ZDAB=ZCAF=90°,

AADC可看成是△ABB繞點A順時針旋轉90°得到的.

【變式1-2]（2022九上?吉林期末）如圖①，在AABC中，ZC=90°,AC=BC=V6,

點D,E分別在邊AC,BC上，豆CD=CE=&,此時力D=BE,AD1BE成立.

圖①圖②圖③

(1)將4CDE繞點C逆時針旋轉90。時，在圖②中補充圖形，并直接寫出BE的長度；

(2)當ACDE繞點C逆時針旋轉一周的過程中，2。與BE的數量關系和位置關系是

否仍然成立？若成立，請你利用圖③證明，若不成立請說明理由；

(3)將ACDE繞點C逆時針旋轉一周的過程中，當A,D,E三點在同一條直線上

時，請直接寫出⑷5的長度.

【答案】(1)解：如圖所示，

(2)解：AD=BE,力。1BE仍然成立.

證明：延長4。交BE于點H,

/.ACD=^ACB-乙BCD,

乙BCE=乙DCE-乙BCD,

：.^ACD=乙BCE,

又,：CD=CE,AC=BC,

**?△ACD=△BCE9

：.AD=BE,zl=42,

在Rt△力BC中，zl+z3+z4=90°,

Az2+z3+z4=90°,

：zAHB=90°,

：.AD1BE.

（3）AD=VS-1或4。=A/5+1

【題型2“半角”模型】

【典例2】（秋?錦江區期末）在AABC中，A8=AC,點E,尸是邊8C所在直線上與點8,

C不重合的兩點.

（1）如圖1,當NBAC=90°,NEAP=45°時，直接寫出線段BE,CF,所的數量關

系；（不必證明）

（2）如圖2,當NBAC=60°,ZEAF=30°時，已知8E=3,CF=5,求線段E尸的長

度；

（3）如圖3,當NA4C=90°,NEA尸=135°時，請探究線段CE,BF,跖的數量關系，

【解答】解：（1）結論：EF2=BE2+CF2.

理由：VZBAC=90°,AB=AC,

.?.將AABE繞點A逆時針旋轉90°得△ACG,連接FG,如圖1中,

：.AG^AE,CG=BE,ZACG^ZB,ZEAG=90°,

：.ZFCG=ZACB+ZACG=ZACB+ZB=9O°,

：.FG2=FC2+CG2=8^+FC2；

又：/胡尸=45°,

而/EAG=90°,

ZGAF=90°-45°=45°,

：.ZEAF=ZGAF,

'：AF=AF,AE=AG,

：.AAEF^AAGF(SAS),

：.EF=FG,

:.EF2=B^+CF2.

(2)如圖2中，VZBAC=6Q°,AB=AC,

.,.將△ABE繞點A逆時針旋轉60°得△ACG,連接PG,作GHLBC交BC的延長線于

H.

圖2

VZBAC=60°,ZEAF=30°,

/.ZBAE+ZCAF=ZCAG+ZCAF=ZFAG=30°,

：.ZEAF=ZFAG,

'：AF=AF,AE=AG,

：.AAEF^AAGF(SAS),

：.EF=FG,

在RtZ\CGH中，,:CG=BE=3,NGC8=60°,

.*.ZCGH=30°,

:.CH=LCG=3,GH

22

在RtZXFGH中，FG

：.EF=FG=1.

(3)結論：EF2^EC2+BF2

理由：如圖3中，將△AEC繞點A順時針旋轉90°,得至QABG,連接FG.

C

：.ZABC=ZACB=45°,

AACE^AABG,

：.ZCAE=ZBAG,EC=BG,ZACE=ZABG=45°,

：.ZCAB=ZEAG=90°,ZGBF=90°,

ZMG=360°-ZEAF-Z￡AG=360°-135°-90°=135

：.ZFAE=ZFAG,

'：FA=FA,AG=AE,

：./\FAE^/\FAG(SAS),

:.EF=FG,

在Rt△尸BG中，VZFBG=90°,

：.FG1=BG2+BF2,

'：FG=EF,BG=EC,

：.EF2^EC1+BF2.

【變式2-1】(春?金牛區校級期中)類比探究：

(1)如圖1,等邊△ABC內有一點P,若AP=8,BP=15,CP=17,求/APB的大小；

(提示：將繞頂點A旋轉到△ACP處)

(2)如圖2,在△A8C中，ZCAB=90°,AB=AC,E、E為8C上的點，1,Z￡AF=

45°.求證：EF1=BEr+FC1^

(3)如圖3,在△A8C中，ZC=90°,NABC=30°，點。為△ABC內一點，連接A。、

BO、CO,且/4。。=/。。2=/8。4=120°,若AC=1,求0A+02+0C的值.

卻圖2圖3

【解答】解：（1）如圖1,將繞著點A逆時針旋轉60°得到△ACP,

圖1

A△ACP,mAABP,

：.AP'=A尸=8、CP'=BP=15、ZAP'C=ZAPB,

由題意知旋轉角/必尸'=60°,

.,.△APP,為等邊三角形，

：.PP'=AP=8,ZAP'P=60°,

■:PP'2+P'C2=82+152=172=PC2,

：.ZPP'C=90°,

AZAPB=ZAP'C=ZAP'P+ZPP'C=60°+90°=150°

(2)如圖2,把△A8E繞著點A逆時針旋轉90°得到△ACE',

貝ijAE'=AE,CE'=CE,ACAE'=/BAE,

'：ZBAC=90°,ZEAF=45°,

ZBAE+ZCAF=ZCAF+ZCAE'=ZFAE'=45°,

：.ZEAF=ZE'AF,S.AE=AE,AF=AF,

：.△A￡F^AAE,尸(SAS),

：.EF=E'F,

VZB+ZACB=90°,

ZACB+ZACE'=90°,

AZFCE'=90°,

：.E'F1=CF2+CE'2,

.\EF2=BE2+CF2；

:在RtZXABC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=3Q°,

：.AB=2,

=22

BCVAB-AC=a'

VAAOB繞點B順時針方向旋轉60°,

:.MNO'8如圖所示；

NA'BC=ZABC+600=30°+60°=90°,

VZACB=90°,AC=1,NA8C=30°,

.,.AB=2AC=2,

,.?△AOB繞點2順時針方向旋轉60°,得到O'B,

B=AB=2,BO=BO',A'O'=AO,

：.^BOO'是等邊三角形，

；.BO=OO',ZBOO'=NBO'0=60°,

VZAOC=ZCOB=ZBOA=120°,

：.ZCOB+ZBOO'=ZBO'A'+ZBO'0=120°+60°=180°,

：.C,0、A'、O'四點共線,

在RtZXA'2C中，A'C=7BC2+A7B2=)

：.OA+OB+OC=A'O'+00'+OC=A'C=47-

【變式2-2](2022春?西山區校級月考)如圖，已知正方形ABC。，點E、/分別是A3、

BC邊上,且/即尸=45°,將△ZME繞點。逆時針旋轉90°,得到△OCM.

(1)求證：△EDFZAMDF；

(2)若正方形A8CZ)的邊長為5,AE=2時，求EP的長？

【解答】(1)證明：???四邊形ABCD是正方形，

AZA=ZB=ZDCF=90°,AO=AB=BC=5,

由旋轉得：

ZA=ZDCM=90°,DE=DM,ZEDM=9Q°,

：.ZDCF+ZDCM=180°,

：.F,C、M三點在同一條直線上，

VZ￡DF=45O,

/FDM=/EDM-NEDC=45°,

/EDF=FDM,

,:DF=DF,

:AEDF經AMDF(SAS)；

(2)設CF=x,

：.BF=BC-CF=5-x,

由旋轉得：AE=CM=2,

BE=AB-AE=3,FM=CF+CM=2+x,

■:△EDF^AMDF,

：.EF=FM=2+x,

在中，BE2+BF2^EF2,

；.9+(5-x)2(2+x)2

..?八丫=—15,

7

C.EF—1+x—-^-,

7

.,.斯的長為

7

【變式2-3](2022春?路北區期末)如圖，在邊長為6的正方形4BC。內作/EAE=45°,

AE交BC于點E,AF交CD于點、F,連接EE,將△AOP繞點A順時針旋轉90°得到△

ABG.

(1)求證：GE=FE；

【解答】(1)證明：?.?將繞點A順時針旋轉90°得到△ABG,

AADF^AABG,

：.DF=BG,ZDAF=ZBAG,

VZ￡)AB=90°,ZEAF=45°,

：.ZDAF+ZEAB=45°,

：.ZBAG+ZEAB^45°,

：.ZEAF=ZEAG,

在△EAG和△￡>1/中，

'AG=AF

-ZEAG=ZEAF>

AE=AE

.,.△EAG^AEAF(SAS),

:.GE=FE,

(2)解：設BE=x,貝！|GE=BG+BE=3+x,CE=6-x,

.9.EF=3+x,

■:CD=6,DF=3,

ACF=3,

VZC=90°,

/.(6-x)2+32—(3+x)2,

解得，x—2,

即BE=2,

【變式2-4](2022秋?山西期末)閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務：

從正方形的一個頂點引出夾角為45°的兩條射線，并連接它們與該頂點的兩對邊的交點

構成的基本平面幾何模型稱為半角模型.半角模型可證出多個幾何結論，例如：

如圖1,在正方形ABCZ)中，以A為頂點的/EAF=45°,AE、AF與BC、C￡＞邊分別交

于￡、尸兩點.易證得EF=BE+FD.

大致證明思路：如圖2,將尸繞點A順時針旋轉90°,得到由NH8E=180°

可得”、B、E三點共線，/HAE=NEAF=45°,進而可證明故EF=

BE+DF.

圖1圖2圖3

如圖3,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB=ZD=90°,ZBA￡)=120°,以4為頂點

的/EAF=60°,AE,AB與BC、CO邊分別交于￡、P兩點.請參照閱讀材料中的解題

方法，你認為結論EF^BE+DF是否依然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，

請說明理由.

【解答】解：成立.

證明：將繞點A順時針旋轉120°得到

ZABM=ZD=90°,ZMAB=ZFAD,AM=AF,MB=DF,

：.NMBE=ZABM+ZABE^180°,

：.M,B、E三點共線,

AZMAE=ZMAB+ZBAE^ZFAD+ZBAE=ZBAD-ZEAF=60",

：.ZMAE=ZFAE,

'：AE=AE,AM=AF,

：.AMAE^AME(SAS),

：.ME=EF,

：.EF=ME=MB+BE=DF+BE.

【題型3構造旋轉模型解題】

【典例3】（九上?江津期中）請閱讀下列材料：

問題：如圖1,在等邊三角形ABC內有一點P,且PA=2,PB=V3,PC=1、求/BPC

度數的大小和等邊三角形ABC的邊長.

李明同學的思路是：將ABPC繞點B逆時針旋轉60。，畫出旋轉后的圖形（如圖2）,

連接PP',可得△P'PB是等邊三角形，而APP，A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理

可證），所以NAP，B=150。,而/BPC=NAP，B=150。,進而求出等邊△ABC的邊長為V7,

問題得到解決.

請你參考李明同學的思路，探究并解決下列問題：如圖3,在正方形ABCD內有一

點P,且PA=芯，BP=V2,PC=1.求NBPC度數的大小和正方形ABCD的邊長.

將ABPC繞點B逆時針旋轉90。，得ABP'A,則ABPC絲ZXBP'A.

.\AP,=PC=1,BP=BP，=V2;

連接PP\

在RtABPT中,

,.,BP=BPf=V2，NPBP，=90。，

：.PP'=2,ZBPT=45°；

在△APT中，AP，=1,PP，=2,AP=V5,

?；12+22=（遮）2,即Ap，2+pp，2=Ap2；

APT是直角三角形，即NAP，P=90。，

?.ZAP'B=135°,

.,.ZBPC=ZAP,B=135°.

過點B作BE±AP\交AP，的延長線于點E,

，NBEP，=90。，

：ZAP'B=135°,

，NEP'B=45°,

...△BEP，是等腰直角三角形，

；BP，=V2,

.,.EP,=BE=1,

.,.AE=AP,+EP,=2；

.?.在R3ABE中，由勾股定理，得AB=V^；

.,.ZBPC=135°,正方形邊長為V5.

【變式3-1］（九上?南昌月考）如圖，在等邊三角形ABC內有一點P,且24=2,PB=

V3,PC=1,求乙BPC的度數和等邊三角形ABC的邊長.

【解答】解：???ZMBC是等邊三角形

/.LABC=60°

將ABPC繞點B順時針選轉60°,連接BP'

X

.\AP'=CP=1,BP'=PB=點，ZBPC=￡.P'BA,乙AP'B=LBPC

■:乙PBC+乙ABP=/.ABC=60°

，乙ABP'+4ABp=乙4BC=60°

J.AP'PB是等邊三角形

:.PP'=陋，￡.PP'B=60°

'CAP'=1,AP=2

-'-AP'2+PP'2=AP2

：.^PP'A為直角三角形

J./-BPC=乙AP'B=150°

過點B做BMJ.AP',交AP'的延長線于點M

:.乙MP'B=30°,BM=彩

Ia

.".PM=|

-'-AM=1+|=|

由勾股定理得：AB=7AM2+BM2=V7

.??等邊三角形ABC的邊長為V7.

【變式3-2】(九上?德州期中)當圖形具有鄰邊相等的特征時，我們可以把圖形的一部分

繞著公共端點旋轉，這樣將分散的條件集中起來，從而達到解決問題的目的.

(1)如圖1,等腰直角三角形ABC內有一點P,連接AP,BP,CP,ZAPB=135°,

為探究AP,BP,CP三條線段間的數量關系，我們可以將AABP,繞點A逆時針旋轉

90°得到AACP',連接PP',則PP'=AP,△CPP'M三角形，AP,

BP,CP三條線段的數量關系是.

(2)如圖2,等邊三角形ABC內有一點P,連接AP、BP、CP,NAPB=150。，請

借助第一問的方法探究AP、BP、CP三條線段間的數量關系.

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，AD〃BC,點P在四邊形的內部，且PD=PC,

ZCPD=90°,ZAPB=135°,AD=4,BC=5,請直接寫出AB的長.

【解答】(1)應；直角；PC2=BP2+2AP2

(2)解：如圖所示，將△ABP繞點B順時針旋轉60。得到&CBP',連接PP',

由旋轉的性質可得：BP'=BP,Z-CP'B=乙4PB=150°,乙PBP'=60°,AP'=

AP,CP'=AP,

/.△BPP'是等邊三角形，

：.BP=PP',乙BP'P=60°,

:.乙PP'C=LCP'B—乙BP'P=90°,

?'?PC2=PP'2+P'C2，

/.PC2=BP2+AP2；

(3)解：AB=V41

【題型4奔馳模型解題】

【典例4】(2023?嶗山區模擬)閱讀下面材料：

小偉遇到這樣一個問題：如圖1,在正三角形ABC內有一點P,且必=3,PB

=4,PC=5,求NAP3的度數.

小偉是這樣思考的:如圖2,利用旋轉和全等的知識構造C,連接PP,

得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決.

請你回答：圖1中NAP5的度數等于150。.

參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：

(1)如圖3,在正方形ABCD內有一點P,且m=簿，PB=1,PD=A，

則NAP3的度數等于135°,正方形的邊長為石

(2)如圖4,在正六邊形A3CDER內有一點P,且必=2,PB=1,PF=yfl3,

則NAP3的度數等于120°,正六邊形的邊長為

V7.

【答案】見試題解答內容

【分析】閱讀材料：把AAPB繞點A逆時針旋轉60。得到△ACP,根據旋

轉的性質可得PA^PA,P'C=PB,APAP'=60°,然后求出△APP是

等邊三角形，根據等邊三角形的性質求出PP'=PA=3,ZAP'尸=60°,再

利用勾股定理逆定理求出NPPC=90°,然后求出NAPC,即為NAP3的

度數；

(1)把△APB繞點A逆時針旋轉90°得到△ADP,根據旋轉的性質可得P

A=PA,P'D=PB,NPAP，=90°,然后判斷出△APP是等腰直角三角形，

根據等腰直角三角形的性質求出PP',ZAP'P=45。，再利用勾股定理逆

定理求出NPP。=90°,然后求出NAPD,即為NAP3的度數；再求出點

P、P、3三點共線，過點A作AELPP于E,根據等腰直角三角形的性質

求出AE=PE=』PP,然后求出BE,在RtZXABE中，利用勾股定理列式求

2

出即可；

(2)把△APB繞點A逆時針旋轉120°得到△Af'P,根據旋轉的性質可得

P'A=PA,P'F=PB,ZPAP'=120°,然后求出△APP是底角為30°

的等腰三角形，過點A作AA/LPP于設PP與AP相交于N,求出AM

=1,再求出PP,ZAP'P=30°,再利用勾股定理逆定理求出NPPF=

90°,然后求出NAPE即為乙4PB的度數；根據PGAM的長度得到P

F=AM,利用“角角邊”證明△AMN和△EPN全等，根據全等三角形對應

邊相等可得AN=RN,P'N=MN,然后求出航N,在RtaAMN中，利用勾股

定理列式求出AN,然后求出Ab即可.

【解答】解：閱讀材料：把aAPB繞點A逆時針旋轉60°得到△ACP,

由旋轉的性質，P'A=FA=3,P'D=PB=4,ZPAP'=60°,

AAAPP'是等邊三角形，

：.PP'=必=3,ZAP'P=60°,

"：PP'2+p1=32+42=25,PC2=52=25,

：.PP'2+P'—PC2,

：.ZPP'C=90°,

AZAP'C=NAP'P+ZPP'C=60°+90°=150°；

故NAPB=NAPC=150°；

(1)如圖3,把繞點A逆時針旋轉90°得到△ADP,

由旋轉的性質，P'A=B4=2&,P'D=PB=LZPAP'=90°,

：.AAPP'是等腰直角三角形，

：.PP'=61PA=近1乂2?=4,ZAP'P=45°,

'：PP'2+P'D2=42+l2=17,PD2=V172=17,

：.PP'2+P'D2=PD2,

：.ZPP'0=90°,

AZAP'D=ZAP'P+ZPP'D=45°+90°=135°,

故，ZAPB=ZAP'￡)=135°,

ZAPB+ZAPP'=135°+45°=180°,

.?.點P、P、3三點共線，

過點A作AELPP于E,

則AE=PE=1PP=1X4=2,

22

：.BE=PE+PB=2+1=3,

在RtAABE中，AB=+gg2=J22+32=；

(2)如圖4,?.?正六邊形的內角為工X(6-2)*180°=120°,

6

...把△APB繞點A逆時針旋轉120°得至UZXAFP,

由旋轉的性質，P'A=PA=2,P'F=PB=1,ZPAP'=120°,

AZAPP'=ZAP'P=X(180°-120°)=30°,

2

過點人作人”，/3。于M,設PP與AR相交于N,

則AAf=』B4=』X2=l,

22

P'M=PM="\/PA2-AM2=V22-l2=>

：.PP'=2PM=243,

■:PP‘2+pp=(2A/3)2+12=13,PF2=V132=13,

：.PP'2+p尸2=尸尸2,

：.ZPP'F=90°,

AZAP'F=ZAP'P+ZPP'尸=30°+90°=120°,

故，ZAPB=ZAP'尸=120°,

,:P'F=AM=1,

「△AAW和△f'PN中，

'/PP'F=ZAMN=90°

<NP'NF=ZANM，

P，F=AM

AAAMN^AFP'N(44S),

：.AN=FN,P'N=MN=1P'M=?,

22

在RtA4MN中，AN=7AM2+MN2=^12+(^)=*,

【變式4-1](2023春?廣東期中)18.如圖，P是正三角形ABC內的一點，且

PA=6,PB=8,PC=10.若將△出C繞點A逆時針旋轉后，得至U△的鉆.

(1)ZMAP=60°,連接PM,則6；

（2）求NAP3的度數.

【答案】（1）60,6；（2）150°.

【分析】（1）連接根據等邊三角形的性質得AB=AC,ZBAC=6Q°,

再根據旋轉的性質得AA/=AP,ZMAP=ZBAC=60°,BM=CP=10,則可

判斷△AMP為等邊三角形；

（2）根據旋轉可以得到MP=AP=6,ZAPM=6Q°,在中通過計算

得到PM2+PB2=BM2,根據勾股定理的逆定理得/87%?=90°,然后利用/

APB=ZAPM+BPM進行計算即可.

【解答】解：（1）如圖，連接

ZSABC為等邊三角形，

：.AB^AC,ZBAC=60°,

C繞點A逆時針旋轉后，得到△M43,

：.AM=AP,ZMAP=ZBAC=60°,BM=CP=10,

△AMP為等邊三角形，

：.MP=AP=6,ZAPM=60°；

故答案為：60,6；

（2）在中，PM=6,BM=10,PB=8,

V62+82=102,

:.PM2+PB2^BM2,

：.ZBPM=9Qa,

ZAPB=ZAPM+BPM=600+90°=150°.

【變式4-2]（2023春?古田縣期中）閱讀材料，解決問題：

（1）如圖①等邊△ABC內有一點P,若點P到頂點43、C的距離分別為5,

12,13,求NAPB的度數.為了解決本題，我們可以將△A3P繞頂點A旋轉

到△ACP處，止匕時△ACP咨AABP,這樣就可以利用旋轉變換，將三條線

段以、PB、PC轉化到一個三角形中，從而求出BAPB=150°；

(2)請你利用第(1)題的解答思想方法，解答下面問題，已知如圖②，△

A3C中，ZCAB=90°,AB=AC,E、R為3c上的點且NEAR=45°,求證：

EF2=B^+FC2.

【分析】(1)根據旋轉變換前后的兩個三角形全等，全等三角形對應邊相等，

全等三角形對應角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答；

(2)把AABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ACE',根據旋轉的性質可得

AE'=AE,CE'=CE,NC4E'=/BAE,/ACE'=ZB,ZEAE'=90°,

再求出NE'AF=45°,從而得到NE4R=NE'AF,然后利用“邊角邊”證

明△E4R和ARAR全等，根據全等三角形對應邊相等可得E'F=EF,再利

用勾股定理列式即可得證.

【解答】解：(1)VAACPZ^AABP,

：.AP'=AP=5.CP'=BP=12、ZAP'C=ZAPB,''

由題意知旋轉角NHP=60°,

.,.△APP為等邊三角形，

PP'=AP=5,ZAP'P=60°,

在APP，C中，PP'=5,CP'=12,PC=13,

而52+122=132,

:.△PP'C為直角三角形，且NPPC=90°,

AZAPB=ZAP'C=ZAP'P+ZPP'C=60°+90°=150°；

故答案為：150°；

(2)證明：如圖，把△A5E繞點A逆時針旋轉90°得到△ACE，,

由旋轉的性質得，AE'=AE,CE'=BE,NCAE'=/BAE,NACE'=N

B,ZEAE'=90°,

VZEAF=45°,

AZE'AF=ZCAE'+ZCAF=ZBAE+ZCAF=ZBAC-ZEAF=90°-45°

二45。，

：.NEAF=NE，AF,

在△E4R和ARAb中，

'AE=AE'

-ZEAF=ZEyAF，

AF=AF

AAEAF^AE1AF(SAS),

：.E'F=EF,

"：ZCAB=9Q°,AB=AC,

ZB^ZACB=45°,

ZE'CF=45°+45°=90°,

由勾股定理得，E'F2=CE'^FC2,

即EF2=BE2+FC2.

【變式4-3］（2023春?市南區期中）如圖，點。是等邊△ABC內一點，。是△

A3C外的一點，ZAOB=100°,ZBOC=a,將△BOC繞點C順時針旋轉

60°得△ADC,連接0D

（1）當a=150°,ZODA=90°；

（2）當a為多少度時，△A。。是等腰三角形？說明理由.

A

【答案】(1)ZODA=90°；(2)a=100°,a=130°,a=160°△A。。

為等腰三角形.

【分析】(1)由旋轉可以得出OC=DC,ZDCO=60°,就可以得出△ODC

是等邊三角形，就可以得出NODC=60°,從而得出NA。。；

(2)由條件可以表示出N49C=260°-a,就有NAOD=200°-a,ZADO

=a-60°,當ZDAO=ZDOA,ZAOD=ADO或ZOAD=ZODA時分別求

出a的值即可.

【解答】解：(1)..?△50C繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC,

AABOC^AADC,△ODC為等邊三角形，

AZBOC=ZADC=150°,ZODC=60°

：.ZADO=150°-60°=90°；

故答案為：NOD4=90°；

(2)VZAOB=100°,ZBOC=a,

：.ZAOC=260°-a.

,.,△OCD是等邊三角形，

AZDOC^ZODC=6Q°,

AZADO=a-60°,ZAOD=200°-a,

①當ND4O=NZXM時，

2(200°-a)+a-60°=180°,

解得：a=160°

②當NAOD=A。。時，

200°-a=a-60°,

解得：a=130。，

③當時，

200°-a+2(a-60°)=180°,

解得：a=100°,

.,.a=100°,a=130°,a=160°△AOD為等腰三角形.

【變式4-4](2023春?金牛區校級月考)如圖，在等邊△ABC中，點。為△ABC

內的一點，ZADB=120°,ZADC=90°,將AD繞點A逆時針旋轉60°得

AE；

(1)求證：AABD/AACE；

(2)求NDCE的度數；

(3)若BD=1,求AD,CD的長.

【答案】(1)證明見解析；(2)ZDCE=9Q°；(3)AD=2,DC=43-

【分析】(1)利用旋轉的性質和等邊三角形的性質先判斷出△ADE是等邊三

角形即可；

(2)利用四邊形的內角和即可求出結論；

(3)先求出8,再用勾股定理即可求出結論.

【解答】(1)證明：???將AD繞點A逆時針旋轉60°得AE,

ZDAE=60°,

/XADE為等邊三角形，

,/ZVIBC為等邊三角形，

：.AD=AE,BA=CA,NB4c=60°,

NEAC=/DAB,

在△ABD和△ACE中，

'AD=AE

-ZEAC=ZDAB-

CA=BA

...△ABZ汪△ACE(SAS)；

(2)解：VAABD^AACE,

AZAEC^ZADB=120°,

而NADC=90°,ZDAE=6Q°,

AZDCE=360°-ZADC-ZAEC-ZDAE=90°；

(3)解：?.,△ADE為等邊三角形，

AZADE=60°,

ZCDE=ZADC-/ADE=30°,

又,：/DCE=90°,

：.DE=2CE=2BD=2,

:.AD=DE=2,

在Rtz\DCE中，DC=\DE2-CE2=,

【變式4-5](2022春?侯馬市期末)如圖①，△A3C和△ADE中，ZBAC=Z

DAE=9Q°,點。、E分別在邊A3、AC上，ZABC=ZADE=45°.

(1)如圖②，將△ADE繞點A逆時針旋轉到如圖位置，若NB4D=30°,求

/BAE的度數；

(2)如圖②，將△ADE繞點A逆時針旋轉過程中，當旋轉角度a=45°或

225°時,直線AC與DE垂直(0°<a<360°)；

(3)如圖③，△ADE繞點A在平面內自由旋轉，連接3D,且AD=4,AB=

10,求3。的最大值和最小值.

(2)45°或225°；

(3)5。的最大值是14,最小值是6.

【分析】(1)根據ND4E=90°,即可得NA4E的度數；

(2)分兩種情況畫出圖形，根據角的和差即可求解；

(3)當AD旋轉到射線BA的延長線上時，BD最大；當AD旋轉到線段AB

上時，8D最小，分別畫出圖形即可求解.

【解答】解：（1）'：ZBAD=30°,ZDAE=9Q°,

：.ZBAE=ZBAD+ZDAE=300+90°=120°.

（2）①垂足在線段AC上時，

AZDAC=45°,

VZBAC=90°,

ZBAD=45°,即旋轉角度a=45°；

②垂足在線段AC延長線上時，

'：AC±DE,ZADE=45°,

AZDAH=45°,

VZBAC=9Q°,

二旋轉角度a=90°+180°-45°=225°；

故答案為：45°或225°.

(3)當A0旋轉到線段24的延長線上時，BD最大,此時5O=AB+AD=10+4

當旋轉到線段A3上時，3。最小，止匕時AD=10-4=6.

：.BD的最大值是14,最小值是6.

【題型5費馬點模型解題】

【典例5】（秋葉B江區期末）背景資料：

在已知△ABC所在平面上求一點P,使它到三角形的三個頂點的距離之和最

小.

這個問題是法國數學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，

所求的點被人們稱為“費馬點”.

如圖①，當△ABC三個內角均小于120°時，費馬點尸在△ABC內部，此時

ZAPB=ZBPC=ZCFA=120°,此時，的值最小.

解決問題：

（1）如圖②，等邊AABC內有一點P,若點P到頂點A、B、C的距離分別

為3,4,5,求NAP3的度數.

為了解決本題，我們可以將繞頂點A旋轉到△ACP處，此時△ACP

^AABP,這樣就可以利用旋轉變換，將三條線段以，PB,PC轉化到一個三

角形中，從而求出NAP3=150°；

基本運用：

（2）請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：

如圖③，△ABC中，ZCAB=90°,AB=AC,E,R為3c上的點，且NE4R

=45°,判斷BE,EF,PC之間的數量關系并證明；

能力提升：

（3）如圖④，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°，點P為

RtA4BC的費馬點，連接AP,BP,CP,求必+P3+PC的值.

圖③圖⑷

【答案】見試題解答內容

【分析】(1)根據旋轉變換前后的兩個三角形全等，全等三角形對應邊相等，

全等三角形對應角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答；

(2)把AABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ACE',根據旋轉的性質可得

AE'=AE,CE'^CE,ACAE'=/BAE,/ACE，=NB,/EAE'=90°,

再求出NRAF=45°,從而得到/EAF=/E'AF,然后利用“邊角邊”證

明△EAR和ARAR全等，根據全等三角形對應邊相等可得E'F=EF,再利

用勾股定理列式即可得證.

(3)將繞點5順時針旋轉60°至P'3處，連接PP',根據直

角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB=2AC,即3的長，

再根據旋轉的性質求出△3PP是等邊三角形，根據等邊三角形的三條邊都相

等可得BP=PP',等邊三角形三個角都是60°求出NBPP=/BP'P=

60°,然后求出C、P、4、P四點共線，再利用勾股定理列式求出4C,

從而得至UB4+P3+PC=A'C.

【解答】解：(1)VAACP1SABP,

：.AP'=AP=3、CP'=BP=4、ZAP'C=NAPB,

由題意知旋轉角NR1P=60°,

P為等邊三角形，

PP'=AP=3,ZAP'P=60°,

易證C為直角三角形，且NPPC=90°,

AZAPB=ZAP'C=ZAP'P+ZPP'C=60°+90°=150°；

故答案為：150。；

(2)EF2=BE2+FC2,理由如下：

如圖2,把△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ACE',

由旋轉的性質得，AE'=AE,CE'