本章小結：（1）介紹了從被控對象或控制系統的工藝機理出發，建立系統或對象數學模型的方法主要目的－分析、設計控制系統前提和基礎：獲得被控對象的特性－建立數學模型3種方法:機理模型－白箱子系統辨識－黑箱子兩者結合－灰箱子控制學科的重要分支客觀世界可以認識已建立從裝置到企業級的數學模型，成為控制、管理、營銷的基礎（2）介紹了兩種描述系統或對象的動態特性的方法微分方程（基本）傳遞函數（最常用的工具）（方塊圖和信號流圖）介紹了這幾種模型之間的轉換。微分方程（基礎）－描述變量間特性關系，求解復雜傳遞函數（最常用的工具）微分方程轉化為代數方程從環節的傳遞函數→系統的方塊圖→求系統的傳遞函數方塊圖變換信號流圖時域分析法:分析當控制系統輸入變化時，其輸出隨時間變化的響應特性。R(s)Y(s)根據系統的數學模型求解出系統的時間響應,如y(t)=f(r(t))由系統輸出響應分析系統特性評價和設計控制系統

r(t)ty(t)t1第三章

控制系統的時域分析方法動態響應：過渡過程或瞬態過程，反映出系統的動態性能；輸出響應注意：系統達到穩態時，不一定輸出數值不變，而是輸出的變化形式固定不變，它們與輸入信號的作用形式有關。穩態響應：反映出系統的穩態性能指當時間趨于無窮大時系統的輸出狀態。指在輸入信號作用下，系統輸出從初始狀態變化到最終狀態的響應過程。y(t)t13.1控制系統的過渡過程形式及性能指標

●在分析和設計控制系統時，需要有一個對各種系統性能進行比較的基礎。

●從實際應用中抽象出一些典型的輸入信號，它們具有廣泛的代表性和實際意義。

●通過比較各類系統對這些典型試驗信號的響應來分析它們的性能。

3.1.1控制系統的輸入信號

常用的典型試驗信號：

r(t)tr(t)tr(t)tr(t)tA(a)階躍信號(c)斜坡信號(d)加速度信號(e)正弦信號圖3-1典型試驗信號r(t)t(b)脈沖信號

時間的簡單函數，便于數學分析和研究3.1.1.1

階躍輸入信號階躍輸入信號可表示為(圖3-1(a))：

A為階躍信號的幅值，為常數A等于1時叫做單位階躍信號，記做1(t)，否則記為A·1(t)最經常采用的試驗信號，用來表示突變的信號，如電源斷電和設備故障等

階躍干擾是最嚴重的擾動形式r(t)tA(a)階躍信號3.1.1.1

階躍輸入信號階躍輸入信號可表示為(圖3-1(a))：

例如：室溫調節，水位調節系統，以及工作狀態突然改變或突然受到恒定輸入作用的控制系統。r(t)tA(a)階躍信號3.1.1.2單位脈沖信號單位脈沖輸入信號又稱δ(t)函數，它是圖3-1(b)在ε→0時的極限情況，可表示為：

用來表示沖擊型的脈沖擾動理想的δ(t)函數無法得到，持續時間非常短的脈動信號就認為是脈沖信號

r(t)t(b)脈沖信號3.1.1.3斜坡信號A為常數，此信號幅值隨時間t作等速增長，其變化速率為A

用來表示隨時間漸變的輸入函數

若A等于1，稱為單位斜坡信號斜坡輸入信號可表示為(圖3-1(c))：r(t)t(c)斜坡信號3.1.1.4拋物線(加速度)信號

A為常數，此信號幅值隨時間以加速度A增長最適合用作航天器控制系統的試驗信號若A等于1，稱為單位拋物線信號拋物線輸入信號可表示為(圖3-1(d))：r(t)t(d)拋物線信號3.1.1.5正弦信號A為常數，表示正弦輸入信號的幅值該信號隨時間以頻率ω作等幅振蕩用來描述交流電源、電磁波等周期信號

正弦輸入信號可表示為(圖3-1(e))：r(t)t(e)正弦信號究竟使用哪種典型信號分析系統？取決于系統在正常工作時最常見的輸入信號形式若輸入是突然的脈動－脈沖信號若輸入是突變的躍變－階躍信號若輸入隨時間逐漸變化－斜坡信號若輸入是周期信號－正弦信號……究竟使用哪種典型信號分析系統？取決于系統在正常工作時最常見的輸入信號形式通常使用單位階躍信號作為典型輸入信號，在同一的基礎上對各種控制系統的特性進行比較和研究r(t)t1單位階躍信號在多有可能的輸入信號中，選取最不利的信號作為系統的典型輸入信號進行研究3.2一階系統的動態響應一階線性系統：可用一階線性微分方程描述的系統。描述一階系統動態特性的微分方程式的標準形式：T稱為時間常數，表示系統的慣性大小K表示對象的增益或放大系數傳遞函數是：(3-6)（假設K＝1，系統的初始條件為零。）3.2.1單位階躍響應單位階躍1(t)的拉氏變換為：(3-7)把(3-7)式代入(3-6)式(K=1):，取拉氏反變換有：(3-8)(3-6)由式（3-8）求出：一階系統單位階躍響應是單調上升的指數曲線(3-8)t＝T時，y(T)＝1-e-1＝0.632ty(t)0T2T3T4T5Tt＝5T時,y(5T)＝0.993…t＝4T時,y(4T)＝0.982t＝3T時,y(3T)＝0.95t＝2T時,y(2T)＝0.86563.2％86.5％98.2％99.3％B1A0.63295％說明：2、工程上，以響應曲線達到穩態值誤差的2%（或5％）所需的時間，記為過渡時間(調節時間),記作ts。1、一階系統的單位階躍響應的穩態誤差是零3、對一階系統來說，ts是四倍（三倍）的時間常數,即ts=4T（ts=3T）。4、時間常數T反應一個系統的慣性，時間常數越小,系統的響應就越快，反之，越慢。一階系統也被稱為一階慣性系統。對（3-8）式求導：研究輸出曲線的變化速率:(3-8)T—1ty(t)0T2T3T4T5T163.2％86.5％98.2％99.3％A0.63295％斜率=1/T1.

一階系統階躍響應曲線的另一個重要特性是在t＝0處切線的斜率等于1/T。2.

一階系統如能保持初始反應速度不變，則當t＝T時，輸出將達到其穩態值。3.

實際上，一階系統過渡過程y(t)的變化速率，隨著時間的推移，是單調下降的。ty’(t)0T2T3T一階系統單位階躍響應的重要性質：總結：ty(t)0T2T3T4T5TB163.2％86.5％98.2％99.3％A0.63295％斜率=1/T1、經過一倍時間常數，即t=T時，系統從0上升到穩態值的63.2%。2、在t＝0處曲線切線的斜率等于1/T。3、當t＞4T時，一階系統的響應曲線已經達到穩態值（穩態誤差小于2%）。實驗方法求取一階系統的傳遞函數：63.2％T對一階系統的單位階躍響應曲線，思考題：若系統增益K不等于1，系統單位階躍響應的穩態值應是多少？如何用實驗方法從響應曲線中求取K值？2、從t＝0處的切線斜率求得系統的時間常數。1、直接從達到穩態值的63.2%對應的時間求出一階系統的時間常數；3.2.2單位斜坡響應單位斜坡函數r(t)=t的拉氏變換為：把上式代入式(3-6)(K=1)，(3-6)取上式的拉氏反變換，即得系統的單位斜坡響應：它和輸入參數的誤差為[r(t)=t]：r(t)y(t)TTtx(t)y(t)te(t)0T2T3T4T5T63.2％TA0.632T特點：1、系統的動態響應是一個指數型的上升過程，先逐步加快，最后以輸入相同的速度直線升高，并與輸入相平行。2、系統的穩態響應為y(∞)=t－T，是一個與輸入斜坡函數斜率相同但時間遲后T的斜坡函數。3、輸出總是小于輸入，誤差逐步從零增大到時間常數T并保持不變，因此T也是穩態誤差。系統的時間常數T越愈小，系統跟蹤輸入信號的穩態誤差也越小。r(t)y(t)TTt0T2T3T4T5T0初始斜率1、一階系統的脈沖響應為一單調下降的指數曲線；2、說明系統的慣性越小（T越小），系統的響應越快。3.2.3單位脈沖響應系統輸出量的拉氏變換式就是系統的傳遞函數！注意：任何系統在單位脈沖輸入信號作用下，輸出的拉氏變換恰好為系統的傳遞函數。即對上式進行拉氏反變換，即得系統的單位脈沖響應函數g(t)：實驗測定系統的傳遞函數：常用單位脈沖信號作用于系統，來測定系統的單位脈沖響應，由此可以求得系統的傳遞函數。總結與分析：l

一階線性系統對輸入信號導數的響應，可以通過把系統對輸入信號的響應進行微分求得；這一結果適合(僅適用）所有的線性定常系統。l

系統對輸入信號積分的響應，可以通過把系統對原輸入信號的響應進行積分求得，而積分常數則由初始條件決定。t習題1：設單位反饋系統的單位階躍響應為：1、求系統的單位脈沖響應；2、求該系統的閉環傳遞函數和開環傳遞函數。解：1、對單位階躍響應求導，可得單位脈沖響應函數：2、對上式求拉氏變換，可得系統的閉環傳遞函數：可求出系統的開環傳遞函數：G0-Y(s)R(s)思考題：1、一階系統的特征參數K、T對過渡過程的影響。2、如何利用施加3種測試信號辨識一階系統的特征參數？00246810125101520K=20K=10K=200204060801001200.511.52T=20T=10在單位階躍信號作用下：T=403.3二階系統的動態響應3.3.1二階線性定常系統數學模型的標準形式某電機調速系統（見圖3-8）的開環傳遞函數為：圖3-8電機調速系統的閉環方塊圖其中，T是機電時間常數，K是增益。其閉環傳遞函數為：可轉換為下列的微分方程：寫成標準形式，令：有：標準傳遞函數：兩個特征參數：叫做系統的無阻尼自然頻率，具有1/時間的因次。叫做阻尼系數（阻尼比），無因次。有(3-14)求解這個二階系統的特征方程：可得它的兩個特征根（極點）(3-14)阻尼系數不同時特征根在s平面上的位置

（3-15）阻尼系數不同時特征根在s平面上的位置

（3-15）阻尼系數不同時特征根在s平面上的位置

（3-15）阻尼系數不同時特征根在s平面上的位置

（3-15）阻尼系數不同時特征根在s平面上的位置

（3-15）0<ζ<1欠阻尼ζ=1臨界阻尼ζ>1過阻尼ζ=0無阻尼ζ<0負阻尼阻尼系數不同時特征根在s平面上的位置

（3-15）3.3.2二階系統的單位階躍響應3.3.2.10＜ζ＜1時的欠阻尼情況這時系統有一對共軛復根：式中

，稱為有阻尼自然頻率。，稱為阻尼角。上式可改寫成取上式的拉氏反變換，有因此，Y(s)的拉氏反變換為：此時，y(t)的輸出為衰減振蕩過程。11.50.510-0.5051015(3-17)特點：①系統的單位階躍響應y(t)及其誤差信號e(t)均為衰減的正弦振蕩曲線。②其振蕩頻率為，衰減速度取決于ζωn。

③從（3-18）式中還可以看出，當時間趨于無窮大時，系統的誤差等于零。y(t)e(t)圖3-9欠阻尼二階系統的單位階躍響應1.50.510-0.5051015二階系統的誤差信號e(t)是：(3-18)

系統具有一對共軛純虛根將ζ＝0代入式(3-17)，可得到＝l-cosωnt由此可知，當阻尼比ζ＝0時，①

系統的階躍響應將變為等幅振蕩。②

穩態時仍是等幅振蕩。③

振蕩頻率為ωn。1211.50.5200246810頻率ωn和ωd具有鮮明的物理涵義:ωn是無阻尼(即ζ＝0)時二階系統等幅振蕩過程的頻率，因此也稱為無阻尼自然頻率。l

顯然，ωd低于ωn,且隨著ζ的增大，ωd的值減小。l

ωd＝是欠阻尼(0＜ζ＜1）時，系統衰減振蕩過程的振蕩頻率，因此稱為有阻尼自然頻率。1211.50.5200246810系統具有兩個相等的負實根

此時，由式(3-14)得到取上式的拉氏反變換，得二階系統的過渡過程：（3-14）ζ＝1時的過渡過程是一個無超調的單調上升過程。1.50.510-0.5051015ζ=1

系統具有兩個不等的負實根若令：則Y(s)可寫成：取上式的拉式反變換，得到：在二階系統的過渡過程y(t)中含有兩個衰減指數項；

其代數和決不會超過穩態值1；

二階系統的運動狀態是非振蕩的。1.50.510-0.5051015ζ=1.4ζ=13.3.2.5-1<ζ<0時的負阻尼情況

同（3-17）式。但是為指數增長的正弦振蕩。(3-17)在單位階躍函數作用下，當阻尼比ζ不同時，二階系統的過渡過程曲線示于圖。橫坐標是無因次變量ωnt。二階系統的標準曲線