天津市五區縣重點校2024-2025學年高二上學期期末聯考數學

試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.空間直角坐標系中，點P（2,3,4）關于xOz平面的對稱點是（）

A.（2,-3,4）B.（-2-3,4）C.（2,3,Y）D.（-2,3,4）

2.若直線/的一個方向向量為卜3,6），則它的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.已矢口數歹!!｛%｝的前九項和="一2",貝1]%+%+%等于（）

A.12B.15C.18D.21

4.以直線/：x+（根+2）、-3-根=0恒過的定點為圓心，半徑為血的圓的方程為（）

A.%?+y?—2x+2y-2B.-2x+2y—1

C.x2+y2-2x-2y+1=0D.x2y2-2x-2y=0

丫2Jjr

5.已知雙曲線.—七=1（〃〉0/>0）的兩條漸近線之間的夾角小于或，則雙曲線的離心率

cib3

的取值范圍是（）

A.（1,V2）B.）孚）C.（2,內）D.’當）32,+動

ab,、a,9

6.定義=ad-bc,已知數列｛%｝為等比數列，且。3=1，?=0,則%=（）

cd

A.3B.±3C.9D.±9

22

7.已知橢圓C：土+二=1的左、右焦點分別為片，F2,M為橢圓C上任意一點，N為圓

32~

E-.（>5）2+（丫-3）2=4上任意一點，則|肱7|-|町|的最小值為（）

A.3+273B.3-2#>C.5-273D.2+2出

22

8.已知雙曲線[-與=1（。>0,6>0）的一條漸近線與拋物線V=4x交于點A,點3是拋物

ab

線的準線上一點，拋物線的焦點/為雙曲線的一個焦點，且△麗為等邊三角形，則雙曲線

的方程為（）

7x27/7x27y2

A.----------------=1D.------------------=1

3443

3—4/7X17y2

C.----------------=1D.-----------------=1

771216

9.如果數列｛凡｝對任意的〃eN*,an+2~an+\>an+\~冊,則稱｛〃“｝為“速增數列”，若數列｛%｝

為“速增數列”，且任意項為wZ,%=1,g=3,4=456,則正整數上的最大值為（）

A.27B.28C.29D.30

二、填空題

10.兩條直線入彳-2了+1=0與。2x-4y-8=0之間的距離為.

11.已知圓G：/+丁=4與圓6：/+y?-8x+6y+%=0外切，此時直線/：3x+4y+5=0

被圓G所截的弦長為.

12.如圖，在正方體ABC。-A4G。］中，M,N分別為。8,AG的中點，則直線AM和

〃+]〃+]2〃+1

13.已知數列｛%｝滿足q=3,an+l-an=2,bn=(-1)"-----,則￡白=.

anan+li=l

22

14.已知雙曲線C:工-當=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為"、F],過點F?的直線/與C

ab

的右支相交于尸、Q兩點，若|尸。|：忸周：|。制=3：4:5,點尸位于第一象限，則雙曲線C的

離心率為.

15.如圖，已知拋物線E：y2=2px（p>。）的焦點為尸，過點E且斜率為1的直線交E于A,

B兩點,線段AB的中點為其垂直平分線交x軸于點C,MN1y軸于點N.若四邊形CMNF

試卷第2頁，共4頁

的面積等于則P的值為

三、解答題

16.設數列｛%｝是首項;，公比不為1的等比數列，數列｛2｝滿足2=㈣,.已知4,2%,3a3

成等差數列.

⑴求｛%｝和低｝的通項公式；

⑵求｛4｝的前〃項和S,,色｝的前"項和Tn.

17.如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，ABAC=90°,AB=AC=AAt=2,E是2C中點.

⑴求證：AB”平面AEG;

(2)求平面AEG與平面AB與A所成角的余弦值;

⑶求點A到平面AEG的距離.

221

18.己知橢圓C：1r+方=1伍>6>0)的離心率e=j,點M(2石,-石)在C上

(1)求橢圓C的方程;

(2)已知橢圓C的左頂點為A,過點A作斜率為左(左中。)的直線/交橢圓C于點尸，交y軸于

|AP|+|AD|

點。，若過原點。作直線/的平行線交橢圓C于點￡,求II的最小值.

OE\

22

19.已知橢圓C：—+與=1（。>6>0）的長軸長為4,以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形周

長為4A污.

（1）求橢圓的方程；

⑵直線>=履+根（而存0）與橢圓C交于A、B兩點，與y軸交于點線段A8的垂直平分

線與A8交于點尸，與y軸交于點。，。為坐標原點，如果NMOP=2NMQP,求上的值.

20.已知等差數列｛%｝,5,是數列｛q｝的前"項和，滿足$2=4,§4=16；數列抄“｝各項都

是正數，且滿足4=%,2=%-1，="+i（〃eN*）.

⑴求數列｛%｝和也｝的通項公式；

（67）6.，”為偶數,

⑵記c“=Janan+2''數列｛ca｝的前2”項和為應；

4,〃為奇數，

⑶在為和以+1，左￡N*中插入左個相同的數（-1廣1%，構成一個新數列｛4｝：

%,1,〃2,一2,-2,〃3,3,3,3,〃4,…，求｛4｝的前2025項和.

試卷第4頁，共4頁

《天津市五區縣重點校2024-2025學年高二上學期期末聯考數學試題》參考答案

題號123456789

答案ADBDDCBAC

1.A

【分析】可知點關于xOz平面的對稱點的橫坐標和豎坐標不變，縱坐標變為原來的相反數,

從而得出答案.

【詳解】根據對稱點坐標規律，空間直角坐標系中點尸（2,3,4）關于xOz平面的對稱點是

（2-3,4）.

故選：A.

2.D

【分析】根據方向向量可得斜率，即可根據斜率與傾斜角的關系求解.

【詳解】由于直線/的一個方向向量為卜3,石），故直線的斜率為一日，

故傾斜角為150°,

故選：D

3.B

【分析】利用S5-S2即可求得％+%+%的值.

【詳解】因為數列｛4｝的前"項和=n2-2n,

2

所以4+4+。5=$5-S2=5-2X5-（2?-2X2）=15.

故選：B.

4.D

【分析】首先需要求出直線恒過的定點，然后根據圓的標準方程。-。）2+“-6）2=/（其中

（。,6）為圓心坐標，r為半徑）來確定圓的方程.

【詳解】將直線/的方程x+O+2）y-3—根=0變形為x+2y-3+m（＞-1）=0

fx+2y—3=0

令《「八，解得x=l,y=L

[y-l=0

所以直線/恒過定點（1,1）,即圓心坐標為（L1）.

已知半徑r=五,所以圓的標準方程1尸+（y-1）2=（應＞.

答案第1頁，共14頁

展開可得J-2%+1+y?一2y+1=2,BPx2+j2-2x-2y=0.

故選：D.

5.D

【分析】根據題意分0<2<tan?或"tan?兩種情況，結合e，=J1+⑶一求解.

a6a3a\)

【詳解】解：因為雙曲線5-與=1(。>0/>0)的兩條漸近線之間的夾角小于g,

cib3

所以0<2<tan巴或—>tan—,

a6a3

即0<2</或->V3,又

a3a

所以eeLu（2,+oo）,

故選：D

6.C

【分析】首先根據行列式的定義計算出關于等比數列項的等式，再利用等比數列的性質求出

%的值.

a,9

【詳解】根據行列式的定義，對于c=0,可得44-9x9=0,即44=81.

9as

因為數列｛%｝是等比數列，根據等比數列的性質：所以。6%=%%=0；.

由a6a8=81,可得a；=81,則％=±9.

又因為生=1>。，等比數列奇數項符號相同，所以為=9.

故選：C.

7.B

【分析】根據三角形三邊之間的不等關系可得-2,再結合橢圓的定義將

|MN|凰化為|M2V|+1次|-2』，結合IMV|>|ME|-2以及圖形的幾何性質即可求得答

案.

22

【詳解】由題意知M為橢圓。:上+乙=1上任意一點，N為圓E：(X-5)2+(^-3)2=4±

32

任意一點，

答案第2頁，共14頁

故區(1,O),E(5,3),

故|AffJ+13|=|A￡V閆ME|-2,

當且僅當M,N,E共線，N在線段ME上時取等號,

=]MN\+\MF2\-2-^^ME\+\MF2\-2y/3-2>\EF2\-2y/3-2,

當且僅當M,N,E聲共線，在線段EB上時取等號，

而|%|="(5-1)2+(3-0)2=5,

故的最小值為5—2班―2=3—2后,

故選：B.

8.A

【分析】根據題意得AB，/,設4二J),列方程可得點A的坐標，然后求解得2=空，

4a3

再由。2=。2+62=1,即可求出雙曲線的方程.

【詳解】由題意，點尸(1，。)，拋物線的準線方程為x=-l,作AO_U,由拋物線的定義可知，

|AT)|=|AF|,又△及汨為等邊三角形，所以|AB|=|AF|,所以|AB|=|AD|,即點B,O重合，所

2t=P=—=2J3__

以AB，/,設A(LJ),不妨設r>0,則—tan30一相一，得f=，所以A(3,2不)，

4T

所以2=2叵，又因為,2=4+62=1,所以得片=之62=3,所以雙曲線的方程為

a377

7f7yl.

---------------=1.

34

故選：A

答案第3頁，共14頁

9.C

【分析】根據“速增數列”的定義，結合累加法建立不等式并求解即得.

［詳解］當上22時，％=456=（以_以_］）+（以_］_%_2）++（生_4）+4,

由數列｛風｝為“速增數列”，貝1J%—>〃1一％.2>>%—%=2,

又見￡Z,貝I%一〃223、%%>4、L、ak-ak_x>k,

.z、/、（、（1+k）k

貝n！J（%_/_］）+（以_］_以_2）+?-+（a2—q）+%2女+上一1+.?+1=——,

即（1+后）左W456,當左=29時，（1+29）29=15x29=435<456,

22

當左=30時，1+3030故正整數人的最大值為29.

（）=15X31=465>456,

2

故選：C.

10.岳

【分析】將直線4化為x-2y-4=0,再由平行線間的距離公式計算可得.

【詳解】直線4：2x—4y—8=0即x-2y-4=0,又直線3尤―2y+l=0,

1-4-11「

所兩直線間的距離”=.二0

一+（-2）

故答案為：石

11.4A/2

答案第4頁，共14頁

【分析】根據兩圓外切可得m=16,即可根據點到直線的距離公式以及圓的弦長公式求解.

【詳解】C1；/+y2=4的圓心和半徑分別為G(0,0),r=2,

。2：%2+,2一8%+6'+機=。圓心和半徑分別為。2(4,-3),R=:25-m，

由于兩圓外切，^|C2Cj=r+7?=>5=2+V25-m,解得帆=16,

故c2(4,-3)直線的距離為d=|4X3+4”3)+5]=]，

故弦長為2西—[2=2萬1=4A/2，

故答案為：4A/2

12.2

3

【分析】建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2,求出各點坐標，利用異面直線空間向量

夾角公式進行求解.

【詳解】以。為坐標原點，DADC,。〃所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，

設正方體棱長為2,則A(2,0,2),M(1,1,0),3(2,2,0),N(1,1,2),

kM-BN\1(-1,-1,2)

故AM和m的夾角的余弦值為式湛=1鬲

13.1----------------

1216〃+20

【分析】先求出數列｛見｝的通項，代入么=(-1)3片-后將其拆成

(-l)"+1xlx(-l-+-l-),再求和，通過裂項相消法即可求得數列的和.

【詳解】由4+「4=2知數列｛%｝為等差數列，且％=3,公差d=2,

答案第5頁，共14頁

貝U=3+(n-l)x2=2n+l,

—d7(i\〃+i〃+l+1n+\

于是"=T——=(-l)"

%A+i(2〃+1)(2〃+3)

/-.\n+l1.11、

=(-1)X-X(--------+---------),

v)42n+l2n+3

2n+l

則Za=4+62++匕2用

z=l

ll1、,11、/1、A1、

=蒲r/+7飛+尹尸尸§+”T

111x11

+(4M-1H-----------)一(-----H---------)+(--------)]

4n+l4n+l4n+34n+34〃+5

1111111

-----1----1---------------FLH--------------1-)-----------

7799114〃+34〃+5

111、11

一(Z—I--------)=F

434n+51216〃+20

11

故答案為:------1----------------

1216〃+20

14-f

【分析】設|尸。卜3f,|「聞=4,|QR|=5t,易得尸工,令|尸叫=根，則血閭=3人加,

利用雙曲線的性質可得〃z=:，可求出上|尸耳|、\PF2\,結合勾股定理可求得結果.

【詳解】如下圖所示:

不妨設|P0=3t,則歸耳|=4f,|Q￡|=5f,貝1]|尸。「+盧耳「=|。耳「，所以，ZFtPF2=90,

^\PF2\=m,則|。用=3/_加，

由雙曲線的定義可得2。=盧瑪-怛閶=|。4|-|。閶，

即4/—〃?=5t—（3/—〃?），解得m=t,所以，2a=4/—in=3:n,可得機=三，

所以，|P團=4f=F，|「目=彳，

答案第6頁，共14頁

由勾股定理可得|尸￡「+|尸閶2=1片引2,即竽+茅=公2,可得

所以，°=姮0,故該雙曲線的離心率為e=￡=姮.

3a3

故答案為：叵.

3

15.3

【分析】作出輔助線，根據直線A5的斜率表達出梯形CMVF的上底和下底以及高，列出方

程，求出P.

【詳解】易知尸，,。)，直線A5的方程為y=x/,四邊形C肱VF為梯形，支FC//NM.

k.X一為X一為2P一1

設A(X，yJ,3(%,%),Af(x0,y0),則“yfyf%+%,

2p2p

所以乂+為=2。，所以%=P.

作研，x軸于點K,則|MK|=〃.

因為直線A8的斜率為1,所以fMC為等腰直角三角形，故|EK|=WK|=|KC|=p,

所以|初V|=|O尸|+|五同學,\FC\=2p,

所以四邊形OVWF的面積為:x(￥+2p]xp=孚,

2(2)4

解得。=3,

【分析】(1)由｛4｝是首項為g的等比數列，結合可，2%,3a3成等差數列求解;

(2)由(1)的結論，利用等比數列求和公式和錯位相減法求解.

答案第7頁，共14頁

【詳解】（1）{%}是首項為:的等比數列，

設其公比為4,因為q,2%,3%成等差數列,

所以4g=%+3%，即=囚+3%，,

即3q2-4q+l=0,解得q或4=1（舍）,

故""=[3],所以勿="%=/

1__1_

（2）由（1）可得s“=r^=：（i一

-3

.12n-1n

北=§+系+…+產+守①

e1e12n-1n與

則/=乎+三+--+丁+訶，②

①-②得：l=;+1+/+???+]-言

n

產'

3

3一小平

4（24月

17.（1）證明見解析;

⑵立;

3

⑶型.

3

【分析】（1）連接AC交4（^于/點，利用線面平行的判斷推理得證.

（2）以A為原點建立空間直角坐標系，求出平面AEG與平面AB片A的法向量，利用面面

角的向量法求解.

（3）由（2）,利用點到平面距離的向量求法求解.

【詳解】（1）在直三棱柱ABC-A與G中，連接AC交AC于F點，連接EP,

答案第8頁，共14頁

由側面ACGA是平行四邊形，得P是AC的中點，又E是BC中點，則EP//AB,

而EFu平面AEG，ABN平面AEG，所以4臺〃平面AEG.

(2)依題意，明，底面ABC,ABJ.AC,則直線AB,AC,胡兩兩垂直,

以A為原點，直線AB,AC,M分別為％y,z軸建立空間直角坐標系,

則4(0,0,0),2(2,0,0),C(0,2,0),4(0,0,2),G(°，2,2),E(1,1,O),A￡=(1,1,0),AQ=(0,2,2),

n?AE=x+y=0

設平面AEG的一個法向量為n=(x,y,z)，則，'，令y=T,得〃,

n?AC=2y+2z=0

而AC=(O,2,O)是平面ABB6的一個法向量，設平面AEG與平面所成角為凡

ci/?\n-AC\2百

貝niUlcos0=|cos〈2AC)|=-----------=------=——,

|n||AC|2xV33

所以平面A明與平面A網a所成角的余弦值為‘

(3)由(2)知，M=(0,0,2),

\A\-n\2_2A/3

所以點A到平面AEC,的距離d=

1?13

x2v2

18.⑴工+匕=1

1612

Q)20

答案第9頁，共14頁

【分析】（1）根據離心率可得（=￡，將點M（2班,-6）代入橢圓方程，結合/="+'2,

可求解得。，瓦c的值，進而得標準方程;

（2）設直線/的方程，與橢圓方程聯立，可得點尸的橫坐標；根據平行關系，設直線OE的

方程，與橢圓方程聯立，可得點E的橫坐標，根據直線平行可用尸,ARE四個點的橫坐標

\AP\+\AD\

表示,再利用基本不等式求最值即可.

\OE\

【詳解】（1）因為橢圓C的離心率e=；,且M（2道,-若）在c上

C_1

a2

123

所以/+瓦=1,解得儲=16，b2=12,

a2=b2+c2

設直線/的方程為y=Mx+4）,0）,

3-1

聯立1612，消去y,得（x+4）[（4f+3）x+16左2-12]=0,

y=左（冗+4）

一16"2I1O

所以X=1。2+1一，因為OE〃/,所以直線OE的方程可設為y=履,

p4r+3

1

聯立，1612一，消去丁，得（4/+3）d-48=0,

y=kx

所以點E的橫坐標為4=±^==，

V4F+3

答案第10頁，共14頁

|AP|+|AD|_昌-XA+尤0-乙

由OE〃/,得

-16r+12

二豐>=尸^譚力2

，4一+3

當且僅當，4r+3=6,即4=±正時，等號成立，

，4r+32

、h\AP\+\AD\「

由此，當左=±及時，有最小值,且最小值為20.

2'\O1E\?

19.（1）—+/=1

(2)k=+—

2

【分析】(1)由題意列出。，瓦c的方程組，求解即得橢圓方程；

(2)將直線與橢圓方程聯立，列出韋達定理，求出點尸的坐標，寫出直線P。的方程，求得

點。的坐標.法一：根據條件推得=計算求得上的值；法二：根據條件推得

\OM\=\OQ\,由％+均=0求出％的值.

【詳解】(1)由題設得4J吊=4石,解得a=2,6=1,c=g,

所以橢圓C的方程為上+y2=l.

4

B\

兒2[

+y

聯立~4=,得（4左2+1）*2+8砧+4m2—4=0,

y=kx+m

由A=（8A"）？一4（4左2+1）（4根2-4）>0,得4/一加2+1>0,

設A（為另），8（々，%），則%+%=一噂券T，y1+y2=k（xl+x2）+2m=,

4/C+14k+1

答案第11頁，共14頁

ll…i人心年”」一x+x,4km八一1」一、rm

所以點P的橫坐標Xp=-=-—~-,縱坐標為yP=-5~-

乙4/C十1^rK十1

所以直線尸。的方程為>-舟=1（.4km]

ir+4v+ij

令尤=0,則點Q的縱坐標九=-京石，則。［。,-耳47

因為Af（O,機），所以點M、點Q在原點兩側,

因為ZMOP=2ZMQP,所以ZPQO=ZOPQ,

法一：由上可得10Pl=|Q2|,

16k2m2+m29m2..

所以…（伏…x）,解得⑹2+1=9,

所以2=±-^-.

2

法二：因“尸,尸。,10Pl=IQ2I,故有|。叫二|。。|,即加+%=0,

因為丁知=w，”=一,721，所以）一廠=。（6—（）），

丫4%+144+1

解得4公+1=3,所以左=±變.

2

【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵在于結合圖形，將相關條件等價轉化，再結合韋達定

理解決問題.

20.⑴4=2〃-1,bn=2"-'；

An

（2）7i?=--7-l+2?2+?

4n+1

（3）2583

f2a.+d=4,、

【分析】（1）根據S?=4,S4=16,由6d=16求得｛"/的通項公式，由

b?bn+2=%僅eN*）,得到數列也｝為等比數列求解.

'（6-7）2"

-------------"為

（2）易得％=（2〃-1）（2〃+3）',分奇數項和偶數項，分別利用裂項相消法和公式

為偶數

法求解；

答案第12頁，共14頁

⑶易得｛〃"｝中從4到磯共有4+1+（1+2+…+外=色+嗎士?項，再由％=62時，

2025

有*2016項，后由〉：4=%+/+…+〃63+1+2x（-2）+3x3+…-62x62+（2025—2016）x63

Z=1

求解.

[2CL+d=4fa=1

【詳解】⑴解：依題意，邑=4,S4=16,即?