重難點08玩轉外接球、內切球、棱切球經典問題

【題型歸納目錄】

題型一：正方體'長方體模型

題型二：正四面體模型

題型三：對棱相等模型

題型四：直棱柱模型

題型五：直棱錐模型

題型六：正棱錐與側棱相等模型

題型七：側棱為外接球直徑模型

題型八：共斜邊拼接模型

題型九：垂面模型

題型十：最值模型

題型十一：二面角模型

題型十二：圓錐圓柱圓臺模型

題型十三：錐體內切球

題型十四：棱切球

【方法技巧與總結】

技巧總結一：正方體、長方體外接球

1、正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半.

2、長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半.

3、補成長方體

（1）若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內，如圖1所示.

（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構造長方體，如圖2所示.

PA

(3)正四面體P-ABC可以補形為正方體且正方體的棱長如圖3所示.

（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內，如圖4所示

圖1圖2圖3圖4

技巧總結二：正四面體外接球

如圖，設正四面體ABCD的的棱長為“，將其放入正方體中，則正方體的棱長為史■“，顯然正四面體

2

和正方體有相同的外接球.正方體外接球半徑為氏=曰“?*=手〃’即正四面體外接球半徑為氏二手

a.

技巧總結三：對棱相等的三棱錐外接球

四面體ABCD中，AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=t,這種四面體叫做對棱相等四面體，可以

通過構造長方體來解決這類問題.

b1+C1=m2222

如圖，設長方體的長、寬、高分別為a,6,c,貝IJ/+02=”2,三式相加可得/+/+="+"一+廠,

2

a2+b2=t2

而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設外接球半徑為R,則4+°2=4心，所以R=,”六

技巧總結四：直棱柱外接球

如圖1,圖2,圖3,直三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角

形）

第一步：確定球心。的位置，Q是AABC的外心，則平面ABC；

第二步：算出小圓。的半徑AQ=r,OOX=1A4,=1/Z（然=//也是圓柱的高）；

2

第三步：勾股定理：0T=0.A+=R2=（|）2+/=R=卜十（夕,解出R

技巧總結五：直棱錐外接球

如圖，R4_L平面ABC,求外接球半徑.

解題步驟：

第一步：將AABC畫在小圓面上，A為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑A",連接PD,則PD必

過球心(9；

第二步：2為AABC的外心，所以OQ_L平面ABC,算出小圓。］的半徑。=r(三角形的外接圓直徑

算法：利用正弦定理，得‘一=—也=上=2/)，OO^-PA；

sinAsinBsinC2

第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①(2R)2=PA?+(24o2R=1PA2+(2r)2；

(2)7?2=r2+OO；oR=G?+OO：.

技巧總結六：正棱錐與側棱相等模型

1、正棱錐外接球半徑：R=^~.

2、側棱相等模型:

如圖，P的射影是AABC的外心

o三棱錐P-ABC的三條側棱相等

。三棱錐P-ABC的底面AABC在圓錐的底上，頂點P點也是圓錐的頂點.

解題步驟：

第一步：確定球心。的位置，取AABC的外心。「則P,0,Q三點共線；

第二步：先算出小圓。的半徑=再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；

第三步：勾股定理：0A"2=①一"產+產，解出R=）媒”.

技巧總結七：側棱為外接球直徑模型

方法：找球心，然后作底面的垂線，構造直角三角形.

技巧總結八：共斜邊拼接模型

如圖，在四面體ABCD中，AB±AD,CBLCD,此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形

拼接而形成的，BD為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之.設點。為公共斜邊的中點，根據直

角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結論可知，OA=OC=OB=OD,即點。到A,B,C,。四點的距

離相等，故點。就是四面體ABCD外接球的球心，公共的斜邊班?就是外接球的一條直徑.

技巧總結九：垂面模型

如圖1所示為四面體P-ABC,已知平面上48_1_平面ABC,其外接球問題的步驟如下：

（1）找出△PAB和人鉆。的外接圓圓心，分別記為。1和Q.

（2）分別過。］和。2作平面R45和平面A6C的垂線，其交點為球心，記為O.

（3）過。|作鉆的垂線，垂足記為。，連接Q。，則

（4）在四棱錐A-OQOQ中，AD垂直于平面。O0Q，如圖2所示，底面四邊形。0。。?的四個頂

點共圓且OD為該圓的直徑.

o

o

圖1圖2

技巧總結十：最值模型

這類問題是綜合性問題，方法較多，常見方法有：導數法，基本不等式法，觀察法等

技巧總結十一：二面角模型

如圖1所示為四面體尸-ABC，已知二面角P-AB-C大小為a,其外接球問題的步驟如下：

(1)找出△RIB和A4BC的外接圓圓心，分別記為和

(2)分別過。］和。2作平面皿和平面ABC的垂線，其交點為球心，記為O.

(3)過a作AB的垂線，垂足記為。，連接a。，則aOLAB.

(4)在四棱錐4-00002中，垂直于平面。。0。2，如圖2所示，底面四邊形。00&的四個頂

點共圓且QD為該圓的直徑.

技巧總結十二：圓錐圓柱圓臺模型

1、球內接圓錐

如圖1,設圓錐的高為力，底面圓半徑為r,球的半徑為A.通常在△OCB中，由勾股定理建立方程來

計算R.如圖2,當PC>CB時，球心在圓錐內部；如圖3,當PC<CB時，球心在圓錐外部.和本專題前

面的內接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷.

h2+r2

由圖2、圖3可知，OC^h-R^R-h,故⑺一封+尸=店,所以R="十'.

2h

p

如圖，圓柱的底面圓半徑為r,高為力，其外接球的半徑為R,三者之間滿足§）+/=々.

3、球內接圓臺

氏2=方+馬”〃,其中小公〃分別為圓臺的上底面、下底面、高.

I2/7J

技巧總結十三：錐體內切球

方法：等體積法，即氏=老吐

s表面積

技巧總結十四：棱切球

方法：找切點，找球心，構造直角三角形

【典型例題】

題型一：正方體、長方體模型

［例1］（2025?高一?重慶?期中）正方體內切球與外接球體積之比為（）

A.白：3B.不：9C.1:3D.1:9

【變式1-1］（2025?高一?云南昆明?期中）已知三棱錐尸-ABC,PA,PB、PC兩兩垂直，PA=1,

PB=BPC=2,則三棱錐尸-ABC的外接球表面積為（）

A.兀B.5兀C.6兀D.8兀

【變式1-2］（2025?天津武清?模擬預測）已知正方體A3CD-A瓦GR的棱長為2,其各面的中心分別為點

E,F,G,H,M,N,則連接相鄰各面中心構成的幾何體的外接球表面積為（）

A.4〃B.8萬C.12?D.16〃

題型二：正四面體模型

【例2】（2025?全國?高三專題練習）棱長為。的正方體內有一個棱長為尤的正四面體，且該正四面體可以

在正方體內任意轉動，則x的最大值為（）

A.-aB.qiC.走aD.叵a

2263

【變式2-1］（2025?河南?西平縣高級中學模擬預測）一個正四面體的棱長為2,則這個正四面體的外接球的

體積為（）

A.屈兀B.InC.3%D.20萬

【變式2-2］（2025?河南新鄉?二模）在正四面體S4BC中，SA=2也,D,E,尸分別為SA,SB,SC的中

點，則該正四面體的外接球被平面。斯所截的圓周長為.

題型三：對棱相等模型

【例3】四面體尸-ABC的一組對棱分別相等，且長度依次為2石，岳,5,則該四面體的外接球的表面

積為（）

2929A/29

A.一兀B.28萬C.---------71D.29萬

46

【變式3-1］（2025?高一?安徽?階段練習）為了求一個棱長為友的正四面體體積，小明同學設計如下解

法：構造一個棱長為1的正方體，如圖1：則四面體AC42為棱長是&的正四面體，且有

%面體皿閩—%］一跖鼻一%-48］=］KE方體.學以致用：

（1）如圖2,一個四面體三組對棱長分別為百，2,小,求此四面體外接球表面積；

（2）若四面體ABC。每組對棱長分別相等，求證：該四面體的四個面都是銳角三角形.

【變式3-2］如圖，在三棱錐尸一至。中，PA=BC=6,PB=AC=2,==?，則三棱錐尸—ABC

外接球的體積為（）

A.0萬B.兀C.娓兀D.6萬

題型四：直棱柱模型

【例4】（2025?天津?一模）如圖，在直三棱柱4BC-ABC1中，AB=43AAl=2^,VABC是等邊三角

形，點。為該三棱柱外接球的球心，則三棱柱外接球表面積與四棱錐用-441c/體積之比為（）

2后r56%

Vz.-------------------

336DT

【變式4-1］（多選題）（2025?高一?山東青島?期中）如圖，在直三棱柱ABC-ABIG中，A4,=2,

AB=BC=\,ZABC=90°,側面A41GC的對角線交點。，點E是側棱B與上的一個動點，下列結論正確

的是（）

B.直三棱柱的外接球表面積是67t

C.三棱錐E-44。的體積與點E的位置有關

D.AE+的最小值為2衣

【變式4-2］（2025?高二?上海浦東新?期中）己知一個體積為36萬的球。1內切于直三棱柱A3C-ABC（即

與三棱柱的所有面均相切），底面的YABC中有ABAC=120。,AB:AC=3:5，則該直三棱柱的外接球02（即

使所有頂點均落在球面上）的表面積為.

題型五：直棱錐模型

【例5】（2025?高一?江蘇南京?期末）如圖，四棱錐尸-ABCD中，24,面A3CD,四邊形ABC。為正方

形，PA=4,尸C與平面ABCD所成角的大小為凡且tan0=2叵，則四棱錐P-ABCD的外接球表面積為

3

B.28K

C.34兀D.14K

【變式5?1】（2025?高一?黑龍江七臺河?期中）據《九章算術》記載，“鱉膈”為四個面都是直角三角形的三

棱錐.如圖所示，現有一個“鱉膈”，尸底面A5C,ABLBC,S.PA=AB=BC=2f三棱錐外接球表

面積為（）

A.10萬B.12萬C.14萬D.16萬

【變式5-2］（2025?高一?河北唐山?期中）已知三棱錐尸-ABC中，PAL面ABC,底面ABC是邊長為2的

正三角形，PA=4,則三棱錐P-ABC的外接球表面積為（）

題型六：正棱錐與側棱相等模型

TT

【例6】（2025?高三?安徽池州?期末）三棱錐尸―ABC中，PA=PB=PC,ZABC=~,AC=及,則三棱

4

錐P-ABC外接球表面積的最小值是（）

A.8萬B.4萬C.2萬D.萬

【變式6-1］（2025?高二?江蘇南通?階段練習）已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為2相，若半徑為1的球

與該正三棱錐的各棱均相切，則三棱錐尸-ABC外接球的半徑為（）

A.V3B.2C.在D.記

33

【變式6-2］（2025?重慶市實驗中學高一階段練習）三棱錐尸-ABC體積為正，且

6

PA=PB=PC,AB=AC=l,BC=y［3,則三棱錐外接球的表面積為.

題型七：側棱為外接球直徑模型

【例7】（2025?五華區校級期末）已知三棱錐尸-的所有頂點都在球。的球面上，AB=5,AC=3,

BC=4,為球。的直徑，尸3=10,則這個三棱錐的體積為（）

A.304B.154C.10A/3D.54

【變式7-1］（2025?紅花崗區校級月考）已知三棱錐A-BCD的所有頂點都在同一個球面上，ABCD是邊長

為2的正三角形，AC為球。的直徑，若該三棱錐的體積為乎，則該球O的表面積（）

A.64萬B.48萬C.32%D.16%

【變式7?2】（2025?撫順校級月考）已知三棱錐P-ABC的所有頂點都在球O的球面上，PC為球O的直徑，

且尸CLQ4,PCrOB,AAOB為等邊三角形，三棱錐尸-ABC的體積為且，則球。的表面積為（）

A.4%B.8TIC.12TTD.16TT

題型八：共斜邊拼接模型

【例8】在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角3—AC—￡>,則四

面體ABCD的外接球的體積為（）

4125”125.125125.

A?71LRJ.-----------TCCr-.------TCDn.71

12963

【變式8-1】三棱錐P—ABC中，平面PAC，平面ABC,AC=2,PA±PC,ABLBC,則三棱錐

P-ABC的外接球的半徑為

--.2，2-2

【變式8-2］在平行四邊形ABCD中，滿足AB.AO=AB"2AB=4-3。,若將其沿瓦>折成直二面角

A-BD-C,則三棱錐A-6CD的外接球的表面積為（）

A.16/1B.8%C.4%D.2萬

題型九：垂面模型

【例9】（2025?河南?模擬預測）在四棱錐S-ABCD中，側面SAD,底面A3C。，且&1=SD,

ZASD^90°,底面A8CD是邊長為2的正方形，設尸為該四棱錐外接球表面上的動點，則三棱錐尸-S4D

的最大體積為（）

/TR2+2A/2「2+V2口I+A/2

AA.1+V2B.-----------C.---------D.--------

333

【變式9-1］（2025?江西南昌?模擬預測）若體積為8的四棱錐P-ASCD的五個頂點都在表面積為20兀的球

面上，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2應的正方形，平面PAC,平面ABCZ）,則棱FA的長為（）

A.3亞或2君B.2K或2有C.或2白D.或3亞

【變式9-2］（2025?高三?山東威海?期末）已知三棱錐ABCQ為2C中點，

尸8=尸。=48=3。=4。=2,側面尸3。，底面48。，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為,過點。

的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為

題型十：最值模型

【例10】（2025?高一?安徽池州?期中）已知正方體的外接球與內切球上各有一個動點尸、。，若線段PQ的最

小值為26-2,則正方體的外接球的表面積為.

【變式10-1】（2025?陜西西安?模擬預測）已知直四棱柱高A4/為3,底面ABC。為長方

形且面積為7:，則該直四棱柱外接球表面積的最小值為.

【變式10-2】（2025?遼寧撫順?一模）已知三棱柱ABC-A瓦G的頂點都在球。的表面上，且

27r

AC=BC,ZACB=—,若三棱柱ABC-A4G的側面積為12+66，貝肝求。的表面積的最小值是（）

A.8兀B.12兀C.24兀D.32兀

題型十一：二面角模型

【例11】（2025?安徽?蕪湖一中模擬預測）已知在菱形ABCD中，AB=2,ZA=60°,把△ABD沿3。折起

到位置，若二面角A-3D-C大小為120。，則四面體A3CD的外接球體積是（）

八72828A/21?7?

A.—nBD.——nC.---兀D.——兀

332727

【變式11口】（2025?全國?高三專題練習）在三棱錐A-8CQ中，AB=BC=CD=DA=幣，50=2石，二

面角ABD-C是鈍角.若三棱錐A-5CD的體積為2,則A-5CD的外接球的表面積是（）

3753

C.——71D.——n

34

題型十二：圓錐圓柱圓臺模型

【例12】（2025?高一?浙江寧波?期中）圓臺的上下底面半徑和高的比為3:4:1,母線長為則圓臺的外

接球表面積為.

【變式12?1］（2025?高一?陜西西安?期末）底面半徑為右的圓錐側面展開圖的圓心角大小為耳，則此圓

錐外接球表面積為（）

A口16兀C32兀32氐

A.16兀B.-----C.-----D.---------

3327

【變式12-2］（2025?全國?高三專題練習）如圖，半徑為4的球。中有一內接圓柱，當圓柱的側面積最大

時，球的表面積與圓柱的表面積之差為（）

A.647rB.48aC.32萬D.16〃

題型十三：錐體內切球

【例13】（2025?高二?湖南常德?期中）在棱長為2的正四面體ABCD中，正四面體的內切球表面積為

（）

284

A.2兀B.—7iC.-71D.—71

333

【變式13-1］（2025?高二?浙江寧波?期末）已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長為4,側棱長為而，其內

切球。與兩側面^,&ID分別切于點P,。，則尸。的長度為（）

A2亞口5亞「4后n70

A.------D.------C.-----L）.------

3999

【變式13-21（多選題）（2025?江西上饒?一模）空間中存在四個球，它們半徑分別是2,2,4,4,每個球

都與其他三個球外切，下面結論正確的是（）

A.以四個球球心為頂點的四面體體積為6三4

32

B.以四個球球心為頂點的四面體體積為§

C.若另一小球與這四個球都外切，則該小球半徑為r=述一4

3

D.若另一小球與這四個球都內切，則該小球半徑為r叵+4

3

題型十四：棱切球

【例14】（多選題）（2025?高三?江蘇揚州?開學考試）我們把所有棱長都相等的正棱柱（錐）叫“等長正棱柱

（錐）”，而與其所有棱都相切的稱為棱切球，設下列“等長正棱柱（錐）”的棱長都為1,則下列說法中正確的有

（）

A.正方體的棱切球的半徑為亞

TT

B.正四面體的棱切球的表面積為§

C.等長正六棱柱的棱切球的體積為三

D.等長正四棱錐的棱切球被棱錐5個面（側面和底面）截得的截面面積之和為五

【變式14-11（多選題）（2025?高一?浙江?期中）已知棱長為2的正方體A3CD-A片GR的棱切球（與正方

體的各條棱都相切）為球0,則下列說法正確的是（）

4

A.球。的體積為1萬

B.球。內接圓柱的側面積的最大值為4萬

C.球0在正方體外部的體積小于g（2?-1）"

D.球。在正方體外部的面積大于644-2忘了

【變式14-21（多選題）（2025?高一?山東臨沂?期中）如圖，已知棱長為1的正方體ABCD-A5GR中，下

列命題正確的是（）

A.正方體外接球的直徑為行

B.點尸在線段上運動，則四面體尸-A4G的體積不變

C.與所有12條棱都相切的球的體積為叵

3

D.M是正方體的內切球的球面上任意一點，則A0長的最小值是史

【過關測試】

1.（2025?高一?江蘇鹽城?期末）《九章算術》中將“底面為直角三角形且側棱垂直于底面的三棱柱”稱為塹

堵；將“底面為矩形且一條側棱垂直于底面的四棱錐”稱為陽馬.如圖，在塹堵ABC-AqG中，ACLBC,

AC=6,BQ=1,陽馬A-BCG用的外接球表面積為（

A.8兀B.6兀C.4兀D.2兀

2.（2025?高一?四川綿陽?期末）在邊長為4的正方形ABCD中,E,尸分別為AB,的中點.將

AAED,/\CFD,ABEF分別沿DE,DF,硬折起，使A,C,B三點重合于則三棱錐A-跖D

的外接球表面積為（）

A.3萬B.6兀C.12%D.24〃

3.（2025?高三?全國?階段練習）如圖，在正四棱柱ABCD-ABGQ中，底面的邊長為3,與底面所成

2

角的大小為。，且tan6=§,則該正四棱柱的外接球表面積為

2G

A.26萬B.28萬

C.30萬D.32萬

4.（2025?高一?四川南充?階段練習）勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由

轉動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動（如圖甲），利用這一原理，科技人員

發明了轉子發動機.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交

部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正四面體的棱長為4,則下列說法正確的是（）

甲乙

A.勒洛四面體最大的截面是正三角形

B.勒洛四面體ABCD的體積是8新兀

C.勒洛四面體ABCD內切球的半徑是4-n

D.若尸，。是勒洛四面體ABCD表面上的任意兩點，則PQ的最大值為2

5.（2025?高一?福建龍巖?期末）已知球。內切于圓臺EF,其軸截面如圖所示，四邊形ABC。為等腰梯

則圓臺EF的體積為（）

卜270兀口51缶r570兀n630兀

A.-------------D.---------------

4444

6.（2025?高二?甘肅武威?階段練習）如圖，若圓臺的上、下底面半徑分別為小々且44=3,則此圓臺的內

切球（與圓臺的上、下底面及側面都相切的球叫圓臺的內切球）的表面積為（）

C.9無D.12氐

7.（2025?安徽池州?二模）已知圓錐的底面半徑為3,其內切球表面積為12兀，則該圓錐的側面積為（）

A.9技B.18KC.18后D.27兀

8.（2025?全國?模擬預測）正四面體ABCD的棱長為2,則其棱切球的體積為（）

A.2"兀B.灰）71c.當

3。?冬

9.（2025?高一?廣東佛山?期末）己知正四棱臺=半球的球心0在底面的中

心，且半球與該棱臺的各棱均相切，則半球的表面積為（）

A.9nB.18TIC.27nD.36兀

10.（多選題）（2025?高一?黑龍江大慶?期末）如圖所示，在棱長為2的正方體AB。-A與GR中，E、F

分別為的中點，則（）

A.EF1BD,

B.EP〃平面A23

7T

C.直線52與平面ABC。所成的角為:

4

D.三棱錐耳一防尸外接球表面積為6兀

11.（多選題）（2025?高一?浙江寧波?期中）如圖是一個圓錐和一個圓柱的組合體，圓錐的底面和圓柱的上

底面完全重合且圓錐的高度是圓柱高度的一半，若該組合體外接球的半徑為2,則（）

A.圓錐的底面半徑為1

B.圓柱的體積是外接球體積的四分之三

C.該組合體的外接球表面積與圓柱底面面積的比值為16:3

D.圓錐的側面積是圓柱側面積的一半

12.（多選題）（2025?高三?湖北武漢?期中）已知球。是三棱錐P-ABC的外接球，

PA=AB=P3=AC=2,則CP=2jL點。是尸B的中點，且CD=V7,則下列說法正確的是（）

A.三棱錐P-A3C最長的棱棱長為2忘B.AC,平面

C.球心。到底面的距離為gD.球。的表面積為等

13.（多選題）（2025?高一?江蘇蘇州?期中）半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半

正多面體體現了數學的對稱美，如圖是一個棱數為24的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的

棱上，且此正方體的棱長為1,則下列關于該多面體的說法中正確的是（）

B.多面體的表面積為3

C.多面體的體積為g

6

D.多面體有外接球（即經過多面體所有頂點的球）

14.（多選題）（2025?高一?四川綿陽?期末）《九章算術》中稱一個