第03講函數(shù)的概念

【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】

一、函數(shù)的概念

設(shè)集合48是非空的數(shù)集，對(duì)集合A中任意實(shí)數(shù)尤按照確定的法則/集合B中都有唯一確

定的實(shí)數(shù)值y與它對(duì)應(yīng)，則這種對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做集合A到集合B上的一個(gè)函數(shù)記作了=/（尤）

xGA其中x叫做自變量，其取值范圍（數(shù)集A）叫做該函數(shù)的定義域，如果自變量取值°,

則由法則/確定的值y稱為函數(shù)在。處的函數(shù)值，記作y=/（a）或y|x=2,所有函數(shù)值構(gòu)成

的集合C=｛y|y=/（x）,xeA｝叫做該函數(shù)的值域，可見集合c是集合B的子集.

注函數(shù)即非空數(shù)集之間的映射

注構(gòu)成函數(shù)的三要素

構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域.由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)法則決定的，所

以如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)法則一致，就稱兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)，定義域和

對(duì)應(yīng)法則中只要有一個(gè)不同，就是不同的函數(shù).

二、函數(shù)的定義域

求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：

（1）分式的分母不為零；

（2）偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：

（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；

（4）零次幕或負(fù)指數(shù)次塞的底數(shù)不為零；

（5）三角函數(shù)中的正切丁=10!11的定義域是｛%1%€尺,且》7+ezj；

（6）已知/（%）的定義域求解/'[g（x）]的定義域，或已知/[g（x）]的定義域求/（龍）的

定義域，遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對(duì)應(yīng)法則J下，括號(hào)內(nèi)式子

的范圍相同；

（7）對(duì)于實(shí)際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問題函數(shù)的

定義域.

三、函數(shù)的值域

求解函數(shù)值域主要有以下十種方法：

（1）觀察法；（2）配方法；（3）圖像法；（4）基本不等式法，（5）換元法；（6）分離常數(shù)

法；（7）判別式法；（8）單調(diào)性法，（9）有界性法；（10）導(dǎo)數(shù)法.

需要指出的是，定義域或值域的結(jié)果必須寫成區(qū)間或集合的形式.

四、函數(shù)的解析式

求函數(shù)的解析式，常用的方法有：（1）待定系數(shù)法：已知函數(shù)類型，可用待定系數(shù)法求解,

先設(shè)出/（x），再利用題目中給的已知條件，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，進(jìn)而求出待定的

系數(shù)；

（2）換元法：主要用于解決已知復(fù)合函數(shù)/[g（x）]的表達(dá)式求/（x）的解析式的問題，令

g（x）=f,解出心然后代入/[g（x）]中即可求得了⑺，從而求得〃x）,要注意新元的取

值范圍；

（3）配湊法：配湊法是將/[g（x）]右端的代數(shù)式配湊成關(guān)于g（尤）的形式，進(jìn)而求出的

解析式；

（4）構(gòu)造方程組法（消元法）：主要解決已知抽象函數(shù)關(guān)系式求解函數(shù)解析式的問題.方法

是根據(jù)不同的變量之間的關(guān)系，利用變換形式構(gòu)造不同的等式，通過解方程組求解.

【典型例題】

例1.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/'⑴在定義域R上單調(diào)，且尤e(0,+s)時(shí)均有

/(/(x)+2x)=l,則〃-2)的值為()

A.3B.1C.0D.-1

【答案】A

【詳解】

根據(jù)題意，函數(shù)/(x)在定義域尺上單調(diào)，且xe(0,+8)時(shí)均有/(/(x)+2x)=l,

貝U/(x)+2x為常數(shù)，設(shè)/'(無)+2x=f,則/(x)=-2x+g

則有/(，)=-2/+f=1,解可得/=—1,貝[]f(x)=-2x—1,故/(-2)=4-1=3；

故選：A.

例2.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)/⑺=<“<°，若實(shí)數(shù)。滿足/(。)=/(?，

則叫卜()

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【詳解】

由題意可得H尤)=/…的定義域?yàn)?T+8),

/(%)=而1在(-1,0)上單調(diào)遞增,〃x)=2x在[0,”)上單調(diào)遞增,

若/⑷=/(〃—1),所以,可得

^>0

由f(a)=f(a-1)可得?a-l)+l=2a,解得：。=；,

所以/[「=/(4)=2X4=8,

故選：D.

例3.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)的y=，一尤2_6x-5值域?yàn)?)

A.[0,+co)B.[0,2]

C.[2,+oo)D.(2,+oo)

【答案】B

【詳解】

令〃二一%2一6%-5,貝iJ〃N0且y=4

又因?yàn)?=-x?-6x—5=—(x+3)'+4<4,

所以0V〃(4,所以y=&e[0,2],

即函數(shù)的y=7-%2-6%-5值域?yàn)閇0,2],

故選：B.

(多選題)例4.(2022?湖南?雅禮中學(xué)高三階段練習(xí))下列說法正確的有()

A.式子>=萬+G萬可表示自變量為x、因變量為y的函數(shù)

B.函數(shù)y=7(x)的圖象與直線x=l的交點(diǎn)最多有1個(gè)

c.若〃x)=n—國(guó)，則巾助=1

D./(x)=d-2x與g(f)=r-2r是同一函數(shù)

【答案】BCD

【詳解】

,------.-------fx-l>0

對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)y=+G萬，有1、八，此不等式組無解，A錯(cuò)；

[-%-1>0

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)函數(shù)y=/(x)在彳=1處無定義時(shí)，函數(shù)y=〃x)的圖象與直線x=l無交點(diǎn)，

當(dāng)函數(shù)y=〃x)在x=l處有定義時(shí)，函數(shù)y=〃x)的圖象與直線x=l只有1個(gè)交點(diǎn)，

所以，函數(shù)y=/(x)的圖象與直線x=l的交點(diǎn)最多有1個(gè)，B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?(力=卜一1|一國(guó)，則4!)=0,故4m〃0)=l,C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)/(x)=V-2x與g(f)=產(chǎn)-2r的定義域均為R,且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，

故〃x)=3-2x與g(/)=?—2/是同一函數(shù),D對(duì).

故選：BCD.

例5.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知集合尸={x|0SE4},2={^|0<y<2},下列從P到。的

各對(duì)應(yīng)關(guān)系了不是函數(shù)的是.(填序號(hào))

@f-x-y=gx；②于:x—y=gx；(3)f：x^y=-|x；@f：x—y=&

【答案】③

【詳解】

①②④滿足函數(shù)的定義，所以是函數(shù)，

2Q

對(duì)于③，因?yàn)楫?dāng)x=4時(shí)，y=-x4=-^Q,所以③不是函數(shù).

故答案為：③

例6.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)/(x)=ln(l-6^)的定義域?yàn)?

【答案】(2,3]

【詳解】

HK*fl—A/3—x>0f—x<1

依題意(M。=右=2K3,

所以〃x)的定義域?yàn)?2,3].

故答案為：(2,3]

例7.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))(1)已知y=/(x)的定義域?yàn)閇0」],求函數(shù)y=/(f+l)的

定義域；

(2)已知y=f(2xT)的定義域?yàn)閇0,1],求，=/(x)的定義域；

(3)已知函數(shù)>=/(尤)的定義域?yàn)椤?],求函數(shù)g(x)=詈?的定義域.

2x-l

【詳解】

(1)>=/(/+1)中的尤2+1的范圍與>=/0)中的X的取值范圍相同.

.??04尤2+141,

「?x=0,

即y="*2+1)的定義域?yàn)閧0}.

(2)由題意知y=)(2x—1)中的xe[0,l],

-1<2X-1<1.

又、=/。》-1)中2》-1的取值范圍與'=/(尤)中的芯的取值范圍相同，

.??丫=/。)的定義域?yàn)閇-1,1].

(3)?.?函數(shù)y=/(尤)的定義域?yàn)閇。,2],

由2xe[0,2],得OWxWl,

二y=f(2x)的定義域?yàn)閇0,1].

又2X-1H0,即xw；,

函數(shù)y=g(x)的定義域?yàn)閇0,1)u(1,i].

例8.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式：

(1)已知y(6+1)=冗+26；

(2)若危)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒有次￥)—X—x)=3x+l；

(3)已知人0)=1,對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y都有y)=/(x)—y(2x—y+1).

【詳解】

(1)(方法1)(換元法)：設(shè)￡=?+1,t>l,則％=(/—1)2(侖1).代入原式有刖=?—1)2+2?

—1)=祥一2f+1+2/—2—fl—1.,\f(x)=x2—1(x^1).

(方法2)(配湊法):\'x+2y[x—(A/X)2+2^/X+1—1—(A/X+1)2—L

:&+1)=(A/X+1)2—1(?+1>1),即7(%)=12—l(xNl).

(2)用一x換x得紈一%)一危)=-3x+l,與原式x)=3x+l聯(lián)立消去月-x)得危)

=元+1.

(3)令x=0,得/(_y)=A0)_y(_y+l)=l+y2—y=(_y)2+(_、)+],所以的)=儼+>+1,即

J(x)=x2+x+l.

【技能提升訓(xùn)練】

一、單選題

1.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))以下從〃到N的對(duì)應(yīng)關(guān)系表示函數(shù)的是()

A.M=R,N={y|y>0},f：尤-y=|x|

B.M={x\x>2,x^N*],N={y\y>0,y^N*],/：x^y=x2-2x+2

C.M—{x\x>0],N=R,f：x—>y—+s/x

D.M=R,N=R,/：x—>y=—

x

【答案】B

【分析】

根據(jù)函數(shù)的定義，要求集合M中的任何一個(gè)元素，在集合N中都有唯一元素和它對(duì)應(yīng)，對(duì)

選項(xiàng)逐一分析得到結(jié)果.

【詳解】

A中，M=R,N={y|y>0},f：x-y=|x|

M中元素0,在N中無對(duì)應(yīng)的元素，不滿足函數(shù)的定義，

2中，M—[x\x>2,x^N*},N={y|yN0,y^N*},/：x-y=N-2x+2

M中任一元素，在8中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，滿足函數(shù)的定義，

C中，M={x\x>Q},N=R,/：x-^y=±4x

M中任一元素，在N中都有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的元素，不滿足函數(shù)的定義，

Z)中，M=R,N=R,/：x—^y=—,

'x

M中元素。，在N中無對(duì)應(yīng)的元素，不滿足函數(shù)的定義，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有函數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題目.

2.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)(理))下列函數(shù)中，不滿足:〃2x)=2/(x)的是

A.『(尤)=國(guó)B.f(x)=x-\^C.f(x)=x+lD./(x)=-x

【答案】C

【詳解】

試題分析：A中〃2x)=|2x|=2W=2/(x),B中〃2x)=2x-囪=2〃0,C中

/(2x)=2x+1^2/(x),D中〃2尤)=-2尤=2〃尤)

考點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系判斷

3.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)y=JZ-log?%的定義域是()

A.(0,4]B.(-a),4]C.(0,+巧D,(0,1).

【答案】A

【分析】

根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零列不等式，由此求得函數(shù)的定義域.

【詳解】

f2-log,x>0[log,x<2=log。4

依題意產(chǎn)n殳=>0<x<4,

[x>0[x>0

所以"%)的定義域?yàn)?o,4].

故選：A

4-(2。22?全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)尸Z+x+6+占的定義域?yàn)?)

A.[-2,3]B.[-2,1)U(1,3]

C.(-oo,-2]U[3,+oo)D.(-2,1)U(1,3)

【答案】B

【分析】

解不等式組「二十二6、0即得解.

[九一1wO

【詳解】

,f—%2+x+620

解：由題意得｛1c,

[x-lW0

解得-2%<1或1<爛3,

故選：B.

5.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)的定義域?yàn)閇-2』，則函數(shù)y的定

義域?yàn)?)

A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1]D.(0,1)

【答案】D

【分析】

根據(jù)函數(shù)f（x）的定義域以及對(duì)數(shù)的真數(shù)為正數(shù)、分母不為零可得出關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式組,

/（3x-2）

由此可解得函數(shù)》=判一^的定義域.

炮（1）

【詳解】

-2<3x-2<l

,.rif（3x-2）

己知函數(shù)/'（X）的定義域?yàn)閇-2,1],對(duì)于函數(shù)/=[（]_J,有<1-x>0,

lg（l-x）wO

-2<3x-2<l

即，l-x>0,解得0<x<L

1-xw1

/（3x-2）/、

因此，函數(shù)y=；；]_/的定義域?yàn)椋╫,i）.

故選：D.

6.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若函數(shù)/（尤+1）的定義域?yàn)閇0,1],則/（Igx）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[10,100]B.[1,2]C.[0,1]D.

[0,lg2]

【答案】A

【分析】

先根據(jù)函數(shù)/（x+1）的定義域?yàn)榍蟪?WX+1W2,再令1Vig尤W2即可求求解.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/（尤+1）的定義域?yàn)閇。，1],

所以1VX+1V2,

所以l〈lg尤V2,

解得：104xW100,

所以"1gx）的定義域?yàn)椤?,100],

故選：A.

7.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)=則的解析式為（)

A.B-

c-"無）=日巨（》片一1）D-〃力=一/？（無*T）

【答案】A

【分析】

I_YI_t

令則尤=W'代入已知解析式可得了⑺的表達(dá)式’再將t換成”即可求解.

【詳解】

*1—XEl-t

令"----，貝!Jx二——

1+x1+Z

2

l-t

1-

T+7It

所以〃，)=一(U),

i-t,2~t2+l

1+

l+t

所以〃x)=47(尤~i)，

故選：A.

8.(2021?黑龍江?牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)(文))下列各組函數(shù)中，表示同一函

數(shù)的是()

A.y=X,y=—B.y=尤。,y=lC.y=,y=D.y=\x\,y=4^

【答案】D

【分析】

由當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)進(jìn)行分析判斷

【詳解】

對(duì)于A,y=l的定義域?yàn)镽,而＞=:的定義域?yàn)閧x|xwo},兩函數(shù)的定義域不相同，所以

這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)，所以A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,〉=戈°的定義域?yàn)閧無卜片0},y=l的定義域?yàn)镽,兩函數(shù)的定義域不相同，所以這

兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)，所以B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,y==G"兩個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閍，而y===，系=忖，兩函數(shù)的對(duì)

應(yīng)關(guān)系不相同，所以這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)，所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,y=|尤|,y=G"兩個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,丁=斤=國(guó)，兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，所

以這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，所以D正確，

故選：D

9.(2021?天津市西青區(qū)張家窩中學(xué)高三階段練習(xí))下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是

()

A./(x)=x-l和g(x)=^^B./(x)=x°^ng(x)=l

C.〃x)=x2和g(x)=(x+l)2D.〃x)=g和8(”=而

【答案】D

【分析】

根據(jù)函數(shù)的定義域是否相同，定義域相同的情況下取相同值看計(jì)算出來的結(jié)果是否相同即

可.

【詳解】

A中，/(x)=x—1的定義域?yàn)镽,g(x)=[3的定義域?yàn)?―T)(Ty).A錯(cuò).

B中，〃%)=尤°的定義域?yàn)?y0)5。，口)，g(x)=l的定義域?yàn)镽.B錯(cuò).

C中，函數(shù)Ax"/與x軸的交點(diǎn)為(0,0),函數(shù)g(x)=(x+l『的零點(diǎn)為(TO).C錯(cuò).

D中，函數(shù)/(力=回=1，函數(shù)鼠")=函『=1，兩函數(shù)定義域相同值也相同.D正確.

故選：D.

10.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))若函數(shù)f(x)滿足〃x)-2，J=x+2,貝1]八2)=()

A.0B.2C.3D.-3

【答案】D

【分析】

由/(“一2/1_]=尤+2可得/(J1-2/(X)=.+2,得到方程組，可解〃x),代入x=2可

求出“2).

【詳解】

由/⑺一2/11=x+2,可得/1-2/(力,+2,

聯(lián)立兩式可得〃尤)=—卜+￡|-2,代入元=2可得”2)=—3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：求函數(shù)的解析式，常用的方法有：(1)配湊法；(2)換元法；(3)待定系數(shù)法;

(4)構(gòu)造方程組法；(5)特殊值法.

\Jx+1,—1<x<0

11.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)/(x)=，若實(shí)數(shù)。滿足/⑷=1),

[2x,x>0

則5()

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】

判斷“X)的單調(diào)性可得”>0,所以J(a-l)+l=2a,求得。的值即可求解.

【詳解】

由題意可得〃x)=［尸+1<X<°的定義域?yàn)?T+s),

［2x,x>0

〃尤)=而1在(-1,0)上單調(diào)遞增,/(%)=2x在［0,討)上單調(diào)遞增，

f—1<〃一1<0

若/⑷=/(〃—1),所以、八，可得Ovavl,

^>0

由f(a)=)(。一1)可得+1=2a,解得：a=；,

所以/(￡l=〃4)=2x4=8，

故選：D.

2%_/x〉5

12.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知八無)="；",則共4)切>4)=()

f(x+3),x<5

A.63B.83C.86D.91

【答案】C

【分析】

由給定條件求得式-4)寸5),式4)寸7),進(jìn)而計(jì)算穴5)、穴7)的值，相加即可得解.

【詳解】

依題意，當(dāng)x<5時(shí)，治)=危+3),于是得%4)=於1)=/⑵=人5),a)=/(7)，

當(dāng)xN5時(shí)，人打=2*-尤2,則八5)=25-52=7,*7)=27-72=79,

所以34)憂-4)=86.

故選：C

((3a-l)x+4a,x<l

13.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=bg.x,無21的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值

范圍為()

A.(0,1)B.c.fo,yu(l,+oo)D.

【答案】C

【分析】

運(yùn)用一次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可解決此問題.

【詳解】

解：根據(jù)題意得，

（1）若廣（X）兩段在各自區(qū)間上單調(diào)遞減，貝IJ:

3u—1<0

<0<6Z<l；

（3a-1）?+a<loga

解得^<a<--

（2）若/（x）兩段在各自區(qū)間上單調(diào)遞增，貝IJ：

3。—1>0

<a>\；

（3i-1）?+a>loga

解得a>l；

二綜上得，。的取值范圍是。（1,+s）

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查一次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及分段函數(shù)單調(diào)性的判斷，值域的求法，屬于基礎(chǔ)題.

ax,x<0

14.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（九）=/八,、八，滿足對(duì)任意％#及，都

（〃一2）X+3Q,XN。

有"*）一"*）<0成立，則a的取值范圍是（）

X]-x2

313

A.a￡（0,l）B.a^[—,1）C.D.〃￡[“2）

【答案】c

【分析】

0<tz<1

根據(jù)條件知/⑶在尺上單調(diào)遞減，從而得出〃-2<0,求〃的范圍即可.

3a<1

【詳解】

,/f（x）滿足對(duì)任意羽為⑵都有"'一/㈤<0成立，

七一馬

“X）在R上是減函數(shù),

0<4Z<1

：.<a-2<0,解得。

3

(a-2)x0+3a<?°

的取值范圍是,

故選：C.

2x+Q%<1

15.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))已知實(shí)數(shù)awO,函數(shù)〃尤)=；,,若

[-x-2a,x>l

/(I—a)=/(l+a),貝心的值為()

,3「3-3

A.—B.—C.--D.—

4455

【答案】A

【分析】

分另1J討論a>0和“<0時(shí)，1-fl,1+a與1的大小關(guān)系，進(jìn)而可得〃1一。)與〃l+a)的表達(dá)

式，解方程即可求解.

【詳解】

因?yàn)椤ā?,

當(dāng)〃>0時(shí)，l—a<lvl+a,

止匕時(shí)/(1-?)=/(1+a)等價(jià)于2(1—a)+a=-(l+a)—2a,

3

所以2—〃=一1一3",解得：a=~29不滿足〃>0，舍去；

當(dāng)avO時(shí)，l+avl<l—a,

此時(shí)/(1-?)=/(1+a)等價(jià)于2(1+〃)+〃=一(1一〃)一2〃，

3

所以2+3。=一1—a,解得：a=—，符合題意，

4

綜上可得：〃=-；3,

4

故選：A.

(AXr>0

16.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知實(shí)數(shù)。41,函數(shù)〃同={J-，若〃l-a)=/(a-l),

2所，，元<0

則。的值為()

【答案】B

【分析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式，結(jié)合分段條件分和“>1兩種情況討論，即可求解.

【詳解】

(4Xr>0

由題意，函數(shù)〃x)=二一，

I，，X<U

當(dāng)。<1時(shí)，4?=2，即22Q=2:解得。=g;

當(dāng)”>1時(shí)，染-1=2而(~)，即22所2=22。-1,此時(shí)方程無解，

綜上可得，實(shí)數(shù)。的值為3.

故選：B.

f2-'r<0

17.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)"x)='一八，則滿足/(x+l)</(2x)的x的取

[1,x>0

值范圍是()

A.B.(0,+°o)C.(-1,0)D.(-℃,0)

【答案】D

【分析】

先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)Ax)在(3,0]上的單調(diào)性，再畫出分段函數(shù)的圖象，利

用圖象得到不等式的解集.

【詳解】

當(dāng)x40時(shí)，函數(shù)/(》)=2-，=§廣單調(diào)遞減，

則f(xR/(0)=l,

作出f(x)的大致圖象如圖所示，

由圖象知，要使〃x+l)</(2x),

x+1<0

x+l>0

須2x<0或

2x<0

2x<x+\

解得％v-1或-l?x<0,

即X<0.

故選：D.

x2+2xX>0

18.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=21"1則不等式

-x+2x,x<0,

/(3x+2)v/(x—4)的解集為()

A.(-<?,-3)B.1f-'ll

C.(TO,-1)D.(TO/)

【答案】A

【分析】

根據(jù)/(%)在R上單調(diào)遞增可求解.

【詳解】

易得函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，

則由/(3*+2)</(X—4)可得3x+2<x—4,解得x<—3,

故不等式的解集為(—,-3).

故選：A.

ff|T^o

19.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)(文))設(shè)函數(shù)〃x)='J,若〃昂)>2,則%的取

￡

x^,x>0

值范圍是()

A.(^?,-1)U(4,-HX>)B.(-oo,-l)

C.(4,+oo)D.(-1,4)

【答案】A

【分析】

分別在%4。和%>。的情況下，根據(jù)解析式構(gòu)造不等式，解不等式求得結(jié)果.

【詳解】

當(dāng)x°WO時(shí)，〃％)=2f>2,；.一%>1,解得：無o<-l；

1

當(dāng)尤0>0時(shí)，f（/）=宕=J1>2，解得：Xo>4；

綜上所述：%的取值范圍為（F,T）,（4,+w）.

故選：A.

20.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)=（_/+2》<0,則42。21）=（）

A.1B.2C.logs6D.3

【答案】D

【分析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得出xNO時(shí)函數(shù)類似于周期性，這樣可把自變量的值變化到（-8,0）上

來，從而求得函數(shù)值.

【詳解】

由題意/（2021）=/（2017）=??.=/（1）=/（-3）=log33+2=3.

故選：D.

二、多選題

21.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知集合”={-1,L2,4},N={1,2,4,16},請(qǐng)根據(jù)函數(shù)定義，

下列四個(gè)對(duì)應(yīng)法則能構(gòu)成從M到N的函數(shù)的是（）

A.y=2尤B.V=NC.y=x+2D.y=x2

【答案】BD

【分析】

根據(jù)函數(shù)的概念逐一判斷即可.

【詳解】

A,集合M中-1在集合N中沒有對(duì)應(yīng)元素，故A不選.

B,由函數(shù)的定義集合M中的每一個(gè)元素在集合N中都有唯一元素與之對(duì)應(yīng)，故B可選；

C,集合〃中1、4在集合N中沒有對(duì)應(yīng)元素，故C不選.

D,由函數(shù)的定義集合M中的每一個(gè)元素在集合N中都有唯一元素與之對(duì)應(yīng)，故D可選；

故選：BD

22.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）（多選）若函數(shù)y=在區(qū)間［-2,-1］上有意義，則實(shí)數(shù)。

可能的取值是（）

A.-1B.1C.3D.5

【答案】AB

【分析】

該題可等價(jià)于三+120在區(qū)間［-2,-1］上恒成立，分離參數(shù)即可求得.

【詳解】

函數(shù)y=在區(qū)間［-2,-1］上有意義，

等價(jià)于2+120在區(qū)間［-2,-1］上恒成立,

由尤<0得aW-x在區(qū)間上恒成立，所以,

故選：AB.

23.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（X）是一次函數(shù)，滿足/（/（x））=9x+8,則/（x）

的解析式可能為（）

A./(x)=3x+2B./(x)=3x-2

C./(x)=-3x+4D./(x)=-3x-4

【答案】AD

【分析】

設(shè)=區(qū)+b,代入/(/(力)=9x+8列方程組求解即可.

【詳解】

設(shè)/(x)=Ax+6,

由題意可知/（f（尤））=左（乙+人）+人=4—+的+b=9x+8,

k1=9k=3、k=-3

所以,解得匕=2或

劭+6=8b=-4

所以/(尤)=3x+2或/(x)=-3x-4.

故選：AD.

三、雙空題

f—4%2V<■01

24.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)〃x）=2_'若〃。）=-彳，則〃=

I人人,人U>

若方程〃尤）-6=0有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)6的取值范圍是.

【答案】或!m

42V4J

【分析】

第一空結(jié)合分段函數(shù)分a<0和解方程即可求出結(jié)果；第二空將方程/（力-6=。有三

個(gè)不同的實(shí)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)/（X）與直線y=6有三個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合即可求出結(jié)

果.

【詳解】

11

若qvO,則解得〃=—?-,

44

11

若a20,貝ij/-。-二，解得a=-

42f

M1-1

故Q=一:或〃=不；

42

當(dāng)％<0時(shí)，/（尤）<0且單調(diào)遞增，

當(dāng)行0時(shí)，2-1,在[0,；）單調(diào)遞減，在g,+8）單調(diào)遞增，所以段）的最小

值是一！，

4

若方程/（犬）-6=。有三個(gè)不同的實(shí)根,

b=/（x）有3個(gè)交點(diǎn)，故"？I；，。

故答案為：-;或;；（一；，0]

——x>[

25.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=無‘-‘若/5）=-1,貝陵。=

x3,x<l

若關(guān)于X的方程“無）=左有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是.

【答案】一1（0,1）

【分析】

x1

°-(x<1

第一空，將〃x0)=T等價(jià)于或解之即可；第二空，作函數(shù)y=/(x)及

~--1l%0=-i

40

>=上圖象，根據(jù)圖象求實(shí)數(shù)上的取值范圍即可.

【詳解】

Xn>1(■

/、

解方程/(七)=-1,得工①fx0二<l?，②

V-T〔X。

人0

解①無解，解②得%=T.

關(guān)于x的方程/(x)=%有兩個(gè)不同零點(diǎn)等價(jià)于y=/(x)的圖象與直線y=%有兩個(gè)不同交點(diǎn).

觀察圖象可知：當(dāng)0<左<1時(shí)，y=〃x)的圖象與直線'=上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，即左e(O/).

故答案為：-1；(0,1).

四、填空題

26.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)g(J^+l)=2x+3,貝禽⑶二.

【答案】11

【分析】

利用換元法可求g(x)的解析式，將x=3代入即可求g(3)的值.

【詳解】

令6+1=/21,貝!Jx=(r—I)?,

所以g(0=2?_l)2+3=2/_4r+5?21),

所以g(x)=2f-4x+5(x>l),

所以g⑶=2x3?-4x3+5=11,

故答案為：11

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：求函數(shù)解析式的方法

(1)待定系數(shù)法：已知函數(shù)類型，可用待定系數(shù)法求解，先設(shè)出F(x),再利用題目中給的

已知條件，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，進(jìn)而求出待定的系數(shù)；

(2)換元法：主要用于解決已知復(fù)合函數(shù)/根(元)］的表達(dá)式求/(力的解析式的問題，令

g(x)=f,解出x,然后代入/［g(x)］中即可求得〃/),從而求得了(力，要注意新元的取

值范圍；

(3)配湊法：配湊法是將/［g(x)］右端的代數(shù)式配湊成關(guān)于g(x)的形式，進(jìn)而求出的

解析式；

(4)構(gòu)造方程組法(消元法)：主要解決已知抽象函數(shù)關(guān)系式求解函數(shù)解析式的問題.方法

是根據(jù)不同的變量之間的關(guān)系，利用變換形式構(gòu)造不同的等式，通過解方程組求解.

27.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)“X)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)無，》滿足

/(x+y)=/(x)-/(y),且恒大于0,若刖=3,則/(一1)=—.

【答案】|

【分析】

利用賦值法，先令x=y=o可得〃0)=1,再令x=i,y=-i,即可求出〃一1)的值.

【詳解】

令x=y=o,則〃。)=0(0),解得"0)=1或〃o)=o(舍去).

令無=1,y=-l,則＞⑼"⑴RT),因?yàn)?⑴=3,所以〃

故答案為：;"

28.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知函數(shù)f(x),g(元)分別由下表給出

X123

/(X)131

X123

g(x)321

則/[g（D]的值為；滿足flgM]>g[/（x）]的X的值是.

【答案】1,2

【詳解】

⑴]=〃3）=1；

當(dāng)x=l時(shí)，力g⑴]=l,g"⑴]=g6=3,不滿足條件，

當(dāng)x=2時(shí)，/出⑵]=f（2）=3,g"⑵]=g（3）=l,滿足條件，

當(dāng)x=3時(shí),/區(qū)（3）]=八1）=1超"（3）]=儀1）=3,不滿足條件，

只有x=2時(shí)，符合條件.

29.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=log2，+。），若〃3）=1,貝|。=.

【答案】-7

【詳解】

分析：首先利用題的條件外3）=1,將其代入解析式，得到63）=/。4（9+0）=1,從而得到

9+a=2,從而求得a=-7,得到答案.

詳解：根據(jù)題意有〃3）=妖2（9+a）=1,可得9+a=2,所以°=-7,故答案是-7.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)已知某個(gè)自變量對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小，來確定有關(guān)參數(shù)值的問題，在

求解的過程中，需要將自變量代入函數(shù)解析式，求解即可得結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題目.

30.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（2一）的定義域是[0』，則函數(shù)y=/（3T-l）的

定義域是.

【答案】[-L—logs2]

【分析】

由函數(shù)fQi）的定義域是[0』，可求2T的值域，即函數(shù)“X）的定義域，再由尸_141,2],

即可求得y=/（3~%-1）的定義域.

【詳解】

/（2j）的定義域是[0』，則即函數(shù)/（X）的定義域?yàn)閇L2],

令k—即3-飛[2,3],解得xe[-L,—log32]

則函數(shù)》=/（3-x-l）的定義域?yàn)閇T—log32].

故答案為：[T,Togs2].

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：求抽象函數(shù)的定義域的方法：

(1)已知/(X)的定義域?yàn)閇4,勿，求/[g(x)]的定義域：求不等式a<g(x)V6的解X的范圍，

即為/口(切的定義域；

(2)已知/[g(x)]的定義域?yàn)榭?句，求Ax)的定義域：由“4XW6確定g(x)的取值范圍，

即為Ax)的定義域.

(3)已知/[g(切的定義域，求丹必切的定義域：先由/[g(切的定義域，求得f(x)的定

義域，再由"X)的定義域，求得了[〃(幻]的定義域.

31.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知“X)是一次函數(shù)，且滿足3/(x+l)-2"x-l)=2x+17,

求〃x)=.

【答案】2x+7

【分析】

設(shè)『(力=仆+。(。*0),根據(jù)已知條件列方程，由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等求出。和b的值即可求解.

【詳解】

因?yàn)?(x)是一次函數(shù)，設(shè)/(1)=辦+6(”0),

因?yàn)?/(x+l)-2/(x-l)=2x+17,

所以3[a(尤+1)+/?]-2[a(x-1)+6]=2x+17,

整理可得《x+5a+b=2x+17,

[a=2[a=2

所以Vj17'可得，7'

[5a+b=u[b=7

所以f(x)=2x+7,

故答案為：2x+7.

32.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/'(?+2)=尤+44+5,則的解析式為

【答案】/(x)=x2+l(x>2)

【分析】

令五+2=/,則/N2,且X=Q-2)2,將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于/的表達(dá)式，再將/換成x即

可求解.

【詳解】

令>/^+2=f，則122,且x=(f-2),

所以/?)="_2)2+4?_2)+5=r+1,(?>2)

所以〃x)=a+l(x22),

故答案為：/(X)=X2+1(X>2).

2020

33.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)八尤)對(duì)；#0的一切實(shí)數(shù)都有兀0+賀——)=3x,則

x

的=■

【分析】

令犬=20上20代入等式，解方程組可得答案.

X

【詳解】

因?yàn)樾?+2“第1x,可得“第卜2/(+3金,

“x)+2/［出］=3x

由，\xJw-、4040

角牛何f(%)=1?

X

［(一V72020

故答案為：/(x)=4?040-x.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用方程組求解析式，屬于簡(jiǎn)單題型，一般求解析式的方法分為:

1.待定系數(shù)法，適應(yīng)于已知函數(shù)類型；

2.代入法，適用于已知“X)的解析式，求，［g(x)］的解析式;

3.換元法，適用于已知外g(x)］的解析式，求〃x)的解析式；

4.方程組法，適用于已知“力和的方程，或和的方程.

34.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知/?(元)+3/(-元)=2x+l,則的解析式是.

【答案】〃X)=T+；.

【分析】

將等式f(x)+3/(-幻=2x+l中的x換為r,建立二元一次方程組求解即可得出/(%)的解析

式.

【詳解】

將等式f(x)+3f(-x)=2x+l中的x換為-X得到：/(-x)+3f(x)=-2x+l

/(元)+3/(—x)=2尤+1解得：〃X)=T+；

故有

/(-x)+3/(x)=-2x+l

故答案為：/（X）=T+：

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了求抽象函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.

35.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)了⑺是定義在R上的函數(shù)，且滿足對(duì)任意羽丁等式

，（2y—x）=-2/（x）+3y（4x—y+3）恒成立，則/（x）的解析式為.

【答案】/（x）=3x（x+l）

【分析】

由題意，把等式中的y替換成x即可求出〃x）.

【詳解】

.f（x）是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)任意x，y,，（2y-x）=—2/（x）+3y（4x-y+3）恒成立，

二令y=尤，得

/（2x-x）=-2/（x）+3x（4x-x+3）,

即f（x）=-2/（x）+3x（3x+3）,

3/（x）=3x（3x+3）,

尤）=3x（尤+1）.

故答案為〃x）