專題13統計與統計案例

目錄

題型一：統計

易錯點01混淆總體與總體容量、樣本與樣本容量

易錯點02求中位數、百分位數時忽略數據順序

易錯點03對頻率分布直方圖中的數據特征理解不透

題型二統計案例

易錯點04混淆函數關系和相關關系而出錯

易錯點05忽視回歸直線與回歸曲線方程的區別與聯系

易錯點06求解獨立性檢驗問題對K2的值理解不準確

題型一：統計

易錯點01：混淆總體與總體容量'樣本與樣本容量

易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?上海?階段練習）某校為了解高三年級學生體重情況，從該年級1000名學生中抽取125

名學生測量他們的體重進行分析.在這項調查中，抽取的125名學生的體重是（）

A.總體B.樣本C.總體容量D.樣本容量

【答案】B

【分析】根據樣本的定義即可求解.

【詳解】抽取的125名學生的體重是樣本，故選：B

【易錯剖析】

本題容易混淆樣本與樣本容量而出錯.

【避錯攻略】

抽樣調查

（1）總體：統計中所考察對象的某一數值指標的全體構成的集合稱為總體.

（2）個體：構成總體的每一個元素叫做個體.

（3）樣本：從總體中抽取若干個個體進行考察，這若干個個體所構成的集合叫做總體的一個樣本，樣

本中個體的數目叫做樣本容量.

易錯提醒：⑴總體是指考察對象的全體，而總體容量是指總體的個數；⑵樣本是指從總體中抽取的若干個

個體組成的集合，而樣本容量是指樣本個體的數目，要注意二者的區別.

舉一反三

1.（2024高三?全國?專題練習）為了了解某地參加計算機水平測試的5000名學生的成績，從中抽取了200

名學生的成績進行調查分析，在這個問題中，被抽取的200名學生的成績是（）

A.總體B.個體

C.樣本D.樣本量

【答案】C

【分析】根據統計中抽樣調查的概念即可得解.

【詳解】從5000名學生的成績中抽取了200名學生的成績進行調查分析，

總體:5000名學生的成績；

個體:每個學生的成績；

樣本:200名學生的成績；

樣本容量:200,

所以抽取的200名學生的成績是樣本

故選：C.

2.（24-25高二上?安徽?階段練習）某中等職業學校為了了解高二年級1200名學生的視力情況，抽查了其中

200名學生的視力，并進行統計分析.下列敘述正確的是（）

A.上述調查屬于全面調查B.每名學生是總體的一個個體

C.200名學生的視力是總體的一個樣本D.1200名學生是總體

【答案】C

【分析】利用總體、樣本、調查方法的相關概念分析選項即可.

【詳解】上述調查屬于抽樣調查，故A項錯誤；

每名學生的視力是總體的一個個體，故B項錯誤；

200名學生的視力是總體的一個樣本，故C項正確；

1200名學生的視力是總體，故D項錯誤.

故選：C

3.（24-25高三?甘肅蘭州?訓練）為了了解參加運動會的1500名運動員的年齡情況，從中抽取了150名運動

員的年齡進行調查，則下列說法正確的是（）

A.1500名運動員的年齡是總體

B.抽取到的150名運動員是樣本

C.這個抽樣方法可以采取隨機數表法抽樣

D.每個運動員被抽到的機會相等

【答案】BD

【分析】根據總體、樣本的定義，結合隨機抽樣的性質逐一判斷即可.

【詳解】1500名運動員是總體，故A錯誤；抽取到的150名運動員是樣本，故B正確；隨機數表法常常用

于總體的個體較少時，當總體中的個體數較多時，編號復雜，將總體“儻拌均勻”也比較困難，用隨機數表法

產生的代表性不合理，故C錯誤；在簡單的隨機抽樣時，每個運動員被抽到的機會是相等的，故D正確.

故選：BD

易錯題通關

1.（23-24高三?西藏日喀則?期末）高考結束后，為了分析該校高三年級1000名學生的高考成績，從中隨機

抽取了100名學生的成績，就這個問題來說，下列說法中正確的是（）

A.100名學生是個體

B.樣本容量是100

C.每名學生的成績是所抽取的一個樣本

D.1000名學生是樣本

【答案】B

【分析】根據有關的概念可得總體、個體、樣本這三個概念考查的對象都是學生成績，而不是學生，再結

合題中選項即可得到答案.

【詳解】根據有關的概念并且結合題意可得總體、個體、樣本這三個概念考查的對象都是學生成績，而不

是學生，

根據選項可得選項A、D表達的對象都是學生，而不是成績，所以A、D都錯誤.

C每名學生的成績是所抽取的一個樣本也是錯的，應是每名學生的成績是一個個體.

B：樣本的容量是100正確.

故選:B.

2.（24-25高三上?福建福州?開學考試）為檢查某校學生心理健康情況，市教委從該校1400名學生中隨機抽

查400名學生，檢查他們心理健康程度，則下列說法正確的是（）

A.1400名學生的心理健康情況是總體B.每個學生是個體

C.400名學生是總體的一個樣本D.400名學生為樣本容量

【答案】A

【分析】根據總體、個體、樣本容量概念依次判斷選項即可.

【詳解】對選項A：1400名學生的心理健康情況是總體，故A正確；

對選項B,每個學生的心理健康情況是個體，故B錯誤；

對選項C,400名學生的心理健康情況是總體的一個樣本，故C錯誤；

對選項D,400名學生的心理健康情況為樣本容量，故D錯.

故選：A

3.（23-24高一下?山西晉中?階段練習）為了了解某路口每天在學校放學時段的車流量，有下面幾個樣本，

統計該路口在學校放學時段的車流量，你認為合適的是（）

A.抽取兩天作為一個樣本

B.春、夏、秋、冬每個季節各選兩周作為樣本

C.選取每周星期日作為樣本

D.以全年每一天作為樣本

【答案】B

【分析】選擇調查的對象要有代表性即可判斷.

【詳解】解：依題意春、夏、秋、冬每個季節某路口在學校放學時段的車流量可能會有差異，

為了統計該路口在學校放學時段的車流量，春、夏、秋、冬每個季節各選兩周作為樣本更具有代表性，故B正

確；

對于A：隨機抽取兩天作為一個樣本，不具有代表性，故A錯誤；

對于C：顯然星期一到星期五學校放學時段的車流量與周末時學校放學時段的車流量會有差異，故選取每周

星期日作為樣本也不具有代表性，故C錯誤；

對于D：全年每天的數據，屬于全面調查，不屬于抽樣調查，故D錯誤；

故選：B.

4.（24-25高一上?全國?課堂例題）（多選）某市模考共有70000多名學生參加，某校教科室為了了解本校

3390名考生的數學成績，從中抽取300名考生的數學成績進行統計分析，下列說法正確的是（）

A.3390名考生是總體的一個樣本B.3390名考生的數學成績是總體

C.樣本容量是300D.70000多名考生的數學成績是總體

【答案】BC

【分析】根據總體、個體、樣本、樣本容量的概念，可以判斷BC正確.

【詳解】總體是3390名考生的數學成績，樣本是抽取的300名考生的數學成績，樣本容量是300.

故選：BC.

5.（23-24高一下?青海海東?階段練習）為了了解某社區60周歲以上老年人的體重，進行如下調查：

調查一：對該社區所有60周歲以上老年人的體重進行調查；

調查二：對該社區部分60周歲以上老年人（500名）的體重進行調查.

關于上述調查，下列說法正確的是（）

A.調查一是普查，調查二是抽樣調查

B.調查二中的總體是指該社區抽取的500名60周歲以上老年人的體重

C.調查二中的樣本量是500

D.檢測一批燈泡的壽命宜采用調查一的調查方式，以使收集的數據更精確

【答案】AC

【分析】根據抽樣調查和普查的概念、總體和樣本的概念即可求解.

【詳解】對于選項A,根據抽樣調查和普查的概念可知，

調查一的調查方式是普查，調查二的調查方式是抽樣調查，故A正確；

對于選項B,根據總體和樣本的概念可知，總體是指該社區所有60周歲以上老年人的體重，樣本是指抽取

的該社區500名60周歲以上老年人的體重，故B錯誤；

對于選項C,結合已知條件和樣本量的概念可知，樣本量是500,故C正確；

對于選項D,由于檢測一批燈泡的壽命，具有損毀性，故只能用抽樣調查，故D錯誤.

故選：AC.

6.（23-24高二上?湖北武漢?期中）“知名雪糕31℃放1小時不化”事件曝光后，某市市場監管局從所管轄十

五中、十七中、常青一中三校周邊超市在售的28種雪糕中抽取了18種雪糕，對其質量進行了檢查.在這

個問題中，18是（）

A.總體B.個體C.樣本D.樣本量

【答案】D

【分析】根據抽樣調查中總體、個體、樣本、樣本容量的概念，即可判斷.

【詳解】總體：我們把與所研究問題有關的全體對象稱為總體；

個體：把組成總體的每個對象稱為個體；

樣本：從總體中，抽取的一部分個體組成了一個樣本；

樣本量：樣本中個體的個數叫樣本容量，其不帶單位；

在售的28種雪糕中抽取了18種雪糕，對其質量進行了檢查，在這個問題中，28種雪糕是總體，每一種雪

糕是個體，18種雪糕是樣本，18是樣本量；

故選：D.

易錯點02：求中位數'百分位數時忽略數據順序

般易錯陷阱與避錯攻略

典例(2024?河南?統考模擬預測)樣本數據16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位數為()

A.14B.16C.18D.20

【答案】B

【分析】由中位數定義即可得.

【詳解】將這些數據從小到大排列可得：10,12,14,14,16,20,24,30,40,

則其中位數為16.

故選：B.

【易錯剖析】

本題求解時容易忽略講數據從小到大排列而出錯.

【避錯攻略】

1.眾數、中位數、平均數

(1)眾數：一組數據中出現次數最多的數叫眾數，眾數反應一組數據的多數水平.

(2)中位數：將一組數據按大小順序依次排列，把處在最中間位置的一個數據(或最中間兩個數據的

平均數)叫做這組數據的中位數，中位數反應一組數據的中間水平.

(3)平均數："個樣本數據士,々x”的平均數為I=.+馬+…+%,反應一組數據的平均水平，公

n

式變形：=nx.

Z=1

2.百分位數

(1)定義：一組數據的第〃百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有？%的數據小于或等于

這個值，且至少有(100-p)%的數據大于或等于這個值.

(2)計算一組〃個數據的的第p百分位數的步驟

①按從小到大排列原始數據.

②計算i=〃xp%.

③若，不是整數而大于，的比鄰整數則第0百分位數為第/項數據；若i是整數，則第。百分位數為

第7?項與第i+1項數據的平均數.

(3)四分位數：我們之前學過的中位數，相當于是第50百分位數.在實際應用中，除了中位數外，常

用的分位數還有第25百分位數，第75百分位數.這三個分位數把一組由小到大排列后的數據分成四等份,

因此稱為四分位數.

易錯提醒：在求數據的中位數、百分數時，一定要先把數據從小到大排列，然后再根據中位數、百分數的

定義進行求解.

叁舉一反三

1.（2025高三上?四川眉山?階段練習）假設有一組數據為6,8,3,6,4,6,5,這些數據的眾數與中位數

分別是（）

A.5,6B.6,4C.6,5D.6,6

【答案】D

【分析】由小到大排列給定數據組，再利用眾數與中位數的意義求解即得.

【詳解】依題意，原數據組由小到大排列為：3,4,5,6,6,6,8,

所以這組數據的眾數與中位數分別是6,6.

故選：D

2.（24-25高三上?天津和平?期末）一組數據按從小到大的順序排列為1,3,m,7,10,11,若該組數據

的中位數是這組數據極差的：，則該組數據的第45百分位數是（）

A.3B.4C.5D.7

【答案】A

【分析】計算出中位數與極差后即可得用的值，再借助百分位數定義即可得解.

m4-7

【詳解】該組數據的中位數為W，極差為11-1=10,

加+71

則有----=—xl0=5,即加=3,

22

6x0.45=2.7,則該組數據的第45百分位數是3.

故選：A.

3.（24-25高三上?山東淄博?期末）某校舉行了交通安全知識主題演講比賽，甲、乙兩位同學演講后，6位

評委對甲、乙的演講分別進行打分（滿分10分），得到如圖所示的折線統計圖，則（）

9.5

9.0

8.5

8.0

7.5

7.0

（

一甲一乙

A.若去掉最高分和最低分，則甲得分的中位數大于乙得分的中位數

B.甲得分的極差大于乙得分的極差

C.甲得分的上四分位數小于乙得分的上四分位數

D.甲得分的方差大于乙得分的方差

【答案】ABD

【分析】運用極差、中位數及百分位數的公式計算，和方差的意義逐項判斷即可.

【詳解】甲、乙的得分從小到大排列如下：

甲:7.0,8.3,8.9,8.9,9.2,9.3,乙：8.1,8.5,8.6,8.6,8.7,9.1,

故去掉最高分和最低分可得甲的中位數為8.9,乙的中位數為8.6,故A正確；

甲的極差為9.3-7.0=2.3,乙的極差為9.1一8.1=2,故B正確；

6x75%=4.5,所以甲的第75百分位數為9.2,乙的第75百分位數為8.7,故C錯誤；

由圖可以看出甲得分的波動比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正確.

故選：ABD

,易錯題通關.

1.（2025高三?全國?專題練習）一組數據18,12,10,11,9,7,4,6,1,3的25%分位數是（）

A.10B.12C.4D.3

【答案】C

【分析】應用百分位數定義求25%分位數.

【詳解】將這組數據按從小到大的順序排列為1,3,4,6,7,9,10,11,12,18,共10個數,

所以10x25%=2.5,則這組數據的25%分位數為4.

故選：C

2.（24-25高三上?廣東茂名?階段練習）四川耙耙柑以果肉飽滿圓潤，晶瑩剔透等特點深受民眾喜愛，某耙

耙柑果園的質檢員對剛采摘下來的耙耙柑采用隨機抽樣的方式對成筐的耙耙柑進行質檢，記錄下了8筐耙

耙柑中殘次品的個數為5,7,6,3,9,4,8,10,則該組樣本數據的第30百分位數為（）

A.5B.5.5C.6D.6.5

【答案】A

【分析】把給定的數據組由小到大排列，再利用第30百分位數的定義求出結果.

【詳解】殘次品的個數由小到大排列為：3,4,5,6,7,8,9,10,

由8x30%=2.4,得該組樣本數據的第30百分位數為5.

故選：A.

3.(24-25高三上?湖北十堰?期末)已知x>0,且x,x+l,/,2x的中位數為1,貝口=()

,12八.3

A.—B.—C.1D.一

332

【答案】B

【分析】先根據題意判斷出X41,再分別討論尤=1和0<x<l即可求解.

【詳解】因為x>0,所以x<x+l,x<2x,又x,x+l,x12x的中位數為1,所以xVl,

當x=l時，居、+1/2,2%分別為121,2,則中位數為2,不符合題意；

3丫2

當0<、<1時，%2<x<2x<x+l,則中位數為5=1,解得%=

故選：B

4.(24-25高三上?天津紅橋?期末)從某學校高二年級隨機抽取10名學生進行數學能力測試，測試成績為

68,81,79,81,90,86,74,84,69,78,設學生測試成績的平均數，中位數，眾數分別為〃也c,則()

A.a=b<cB.a<b=c

C.a<b<cD.b<a<c

【答案】C

【分析】根據平均數公式求出平均數%根據中位數和眾數定義，找到b和。，從而可以比較大小

【詳解】平均數。=2(68+81+79+81+90+86+74+84+69+78)=79,

數據從小到大排列為：68,69,74,78,79,81,81,84,86,90,第五個數為79,第六個數為81,所以中位數

^=1(79+81)=80,

出現次數最多的是眾數，所以眾數c=81,

所以“<6<c.

故選：C.

5.(2024高三?全國?專題練習)一組數據從小到大依次為3,5,6,7,8,9,m,10,11,13,且眾數為

9,下列說法錯誤的是（）

A.機=9B.中位數為8.5C.平均數為8D.極差為10

【答案】C

【分析】由條件結合眾數的定義求加，再結合中位數，平均數，極差定義求中位數，平均數，極差判斷各

選項.

【詳解】眾數是一組數據中出現次數最多的數據，因此加=9；

該組數據的中位數是第5位和第6位數的平均數，即為8.5；

極差為13-3=10；

平均數是，x（3+5+6+7+8+9+9+10+H+13）=8.1,

故選：C.

6.（2024高三?全國?專題練習）（多選）有一組樣本數據再,尤2,…其中占是最小值，%是最大值，則

（）

A.尤243戶4，匕的平均數等于網戶2廣-66的平均數

B.%壬相,％的中位數等于國,工2,…,乙的中位數

C.x2,x3,x4,x5的標準差不小于X］,…％的標準差

D.x2,x3,x4,x5的極差不大于七戶2,…,工6的極差

【答案】BD

【分析】根據特殊值法分別求出平均數及標準差判斷A,C錯誤，根據中位數和極差計算判斷B,D.

［詳解］取尤1=1,迎=%=尤4=%=2,無6=9,

無的平均數等于2,網戶2戶,戶6的平均數占+X2:…+-%=1+4：2+9=3,選項A錯誤；

66

工2，%,羽/5的標準差為0,%,七,…,3的標準差41±1；4+62>0,選項C錯誤；

不妨設再<X2<x3<x4<x5<x6,

則X2，X3，Z，X5的中位數等于石產，匹,馬,…,乙的中位數等于區產，

々,對,％汽的中位數等于4戶2,…戶6的中位數，B正確；

^，兩，與三的極差為優用用,不}^-^，⑤%%}./戶2,…，3的極差為了6-3，

則打￡，尤4,比5的極差不大于網,巧，…，尤6的極差，D正確.

故選：BD.

7.（24-25高三上?江蘇?階段練習）（多選）有一組樣本數據1,2,3,5,7,8,9,a,下列說法正確的是

（）

A.若該組數據的平均數為0,則a=5B.若該組數據的中位數為①則。=5

C.當時，該組數據的極差為8D.當a=5時，該組數據的方差最小

【答案】ABD

【分析】A.由平均數的定義求解判斷；B.由中位數的定義求解判斷；C.由極差的定義求解判斷；D.由方差

的定義求解判斷.

【詳解】解：因為樣本數據1,2,3,5,7,8,9,a,

A.若該組數據的平均數為a,則1+2+3+5：7+8+9+jq,解得^=5,故正確；

O

B.當時，若該組數據的中位數為辭=4,不符合題意；

當3＜a＜5時，若該組數據的中位數為卓＞。，不符合題意；當。=5時，若該組數據的中位數為胃=5=a,

22

符合題意；

當5＜。＜7時，若該組數據的中位數為一＜。，不符合題意；

當a27時，若該組數據的中位數為?=6＜“，不符合題意，綜上：a=5,故正確；

C.當。=0時，該組數據的極差為9-0=9故錯誤；

D.該組數據的平均數為史誓由A知，當a=5時，該組數據的平均數為5,

O

貝IJ其方差夕=1（12+22+32+52+72+82+92+a2-8xx2）

所以要使方差最小，則/一8x/=/一空嚴=g（7/-70。+1225）取得最小值，所以a=5,故D正確.

故選：ABD

8.（2025高三?全國?專題練習）（多選）2024年10月央行再次下調人民幣存款利率，存款利率下調是為了

刺激經濟增長、促進投資和消費而采取的一種貨幣政策.下表為某銀行近年來幾個時間發布的人民幣一年定

期存款利率：

時間2018年4月2019年4月2020年4月2021年6月2022年9月2024年7月2024年10月

利率

1.351.501.751.751.551.351.10

/%

關于表中的7個數據，下列結論正確的是（）

A.極差為0.25B.平均數不大于1.5

C.20%分位數與30%分位數相等D.中位數為1.75

【答案】BC

【分析】將諸數據排序后根據極差、平均數、百分位數、中位數的計算公式計算后可得正確的選項.

【詳解】把這7個數據按照從小到大的順序排列：1.10,1.35,1.35,1.50,1.55,1.75,1.75.

選項A：極差為1.75-1.10=0.65,A錯誤.

……,2x1.35+2x1.75+1.55+1.50+1.1010.35

選項B：平均數為-----------------------------=--<1.5,B正確.

選項C：20%x7=1.4,30%x7=2.1,

故20%分位數與30%分位數都是1.35,C正確.

選項D：中位數為第四個數即1.50,D錯誤.

故選：BC.

易錯點03：對頻率分布直方圖中的數據特征理解不透

易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?廣東汕頭?期末）某市為修訂用水政策，制定更合理的用水價格，隨機抽取100戶居民,

得到他們的月均用水量，并整理得如下頻率分布直方圖.根據直方圖的數據信息，下列結論中正確的是（）

B.100戶居民的月均用水量低于16.2t的用戶所占比例超過90%

C.100戶居民的月均用水量的極差介于21t與27t之間

D.100戶居民的月均用水量的平均值介于16.2t與22.2t之間

【答案】C

【分析】首先根據頻率分布直方圖中所有小長方形的面積和為1求出6的值，再分別求出100戶居民的月均

用水量的中位數，平均數，極差等即可判斷.

【詳解】由頻率分布直方圖可知，

(0.077+0.107+0.043+0.030+0.030+0.017+0.010+0.013+Z))x3=1,

19

解得

對于A,月均用水量在［1.2,4.2)的頻率為0.077x3=0.231<0.5,

月均用水量在［127.2)的頻率為0.231+0.107x3=0.231+0.321=0.552>0.5,

所以100戶居民的月均用水量的中位數在［4.2,7.2),故A錯誤；

對于B,因為100戶居民的月均用水量低于16.2t的用戶的頻率為

(0.077+0.107+0.043+0.030+0.030)x3=0.861,

所以100戶居民的月均用水量低于16.2t的用戶所占比例為86.1%,故B錯誤；

對于C,由圖知，極差的最大值為28.2-1.2=27,最小值為25.2-4.2=21,

所以100戶居民的月均用水量的極差介于21t與27t之間，故C正確；

對于D,100戶居民的月均用水量的平均值為

(0.077x2.7+0.107x5.7+0.043x8.7+0.030xll.7+0.030xl4.7

191

+0.017x17.7+0.010x20.7+0.013x23.7+------x26.7x3=8.907t,故D錯誤

3000)

故選：C.

【易錯剖析】

本題在計算過程中容易對中位數、百分位數、眾數、平均數估計值的計算公式理解不透徹而出錯.

【避錯攻略】

1、畫頻數分布直方圖與頻率分布直方圖的步驟：

(1)找出最值，計算極差；

(2)合理分組，確定區間；

(3)整理數據；

(4)作出相關圖不；

頻數分布直方圖縱坐標是頻數，每一組數對應的矩形的高度與頻數成正比

頻率分布直方圖縱坐標是頻率/組距，每一組數對應的矩形高度與頻率成正比，每個矩形的面積

等于這一組數對應的頻率，所有矩形的面積之和為1

2、頻率分布表與頻率分布直方圖的特點

頻數分布表反映具體數據在各個不同區間的取值頻率，但不直觀，數據的總體態勢不明顯；頻率分布

直方圖能直觀地表明數據分布的行狀態勢，但失去了原始數據。

3、頻數分布折線圖和頻率分布折線圖

把頻數分布直方圖和頻率分布直方圖中每個矩形上面一邊的中點用線段連接起來。

為了方便看圖，折線圖都畫成與橫軸相交，所以折線圖與橫軸的左右兩個交點是沒有實際意義的。

4.頻率分布直方圖中的統計參數

（1）頻率分布直方圖中的“眾數”

根據眾數的意義可知，在頻率分布直方圖中最高矩形中的某個（些）點的橫坐標為這組數據的眾數.一般用

中點近似代替.

（2）頻率分布直方圖中的“中位數”

根據中位數的意義，在樣本中，有50%的個體小于或等于中位數，也有50%的個體大于或等于中位數.

因此，在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該相等，由此可估計中位數的值.

（3）頻率分布直方圖中的“平均數”

平均數是頻率分布直方圖的“重心”.因為平均數可以表示為數據與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分

布直方圖中，樣本平均數可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和近似代替.

易錯提醒：利用頻率分布直方圖求眾數、中位數與平均數時，易出錯，應注意區分這三者.在頻率分

布直方圖中：

（1）最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數；

（2）中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；

（3）平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底

邊中點的橫坐標之和.

奧舉一反三

1.（2024高三?全國?專題練習）某校高三年級共800名學生，將其期中考試的數學成績進行適當分組后，得

到頻率分布直方圖如圖所示.若要從這800人中按分數從高到低錄取72人組成數學興趣小組，則錄取分數

線估計為（）

▲頻率

贏

0.025----------------------

0.015

0.010

0.005

0^506070809010010120分數

A.105分B.108分C.110分D.112.5分

【答案】B

【分析】方法一：根據頻率之和為1得到方程，求出a=0.02,從而得到取分數線在區間［100,110）內，設錄

取分數線為X分，得到方程，解得X=108；

方法二：求出分數不低于110分的人數為40,排除C,D；分數在［100,110）內的人數大于120,估計分數不

低于105分的人數大于60+40=100,排除A,得到答案.

【詳解】方法一：H^2x0.005xl0+0,010xl0+0,015xl0+2axl0+0,025xl0=l,

解得a=0.02,分數在［110,120］內的人數為800x0.005xl0=40,

分數在［100,110）內的人數為800x0.02x10=160,

由于72>40,72<40+160,故錄取分數線在區間［100,110）內.

7?

設錄取分數線為X分，則0.02x（110-X）+0.005xl0=詆=0.09,解得X=108；

800

方法二：排除法，

分數不低于no分的人數為800x0005x10=40,排除C,D.

分數在［100,110）內的人數是分數在［110,120］內的人數的三倍以上，

即分數在［100,110）內的人數大于120,

因此估計分數不低于105分的人數大于60+40=100,排除A.

故選：B.

2.（24-25高三上?四川成都?階段練習）某校1000名學生參加環保知識競賽，隨機抽取了20名學生的考試

成績（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（）

A.頻率分布直方圖中。的值為0.004

B.估計這20名學生考試成績的平均數為76.5

C.估計這20名學生數學考試成績的眾數為80

D.估計總體中成績落在［60,70)內的學生人數為150

【答案】BD

【分析】根據所有矩形的面積和為1求出。，然后逐一判斷即可.

【詳解】對A,由10x(2a+3a+7a+6a+2a)=l可得。=0.005,故A錯誤；

對B,這20名學生考試成績的平均數為：

55x0.1+65x0.15+75x0.35+85x0.3+95x0.1=76.5分,故B正確;

對C,這20名學生數學考試成績的眾數為75,故C錯誤；

對D,總體中成績落在［60,70)內的學生人數為3axl0xl000=150,故D正確.

故選：BD

3.(2024高三?全國?專題練習)某研究小組經過研究發現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明

顯差異，經過大量調查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖:

W40

V0

.30

O36

.34

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c,將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判

定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為"(c)；誤診率是將未患病者判定為陽

性的概率，記為式c).假設數據在組內均勻分布，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率.則當漏診

率p(c)=0.5%時，誤診率q(c)=.

【答案】3.5%

【分析】先根據左邊的頻率分布直方圖得到c=97.5,再根據右邊的頻率分布直方圖可得〃c).

【詳解】依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為5x0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以,-95)x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

由右邊的頻率分布直方圖可得q(c)=0.01x(100-97.5)+5x0.002=0.035=3.5%.

故答案為：3.5%

＞易錯題通關.

1.(24-25高三上?天津河西?期末)某中學組織高中學生參加數學知識競賽，現從中隨機抽取100名學生成

績的頻率分布直方圖如圖所示，則這組樣本數據的70%分位數為()

A.85B.86C.87D.88

【答案】C

【分析】由頻率分布直方圖的性質求出。，再由百分位數的方法求解即可.

【詳解】由題意可得10*(0.005+0.015+0.030+“)=1,解得。=0.05,

所以前兩組的頻率和為(0.005+0.030)x10=0.35,前三組的頻率和為(0.005+0.030+0.050)x10=0.85,

設這組樣本數據的70%分位數為x,則0.035x10+(x-80)x0.05=0.7,

解得x=87.

故選：C.

2.(24-25高三上?吉林長春?階段練習)某市為了了解全市10萬名高一學生的數學學習情況，抽取了該市某

個區的15000名學生進行數學能力測試(百分制)，并將這些學生的成績整理成如圖所示的頻率分布直方圖、

A.圖中a的值為0.15

B.估計樣本數據的75%分位數為85

C.用樣本可以估計全市高一學生數學能力測試不及格（低于60分）的人數為5000

D.用樣本可以估計全市高一學生數學能力測試的平均分約為81.5分（同一組數據用該組區間的中點值

作代表）

【答案】C

【分析】A選項，根據頻率分布直方圖的性質計算；

B選項，先判斷出75%分位數所在的區間，然后列方程計算；

C選項，先算出樣本數據中不及格的頻率，由此估計全市學生不及格的人數；

D選項，根據題意中的平均數的計算要求進行計算.

【詳解】A選項，根據頻率分布直方圖的性質，10x（0.005+a+0.020+0.040+0.020）=l,

解得。=0.015,A選項錯誤；

B選項，前4個矩形條的面積為l-10x0.02=0.8>0.75,

前3個矩形條的面積為：1-10義（0.02+0.04）=0.4<0.75,

故樣本數據的乃％分位數落在［80,90］中，設樣本數據的75%分位數為x,

于是（x-80）x0.04+0.4=0.75,解得x=88.75,B選項錯誤;

C選項，根據直方圖可以看出，低于60分的頻率為：0.005x10=0.05,

于是估計全市學生不及格的人數為：100000x0.05=5000,C選項正確；

D選項，由題意，平均數為：

10x（55x0.005+65x0.015+75x0.02+85x0.04+95x0.02）=80.5,D選項錯誤.

故選：C.

3.（2024?重慶?模擬預測）（多選）國際學生評估項目測試是世界經濟合作與發展組織對各國中學生閱讀、

數學、科學能力評價測試.從2000年開始，每3年進行一次測試評估.在評估研究時將測試成績按一定規則

轉換成等級賦分，賦分范圍是40至100分，如圖是2024年的某地中學生參加閱讀測試后用賦分數據繪制成

的不完整頻率分布直方圖.據圖中數據，下面說法正確的是（）

B.該地學生成績的眾數介于70至80之間

C.該地學生成績的極差介于40至60之間

D.該地學生成績沒有超過60分學生所占比例為30%

【答案】C

【分析】根據頻率分布直方圖，利用中位數、眾數、極差的定義，對選項A、B和C逐一分析判斷，即可

求解；對于選項D,利用頻率分布直方圖，可得沒有超過60分學生所占比例為20%,即可求解.

【詳解】對于選項A,分數在［40,50）的頻率為0.05,分數在［50,60）的頻率為0.15,分數在［70,80）的頻率為

0.3,分數在［80,90）的頻率為10%分數在［90,100］的頻率為0.1,

由圖知，0.15<10。<0.3,所以0.25<10。+0.1<0.4,

所以中位數在［70,80）間，但不一定大75,所以選項A錯誤，

對于選項B,由眾數的定義知，眾數是成績出現次數最多的，

所以眾數不一定介于70至80之間，所以選項B錯誤，

對于選項C,由極差的定義知，學生成績的極差介于40至60之間，所以選項C正確，

對于選項D,由選項A知，學生成績沒有超過60分學生所占比例為20%,所以選項D錯誤，

故選：C.

4.（24-25高三上?安徽?階段練習）（多選）某超市隨機抽取了當天100名顧客的消費金額作為樣本，并分組

如下：［0,50）,［50,100）,［100,150）,…,［250,300］（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法

正確的是（）

t頻率/組距

0.004^-1----

0.003^--------卜-------

。|50100150200250300金至（元）

A.若該超市當天總共有600名顧客，則消費金額在口00,150）（單位：元）內的顧客約有180人

B.若每組數據以區間中點值為代表，則樣本中消費金額的平均數是145元

C.若用樣本估計總體，則該超市當天消費金額的中位數是100.8元

D.現從樣本的第1,2組中用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人做進

2

一步調查，則抽到的2人的消費金額都不少于50元的概率是w

【答案】BD

【分析】根據頻率分步直方圖性質求出。再計算消費金額在［100,150）內的顧客判斷A,應用頻率分布直方

圖求平均數及中位數判斷B,C,應用分層抽樣及古典概型計算判斷D.

【詳解】因為0.1+0.2+50a+0.2+0.15+0.1=l,所以。=0.005,

對于A,所以消費金額在［100,150）內的顧客約有50ax600=150人，A選項錯誤；

對于B,樣本中消費金額的平均數是0.1x25+0.2x75+0.25x125+0.2x175+0.15x225+0.1x275=145元，B

選項正確；

對于C,設消費金額的中位數是"前二組的頻率和為0.1+0.2<0.5,前三組的頻率和為

0.1+0.2+0,25>0.5,

所以t在第三組，所以0.1+0.2+（"100）x0.005=0.5,所以"140元，C選項錯誤；

對于D,第1組頻率，第2組頻率分別為01,0.2,所以從樣本的第1,2組中用比例分配的分層隨機抽樣方

法抽取6人，第1組抽2人，第2組抽4人，

所以從這6人中隨機抽取2人做進一步調查，則抽到的2人的消費金額都不少于50元的概率是

P==e=D選項正確.

Cg155

故選：BD.

5.（24-25高三上?黑龍江牡丹江?階段練習）（多選）某次物理考試后，為分析學生的學習情況，某校從某年

級中隨機抽取了100名學生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.為進一步分析高分學生的成績分

布情況，計算得到這100名學生中，成績位于［80,90）內的學生成績方差為12,成績位于［90,100）內的同學成

績方差為10.則（）

A.6Z=0.005

B.估計該年級成績在80分及以上的學生成績的平均數為86.50

C.估計該年級學生成績的中位數約為76.14

D.估計該年級成績在80分及以上的學生成績的方差為30.25

【答案】AD

【分析】對于A選項，由各組頻率之和為1求參數；對于B選項，兩組求加權平均數可得；對于C選項，

由頻率分布直方圖面積與0.5比較，估計中位數所在區間，利用面積關系建方程求解可得；對于D選項，由

兩組成績的方差與兩組總方差的關系求解即可.

【詳解】對于A選項，在頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為1,

貝|]（2。+3。+7。+6。+2。）*10=200。=1,解得。=0.005,故A正確；

對于B選項，估計成績在80分以上的同學的成績的平均數為

Y丁x85+/1x95=87.5分，故B錯誤；

對于C選項,前兩個矩形的面積之和為（2a+3fl）xl0=50a=0.25<0.5

前三個矩形的面積之和為（2a+3。+7。）x10=120。=0.6>0.5.

設該年級學生成績的中位數為加，則打?（70,80）,

根據中位數的定義可得0.25+（m-70）x0.035=0.5,解得m?77.14,

所以，估計該年級學生成績的中位數約為77.14,故C錯誤；

對于D選項，估計該年級成績在80分及以上的學生成績的方差為

|[12+（87.5-85）2]+1[10+（87.5-95）2]=30.25,故D正確.

故選：AD.

6.（2024?四川成都?模擬預測）某校為了解高三學生身體素質情況，從某項體育測試成績中隨機抽取“個學

生的成績進行分析，得到成績頻率分布直方圖(如圖所示)，估計該校高三學生此項體育成績的中位數

【分析】由概率之和為1計算出X后，結合中位數的定義計算即可得.

【詳解】(0.01+0.016+x+0.022+0.014)xl0=l,解得若=0.038,

由(0.010+0.016)x10=0.26<0.5,(0.010+0.016+0.038)x10=0,64>0,5,

設中位數為x,則70<x<80,

x—700.5-0.26解得，120

侶80-70-0.64-0.26’X=70+B76.

19

故答案為：76.

7.(23-24高三上?北京石景山?期末)某學校從全校學生中隨機抽取了50名學生作為樣本進行數學知識測試,

記錄他們的成績，測試卷滿分100分，將數據分成6組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,

90),[90,100],并整理得到如右頻率分布直方圖，則圖中的/值為，若全校學生參加同樣的測試，

【答案】0.01472.6

【分析】由頻率分布直方圖中總面積為1可計算出"由頻率分布直方圖中平均數的計算方式計算平均數即

可估計全校學生的平均成績.

【詳解】由頻率分布直方圖中總面積為1,

BP(0.006+0.010+/+0.018+0.020+0.032)xl0=l,

解得f=0.014,

10x(0.006x45+0.010x95+0.014x55+0.018x65+0.020x85+0.032x75)=72.6,

故可估計全校學生的平均成績為72.6.

故答案為：0.014；72.6.

題型二：統計案例

易錯點04：混淆相關關系和函數關系而出錯

易錯陷阱與避錯攻略

典例(24-25高三上?江西南昌?訓練)對兩變量間的關系，下列論述正確的是()

A.任何兩個變量都具有相關關系

B.正方形的面積與該正方形的邊長具有相關關系

C.農作物的產量與施化肥量之間是一種確定性關系

D.一個學生的數學成績與物理成績之間是一種非確定性的關系

【答案】D

【分析】由兩個變量之間相關關系與函數關系之間的定義及區別即可求解.

【詳解】解：對出當兩個變量之間具有確定關系時，兩個變量之間是函數關系，而不是相關關系，所以/

錯誤；

對3：正方形的面積與該正方形的邊長之間是函數關系，所以8錯誤；

對C：農作物的產量與施化肥量之間是相關關系，是非確定性的關系，所以C錯誤；

對D：學生的數學成績與物理成績之間是相關關系，是非確定性的關系，所以。正確；

故選：D.

【易錯剖析】

本題容易不能區分相關關系和函數關系的不同而出錯.

【避錯攻略】

1.相關關系的定義：兩個變量有關系，但沒有確切到可由其中一個去精確地決定另一個的程度，這種關系

稱為相關關系.

2.相關關系的分類

⑴按變量間的增減性分為正相關和負相關.

①正相關：當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現增加的趨勢:

②負相關：當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值呈現減少的趨勢.

（2）按變量間是否有線性特征分為線性相關和非線性相關（曲線相關）.

①線性相關：如果兩個變量的取值呈現正相關或負相關，而且散點落在一條直線附近,我們稱這兩個變量

線性相關；

②非線性相關或曲線相關：如果兩個變量具有相關性，但不是線性相關，我們稱這兩個變量非線性相關或

曲線相關.

3.相關關系的直觀表示

散點圖：為了直觀描述成對樣本數據的變化特征，把每對成對樣本數據都用直角坐標系中的點表示出