第05講統(tǒng)計(jì)與概率14種常見(jiàn)考法歸類

《學(xué)考目標(biāo)￥

1.了解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的含義，掌握兩種簡(jiǎn)單的抽樣方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法；了解分層隨

機(jī)抽樣，掌握各層樣本量比例分配的方法.在簡(jiǎn)單的實(shí)際情境中，能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)，設(shè)

計(jì)恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ń鉀Q問(wèn)題.

2.理解統(tǒng)計(jì)圖表的含義，能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化

描述，體會(huì)合理使用統(tǒng)計(jì)圖表的重要性.

3.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)），理解集中趨

勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.

4.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差），理解離散程度

參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.

5.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的取值規(guī)律.

6.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.

7.理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義，理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系.了解隨機(jī)事件的并、

交與互斥的含義，能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算.

8.理解古典概型，能計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率.

9.理解概率的性質(zhì)，掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.

10.結(jié)合實(shí)例，會(huì)用頻率估計(jì)概率.

11.在具體情境中，結(jié)合古典概型，了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，能計(jì)算兩個(gè)相互獨(dú)立

事件的概率.

■基礎(chǔ)知識(shí)1

---------------------IIIIIIIIIIIIIIIIII1I1IIIIIIIIIIIIII1IIIII-----------------------

1.隨機(jī)抽樣

（1）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

①定義：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N（N為正整數(shù)）個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)抽取〃

個(gè)個(gè)體作為樣本，如果抽取是放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，

我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；如果抽取是不放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)未

進(jìn)入樣本的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；

②常用方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法.

（2）分層隨機(jī)抽樣

①定義：一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于

一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一

起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱為層.在分層隨機(jī)抽樣中，

如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配；

②分層隨機(jī)抽樣的應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層隨機(jī)

抽樣.

2.常用統(tǒng)計(jì)圖表

（1）頻率分布直方圖

①縱軸表示慧’即小長(zhǎng)方形的高=糯;

頻率

②小長(zhǎng)方形的面積=組距X=頻率;

組距

③各小長(zhǎng)方形的面積的總和等于1.

（2）頻率分布表的畫(huà)法

第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距=堆；

組距

第二步：分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開(kāi)區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；

第三步：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表.

（3）條形圖、折線圖及扇形圖

①條形圖：建立直角坐標(biāo)系，用橫軸（橫軸上的數(shù)字）表示樣本數(shù)據(jù)類型，用縱軸上的單

位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量，根據(jù)每個(gè)樣本（或某個(gè)范圍內(nèi)的樣本）的數(shù)量多少畫(huà)出長(zhǎng)短不同的等

寬矩形，然后把這些矩形按照一定的順序排列起來(lái)，這樣一種表達(dá)和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖稱為條

形圖；

②折線圖：建立直角坐標(biāo)系，用橫軸上的數(shù)字表示樣本值，用縱軸上的單位長(zhǎng)度表示一定

的數(shù)量，根據(jù)樣本值和數(shù)量的多少描出相應(yīng)各點(diǎn)，然后把各點(diǎn)用線段順次連接，得到一條折線,

用這種折線表示出樣本數(shù)據(jù)的情況，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖稱為折線圖;

③扇形圖：用一個(gè)圓表示總體，圓中各扇形分別代表總體中的不同部分，每個(gè)扇形的大小

反映所表示的那部分占總體的百分比的大小，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖稱為扇形

圖.

3.總體百分位數(shù)的估計(jì)

（1）百分位數(shù)

\定義意義

百

一組數(shù)據(jù)的第2百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中反映該組數(shù)中小

分

至少有2%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有（100—0）%的于或等于該百分位數(shù)

位

數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值的分布特點(diǎn)

數(shù)

（2）求一組〃個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟

第1步：按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；

第2步：計(jì)算，=〃Xp%；

第3步：若，不是整數(shù)，而大于，的比鄰整數(shù)為）,則第2百分位數(shù)為第/項(xiàng)數(shù)據(jù)；若，?是

整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第，?項(xiàng)與第C/+D項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

4.總體集中趨勢(shì)的估計(jì)

（1）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)

數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

（2）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；

（3）平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，n個(gè)數(shù)據(jù)XI,X2,…，Xn

-1

的平均數(shù)X=—（X］+々H---1-X）.

nn

提醒（1）中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，不受少數(shù)極端值影響；（2）眾數(shù)體現(xiàn)

了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，一組數(shù)據(jù)可能有〃個(gè)眾數(shù)，也可能沒(méi)有眾數(shù)；（3）與中位數(shù)、眾

數(shù)比較，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)的更多信息，對(duì)樣本數(shù)據(jù)中的少數(shù)極端值更加敏感.

5.總體離散程度的估計(jì)

（1）假設(shè)一組數(shù)據(jù)XI,X2,X3,…，無(wú),的平均數(shù)為總則：

①標(biāo)準(zhǔn)差

尸/［（“I㈤2+（%2㈤2+…+（3）2］；

②方差

52=-[（XI—X）2+（尤2一方）2H-----pCxn-X）2].

n

（2）分層隨機(jī)抽樣的均值與方差

分層隨機(jī)抽樣中，如果樣本量是按比例分配，記總的樣本平均數(shù)為正，樣本方差為出

以分兩層抽樣的情況為例.假設(shè)第一層有機(jī)個(gè)數(shù)據(jù)分別為XI,X2,…，.，平均數(shù)為元，方

1m

差為盛；第二層有〃個(gè)數(shù)據(jù),分別為yi,…，/,平均數(shù)為歹，方差為s幺則元=一￡箝，s"=

mi=l

dm1n1n

(即一歹)2,y=-Zyosy—2.

mi?Lni=l

①則行="_五+上歹；

m+nm+n

②$2=/^{加應(yīng)+(%—w)2]+n[s2+(y-iv)2]}.

6.隨機(jī)事件

(1)事件的相關(guān)概念

必然事件一定發(fā)生）

r｛確定事件

1不可能事件＞4舉｛一定不發(fā)生）

■（隨機(jī)事件內(nèi)軸可能發(fā)生也可能不發(fā)生）

（2）概率和頻率

①在相同的條件S下重復(fù)w次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱“次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)?為

事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例%G4）=皆為事件A出現(xiàn)的頻率；

②對(duì)于給定的隨機(jī)事件A,由于事件A發(fā)生的頻率力（A）隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率尸G4）,因

此可以用頻率%（A）來(lái)估計(jì)概率尸（A）.

7.事件的關(guān)系和運(yùn)算

（1）兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算

事件的關(guān)系和運(yùn)算含義符號(hào)表示

包含關(guān)系A(chǔ)發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生AQB

相等關(guān)系B2A且A2BA=B

并事件(和事件)A與2至少有一個(gè)發(fā)生AU2或A+3

交事件(積事件)A與2同時(shí)發(fā)生ACIB或

互斥事件A與B不能同時(shí)發(fā)生AAB=00

AHB=0f

互為對(duì)立事件A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生

(2)概率的幾個(gè)基本性質(zhì)

①概率的取值范圍：0<P(A)<1；

②必然事件的概率P(2)=1；

③不可能事件的概率P(0)=0.

(3)互斥事件的概率加法公式：如果事件A與事件8互斥，那么尸(AUB)=P(A)+P(B)；

(4)對(duì)立事件的概率：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)=\~P(A)或P(A)=1

-P(B).

8.古典概型

(1)古典概型的特征

|有限性|一降本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)

等可能性一唇個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等

(2)古典概型的概率公式

p—事件4包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)

1一有限樣本空間中樣本點(diǎn)的總數(shù).

9.相互獨(dú)立事件

(1)事件相互獨(dú)立：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中兩個(gè)事件A,8是否發(fā)生互不影響，則稱事件A與事件8相互

獨(dú)立，當(dāng)對(duì)于〃個(gè)事件4,42,…，A?,如果其中任意一個(gè)事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響，

則稱“個(gè)事件Ai,A2,■-,4相互獨(dú)立；

(2)獨(dú)立事件的概率公式

①若事件A，8相互獨(dú)立，則尸(AB)=P(A)P(B)；

②若事件Ai，A2,—>4相互獨(dú)立，則尸(AIA2--A?)=P(AI)P(A2)—P(A?).

提醒P(AB)=P(A)P(B)只有在事件A,8相互獨(dú)立時(shí)，公式才成立，

才函解題策略

---------------------IllllillUlliUllillUllililllllilllUIII-----------------------

1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣需滿足：(1)被抽取的樣本總體的個(gè)體數(shù)有限；(2)逐個(gè)抽取；(3)

是不放回抽取；(4)是等可能抽取.

2.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣常用抽簽法(適用于總體中個(gè)體數(shù)較少的情況)、隨機(jī)數(shù)法(適用于個(gè)體

數(shù)較多的情況).

3.分層隨機(jī)抽樣問(wèn)題的類型及解題思路

(1)求某層應(yīng)抽個(gè)體數(shù)量：按該層所占總體的比例計(jì)算；

(2)已知某層個(gè)體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層隨機(jī)抽樣就是按比例抽樣，

列比例式進(jìn)行計(jì)算；

(3)分層隨機(jī)抽樣的計(jì)算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中，抽樣比=/把里=

總樣本量

各層樣本數(shù)量

各層個(gè)體數(shù)量.

(4)在分層隨機(jī)抽樣中，如果第一層的樣本量為機(jī)，平均值為x,第二層的樣本量為〃，

平均值為y,則樣本的平均值為處土型.

m+n

4.頻率分布直方圖的相關(guān)結(jié)論

(1)頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1；

頻率頻率

(2)頻率分布直方圖中縱軸表示臺(tái)5，故每組樣本的頻率為組距X合二，即矩形的面

組距組距

積；

(3)頻率分布直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率X總數(shù).

5.頻率分布直方圖中的常見(jiàn)結(jié)論

(1)眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形底邊的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)；

(2)平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和;

(3)中位數(shù)的估計(jì)值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的.

6.平均數(shù)、方差的公式推廣

若數(shù)據(jù)xi，X2,X”的平均數(shù)為后方差為S2,那么mxi+a,mxz+a，，nx3+a，…，的平均數(shù)

是機(jī)元+°,方差為％2s2.

7.總體百分位數(shù)的估計(jì)需要注意的三個(gè)問(wèn)題

(1)總體百分位數(shù)估計(jì)的基礎(chǔ)是樣本百分位數(shù)的計(jì)算，因此計(jì)算準(zhǔn)確是關(guān)鍵；

(2)由于樣本量比較少，因此對(duì)總體的估計(jì)可能存在誤差，因此對(duì)總體百分位數(shù)的估計(jì)一般是估計(jì)值

而非精確值.

(3)確定要求的p%分位數(shù)所在分組[A,B),由頻率分布表或頻率分布直方圖可知，樣本中小于A

的頻率為a,小于8的頻率為6,所以p%分位數(shù)=A+組距義掾,

8.求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的方法

(1)眾數(shù)：由定義知，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，即為眾數(shù)，若有兩個(gè)或幾個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最

多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣，這些數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中，每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則

認(rèn)為這組數(shù)據(jù)沒(méi)有眾數(shù)；

(2)中位數(shù)：若一組數(shù)據(jù)為奇數(shù)個(gè)，按照從小到大(或從大到小)的順序排列，位于中間位置的數(shù)據(jù)

就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；若一組數(shù)據(jù)為偶數(shù)個(gè)，按照從小到大(或從大到小)的順序排列，位于中間位置

的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

(3)平均數(shù)：利用元=工2為求解.

ni=i

9.標(biāo)準(zhǔn)差、方差的應(yīng)用

(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的情況.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離

散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.

(2)用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來(lái)描述總體的數(shù)字特征.

10.計(jì)算分層隨機(jī)抽樣的方差的步驟

(1)確定元，y,sl，S2；

(2)確定田

應(yīng)用公式2)計(jì)算

(3)m+n-[sx￡+(%—to)]+m-+[nS2”+(y—602],52.

11.事件關(guān)系判斷的策略

(1)判斷事件的互斥、對(duì)立關(guān)系時(shí)一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事

件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件.反之互斥事件是不可能同

時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生；對(duì)立事件是特殊的互斥事件，特殊在對(duì)立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)

生，即有且僅有一個(gè)發(fā)生；

(2)判斷事件的交、并關(guān)系時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)

的全部結(jié)果，必要時(shí)可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.也可類比集合的關(guān)系和運(yùn)用Venn圖分析事件.

12.用頻率估計(jì)概率

(1)頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率

來(lái)反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來(lái)作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值.

(2)利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐步趨近于某一

個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率.

13.古典概型的概率求解步驟

(1)求出所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)"；

(2)求出事件A包含的所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)相；

(3)代入公式尸(A)=超求解.

n

14.求樣本空間中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法

(1)枚舉法：適合于給定的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的問(wèn)題；

(2)樹(shù)狀圖法：適用于需要分步完成的試驗(yàn)結(jié)果.樹(shù)狀圖在解決求樣本點(diǎn)總數(shù)和事件A包含的樣本點(diǎn)

個(gè)數(shù)的問(wèn)題時(shí)直觀、方便，但畫(huà)樹(shù)狀圖時(shí)要注意按照一定的順序確定分枝，避免造成遺漏或重復(fù)；

15.互斥事件概率的兩種求法

(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件概率的加法公式求解概率；

(2)若將一個(gè)較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥事件的和事件時(shí)分類太多，而其對(duì)立面的分類較少，

可考慮先求其對(duì)立事件的概率，即運(yùn)用“正難則反”的思想.常用此方法求“至少”“至多”型事件的概

率.

16.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的策略

(1)列出題中涉及的各個(gè)事件，并用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示；

(2)厘清事件之間的關(guān)系(兩個(gè)事件是互斥還是對(duì)立，或者是相互獨(dú)立)，列出關(guān)系式；

(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計(jì)算；

(4)當(dāng)直接計(jì)算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時(shí)，可先間接地計(jì)算其對(duì)立事件的概率，再求出符合條

件的事件的概率.

Q考點(diǎn)剖析

--------------II1IIIIIIIIIHIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

考點(diǎn)一：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

例1.【多選】(2022秋?高一單元測(cè)試)對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，下列說(shuō)法正確的是()

A.它要求被抽取樣本的總體的個(gè)體數(shù)有限

B.它是從總體中逐個(gè)進(jìn)行抽取的，在實(shí)踐中操作起來(lái)也比較方便

C.它是一種有放回的抽樣

D.它是一種等可能抽樣，在整個(gè)抽樣過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等，從而保證了這種抽樣方法的公

平性

【答案】ABD

【分析】由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對(duì)于A：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣要求樣本的總體個(gè)數(shù)有項(xiàng)，這樣才能保證樣本能夠很好地代表總體，所以A

正確；

對(duì)于B：由于總體數(shù)量是有限的，所以為了讓數(shù)據(jù)具有代表性需要從總體中逐個(gè)地進(jìn)行抽取，以便在抽取實(shí)

踐中進(jìn)行操作，所以B正確；

對(duì)于C：在抽樣過(guò)程中，為了保證抽取的公平性，樣本數(shù)據(jù)是一種不放回的抽樣，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：在隨機(jī)抽樣的出發(fā)點(diǎn)是使每個(gè)個(gè)體都有相同的機(jī)會(huì)被抽中，這是基于對(duì)樣本數(shù)據(jù)代表性的考慮，

所以D正確.

故選：ABD.

變式1.（2023春?江西景德鎮(zhèn)?高一統(tǒng)考期中）利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，從"個(gè)個(gè)體（〃>14）中抽取14個(gè)

個(gè)體，若第二次抽取時(shí)，余下的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為g,則在整個(gè)抽樣過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能

性為.

【答案】輸7

【分析】根據(jù)第二次抽取時(shí)余下的每個(gè)個(gè)體被抽取到的概率為（求得〃，可得答案.

114-11

【詳解】第二次抽取時(shí)，余下的每個(gè)個(gè)體被抽取到的概率為:，則—=3，

5H—15

即〃一1=65,貝什=66,.?.在整個(gè)抽樣過(guò)程中，

每個(gè)個(gè)體被抽取到的概率為弓14=57.

6633

7

故答案為：—.

變式2.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）下列抽樣中適合用抽簽法的是（）

A.從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)

B.從某廠生產(chǎn)的兩箱（每箱15件）產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)

C.從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱（每箱50件）產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)

D.從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取10件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)

【答案】B

［分析］由抽簽法適用于總體和樣本容量少即可判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)AD：由于總體的個(gè)體數(shù)較多，不適合抽簽法，故選項(xiàng)AD錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：由于甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量可能差別較大，也不適合抽簽法，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：總體容量和樣本容量都較小，適合抽簽法，故選項(xiàng)B正確.

故選：B.

注21例2.（2023?高一單元測(cè)試）總體由編號(hào)為01,02,…,19,20的20個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表

選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開(kāi)始從左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則

選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為.

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

【答案】01

【分析】根據(jù)規(guī)則選出13個(gè)編號(hào)，再去掉不在編號(hào)范圍內(nèi)的編號(hào)以及重復(fù)的編號(hào)可得答案.

【詳解】從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開(kāi)始從左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，得

65,72,08,02,63,14,07,02,43,69,97,28,01,去掉不在編號(hào)范圍內(nèi)的65,72,63,43,69,97,28,再去掉一個(gè)重復(fù)的02,

得前5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為08,02,14,07,01,

故選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為01.

故答案為：01.

變式1.（2023春?全國(guó)?高一專題練習(xí)）欲利用隨機(jī)數(shù)表從00,01,02,L,59這些編號(hào)中抽取一個(gè)容量

為6的樣本，抽取方法是從下面的隨機(jī)數(shù)表的第1行第11列開(kāi)始向右讀取，每次讀取兩位，直到取足樣本，

則第4個(gè)被抽取的樣本的編號(hào)為.

63016378591695556719981950717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

【答案】50

【分析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法的讀取規(guī)則，讀取第4個(gè)被抽取的樣本的編號(hào).

【詳解】從隨機(jī)數(shù)表的第1行第11列開(kāi)始向右讀取，每次讀取兩位編號(hào)有：16,95,55,67,……，不大

于59的有16,55,19,19（重復(fù)劃掉），50,……,第4個(gè)被抽取的樣本的編號(hào)為50.

故答案為：50.

變式2.【多選】（2022秋?高一單元測(cè)試）已知下表為隨機(jī)數(shù)表的一部分，將其按每5個(gè)數(shù)字編為一組：

080151772745318223742111578253

772147740243236002104552164237

291486625236936872037662113990

685141422546427567889629778822

已知甲班有60位同學(xué)，編號(hào)為01~60號(hào)，現(xiàn)在利用上面隨機(jī)數(shù)表的某一個(gè)數(shù)為起點(diǎn)，以簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方

法在甲班中抽取4位同學(xué)，由于樣本容量小于99,所以只用隨機(jī)數(shù)表中每組數(shù)字的后兩位，得到下列四組

數(shù)據(jù)，則抽到的4位同學(xué)的編號(hào)可能是（）

A.15,27,18,53B.27,02,25,52

C.14,25,27,22D.15,27,18,74

【答案】ABC

【分析】結(jié)合隨機(jī)數(shù)表法對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).

【詳解】A中所得編號(hào)為第一行中四組數(shù)字的后兩位數(shù)字，故A有可能；

B中所得編號(hào)為第二列中四組數(shù)字的后兩位數(shù)字，故B有可能；

C中所得編號(hào)為第四行中四組數(shù)字的后兩位數(shù)字，故C有可能；

D中編號(hào)74大于甲班60位同學(xué)的最大編號(hào)60,不滿足題意.

故選:ABC.

考點(diǎn)二：分層隨機(jī)抽樣

注2］例3.（2023?高一單元測(cè)試）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，分層抽樣之間的共同點(diǎn)是（）

A.都是從總體中逐個(gè)抽取

B.將總體分成幾個(gè)部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取

C.抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是相等的

D.將總體分成幾層，然后分層按照比例抽取

【答案】C

【分析】根據(jù)兩種抽樣方法的特點(diǎn)可知：抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相同，即可找到答案.

【詳解】選項(xiàng)A,只有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是從總體中逐個(gè)隨機(jī)抽取，故A錯(cuò)誤.

選項(xiàng)B,只有分層抽樣是將總體分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取，故B錯(cuò)誤.

選項(xiàng)C,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣之間的共同點(diǎn)是抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相同，故C正確.

選項(xiàng)D,只有分層抽樣是將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取，故D錯(cuò)誤.

故選：C

變式1.【多選】（2023春?湖南長(zhǎng)沙?高一雅禮中學(xué)校考階段練習(xí)）某公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號(hào)的轎車，

產(chǎn)量分別為1200輛、6000輛和2000輛，為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，公司質(zhì)監(jiān)部門(mén)用按比例分配的分層隨

機(jī)抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，則（）

A.在每一種型號(hào)的轎車中可采用抽簽法抽取

B.抽樣比為白

C.三種型號(hào)的轎車依次抽取6輛、30輛、10輛

D.這三種型號(hào)的轎車，每一輛被抽到的概率都是相等的

【答案】BCD

【分析】根據(jù)三種隨機(jī)抽樣方法的特點(diǎn)可判斷ABD；然后根據(jù)分層抽樣計(jì)算可判斷C.

【詳解】因每一種型號(hào)的轎車數(shù)量較多，不適合用抽簽法，故A錯(cuò)誤；

461

在按比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，抽樣比為］20。+6。。。+2。。。=荻'故B正確；

在按比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，三種型號(hào)的轎車應(yīng)依次抽取6輛、30輛、10輛，故C正確;

在按比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，每一輛被抽到的概率是相等的，故D正確.

故選：BCD

變式2.【多選】（2023秋?江西南昌?高一統(tǒng)考期末）某市有大、中、小型商店共1500家，且這三種類型

的商店的數(shù)量之比為1:5:9,現(xiàn)在要調(diào)查該市商店的每日零售額情況，從中隨機(jī)抽取60家商店，則下列選

項(xiàng)正確的有（）

A.1500家商店是總體

B.樣本容量為60

C.大、中、小型商店分別抽取4、20、36家

D.被抽取的60家商店的零售額情況是所抽取的一個(gè)樣本

【答案】BCD

【分析】A.利用總體的定義判斷；B.利用樣本容量的定義判斷；C.根據(jù)三種類型的商店的數(shù)量之比為1:5:9

求解判斷；D.由樣本的定義判斷.

【詳解】A.1500家商店的每日零售額是總體，故錯(cuò)誤；

B.從中隨機(jī)抽取60家商店，則樣本容量為60,故正確；

C.因?yàn)槿N類型的商店的數(shù)量之比為1:5:9,所以大、中、小型商店分別抽取4、20、36家，故正確；

D.被抽取的60家商店的零售額情況是所抽取的一個(gè)樣本，故正確，

故選：BCD

變式3.（2023春?陜西西安?高一西安市黃河中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）光明社區(qū)老年合唱隊(duì)中，60?70歲的有

30人，71?75歲的有15人，76歲及以上的有10人.若用分層抽樣的方法抽取幾位老人參加某項(xiàng)活動(dòng)，已知

從71~75歲的老人中抽取了3人，則"的值為.

【答案】11

【分析】根據(jù)分層抽樣的概念及計(jì)算方法，列出方程，即可求解.

【詳解】根據(jù)分層抽樣的概念及計(jì)算，可得解=";解得"=11.

故答案為：11.

變式4.（2023春?北京順義?高一牛欄山一中校考階段練習(xí)）當(dāng)前，國(guó)家正分批修建經(jīng)濟(jì)適用房以解決低收

入家庭住房緊張的問(wèn)題.已知甲、乙、丙三個(gè)社區(qū)現(xiàn)分別有低收入家庭360戶、270戶、180戶.若第一批

經(jīng)濟(jì)適用房中有90套住房用于解決這三個(gè)社區(qū)中90戶低收入家庭的住房問(wèn)題，先采用分層隨機(jī)抽樣的方

法決定各社區(qū)戶數(shù)，則應(yīng)從乙社區(qū)中抽取低收入家庭的戶數(shù)為.

【答案】30

【分析】先求得每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為g，進(jìn)而取得從乙社區(qū)中抽取低收入家庭的戶數(shù)，得到答案.

【詳解】根據(jù)抽樣的定義，可得每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為斐=“八”

360+270+1809

所以從乙社區(qū)中抽取低收入家庭的戶數(shù)為270x3=30戶.

故答案為：30.

變式5.（2023春?江西景德鎮(zhèn)?高一統(tǒng)考期中）在新冠肺炎疫情期間，大多數(shù)學(xué)生都在家進(jìn)行網(wǎng)上上課，某

校高一，高二，高三共有學(xué)生6000名，為了了解同學(xué)們對(duì)某授課軟件的意見(jiàn)，計(jì)劃采用分層抽樣的方法從

這6000名學(xué)生中抽取一個(gè)容量60的樣本，若從高一，高二，高三抽取的人數(shù)恰好是從小到大排列的連續(xù)

偶數(shù)，則該校高二年級(jí)的人數(shù)為（）

A.1000B.1500C.2000D.1000

【答案】C

【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，結(jié)合樣本容量進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)閺母咭弧⒏叨⒏呷槿〉娜藬?shù)恰好是從小到大排列的連續(xù)偶數(shù)，

所以設(shè)高三抽取的人數(shù)為2a,則高二抽取的人數(shù)為2a-2,高一抽取的人數(shù)為2a-4,

因?yàn)闃颖救萘繛?0,所以2。+2。一2+2。-4=60=2。=22,

設(shè)我校高二年級(jí)的人數(shù)為尤，

X99-2

根據(jù)分層抽樣得：￡三=與二=＞彳=2000,

600060

故選：c

變式6.（2023春?河北邯鄲?高一大名縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）某學(xué)校高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)共有學(xué)

生3500人，其中高三學(xué)生數(shù)是高一學(xué)生數(shù)的兩倍，高二學(xué)生人數(shù)比高一學(xué)生人數(shù)多300,現(xiàn)在按上的比

例分配分層隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本，則應(yīng)抽取高一學(xué)生數(shù)為

【答案】8

【分析】設(shè)出高一年級(jí)的人數(shù)，根據(jù)三個(gè)年級(jí)人數(shù)之間的關(guān)系，寫(xiě)出高二和高三的人數(shù)，根據(jù)學(xué)校共有的

人數(shù)，得到關(guān)于高一人數(shù)的方程，解得高一人數(shù)，用人數(shù)乘以抽取的比例，得到結(jié)果.

【詳解】若設(shè)高一學(xué)生人數(shù)為無(wú)，則高二學(xué)生人數(shù)為尤+300,高三學(xué)生人數(shù)為2x,所以有x+x+300+2x

=3500,解得x=800.故高一學(xué)生人數(shù)為800,因此應(yīng)抽取高一學(xué)生人數(shù)為800x卷=8.

故答案為：8

注21例4.（2022春.廣東江門(mén)?高一江門(mén)市第一中學(xué)校考期中）高一某班級(jí)有男生35人，女生15人，用

分層抽樣的方法從全班學(xué)生中抽取一個(gè)容量為10的樣本，抽出的男生平均體重為70kg,抽出的女生平均體

重為50kg,估計(jì)該班的平均體重是（）

A.54kgB.60kgC.64kgD.65kg

【答案】C

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系，再求平均數(shù)即可.

【解答】根據(jù)分層抽樣的定義可得抽取男生7人，女生3人，

男生平均體重為70kg,女生平均體重為50kg,

該班的平均體重是7°X7］；50X3=64kg,

故選：C.

變式1.（2023春?江西南昌?高一南昌市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）某學(xué)校高一年級(jí)有300名男生，200名

女生，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查數(shù)學(xué)考試成績(jī)，抽取總樣本量為50,男生平均成績(jī)?yōu)?20分，女生平

均成績(jī)?yōu)?10分，那么可以推測(cè)高一年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)約為（）

A.110分B.115分C.116分D.120分

【答案】C

【分析】根據(jù)分層抽樣求出應(yīng)抽取男生和女生的人數(shù)，求出平均數(shù)即可.

【詳解】由題意，應(yīng)抽取男生50x=30（人），

應(yīng)抽取女生50x屋冬:=20（人），

所以推測(cè)高一年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)約為；；；；；3=116（分）.

故選：C

變式2.（2023春?寧夏?高一六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）某校有男教師160人，女教師140人，為了調(diào)

查教師的運(yùn)動(dòng)量的平均值（通過(guò)微信步數(shù)），按性別比例分配進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，通過(guò)對(duì)樣本的計(jì)算，得出男

教師平均微信步數(shù)為12500步，女教師平均微信步數(shù)為8600步，則該校教師平均微信步數(shù)為（）

A.12500B.10680

C.8600D.10550

【答案】B

【分析】根據(jù)分層抽樣平均數(shù)的計(jì)算方法計(jì)算該校教師平均微信步數(shù)

【詳解】因?yàn)榉謱与S機(jī)抽樣是按比例分配，所以根據(jù)公式得該校教師平均微信步數(shù)為

———X12500H————x8600=10680.

160+140160+140

故選：B

考點(diǎn)三：扇形（餅狀）圖

小^［例5.【多選】（2023春?陜西西安?高一西安市黃河中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）對(duì)某地區(qū)2023年的學(xué)生

人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制成如圖所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖.在初中生中，九年級(jí)學(xué)生人數(shù)最多，八年級(jí)學(xué)生人數(shù)最

少，七年級(jí)學(xué)生人數(shù)約為1.2萬(wàn)，則（）

大學(xué)生_____

高中生

,17%/

初中生

小學(xué)生、23%

48%

A.該地區(qū)2023年的學(xué)生人數(shù)約為15萬(wàn)

B.該地區(qū)2023年高中生的人數(shù)比八年級(jí)學(xué)生人數(shù)的2倍還多

C.該地區(qū)2023年小學(xué)生的人數(shù)比初中生、高中生和大學(xué)生的人數(shù)之和還多

D.該地區(qū)2023年九年級(jí)的學(xué)生人數(shù)在初中生人數(shù)中的占比約為34.7%

【答案】AB

【分析】根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖表中的數(shù)據(jù)，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖表，可得該地區(qū)2023年的學(xué)生人數(shù)約為曇=15萬(wàn)，所以A正確;

該地區(qū)2023年高中生的人數(shù)比八年級(jí)學(xué)生人數(shù)的2倍還多，所以B正確；

該地區(qū)2023年小學(xué)生的人數(shù)少于初中生、高中生和大學(xué)生的人數(shù)之和，所以C不正確；

該地區(qū)2023年九年級(jí)的學(xué)生人數(shù)在初中生人數(shù)中的占比約為39.1%,所以D不正確.

故選:AB.

變式1.（2022春?貴州黔東南?高一統(tǒng)考期末）獨(dú)角獸企業(yè)被視為新經(jīng)濟(jì)發(fā)展的一個(gè)重要風(fēng)向標(biāo)，2021年中

國(guó)獨(dú)角獸企業(yè)行業(yè)分布廣泛，覆布圖（圖中的數(shù)字表示各行業(yè)獨(dú)角獸企業(yè)的數(shù)量），其中“北上廣”三地的獨(dú)

角獸企業(yè)數(shù)量的總占比為70%.則下列說(shuō)法正確的是（）

A.房產(chǎn)居家和消費(fèi)行業(yè)的獨(dú)角獸企業(yè)數(shù)量的總占比不足10%

B.人工智能，汽車交通以及智能硬件行業(yè)的獨(dú)角獸企業(yè)數(shù)量的總占比超過(guò)50%

C.“北上廣”三地的獨(dú)角獸企業(yè)共有170家

D.電子商務(wù)行業(yè)的獨(dú)角獸企業(yè)數(shù)量最多

【答案】D

【分析】根據(jù)給出的圖中信息依次分析選項(xiàng)即可.

【詳解】將圖中各行業(yè)數(shù)量加和，可知2021年我國(guó)獨(dú)角獸企業(yè)共有170家，且“北上廣”三地的獨(dú)角獸企業(yè)

數(shù)量的總占比為70%,貝！］170x0.7=119家，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于A選項(xiàng)，由圖表可知房產(chǎn)居家和消費(fèi)行業(yè)共4+13=17家，占比f(wàn)xl00%=10%,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，人工智能，汽車交通以及智能硬件行業(yè)的獨(dú)角獸企業(yè)數(shù)量為22+25+13=60家，占比

—X100%=35.3%,故B錯(cuò)誤；

170

觀察圖表可知電子商務(wù)行業(yè)的獨(dú)角獸企業(yè)數(shù)量最多，故D正確.

故選:D.

變式2.（2022春?云南昆明?高一統(tǒng)考期末）南丁格爾玫瑰圖是由近代護(hù)理學(xué)和護(hù)士教育創(chuàng)始人南丁格爾

{FlorenceNightingale1820-1910）設(shè)計(jì)的，圖中每個(gè)扇形圓心角都是相等的，半徑長(zhǎng)短表示數(shù)量大小.某

機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了近幾年中國(guó)知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量（單位：億人次），并繪制成南丁格爾玫瑰圖如下，根據(jù)此圖,

B.2016年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多

C.2022年知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量超過(guò)2015年知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量的10倍

D.2016年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量的逐年增加量逐年遞增

【答案】D

【分析】利用題中所給的南丁格爾玫瑰圖逐一考查所給選項(xiàng)，即可得解.

【詳解】對(duì)于A,由圖可知，2015年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加，故A正確；

對(duì)于BD,知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量的逐年增加量分別為：2016年，0.96-0.48=0.48；

2017年，1.88-0.96=0.92；2018年，2.95-1.88=1.07；2019年，3.56-2.95=0.61；

2020年，4.15-3.56=0.59；2021年，4.77-4.15=0.62；2022年，5.27-4.77=0.5,

可知知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多，故B正確，D錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由5.27>0.48x10,即2022年知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量超過(guò)2015年知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量的10倍，故C正

確；

故選：D

變式3.（2022.高一單元測(cè)試）新高考方案規(guī)定，普通高中學(xué)業(yè)水平考試分為合格性考試（合格考）和選

擇性考試（選擇考）.其中“選擇考”成績(jī)將計(jì)入高考總成績(jī)，即“選擇考”成績(jī)根據(jù)學(xué)生考試時(shí)的原始卷面分

數(shù)，由高到低進(jìn)行排序，評(píng)定為A、B、C,D、E五個(gè)等級(jí).某試點(diǎn)高中2018年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)是2016年

參加“選擇考”總?cè)藬?shù)的2倍，為了更好地分析該校學(xué)生“選擇考”的水平情況，統(tǒng)計(jì)了該校2016年和2018年

“選擇考”成績(jī)等級(jí)結(jié)果，得到如下圖表：針對(duì)該校“選擇考”情況，2018年與2016年比較，下列說(shuō)法正確的

是（）

2016年該校“選擇考”等級(jí)統(tǒng)計(jì)2018年該校“選擇考”等級(jí)統(tǒng)計(jì)

■4等級(jí)28%

■8等級(jí)32%

■C等級(jí)30%

。等級(jí)8%

■E等級(jí)2%

A.獲得A等級(jí)的人數(shù)減少了

B.獲得8等級(jí)的人數(shù)增加了1.5倍

C.獲得。等級(jí)的人數(shù)減少了一半

D.獲得E等級(jí)的人數(shù)相同

【答案】B

【分析】直接把2016、2018兩年參加選擇考的人數(shù)設(shè)出來(lái)，再由所給圖象把獲得每個(gè)等級(jí)的人數(shù)列出來(lái),

即可得到答案.

【詳解】設(shè)2016年參加考試x人，則2018年參加考試2x人,

根據(jù)圖表得出兩年各個(gè)等級(jí)的人數(shù)如下圖所示：

年份ABCDE

20160.28%0.32%0.3x0.08x0.02x

20180.48%0.8x0.56x0.12x0.04x

由圖可知A、C、D選項(xiàng)錯(cuò)，B選項(xiàng)對(duì).

故選:B.

考點(diǎn)四：條形圖與折線圖

例6.（2022春?吉林長(zhǎng)春?高一長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期末）某學(xué)校為了解高三年級(jí)學(xué)生在線學(xué)習(xí)情況,

統(tǒng)計(jì)了2021年2月18日-27日（共10天）他們?cè)诰€學(xué)習(xí)人數(shù)及其增長(zhǎng)比例數(shù)據(jù)，并制成如圖所示的條形

圖與折線圖的組合圖.

根據(jù)組合圖判斷，下列結(jié)論正確的是（）

A.前5天在線學(xué)習(xí)人數(shù)的方差大于后5天在線學(xué)習(xí)人數(shù)的方差

B.前5天在線學(xué)習(xí)人數(shù)的增長(zhǎng)比例的極差大于后5天的在線學(xué)習(xí)人數(shù)的增長(zhǎng)比例的極差

C.這10天學(xué)生在線學(xué)習(xí)人數(shù)的增長(zhǎng)比例在逐日增大

D.這10天學(xué)生在線學(xué)習(xí)人數(shù)在逐日增加

【答案】D

【分析】對(duì)于A,由條形圖可得前5天學(xué)習(xí)人數(shù)的方差小，由此得以判斷；對(duì)于B,大約估算前5天與后5

天在線學(xué)習(xí)人數(shù)增長(zhǎng)比例的極差，從而得以判斷；對(duì)于C,觀察到23日到24日在線學(xué)習(xí)人數(shù)的的增長(zhǎng)比例

在下降，由此得以判斷；對(duì)于D,易得學(xué)習(xí)人數(shù)在逐日增加，從而得以判斷.

【詳解】對(duì)于A,由條形圖可得，前5天在線學(xué)習(xí)人數(shù)的變化幅度明顯比后5天的小，故方差也小，故A

錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由折線圖可得，前5天在線學(xué)習(xí)人數(shù)的增長(zhǎng)比例的極差大約為15%-5%=10%,后5天在線學(xué)習(xí)人

數(shù)的增長(zhǎng)比例的極差大約為50%-7%=43%,

所以前5天在線學(xué)習(xí)人數(shù)的增長(zhǎng)比例的極差小于后5天在線學(xué)習(xí)人數(shù)的增長(zhǎng)比例的極差，故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,由折線圖可以看到，23日到24日的在線學(xué)習(xí)人數(shù)增長(zhǎng)比例在下降，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由條形圖可得，這10天學(xué)生在線學(xué)習(xí)人數(shù)在逐日增加，故D正確.

故選：D.

變式1.（2023春?江西吉安?高一江西省泰和中學(xué)校考期末）某家庭2020年收入的各種用途占比統(tǒng)計(jì)如圖1

所示，2021年收入的各種用途占比統(tǒng)計(jì)如圖2所示.已知2021年的“旅行”費(fèi)用比2020年增加了500元，

則該家庭2021年的“衣食住”費(fèi)用比2020年增加了（）

A百分比

40%

35%

30%

25%

20%

15%

10%

5%

0%?----------1----------?----------1----------1------------

O儲(chǔ)蓄衣食住旅行就醫(yī)其他用途

A百分比

45%

40%

35%

30%

25%

20%

15%

10%

5%

0%o儲(chǔ)蓄衣食住旅行就醫(yī)其他用途

A.2000元B.2500元C.3000元D.3500元

【答案】C

【分析】設(shè)該家庭2020年的收入為X元，2021年的收入為y元，根據(jù)題意可得y-尤=10000,然后結(jié)統(tǒng)計(jì)

圖可求得答案.

【詳解】設(shè)該家庭2020年的收入為x元，2021年的收入為y元.

由題意得，5%y-5%x=500,即y-x=10000,

所以2021年的“衣食住”費(fèi)用比2020年增加了30%y-30%x=3000（元）.

故選：C

變式2.（2022秋?北京豐臺(tái).高一統(tǒng)考期末）網(wǎng)上一家電子產(chǎn)品店，今年1-4月的電子產(chǎn)品銷售總額如圖1,

其中某一款平板電腦的銷售額占當(dāng)月電子產(chǎn)品銷售總額的百分比如圖2.

銷售總額/萬(wàn)元百分比

A.從1月到4月，電子產(chǎn)品銷售總額為290萬(wàn)元

B.該款平板電腦4月份的銷售額比3月份有所下降

C.今年1-4月中，該款平板電腦售額最低的是3月

D.該款平板電腦2至4月的銷售額占當(dāng)月電子產(chǎn)品銷售總額的百分比與1月份相比都下降了

【答案】B

【分析】結(jié)合圖1、圖2即可計(jì)算出該款平板電腦1-4月份的銷售額，即可出答案.

【詳解】由圖1可知從1月到4月，電子產(chǎn)品銷售總額為85+80+60+65=290萬(wàn)元，A正確；

該款平板電腦3月份的銷售額為60x18%=10.8萬(wàn)元，

4月份的銷售額為65x17%=11.05萬(wàn)元，

則該款平板電腦4月份的銷售額比3月份多了11.05-10.8=0.25萬(wàn)元，B錯(cuò)誤；

該款平板電腦1月份的銷售額為85x23%=19.55萬(wàn)元，

2月份的銷售額為80xl5%=12萬(wàn)元，

所以今年1-4月中，該款平板電腦售額最低的是3月10.8萬(wàn)元，C正確；

由圖2可知該款平板電腦2至4月的銷售額占當(dāng)月電子產(chǎn)品銷售總額的百分比與1月份相比都下降了，D

正確.

故選：B.

變式3.（2022春?廣西河池?高一統(tǒng)考期末）某保險(xiǎn)公司推出了5個(gè)險(xiǎn)種：甲，一年期短險(xiǎn)；乙，兩全保險(xiǎn)；

丙，理財(cái)類保險(xiǎn)；丁，定期壽險(xiǎn)；戊，重大疾病保險(xiǎn).現(xiàn)對(duì)5個(gè)險(xiǎn)種參保客戶進(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)

計(jì)圖:

參保人數(shù)比例

參保險(xiǎn)種比例

用樣本估計(jì)總體，以下四個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）

A.30~41周歲參保人數(shù)最多

B.隨著年齡的增長(zhǎng)，人均參保費(fèi)用越來(lái)越多

C.54周歲以下的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)的8%

D.定期壽險(xiǎn)最受參保人青睞

【答案】C

【分析】根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)表與統(tǒng)計(jì)圖逐個(gè)選項(xiàng)分析即可

【詳解】由扇形圖可知，31~41周歲的參保人數(shù)最多，故選項(xiàng)A正確;

由折線圖可知，隨著年齡的增長(zhǎng)人均參保費(fèi)用越來(lái)越多，故選項(xiàng)B正確；

由扇形圖可知，54周歲以下的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)的92%,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

由柱狀圖可知，丁險(xiǎn)種參保比例最高，故選項(xiàng)D正確.

故選：C

考點(diǎn)五：頻率分布直方圖

在1例7.（2021秋?高一單元測(cè)試）某校對(duì)高一新生進(jìn)行體能測(cè)試（滿分100分），高一（1）班有40

名同學(xué)成績(jī)恰在［60,90］內(nèi)，繪成頻率分布直方圖（如圖所示），從［60,70）中任抽2人的測(cè)試成績(jī)，恰有一

0-I

【答案】B

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖得到［60,65）內(nèi)有2人，［65,70）內(nèi)有4人，然后列舉出所有的基本事件，用古

典概型求概率的公式求概率即可.

【詳解】由頻率分布直方圖知［60,65）內(nèi)有2人，不妨記為a,b；在［65,70）內(nèi)有4人，不妨記為1,2,3,

4.從6人中任取2人的基本事件為{a,b},{a,l},伍,2},{凡3},{4,4},{仇1},屹,2},屹,3},{a4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},