專題13填空基礎題二

22

1.（2023?海淀區校級模擬）雙曲線上-^=1的離心率為2,則機=___.

3m

【答案】9

22

【詳解】已知雙曲線土-t=1的離心率為2,

3m

則等=2,

則帆=9,

故答案為：9.

2.（2023?海淀區校級模擬）在AABC中，AC=2,ZC=90°,NB=3O。，貝!11包+麗|=；CAAB=

【答案】4--4

【B詳解】如圖，

K

C2,

在A4BC中，易知A3=4,3C=2G,NA=60。，

所以|左+瓦|=Afc^+2ST國+甌2=｛4+（2港）2=4,

C4-AB=|S||AB|cosl20°=2x4x（-1）=-4.

故答案為：4,-A.

3.（2023?西城區校級模擬）已知數列｛%｝是等差數列，并且q+%+%=6,%=。，若將a2,a3,a4,a5

去掉一項后，剩下三項依次為等比數列｛2｝的前三項，則用為—.

【答案嗎

【詳解】設等差數列｛4｝的公差為d,

由4+%+%=6可得3a4=6,即〃4=2,

又仁=0,可得d=9k=_i,

貝U。2=4，。3=3，。4=2，%=1，

所以〃2，〃3，〃5去掉一項后，剩下三項依次為4,2,1,

為等比數列｛2｝的前三項，則公比為:，

則a=L

2

故答案為：

2

2

V尤2

4.（2023?西城區校級模擬）已知雙曲線與-三=1（。>0/>0）與直線y=2%沒有公共點，則該雙曲線的離

ab

心率e的最大值是.

【答案】"

2

22

【詳解】?.?雙曲線當-三=l（a>0/>0）的漸近線方程為y=+-x,

abb

又該雙曲線與直線y=2%沒有公共點，

-..2,

b

該雙曲線的離心率e的最大值是好，

2

故答案為：好.

2

5.（2023?北京模擬）/（彳）=尸,+1'%'°的零點為

x-4,x>0

【答案】一1,2

【詳解】當用,0時，x+l=O,解得x=—1；

x>0時，X2-4=0,解得X=2,

函數的零點為：-1,2.

故答案為：-1,2.

6.（2023?東城區校級模擬）復數出等于

1-;

【答案】i

【詳解】復數罟:(1+。22/

(1-Od+O2

故答案為：i.

7.(2023?東城區校級模擬)在(1--)6的展開式中，常數項是(用數字作答).

X

【答案】15

【詳解】?.?二項式展開式的通項公式為加=6(36-，(*>,

XX

令3—6=0,

即廠=2,

.??常數項是(-1)2廢=15,

故答案為：15.

8.(2023?大興區模擬)在(x+^)6的二項展開式中，常數項是

X

【答案】20

6rr

【詳解】由=C；.X-.(-)=C'6?產2,.

X

由6—2r=0,得廠=3.

.?.常數項是C；=20.

故答案為：20.

22

9.(2023?大興區模擬)能說明“若見”+2)20,則方程匕+上=1表示的曲線為橢圓或雙曲線”是錯誤

mn+2

的一組m,n的值是.

【答案】m=4,n=2

22

【詳解】方程上+上=1表示的曲線為橢圓或雙曲線”是錯誤的一組機，〃的值滿足：相=〃+2>0即可，

mn+2

可取相=4，

〃=2,

故答案為："i=4,n=2.

1。.⑵23.北京模擬)復數z”的模為

【答案】3

2_2(1-/)

【詳解】復數=l-i

T+7-(l+z)(l-z)

故|2|="12+(_1)2=應.

故答案為：A/2.

11.（2023?北京模擬）已知x>l,當彳=時，y=/gx+log」0取到最小值為.

【答案】10;2

【詳解】

Igx>0,

y=lgx+log^l0=lgx+-..2/gx--=2,當且僅當x=10時，等號成立，

IgxVIgx

故答案為：10；2.

12.（2023?門頭溝區一模）在（2f-1）6的展開式中，f的系數為一.（用數字作答）

【答案】-12

【詳解】（2d一球的展開式的通項為=禺（2尤2）6-（_1丫，

令6—廠=1得r=5,

故展開式中/項的系數是：CfX2X（-1）5=-12.

故答案為：-12.

13.（2023?門頭溝區一模）在邊長為4的正AABC中，點尸是邊3c上的中點，則:W?衣=

【答案】12

【詳解】如圖,

AB=AC=4,ZCAB=60°,

???P是邊3c上的中點，AP=^(AB+AC),

貝!=通,須+記)=工廟+工通.正

222

=—x42+—x4x4xcos60°=8+—x4x4x—=12.

2222

故答案為：12.

14.（2023?通州區模擬）拋物線丁=2%的準線方程為

【答案】x-J

【詳解】拋物線＞2=2尤的準線方程為：尤=_￡=」.

22

故答案為：x=--.

2

15.（2023?通州區模擬）若復數z滿足（l-i）?z=2i,則|z|=.

【答案】母

【詳解1,/（1-Z）*z=2i,

.?.（l+i）（l—i）?2=（l+i）?2i,

化為2z=2（-1+0,..z=—1+/.

.1z|=J（-l）2+12=應.

故答案為：應.

16.（2023?西城區校級模擬）已知拋物線產=2px的準線方程為x=-l,則p=.

【答案】2

【詳解】由拋物線V=2px,得準線方程為尤=-‘，

2

由題意，-2=-1,得p=2.

2

故答案為：2.

17.（2023?西城區校級模擬）（1+2x）5的展開式中V項的系數為.

【答案】80

【詳解】通項公式（M=G（2X）'=TC；，，令r=3,

可得：（1+2"展開式中Y項的系數為23^=80.

故答案為：80.

18.（2023?房山區二模）若（2%-1）4=〃4%4+。3芯3+。2/+4工+。0，則％+4+。2+々3+。4=-

【答案】1

【詳解】令％=1,解得/+q+/+/+4=1.

故答案為：1.

19.（2023?海淀區校級模擬）AABC的內角A,B,C的對邊分別為。，b,c.若b=6,a=2c,B=-,

3

則AABC的面積為.

【答案】6G

【詳解】由余弦定理有6?=/+c?-2accosB,

兀

，b=6,a=2cyB=—,

3

/.36=（2c）2+c2-402cos（,

2

c=12f

%wc=gacsinB=c?sinB=66，

故答案為：6也.

20.（2023?海淀區校級模擬）已知拋物線C：V=4x,C的焦點為F，點”在C上，且|罰7|=6,則點M

的橫坐標是—.

【答案】5

【詳解】由拋物線C:y2=4x的方程可得準線方程x=T,

設M的橫坐標為升,由拋物線的性質可得到焦點的距離等于到準線的距離，則||=%+1=6,可得％=5,

故答案為：5.

21.（2023?海淀區校級模擬）若二項式（爐一工）"的展開式中有常數項，則最小的正整數〃為.

X

【答案】3

【詳解】已知二項式，-牛的展開式的通項公式為=C：（Y廣（-與■,

%X

又?.?二項式（行-工）"的展開式中有常數項，

X

3r=0有解，

則〃是3的倍數，

則最小的正整數〃為3.

故答案為：3.

22.（2023?海淀區校級模擬）若雙曲線〃4-9=根的兩條漸近線互相垂直，則機=.

【答案】1

2

【詳解】將雙曲線7n^-y=機變形成d-匕=1,

m

則兩條漸近線方程為>=±乎尤=±而，

因為兩條漸近線互相垂直，貝U而?（-標）=-1,根=1.

故答案為：1.

23.（2023?西城區校級模擬）拋物線爐=2>的準線方程是—.

【答案】y=--

2

【詳解】因為拋物線的標準方程為：/二2y,焦點在y軸上；

所以：2P=2,即p=l,

所以：^=~,

22

所以準線方程y=-;.

故答案為：y=.

2

24.（2023?西城區校級模擬）設i為虛數單位，則（尤+獷的展開式中含/的項為—（用數字作答）.

【答案】-15公

【詳解】（x+zp的展開式中含丁的項為C"%。=-15x4,

故答案為：-15/.

25.（2023?海淀區校級三模汨知｛4｝是公比為q（q>0））的等比數列，且%、如、&成等差數列，則4=

【答案】1

【詳解】因為｛4｝是公比為4的等比數列，且的、％、4成等差數列，

所以2a4=。2+。6，

24

即2a2q=%+a2q,

所以/一2/+1=0,

貝I二1，角翠得4=±1，

又4>0,則4=1.

故答案為：1.

26.（2023?海淀區校級三模）已知二項式（2%-的展開式中只有第4項的二項式系數最大，且展開式中/

項的系數為20,則實數。的值為.

【答案】二

2

【詳解】因為二項式（2x-〃）〃的展開式中只有第4項的二項式系數最大，

所以〃=6,

則（2%-a,的展開式的通項為。；（2]用（-0二C；（-1丫26-“產"

令6—廠=3,角星得廠=3,

貝ljClX（-1）3x23a3=20,解得a=,

故答案為：

2

27.（2023?北京模擬）函數y=/n%+萬工的定義域為.

【答案】（0,2]

【詳解】由題意得：

八，解得：0<%,2,

[2—x..0

故函數的定義域是（0,2],

故答案為：（0,2],

22

28.（2023?北京模擬）己知雙曲線與-當=l（a>0/>0）的離心率為2,則該雙曲線的漸近線方程為

ab

【答案】y=±\f3x

22

【詳解】已知雙曲線--斗=1（〃>0乃〉0）的離心率為2,

ab

則￡=2,

a

即,容+〃=2,

a

即b2=3a2,

即

a

即該雙曲線的漸近線方程為y=±JK,

故答案為：y=±6x.

29.(2023?東城區模擬)已知〃，6均為實數.若6+i=i(a+i),則她=.

【答案】-1

【詳解】b+i=i(a+i)=ai—l,

故Q=1,b=—lyab=—1.

故答案為：-1.

22

30.(2023?東城區模擬)已知《、F,分別是雙曲線C:1-二=1(。*0)的左、右焦點，P是C上的一點，

a9

且|P/"=2|尸耳|=16,則△尸片耳的周長是,雙曲線的離心率是.

【答案】34；-

4

【詳解】因為|尸耳卜2|尸鳥」=16,則|尸巴卜因

由雙曲線的定義可得21al=|尸片|-|%|=16-8=8,貝?。|=4,則c=J/+9=J16+9=5,

所以，W1|=2c=10,故△尸片乙的周長為|「片|+|「月|+|6月|=16+8+10=34,

該雙曲線的離心率為e=￡=』.

a4

故答案為：34；—.

4

31.(2023?順義區一模)函數/(X)=/〃(*+1)+」一的定義域是___.

x-1

【答案】(一1,1)U(1,+00)

fV-L1>0

【詳解】由，解得x>-l且XH1.

[x-17^0

???函數/(*)=仇0+1)+一一的定義域是(-1,1)U(1,+8).

x-1

故答案為：(-1,1)U(1,+00).

32.(2023?順義區一模)已知圓M:d+y2-2x-8=0,點A、3在圓M上，且尸(0,2)為AB的中點，則

直線4?的方程為—.

【答案】x-2y+4=0

【詳解】由圓M:f+y2-2元-8=0,配方為(x-iy+y2=9,可得圓心C(l,0),

?.?尸(0,2)為AB的中點，kCP=-2,

/.直線AB的方程為y=；x+2,化為%-2y+4=0,

故答案為：％-2y+4=0.

33.（2023?海淀區校級模擬）cos"=

6

【答案】-3

2

【詳解】COS=COS（2^+—7T）=COS—7T=COS（^+—）=-COS—=--.

666662

故答案為：-B.

2

34.（2023?海淀區校級模擬）已知拋物線C經過第二象限，且其焦點到準線的距離大于2,請寫出一個滿足

條件的C的標準方程—.

【答案】f=8y（答案不唯一）

【詳解】設拋物線的標準方程為爐=2外（°>0）,

由題意知，焦點到準線的距離p>2,

所以2P>4,可取2P=8,

則拋物線的標準方程為爐=8y.

故答案為：V=8y（答案不唯一）.

35.（2023?海淀區校級模擬）在（x2的展開式中，二項式系數和是16,則展開式中各項系數的和為—.

X

【答案】16

【詳解】?.■在的展開式中，二項式系數和是2"=16,.“yd,

X

則所給的二項式，即（尤2一3）4,

X

令x=l,可得展開式中各項系數的和為（1-3）4=16.

故答案為：16.

36.（2023?海淀區校級模擬）已知向量B的夾角為60。，舊|=2,出|=1,貝/4+2均=.

【答案】2百

【詳解】【解法一】向量八5的夾角為60。，且|初=2,|5|=1,

+2b丫=(i~+47,b+46?

=22+4x2xlxcos600+4xl2

=12,

:.fa+2bl=2港.

【解法二】根據題意畫出圖形，如圖所示;

結合圖形反'=西+礪=4+25；

在AQ4c中，由余弦定理得

|OC|=722+22-2x2x2xcosl200=2拒,

即14+2萬|=2石.

故答案為：2有.

37.（2023?海淀區校級三模）（三-展開式中常數項為.

X

【答案】T

【詳解】（＞3一工）4的展開式的通項公式為項|=Q（尤3）j（_jy=Q（-l）”l24，r=0,1,4,

XX

令12—4廠=0,解得廠=3,

7；=C：（T）3=-4,

故答案為：—4.

2

38.（2023?海淀區校級三模）若雙曲線匕-爐=1的漸近線的方程為y=±2x,則機=.

m

【答案】4

2

【詳解】因為雙曲線方程為2-爐=1,所以祖＞0,

m

則漸近線方程為'=±疝，所以后=2,則m=4.

故答案為：4.

39.(2023?海淀區校級三模)已知4"=2,lgx=a,貝Ux=.

【答案】回

【詳解】?.?4"=2,

.-.22a=2,

即2a=l

解得a=—

2

Igx=a，

,1

??.igx.

x=Vio,

故答案為：A/10.

40.(2023?海淀區校級三模)已知角a終邊過點尸(1,2),角尸終邊與角a終邊關于y軸對稱，則tana=

cos(77-a)-.

【答案】2,-

5

【詳解】由題意，角，終邊過點尸(1,2),由三角函數定義知：sinc=「=空，

5

51

由角力終邊與角a終邊關于y軸對稱得角(3的終邊過點(-1,2),

所以sin尸=

J（-l）2+227（-1）2+22

故cos（〃一c）=cos￡cosa+sin￡sina=（一^■jx+?弋x=楙

故答案為：2,

41.(2023?豐臺區校級三模)(x-l)(2x+l)6的展開式中含丁項的系數為.

【答案】-48

【詳解】(龍-D(2x+1)6的展開式中含丁項的系數為C；X2-C；X22=12-60=-48.

故答案為：-48.

42.(2023?豐臺區校級三模)設等差數列｛”“｝的前〃項和為S".若q=2,S4=20,貝?。?=；Sn=

【答案】6,n2+n

4x3

【詳解】q=2,$4=20,即4q+-^-xd=20,可得d=2.

那么：/=4+（3—1）xd=6.

0n（n-I）」2

耳=na1T------xd=n+n.

故答案為：6,n2+n.

43.（2023?密云區三模）函數/（尤）=地二處的定義域為.

2'-2----

【答案】（0,1）D（1,e］

【詳解】函數〃x）=正電，

2'-2

1-Inx..0

所以

2「2#0

解得0cX,e,且xwl,

所以了(元)的定義域為(0,1)U(1,e］.

故答案為：(0,1)U(1,e］.

44.(2023?密云區三模)已知(2x+l)”的展開式中，各項系數之和為81,則二項式系數之和為

【答案】16

【詳解】因為(2x+l)”的展開式中，各項系數之和為81,令x=l,可得3"=81,解得〃=4,

因此，二項式系數之和為24=16.

故答案為：16.

45.(2023?豐臺區校級三模)函數/(x)=?TT+—'―的定義域為___.

2-x

【答案】［一1,2)52,+oo)

【詳解】根據題意：+

12-xw0

解得：X...-1且x片2

定義域是：［一1,2)U(2,+oo)

故答案為：［一1,2)。(2,+00).

2_

46.（2023?豐臺區校級三模）若雙曲線f-匕=1的離心率為招，則實數機=

m

【答案】2

2_

【詳解】雙曲線爐-工=1（相＞0）的離心率為百，

m

可得：耳口=百，

解得7%=2.

故答案為：2.

47.（2023?大興區校級模擬）設復數z滿足（1-i）z=-2?為虛數單位）,則|z|=

【答案】應

【詳解】“三,故,昌二高S

故答案為：應.

48.（2023?大興區校級模擬）已知拋物線頂點在原點，焦點為歹（1,0），過廠作直線/交拋物線于A、3兩點,

若線段AB的中點橫坐標為2,則線段4?的長為

【答案】6

【詳解】：/（1,0）是拋物線＞2=4尤的焦點,

.?.準線方程x=-l,

設A?,%）,B0,%）,線段的的中點橫坐標為2,

X]+4=4

:.\AB\=\AF\+\BF\=Xl+l+x2+l=6,

線段AB的長為6.

故答案為：6.

2

49,（2023?順義