蘇科版九年級數學下冊第7章銳角函數單元達標測試卷

一、單選題

1.如果sinA=—，那么銳角NA的度數為（）

2

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.如圖，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A,B,C均在格點上，則NA的正切值

是（）

R而

D.-----------

5

3.如圖，已知在4x4的網格中，每個小正方形的邊長都是1,AABC的頂點都在這些小正方形的頂點

4.如圖，已知RtaABC中，ZC=90°,AC=4,tanA=一，則BC的長是（）

2

5.一cos30°的值是（）

3

A.-B.—C.正

666

6.在正方形網格中，AABC的位置如圖所示，則cosB的值為（）

A.-B.—C.—D.立

2223

4

7.如圖，中，ZC=90°，點D在NC上，ZDBC=ZA.若/C=4,cosA=-,則的長

度為（）

8.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AD是BC邊上的中線，如果AD=BC,那么tan/B的值是（）

V2「D.好

A.1B.V3

222

9.銳角Z_A滿足cosA——,利用計算器求ZA時，依次按鍵2ndFcos-1即|目2|加=|，則計算

2

器上顯示的結果是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

3

10.在4ABC中，ZC=90°,AC=6,cosA=,則BC的長為（）

5

A.6B.8C.10D.9

二'填空題

11.如圖所示，已知。O的半徑為5cm,弦AB的長為8cm,P是AB延長線上一點，BP=2cm,則tanNOPA

等于_________.

12.如圖，點P是四邊形ABCD外接圓上任意一點，且不與四邊形頂點重合，若AD是。。的直徑,

AB=BC=CD.連接PA,PB,PC,若PA=a,則點A到PB和PC的距離之和AE+AF=

B

13.如圖，在RtAZBC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,點、D、￡分別在邊48、8c上.將△/￡）￡

沿著。￡所在的直線翻折，使點/的對應點廠落在邊8C的延長線上.如果ED平分NEE8,那么40的長

度為.

14.矩形紙片ABCD中，BC=2AB,將紙片對折，使頂點A與頂點C重合，得折痕EF,將紙片展開鋪平

后再進行折疊，使頂點B與頂點D重合，得折痕MN,展開鋪平后如圖所示.若折痕EF與MN較小的夾

角記為0,貝Using.

ME

三'計算題

15.計算：2cos30°xtan30°+^2sin450-tan60°.

四、解答題

16.北大壺滑雪場是我國重要的滑雪基地，擁有國際標準雪道19條，其中青云大道某段坡長45為800米,

坡角NBZC=25。，求垂直落差3C的高度.

（結果保留整數：參考數據：sz力25。土0.423,cos25°?0.906,勿〃25°=0.466）

17.有一款如圖（1）所示的健身器材，可通過調節AB的長度來調節椅子的高度，其平面示意圖如圖（2）

所示，經測量，AD與DE的夾角為75。，AC與AD的夾角為45。，且DE〃AB.現調整AB的長度，當

ZBCA為75。時測得點C到地面的距離為25cm.請求出此時AB的長度（結果保留根號）.

圖1圖2

18.某次臺風來襲時，一棵筆直大樹樹干（假定樹干N5垂直于水平地面）被刮傾斜7。（即NA4E=7。）

后折斷倒在地上,樹的頂部恰好接觸到地面。處,測得/。。/=37。,/。=5米,求這棵大樹45的高度.（結

果保留根號）（參考數據：sin37M.6,cos37=0.8,tan37~0.75）

19.如圖，河流兩岸PQ,MN互相平行，C、D是河岸PQ上間隔50m的兩個電線桿，某人在河岸MN上

的A處測得NDAB=3O。，然后沿河岸走了100m到達B處，測得NCBF=70。，求河流的寬度（結果精確

到個位，V3=1.73,sin70°=0.94,cos70°=0.34,tan700=2.75）

彳彳彳孑

P____________D_____C。

」’30。，仇。：______

MABFN

五'綜合題

20.如圖，在菱形ABCD中，4840=120°，點E在對角線BD上，將線段CE繞點C順時針旋轉

（2）若BC=2也，求四邊形ECFD的面積.

21.如圖，AB、CD為兩個建筑物，建筑物AB的高度為60米，從建筑物AB的頂點A點測得建筑物CD

的頂點C點的俯角ZEAC為30°,測得建筑物CD的底部D點的俯角ZEAD為45°.

R

（1）求兩建筑物底部之間水平距離BD的長度;

（2）求建筑物CD的高度（結果保留根號）.

22.如圖，已知在A/BC中，AB=AC=6,BC=4,點E、尸分別是48、ZC的中點，過點C作CD||48

交￡廠的延長線于點。，連接40.

（1）求N8的正弦值;

（2）求線段40的長.

23.如圖，四邊形4BCD內接于。0,AB=AD,ZC為直徑，E為介上一動點，連接交/C于點

G,交40于點F,連接

（1）設NE為a,請用a表示/氏4C的度數.

（2）如圖1,當時，

①求證：DE=BG.

3

②當tan乙4BE=—,BG=5時，求半徑的長.

4

BF

（3）如圖2,當過圓心0時，設tcm/ABE=x,=y,求y關于x的函數表達式.

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：由題意得，sin60°=旦

2

故NA=60。.

所以C選項是正確的.

【分析】根據sin6(r=1即可得出NA的度數.

2

2.【答案】D

【解析】【解答】解：連接BD,

則BD=41，AD=2V2，

BDV2

則tanA=-----=

AD2V22

故答案為：D.

【分析】連接BD,先求出BD化為AD的長，再利用正切的定義求解即可。

3.【答案】B

【解析】【解答】解：：/序=32+42=25，5C2=12+22=5，AC2=22+42=20，

???BC2+AC2=AB2,

...△ABC是直角三角形，且NACB=90。,

/c.cZCV202V5

貝！JcosNCAB==,——=------

AB4255

故答案為：B.

【分析】根據網格圖的特征用勾股定理求出AB?、BC\AC?的值，再觀察是否滿足a2+b2=c2,然后根據勾

Ar

股定理的逆定理可判斷^ABC是直角三角形，由銳角三角函數cosNCAB=——可求解.

AB

4.【答案】A

【解析】【解答】解：???tanA：-=—,AC=4,

2AC

，BC=2,

故選：A.

【分析】根據銳角三角函數定義得出tanA=三,代入求出即可.

A.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：-cos30°==?

3326

故答案為：C.

【分析】直接利用特殊角的三角函數值計算即可.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：設小正方形的邊長為1,則AB=4V2，BD=4,

4V2

cosNB=

4V2V

故選B.

【分析】先設小正方形的邊長為1,然后找個與/B有關的Rt^ABD,算出AB的長，再求出BD的長,

即可求出余弦值.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：VZC=90°,

AB

4

AC=4,cosA=—

5

，AB=5,

根據勾股定理可得BC^^AB2-AC2=3,

ZDBC=N4,

4

/.cosz.DBC=cosA=—,

5

BC4即a4

/.cosNDBC==—

BD55

15

???BD=—,

4

故答案為：C.

4

【分析】先求出AB=5,再求出cosNDBC=cosA=1,最后計算求解即可。

8.【答案】C

【解析】【解答】解：:2口是BC邊上的中線,

.?.設BD=CD=x,

則AD=BC=2x,

在RCACD中，AC=yjAD2-CD2=J(2x>-。=百x,

eACy/3x

則tanNB=-----

BC2x2

故答案為：C.

【分析】根據勾股定理求出AC與AD的關系，得到tanNB的值.

9.【答案】C

【解析】【解答】解：由題意可知，cos^=-,由特殊角的三角函數值可知NZ=60。

2

依次按鍵，顯示的是cos-1-的值，即NA的度數為60°.

2

故答案為：C.

【分析】根據特殊角的三角函數值可得cosA=1,然后結合按鍵順序進行解答.

2

10.【答案】B

3

【解析】【解答】解：?在AABC中，ZC=90°,AC=6,cosA=-,

.\AB=10,

?■-BC=y/AB2-AC2=V102-62=8.

故答案為：B.

【分析】先求出cosA=再利用勾股定理計算求解即可。

AB5

11.【答案】-

2

【解析】【解答】解：作OMLAB于M,如圖所示:

PB

則AM=BM=-AB=4cm,0M=yjoA2-AM2=A/52-42=3(cm),

,.?PM=PB+BM=6cm,

OM31

tanZOPA=-----=—=一；

PM62

故答案為：—O

2

【分析】作OMLAB于M,如圖所示：根據垂徑定理得出AM=BM=-AB=4cm,根據勾股定理算出

2

OM的長，由PM=PB+BM算出PM的長，進而即可根據正切函數的定義即可得出答案。

12.【答案】S5a

【解析】【解答】解：如圖，連接OB、OC.

：AD是直徑，AB=BC=CD,

-AB=BC=cb^

：.ZAOB=ZBOC=ZCOD=60°,

11

Z.ZAPB=-NAOB=30°,ZAPC=-ZAOC=60°,

22

在RtAAPE中，ZAEP=90°,

1

.,.AE=AP?sin30°=-a,

2

在RtAAPF中，：NAFP=90。，

?\AF=AP?sin60°=——a,

2

.\AE+AF=a.

2

故答案為土目a.

2

【分析】如圖，連接OB、OC.首先證明NAOB=NBOC=NCOD=60。，推出NAPB=ZAOB=30°,

ZAPC=-ZAOC=60°,根據AE=AP?sin30。，AF=AP?sin60°,即可解決問題.

2

20

13.【答案】—

7

【解析】【解答】解：作DHLBC于〃，

在RtaABC紙片中，AC=4,BC=3,

AB=飛AC?+BC?=5，

由翻折可得，AD=DF,Z_A=/DFE,

:FD平分/EFB,

/.ZEFD=ZDFB,

，ZA=ZDFB,

…DHDH3K

設DH=3x,則sinZDFBsinZA3

5

NBDH?ABAC,

BDDH5-5x3x

:.——=---,即a-n-----

ABAC5T

4

解得：x=-,

AD=5x=——

7

20

故答案為:

7

【分析】根據軸對稱的性質和角平分線的定義得44=必，利用銳角三角函數，結合相似三角形的判

定和性質計算。

4

14.【答案】一

5

【解析】【解答】解：如圖，連接AC、BM、DN、CE,過點M作MGLAC于點G,

由折疊可知：EFLAC,AO=CO,

MB=MD,AE=CE,

：.MG//OE,

.MGAGAM

?..四邊形ABCD是矩形，

AD=BC,AB=CD,

ZABC=ZBAM=ZADC=90°,

設AM=x，AB=a,

BC=AD=2a,MB=MD=2a—x,

；?AC=dAB~BC?=荷+（2a）2=氐

/八10也a

AO=—AC=-----

22

AM2+AB2=BM2

??x+〃=（2〃—x）

.3。

??x——,

4

3a

???AM=—

4

設AE=y,則CE=yDE=2a-y,

,/CD2+DE2=CE2

a2+（2a-v）2=/,

5a

??y——

4

亞a

%

4一

AG

=%一

4一

3君

。3亞a

ACr=------

2010

-/Sa

/.sin=AGMO=空r__4

OMJ5a5

丁

,/ZMGA=ZEOA=90°,

J.MG//OE,

/.ZGMO=AMOE=d,

,八4

??sin0——

5

_4

故答案為：一.

5

【分析】連接AC、BM、DN、CE,過點M作MGLAC于點G,由折疊的性質得EFLAC,AO=CO,

MB=MD,AE=CE,則MG〃OE,由矩形性質得AD=BC,AB=CD,ZABC=ZBAM=ZADC=90°,

設AM=x,AB=a,則BC=AD=2a,MB=MD=2a-x,根據勾股定理表示出AC,然后在RdABM中，根

據勾股定理可得x,設AE=y,則CE=y,DE=2a-y,根據勾股定理表示出y,進而可得OE、MG、AG、

OG、OMo利用三角函數的概念求出sinZGMO,根據平行線的性質可得NGMO=NMOE=0,據此計算.

15.【答案】解：2cos30°xtan30°+夜sin45°-tan60°

=1+1-V3

=2-V3?

【解析】【分析】先利用特殊角的三角函數值化簡，再計算即可。

16.【答案】解：在MAZBC中，NC=90°,ABAC=25°,28=800米，

???sinZBAC=—,

AB

BC=AB-sinZBAC-800x0.423它338（米），

答：垂直落差8C的高度約為338米.

【解析】【分析】結合圖形以及ZC=90°,NBAC=25。,48=800米，利用銳角三角函數求出BC的

值即可。

17.【答案】解：

圖2

由已知可得,

NEDA=75°,ZBCA=75°,NCAG=45°,CG=25cm,

CG*25亞

AAC=sin45°

2

VDE^AB,

.\ZEDA+ZBAD=180°,

.\ZBAD=105o,

.,.ZCAF=60°,

,?ZCFA=90°,AC=25正，

/.ZACF=30°,

.".AF=,CF=,

22

VZACB=75°,NACF=30°,ZCFB=90°,CF=,

2

.".ZBCF=45°,

/.BF=CF=至區，

2

.ARA?25后257625V2+25V6

??AB=AF+BF=---------1---------=--------------------

222

答:此時AB的長度是25?+25瓜cm.

2

【解析】【分析】作CGXAD于點G,作CFXAB于點F,通過解直角三角形求得AF,BF的長度，本題

得以解決.

AD5AD5

；.AE=3,在Rt^AEC中，VZCAE=90°-NACE=90°-60°=30°,；.CE=—AE=

3

V3，AAC=2CE=2百，，AB=AC+CE+ED=2百+百+4=3百+4(米).答:這棵大

樹AB原來的高度是(3V3+4)米.

【解析】【分析】過點/作于點E,解Rt4/m,求出。E及/￡的長度，再解RtZUEC,得出

CE及/C的長，進而可得出結論.

19.【答案】解：如圖，過點C作CE〃AD,交AB于點E,

彳彳彳彳

PDCQ

//1

」30。」八70。■________

MAEBFN

VCD/7AE,CE〃AD,

???四邊形AECD是平行四邊形,

VCD=50m,AB=100m,

??.AE=CD=5Om,EB=AB-AE=50m,ZCEF=ZDAB=3O°.

CF

在RtZXECF中，EF=-----------=J3CF,

tan30°

VZCBF=70%

CF

.".在Rt/XBCF中,BF=

tan70°

VEF-BF=50m,

CF

AV3CF-=50,

tan70°

，CFk37m.

答：河流的寬度CF的值約為37nl.

【解析】【分析】過點C作CE〃AD,交AB于點E,則四邊形AECD是平行四邊形，利用平行四邊形的

性質可得出AE、EB及NCEF的值，通過解直角三角形可得出EF,BF的長，結合EF-BF=50m,即可

求出CF的長.

20.【答案】（1）證明：?/四邊形ABCD是菱形，

BC=DC,ABAD=ABCD=120°

???NECN=120。

ABCD=ZECF

ZBCE=ZDCF

有旋轉性質知：CE=CF

在ABEC和ADFC中

BC=DC

乙BCE=乙DCF

CE=CF

:.ABEC=ADFC（SAS）

（2）?/ABEC=ADFC

一S四邊形ECFD=S\BCD

過點/作于〃，

由于ABAD=120Q，故Z.ABC=60°

AH=AB-sin60°=2員二=3

2

S菱形WQ二2百x3二6出

S四邊形CEFQ-S\BCD=/S菱形/BQ)=3百.

【解析】【分析】(1)根據菱形性質和旋轉性質證/^BEC=ADFC(SAS)；

(2)由ABEC二皿①？，得S四邊形漢如二，過點力作4/7,5C于〃，結合三角函數,

由s四邊形反加=&5cz)=萬s菱形/5co可求得結果，

21.【答案】(1)解：根據題意得：BD〃AE,

???NADB=NEAD=45。，

,?NABD=90。，

JNBAD=NADB=45。，

???BD=AB=60,

??.兩建筑物底部之間水平距離BD的長度為60米

(2)解：延長AE、DC交于點F,

根據題意得四邊形ABDF為正方形，

???AF=BD=DF=60,

在Rt^AFC中，NFAC=30。，

反

.??CF=AF?tanNFAC=60xH=20退，

3

又,.?FD=60,

/.CD=60-20

二建筑物CD的高度為(60-20V3)米

【解析】【分析】由題意得：BD〃AE,從而得到NBAD=/ADB=45。，再由BD=AB=60,求得兩建筑物底

部之間水平距離BD的長度為60米；小題2：延長AE、DC交于點F,根據題意得四邊形ABDF為正方

形，根據AF=BD=DF=60,在RtAAFC中利用NFAC=30。求得CF=AF?tanZFAC,然后即可求得CD的長.

22.【答案】(1)解：過點A作AMLBC于點M,

\'AB=AC=6,BC=4,

BM=CM=-BC=2

2

,,AM=VAB2—BM2=yl6。-2?=4>/2>

..nAM442242

AB63

(2)解：過點C作CNLAB于點N,連接CE

...2V221M，

?sinBD=-----，cosB7=5—=—，BC=4，

363

8瓶4

CN=BCsmB=-^—,BN=BCcosB=—，

33

VAB=AC=6，點E是AB的中點，

45

Z.BE=3,EN=EB—BN=3——=-,

33

22

?*.EC=4EN+CN=A+f—=V17，

Z13J

VCDIMS,

.AFEF

??瓦—訪‘

■：F是AC的中點，

AF=FC,

:.EF=FD,

...四邊形ADCE是平行四邊形，

AAD=EC=y/17.

【解析】【分析】(1)過點A作AMLBC于點M,先利用勾股定理求出AM的長，再利用正弦的定義

可得sm八也=^=迪；

AB63

(2)過點C作CN1AB于點N,連接CE,先利用勾股定理求出

EC=^EN2+CN2=浮=后,再證出四邊形ADCE是平行四邊形，可得

AD=EC=yfH。

23.【答案】(1)解：?.?ZC為直徑,

NABC=ZADC=90°,

又?；AB=AD,AC=AC,

：.AABC'ADC.

ABAC=ZCAD=-/BAD,

2

,**/E-/BAD-ot,

n

：.ZBAC=-

2

（2）解：①連接DG.

AB=AD,/BAG=NDAG,AG=AG,

AABGAADG,

:.BG=DG,ZABG=ZADG.

?：NABG=ZEDF,

ZADG=EDF,

又?：EG：LDF,DF=DF,

：.&DFG—DFE,

DE=DG,GF=EF,

DE=BG.

②過點O作。ND,垂足為H.

3

???tanZABE=-,BG=5,ZABE=ZFDE

4

tanAFDE=—,DE=5,

4

EF=FG=3,FD=4,

:.BF=BG+GF=8.

3

/.由tanZABE=—,得AF=6.