浙江省杭州二中2025屆普通高中畢業班5月質檢數學試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來，構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是A． B． C． D．2．已知的展開式中第項與第項的二項式系數相等，則奇數項的二項式系數和為（）．A． B． C． D．3．將函數向左平移個單位，得到的圖象，則滿足（）A．圖象關于點對稱，在區間上為增函數B．函數最大值為2，圖象關于點對稱C．圖象關于直線對稱，在上的最小值為1D．最小正周期為，在有兩個根4．設過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點，點與點關于軸對稱，為坐標原點，若，且，則點的軌跡方程是（）A． B．C． D．5．已知定義在上的偶函數，當時，，設，則（）A． B． C． D．6．《九章算術》“少廣”算法中有這樣一個數的序列：列出“全步”（整數部分）及諸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去約其分子，將所得能通分之分數進行通分約簡，又用最下面的分母去遍乘諸（未通者）分子和以通之數，逐個照此同樣方法，直至全部為整數，例如：及時，如圖：記為每個序列中最后一列數之和，則為（）A．147 B．294 C．882 D．17647．已知等差數列的前項和為，且，則（）A．45 B．42 C．25 D．368．《九章算術》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.某“塹堵”的三視圖如圖，則它的外接球的表面積為（）A．4π B．8π C． D．9．設是等差數列，且公差不為零，其前項和為．則“，”是“為遞增數列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．在區間上隨機取一個數，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．11．已知是函數的極大值點，則的取值范圍是A． B．C． D．12．如圖，圓錐底面半徑為，體積為，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點，已知過與的平面與圓錐側面的交線是以為頂點的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點到圓錐頂點的距離等于（）A． B．1 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在平面四邊形中，點，是橢圓短軸的兩個端點，點在橢圓上，，記和的面積分別為，，則______.14．在一塊土地上種植某種農作物，連續5年的產量（單位：噸）分別為9.4，9.7，9.8，10.3，10.8.則該農作物的年平均產量是______噸.15．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，則乙不輸的概率是_____．16．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，則球的表面積為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）有甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司底薪元，送餐員每單制成元；乙公司無底薪，單以內（含單）的部分送餐員每單抽成元，超過單的部分送餐員每單抽成元.現從這兩家公司各隨機選取一名送餐員，分別記錄其天的送餐單數，得到如下頻數分布表：送餐單數3839404142甲公司天數101015105乙公司天數101510105（1）從記錄甲公司的天送餐單數中隨機抽取天，求這天的送餐單數都不小于單的概率；（2）假設同一公司的送餐員一天的送餐單數相同，將頻率視為概率，回答下列兩個問題：①求乙公司送餐員日工資的分布列和數學期望；②小張打算到甲、乙兩家公司中的一家應聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，小張應選擇哪家公司應聘？說明你的理由.18．（12分）已知，求的最小值.19．（12分）設等差數列的首項為0，公差為a，；等差數列的首項為0，公差為b，.由數列和構造數表M，與數表；記數表M中位于第i行第j列的元素為，其中，（i，j=1，2，3，…）.記數表中位于第i行第j列的元素為，其中（，，）.如：，.（1）設，，請計算，，；（2）設，，試求，的表達式（用i，j表示），并證明：對于整數t，若t不屬于數表M，則t屬于數表；（3）設，，對于整數t，t不屬于數表M，求t的最大值.20．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，直線交曲線于兩點，為中點.（1）求曲線的直角坐標方程和點的軌跡的極坐標方程；（2）若，求的值.21．（12分）某學校為了解全校學生的體重情況，從全校學生中隨機抽取了100人的體重數據，得到如下頻率分布直方圖，以樣本的頻率作為總體的概率.（1）估計這100人體重數據的平均值和樣本方差；(結果取整數，同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)（2）從全校學生中隨機抽取3名學生，記為體重在的人數，求的分布列和數學期望；（3）由頻率分布直方圖可以認為，該校學生的體重近似服從正態分布.若，則認為該校學生的體重是正常的.試判斷該校學生的體重是否正常?并說明理由.22．（10分）已知（1）若，且函數在區間上單調遞增，求實數a的范圍；（2）若函數有兩個極值點，且存在滿足，令函數，試判斷零點的個數并證明．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

詳解：由題意知，題干中所給的是榫頭，是凸出的幾何體，求得是卯眼的俯視圖，卯眼是凹進去的，即俯視圖中應有一不可見的長方形，且俯視圖應為對稱圖形故俯視圖為故選A.點睛：本題主要考查空間幾何體的三視圖，考查學生的空間想象能力，屬于基礎題。2、D【解析】因為的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，所以，解得，所以二項式中奇數項的二項式系數和為．考點：二項式系數，二項式系數和．3、C【解析】

由輔助角公式化簡三角函數式，結合三角函數圖象平移變換即可求得的解析式，結合正弦函數的圖象與性質即可判斷各選項.【詳解】函數，則，將向左平移個單位，可得，由正弦函數的性質可知，的對稱中心滿足，解得，所以A、B選項中的對稱中心錯誤；對于C，的對稱軸滿足，解得，所以圖象關于直線對稱；當時，，由正弦函數性質可知，所以在上的最小值為1，所以C正確；對于D，最小正周期為，當，，由正弦函數的圖象與性質可知，時僅有一個解為，所以D錯誤；綜上可知，正確的為C，故選：C.【點睛】本題考查了三角函數式的化簡，三角函數圖象平移變換，正弦函數圖象與性質的綜合應用，屬于中檔題.4、A【解析】

設坐標，根據向量坐標運算表示出，從而可利用表示出；由坐標運算表示出，代入整理可得所求的軌跡方程.【詳解】設，，其中，，即關于軸對稱故選：【點睛】本題考查動點軌跡方程的求解，涉及到平面向量的坐標運算、數量積運算；關鍵是利用動點坐標表示出變量，根據平面向量數量積的坐標運算可整理得軌跡方程.5、B【解析】

根據偶函數性質，可判斷關系；由時，，求得導函數，并構造函數，由進而判斷函數在時的單調性，即可比較大小.【詳解】為定義在上的偶函數，所以所以;當時，，則，令則，當時，，則在時單調遞增，因為，所以，即，則在時單調遞增，而，所以，綜上可知，即，故選：B.【點睛】本題考查了偶函數的性質應用，由導函數性質判斷函數單調性的應用，根據單調性比較大小，屬于中檔題.6、A【解析】

根據題目所給的步驟進行計算，由此求得的值.【詳解】依題意列表如下：上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故選：A【點睛】本小題主要考查合情推理，考查中國古代數學文化，屬于基礎題.7、D【解析】

由等差數列的性質可知,進而代入等差數列的前項和的公式即可.【詳解】由題,.故選:D【點睛】本題考查等差數列的性質,考查等差數列的前項和.8、B【解析】

由三視圖判斷出原圖，將幾何體補形為長方體，由此計算出幾何體外接球的直徑，進而求得球的表面積.【詳解】根據題意和三視圖知幾何體是一個底面為直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜邊為2，側棱長為2且與底面垂直，因為直三棱柱可以復原成一個長方體，該長方體外接球就是該三棱柱的外接球，長方體對角線就是外接球直徑，則，那么.故選：B【點睛】本小題主要考查三視圖還原原圖，考查幾何體外接球的有關計算，屬于基礎題.9、A【解析】

根據等差數列的前項和公式以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】是等差數列，且公差不為零，其前項和為，充分性：，則對任意的恒成立，則，，若，則數列為單調遞減數列，則必存在，使得當時，，則，不合乎題意；若，由且數列為單調遞增數列，則對任意的，，合乎題意.所以，“，”“為遞增數列”；必要性：設，當時，，此時，，但數列是遞增數列.所以，“，”“為遞增數列”.因此，“，”是“為遞增數列”的充分而不必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合等差數列的前項和公式是解決本題的關鍵，屬于中等題．10、C【解析】

根據直線與圓相交，可求出k的取值范圍，根據幾何概型可求出相交的概率.【詳解】因為圓心，半徑，直線與圓相交，所以，解得所以相交的概率,故選C.【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系，幾何概型，屬于中檔題.11、B【解析】

方法一：令，則，，當，時，，單調遞減，∴時，，，且，∴，即在上單調遞增，時，，，且，∴，即在上單調遞減，∴是函數的極大值點，∴滿足題意；當時，存在使得，即，又在上單調遞減，∴時，，所以，這與是函數的極大值點矛盾．綜上，．故選B．方法二：依據極值的定義，要使是函數的極大值點，須在的左側附近，，即；在的右側附近，，即．易知，時，與相切于原點，所以根據與的圖象關系，可得，故選B．12、D【解析】

建立平面直角坐標系，求得拋物線的軌跡方程，解直角三角形求得拋物線的焦點到圓錐頂點的距離.【詳解】將拋物線放入坐標系，如圖所示，∵，，，∴，設拋物線，代入點，可得∴焦點為，即焦點為中點，設焦點為，，，∴.故選：D【點睛】本小題考查圓錐曲線的概念，拋物線的性質，兩點間的距離等基礎知識；考查運算求解能力，空間想象能力，推理論證能力，應用意識.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

依題意易得A、B、C、D四點共圓且圓心在x軸上，然后設出圓心，由圓的方程與橢圓方程聯立得到B的橫坐標，進一步得到D橫坐標，再由計算比值即可.【詳解】因為，所以A、B、C、D四點共圓，直徑為，又A、C關于x軸對稱，所以圓心E在x軸上，設圓心E為，則圓的方程為，聯立橢圓方程消y得，解得，故B的橫坐標為，又B、D中點是E，所以D的橫坐標為，故.故答案為：.【點睛】本題考查橢圓中的四點共圓及三角形面積之比的問題，考查學生基本計算能力及轉化與化歸思想，本題關鍵是求出B、D橫坐標，是一道有區分度的壓軸填空題.14、10【解析】

根據已知數據直接計算即得.【詳解】由題得，.故答案為：10【點睛】本題考查求平均數，是基礎題.15、【解析】乙不輸的概率為，填.16、【解析】

如圖所示，將三棱錐補成長方體，球為長方體的外接球，長、寬、高分別為，計算得到，得到答案.【詳解】如圖所示，將三棱錐補成長方體，球為長方體的外接球，長、寬、高分別為，則，所以，所以球的半徑，則球的表面積為.故答案為：.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，意在考查學生的計算能力和空間想象能力，將三棱錐補成長方體是解題的關鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）①分布列見解析，；②小張應選擇甲公司應聘.【解析】

（1）記抽取的3天送餐單數都不小于40為事件，可得（A）的值．（2）①設乙公司送餐員送餐單數為，可得當時，，以此類推可得：當時，當時，的值．當時，的值，同理可得：當時，．的所有可能取值．可得的分布列及其數學期望．②依題意，甲公司送餐員日平均送餐單數．可得甲公司送餐員日平均工資，與乙數學期望比較即可得出．【詳解】解：（1）由表知，50天送餐單數中有30天的送餐單數不小于40單，記抽取的3天送餐單數都不小于40為事件，則．（2）①設乙公司送餐員的送餐單數為，日工資為元，則當時，；當時，；當時，；當時，；當時，．所以的分布列為228234240247254．②依題意，甲公司送餐員的日平均送餐單數為，所以甲公司送餐員的日平均工資為元，因為，所以小張應選擇甲公司應聘．【點睛】本題考查了隨機變量的分布列與數學期望、古典概率計算公式、組合計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．18、【解析】

討論和的情況，然后再分對稱軸和區間之間的關系，最后求出最小值【詳解】當時，，它在上是減函數故函數的最小值為當時，函數的圖象思維對稱軸方程為當時，，函數的最小值為當時，，函數的最小值為當時，，函數的最小值為綜上，【點睛】本題主要考查了二次函數在閉區間上的最值，二次函數的性質的應用，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題。19、（1）（2）詳見解析（3）29【解析】

（1）將，代入，可求出，，可代入求，，可求結果．（2）可求，，通過反證法證明，（3）可推出，，的最大值，就是集合中元素的最大值，求出．【詳解】（1）由題意知等差數列的通項公式為：；等差數列的通項公式為：，得，則，，得，故．（2）證明：已知．，由題意知等差數列的通項公式為：；等差數列的通項公式為：，得，，．得，，，．所以若，則存在，，使，若，則存在，，，使，因此，對于正整數，考慮集合，，，即，，，，，，．下面證明：集合中至少有一元素是7的倍數．反證法：假設集合中任何一個元素，都不是7的倍數，則集合中每一元素關于7的余數可以為1，2，3，4，5，6，又因為集合中共有7個元素，所以集合中至少存在兩個元素關于7的余數相同，不妨設為，，其中，，．則這兩個元素的差為7的倍數，即，所以，與矛盾，所以假設不成立，即原命題成立．即集合中至少有一元素是7的倍數，不妨設該元素為，，，則存在，使，，，即，，，由已證可知，若，則存在，，使，而，所以為負整數，設，則，且，，，，所以，當，時，對于整數，若，則成立．（3）下面用反證法證明：若對于整數，，則，假設命題不成立，即，且．則對于整數，存在，，，，，使成立，整理，得，又因為，，所以且是7的倍數，因為，，所以，所以矛盾，即假設不成立．所以對于整數，若，則，又由第二問，對于整數，則，所以的最大值，就是集合中元素的最大值，又因為，，，，所以．【點睛】本題考查數列的綜合應用，以及反證法，求最值，屬于難題．20、（1），；（2）或【解析】

（1）根據曲線的參數方程消去參數，可得曲線的直角坐標方程，再由，，可得點的軌跡的極坐標方程；（2）將曲線極坐標方程求，與直線極坐標方程聯立，消去，得到關于的二次方程，由的幾何意義可求出，而（1）可知，然后列方程可求出的值.【詳解】（1）曲線的直角坐標方程為，圓的圓心為，設，所以，則由，即為點軌跡的極坐標方程.（2）曲線的極坐標方程為，將與曲線的極坐標方程聯立得，，設，所以，，由，即，令，上述方程可化為，解得.由，所以，即或.【點睛】此題考查參數方程與普通方程的互化，極坐標方程與直角坐標方程的互化，利用極坐標求點的軌跡方程，考查運算求解能力，考查數形結合思想，屬于中檔題