平行線及三角形一、單選題1．（2022秋·江蘇·八年級校考競賽）如圖，AB∥CD，點E在線段BC上，CD＝CE，若∠ABC＝30°，則∠D的度數為（）A．85° B．75° C．65° D．30°2．（2022秋·江蘇·八年級校考競賽）如圖，為等邊三角形，，則等于（

）A． B． C． D．3．（2021·全國·九年級競賽）將長為15cm的木棒截成長度為整數的三段，使它們構成一個三角形的三邊，則不同的截法有（）A．5種 B．6種 C．7種 D．8種4．（2017秋·浙江杭州·八年級競賽）下列圖形中，正確畫出AC邊上的高的是（

）A． B．C． D．5．（2017秋·浙江杭州·八年級競賽）如圖，P為△ABC邊BC上的一點，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，那么∠ACB的度數是（

）A．45° B．75° C．90° D．60°6．（2022秋·四川綿陽·八年級東辰國際學校校考競賽）如圖，直角中，，，，，點P是線段上一動點（可與點A、點B重合），連接，則線段長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2022秋·四川綿陽·八年級東辰國際學校校考競賽）如圖，已知直線ABCD，直線EF分別交直線AB，CD于點E，F，EM平分∠AEF交CD于點M．G是射線MD上一動點（不與點M，F重合）．EH平分∠FEG交CD于點H，設∠MEH=α，∠EGF=β．現有下列四個式子：①2α=β，②2α-β=180°，③α-β=30°，④2α+β=180，在這四個式子中，正確的是（）A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④8．（2022秋·江蘇·八年級校考競賽）如圖，在△ABC中，∠A=70°，∠C=30°，BD平分∠ABC交AC于點D，DE∥AB，交BC于點E，則∠BDE的度數是（

）A．30° B．40° C．50° D．60°二、填空題9．（2022秋·四川綿陽·八年級東辰國際學校校考競賽）如圖，沿折疊使點落在點處，、分別是、平分線，若，，則_____．10．（2022秋·四川綿陽·八年級東辰國際學校校考競賽）在中，，的平分線交于點，的外角平分線所在直線與的平分線相交于點，與的外角平分線相交于點，則下列結論一定正確的是_____．（填寫所有正確結論的序號）①；②；③；④．11．（2022秋·四川綿陽·八年級東辰國際學校校考競賽）如圖，把兩塊大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如圖所示擺放，點D在邊AC上，點E在邊BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，則∠DEC的度數為_______．12．（2022秋·江蘇·八年級校考競賽）過等腰三角形頂角頂點的一條直線，將該等腰三角形分成的兩個三角形均為等腰三角形，則原等腰三角形的底角度數為____．13．（2022秋·江蘇·八年級校考競賽）如圖，中，是上任意一點，于點于點F，若，則________．14．（2022秋·江蘇·八年級校考競賽）如圖．在中，，．若，則______．15．（2022秋·江蘇·八年級校考競賽）如圖，在中，，，以點C為圓心，CA長為半徑作弧，交直線BC于點P，連結AP，則的度數是_______．16．（2022春·湖南長沙·八年級校聯考競賽）如圖，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90o，AB=AC，AD=AE，點C，D，E三點在同一條直線上，連接BD，BE．以下四個結論：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE=AC+AD，其中結論正確的是___________（填序號）17．（2018春·四川自貢·八年級競賽）如上圖，已知,則的度數是________.18．（2022秋·四川綿陽·八年級東辰國際學校校考競賽）如圖，，BF，DF分別平分和，，與互補，則的度數為______．三、解答題19．（2018春·四川自貢·八年級競賽）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊且BE＝CF，AD+EC＝AB．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）當∠A＝40°時，求∠DEF的度數．20．（2017·全國·八年級競賽）如圖，中，D為BC的中點，DE平分，DF平分，，，P為AD與EF的交點，證明：．21．（2022秋·四川綿陽·八年級東辰國際學校校考競賽）如圖1，，點E，F分別在直線上，，過點A作的延長線交于點G，交于點N，平分，交于點H，交于點M．(1)直接寫出之間的關系：．(2)若，求．(3)如圖2，在（2）的條件下，將繞著點E以每秒5°的速度逆時針旋轉，旋轉時間為t，當邊與射線重合時停止，則在旋轉過程中，當的其中一邊與的某一邊平行時，直接寫出此時t的值．22．（2022秋·四川綿陽·八年級東辰國際學校校考競賽）如圖1，在五邊形ABCDE中，，．(1)猜想AB與CD之間的位置關系，并說明理由；(2)如圖2，延長DE至F，連接BE，若，，，求∠C的度數．參考答案：1．B【分析】根據AB∥CD，可得∠C＝∠ABC＝30°，再由等腰三角形的性質，即可求解．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABC＝30°，又∵CD＝CE，∴∠D＝∠CED，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，∴∠D＝75°．故選：B【點睛】本題主要考查了平行線的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形中，等邊對等角是解題的關鍵．2．C【分析】先根據等邊三角形的性質可得，再根據平行線的性質可得，然后根據角的和差即可得．【詳解】解：為等邊三角形，，，，，，，解得，故選：C．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、平行線的性質等知識點，熟練掌握等邊三角形的性質是解題關鍵．3．C【詳解】試題分析：已知三角形的周長，分別假設三角形的最長邊，從而利用三角形三邊關系進行驗證即可求得不同的截法．解：∵長棒的長度為15cm，即三角形的周長為15cm∴①當三角形的最長邊為7時，有4種截法，分別是：7，7，1；7，6，2；7，5，3；7，4，4；②當三角形的最長邊為6時，有2種截法，分別是：6，6，3；6，5，4；③當三角形的最長邊為5時，有1種截法，是：5，5，5；④當三角形的最長邊為4時，有1種截法，是4，3，8，因為4+3＜8，所以此截法不可行；∴不同的截法有：4+2+1=7種．故選C．考點：三角形三邊關系．4．D【分析】根據高的定義即可求解．【詳解】解：根據銳角三角形和鈍角三角形的高線的畫法，可得D選項中，BE是△ABC中AC邊長的高，故選：D．【點晴】此題主要考查高的作法，解題的關鍵是熟知高的定義．5．B【詳解】試題解析：過C作AP的垂線CD，垂足為點D．連接BD；∵△PCD中，∠APC=60°，∴∠DCP=30°，PC=2PD，∵PC=2PB，∴BP=PD，∴△BPD是等腰三角形，∠BDP=∠DBP=30°，∵∠ABP=45°，∴∠ABD=15°，∵∠BAP=∠APC-∠ABC=60°-45°=15°，∴∠ABD=∠BAD=15°，∴BD=AD，∵∠DBP=45°-15°=30°，∠DCP=30°，∴BD=DC，∴△BDC是等腰三角形，∵BD=AD，∴AD=DC，∵∠CDA=90°，∴∠ACD=45°，∴∠ACB=∠DCP+∠ACD=75°，故選B.6．D【分析】根據垂線段最短，找到點P的位置，利用面積法求出取值，再比較點P與點A重合，與點B重合時的情況，得到最大值，即可得解．【詳解】解：當點時，最短，此時，，當點P與點A重合時，，當點P與點B重合時，，∴最大值為4，∴的取值范圍是，故選D．【點睛】本題考查了垂線段最短，面積法，解題的關鍵是找到取最值的情況．7．B【分析】分兩種情況討論，即當G在F左側時，當G在F的右側時，根據平行線的性質和角平分線的定義分別求出2α=β或2α+β=180°，則可作出判斷.【詳解】解：如圖，當G在F左側時，∵∠MEH=∠MEF-∠HEF=∠AEF-∠GEF=α，∠EGF=∠GEB=∠AEG=∠AEF-∠GEF=β，∴2α=β，故①正確；如圖，當G在F的右側時，∵∠MEH=∠MEF+∠HEF=∠AEF+∠GEF=α，∠EGF=∠GEB=180°-∠AEG=180°-∠AEF-∠GEF=β，∴2α+β=2(∠AEF+∠GEF)+180°-∠AEF-∠GEF=180°，故④正確；綜上所述，正確的是①④；故選：B.【點睛】本題考查平行線的性質，角平分線的定義，解題的關鍵是掌握平行線的性質．8．B【分析】由三角形的內角和可求∠ABC，根據角平分線可以求得∠ABD，由DE//AB，可得∠BDE=∠ABD即可．【詳解】解：∵∠A+∠C=100°∴∠ABC=80°，∵BD平分∠BAC，∴∠ABD=40°，∵DE∥AB，∴∠BDE=∠ABD=40°，故答案為B．【點睛】本題考查三角形的內角和定理、角平分線的意義、平行線的性質，靈活應用所學知識是解答本題的關鍵．9．140【分析】欲求，因為，所以僅需求．根據三角形外角的性質，得．因為、分別是、平分線，所以，進而可求出．【詳解】解：如圖，、分別是、平分線，，．又，，又，，，，由題意得：，，，故答案為：140．【點睛】本題主要考查三角形外角的性質以及角平分線的定義，熟練掌握三角形外角的性質以及角平分線的定義是解決本題的關鍵．10．①②④【分析】由角平分線的定義可得，再由三角形的內角和定理可求解，即可判定①；由角平分線的定義可得，結合三角形外角的性質可判定②；由三角形外角的性質可得，再利用角平分線的定義及三角形的內角和定理可判定③；利用三角形外角的性質可得，結合可判定④．【詳解】解：，的平分線交于點，，，，，，，，故①正確，平分，，，，，故②正確；，，，，平分，平分，，，，，，故③錯誤；，，，．故④正確，綜上正確的有：①②④，故答案為：①②④．【點睛】本題主要考查三角形的內角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質，熟練掌握角平分線的定義和三角形的外角性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．11．【分析】作FH垂直于FE，交AC于點H，可證得，由對應邊、對應角相等可得出，進而可求出，則．【詳解】作FH垂直于FE，交AC于點H，∵又∵，∴∵，FA=CF∴∴FH=FE∵∵∴又∵DF=DF∴∴∵∴∵∴∴故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定及其性質，作輔助線HF垂直于FE是解題的關鍵．12．45°或36°【分析】根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可得出答案．【詳解】解：①如圖1，當過頂角的頂點的直線把它分成了兩個等腰三角形，則AC=BC，AD=CD=BD，設∠A=x°，則∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，∴∠BCD=∠B=x°，∵∠A+∠ACB+∠B=180°，∴x+x+x+x=180，解得x=45，∴原等腰三角形的底角是45°；②如圖2，△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD，∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，∵∠CDA=2∠B，∴∠CAB=3∠B，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∴原等腰三角形的底角為36°；故答案為45°或36°【點睛】本題考查了等腰三角形的性質及其判定．作此題的時候，首先大致畫出符合條件的圖形，然后根據等腰三角形的性質、三角形的內角和定理及其推論找到角之間的關系，列方程求解．13．1【分析】將的面積拆成兩個三角形面積之和，即可間接求出的值．【詳解】解：連接，如下圖：于點于點，，，，故答案是：1．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，利用面積法解決兩邊之和問題，解題的關鍵是：將的面積拆成兩個三角形面積之和來解答．14．54°【分析】首先根據等腰三角形的性質得出∠A=∠AEF，再根據三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE，求出∠A的度數，最后根據三角形的內角和定理求出∠B的度數即可．【詳解】∵AF=EF，∴∠A=∠AEF，∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°，∴∠A=36°，∵∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=180°-∠A-∠C=54°．故答案為：54°．【點睛】本題考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性質，掌握相關定理和性質是解題的關鍵．15．或【分析】分①點P在BC的延長線上，②點P在CB的延長線上兩種情況，再利用等腰三角形的性質即可得出答案．【詳解】解：①當點P在BC的延長線上時，如圖∵，，∴∴∵以點C為圓心，CA長為半徑作弧，交直線BC于點P，∴AC=PC∴∵∴∴②當點P在CB的延長線上時，如圖由①得，∵AC=PC∴∴故答案為：或【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，分類討論不重不漏是解題的關鍵．16．①②③【分析】根據全等、等腰三角形以及三角形邊的性質即可得出答案.【詳解】∵∠BAC=∠DAE=90o，AB=AC，AD=AE又∠BAD=∠BAC+∠CAD∠CAE=∠EAD+∠CAD∴∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE(SAS)∴BD=CE，故選項①正確；∴∠BDA=∠CEA=45°又∠ADE=45°∴∠BDE=∠ADE+∠BDA=90°∴BD⊥CE，故選項②正確；∵△BAD≌△CAE∴∠ACE=∠ABD又∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACE+∠CBD=45°，故選項③正確；在△BAE中AB+AE>BE又AB=AC，AE=AD∴AC+AD>BE，故選項④錯誤；故答案為：①②③.【點睛】本題考查的是等腰三角形，難度適中，需要熟練掌握等腰三角形、全等以及三角形的基本性質.17．20°/20度【分析】先證明△ABD≌△ACE，再利用三角形內角和定理求解即可．【詳解】解：∵BE=CD，∴BD=CE．在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠C．∵∠BAC=80°，∴∠C=（180°﹣80°）÷2=50°，∴∠CAE=180°﹣110°﹣50°=20°．故答案為20°．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理，掌握SAS證明三角形全等是關鍵．18．/36度【分析】延長FB交CD于G,然后運用平行的性質和角平分線的定義，進行解答即可.【詳解】解：如圖延長FB交CD于G∵BF∥ED∴∠F=∠EDF又∵DF平分∠CDE，∴∠CDE=2∠F，∵BF∥ED∴∠CGF=∠EDF=2∠F，∵AB∥CD∴∠ABF=∠CGF=2∠F，∵BF平分∠ABE∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，又∵∠F與∠ABE互補∴∠F+∠ABE=180°即5∠F=180°，解得∠F=36°故答案為36°.【點睛】本題考查了平行的性質和角平分線的定義，做出輔助線是解答本題的關鍵.19．（1）見解析；（2）∠DEF＝70°．【分析】（1）求出EC=DB，∠B=∠C，根據SAS推出△BED≌△CFE，根據全等三角形的性質得出DE=EF即可；（2）根據三角形內角和定理求出∠B=∠C=70°，根據全等得出∠BDE=∠FEC，求出∠DEB+∠FEC=110°，即可得出答案；【詳解】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AB＝AD+BD，AB＝AD+EC，∴BD＝EC，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF（SAS）∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝＝70°，∴∠BDE+∠DEB＝110°，又∵△DBE≌△ECF，∴∠BDE＝∠FEC，∴∠FEC+∠DEB＝110°，∴∠DEF＝70°．【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，三角形內角和定理的應用，能靈活運用性質進行推理是解此題的關鍵．20．見解析【分析】想辦法證明四邊形DEFC是平行四邊形，再證