非導(dǎo)電介質(zhì)中的電磁波7.１非導(dǎo)電介質(zhì)中的電磁波方程回顧一般媒質(zhì)中的麥克斯韋方程組：三個(gè)媒質(zhì)方程

設(shè)我們所討論的媒質(zhì)是無界、線性、均勻和各向同性的，并且我們所關(guān)心的空間中不存在電荷和電流，即自由空間情形。及此時(shí)滿足：一般媒質(zhì)中的麥克斯韋方程組變?yōu)椋夯蚩傻门c波動(dòng)方程的一般形式比較可知在一般介質(zhì)中，電磁波的傳播速度無界、線性、均勻和各向同性的一般媒質(zhì)中的磁波方程無界、線性、均勻和各向同性的一般媒質(zhì)中的電波方程同理均勻平面電磁波分析

均勻平面波在如圖所示的均勻平面電磁波中，電磁波向著Z方向傳播，根據(jù)均勻平面波的定義可直接得出：因?yàn)槠渲卸矫骐姴ǖ姆至慷寂cx,y無關(guān)

所以因?yàn)槠渲卸矫娲挪ǖ姆至慷寂cx,y無關(guān)

所以

可得

代入麥克斯韋方程從上式兩端比較可得各式表明:與時(shí)間t無關(guān)故可取:而與時(shí)間無關(guān)的恒定分量一定是與波動(dòng)無關(guān)的部分于是假設(shè)取電場(chǎng)與x軸方向一致，即

代入麥克斯韋方程由此可得所以因?yàn)椴⑶?/p>

和均與時(shí)間無關(guān)，因此它們不是波動(dòng)的部分，故可取從而有同理可得定義7.2平面電磁波在理想介質(zhì)中的傳播平面波中的電場(chǎng)復(fù)數(shù)表示形式理解理想介質(zhì)是一種無損耗介質(zhì)，在這里指電導(dǎo)率電場(chǎng)矢量的方向是方向，電磁波則是沿z方向傳播波速為這里的k稱為傳播常數(shù)或波數(shù)這時(shí)，一維波動(dòng)方程的形式就變成對(duì)于無界、均勻、理想介質(zhì)中的電磁波，可取解的形式為

項(xiàng)表示了離開原點(diǎn)向正z方向傳播的波，反之，則表示了沿負(fù)z方向傳播的波。考慮到均勻平面波只存在和分量

式中稱為媒質(zhì)的波阻抗、或本質(zhì)阻抗（本征阻抗），在自由空間

在自由空間中傳播的平面電磁波的電場(chǎng)為試求磁場(chǎng)強(qiáng)度

解：因?yàn)轭}中所給電場(chǎng)是沿+Z方向傳播的，電磁波能流密度矢量也是沿+Z方向的，因此磁場(chǎng)應(yīng)取方向。而

A/m例題故對(duì)比可知：相位常數(shù)（傳播系數(shù)）

傳播方向?yàn)?Z方向，電場(chǎng)方向?yàn)閤方向。由波數(shù)公式所以波長

解：平面電磁波的一般表達(dá)式為

已知在自由空間傳播的平面電磁波的電場(chǎng)為

試求此波的波長、頻率、相速度、磁場(chǎng)強(qiáng)度以及平均能流密度矢量例題

在自由空間，相速頻率因?yàn)樗詾榍笃骄掠⊥⑹噶浚毾葘?chǎng)量寫成復(fù)數(shù)形式：

解：（1）波沿+Z軸方向傳播;（rad/m）試求（1）及傳播方向；（2）E

的表達(dá)式；（3）S

的表達(dá)式；巳知自由空間中例題V/m（3）

（2）定義7.3平面電磁波在非理想介質(zhì)中的傳播實(shí)際的介質(zhì)都是有損耗的，因此，研究波在非理想介質(zhì)中的傳播具有實(shí)際意義。非理想介質(zhì)是有損耗介質(zhì)也稱為耗散介質(zhì)，在這里是指電導(dǎo)率,但仍然保持均勻、線性及各向同性等特性。非理想介質(zhì)是有損耗介質(zhì)，有損耗介質(zhì)中出現(xiàn)的傳導(dǎo)電流會(huì)使在其中傳播的電磁波發(fā)生能量損耗，從而導(dǎo)致波的幅值隨著傳播距離的增大而下降。研究表明，傳播過程中幅值下降的同時(shí)，波的相位也會(huì)發(fā)生變化，致使整個(gè)傳輸波的形狀發(fā)生畸變，如圖所示平面波在有耗介質(zhì)中的傳播電磁波的傳播

電波磁波λ(波長)前進(jìn)方向觀看波形圖1.等效復(fù)介電系數(shù)

對(duì)于隨時(shí)間按照正弦規(guī)規(guī)律變化的電磁場(chǎng)，其復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程中有可改寫為式中稱為復(fù)介電系數(shù)，即復(fù)介電系數(shù)虛部與實(shí)部之比為,它代表了傳導(dǎo)電流和位移電流密度的比值。該比值是一個(gè)相角，工程上稱之為損耗正切，表示為式中稱為損耗角有耗介質(zhì)的本征阻抗是一個(gè)復(fù)數(shù)，其結(jié)果使均勻平面波中電場(chǎng)強(qiáng)度矢量與磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量之間存在相位差。總結(jié)除了用復(fù)介電系數(shù)代替無耗介質(zhì)中的以外，有耗介質(zhì)中的復(fù)數(shù)麥克斯韋方程在形式上與無耗介質(zhì)中的麥克斯韋方程完全相同。所以可直接寫出有耗媒質(zhì)中的本征阻抗為式中稱為相對(duì)復(fù)介電系數(shù)2.波動(dòng)方程及其解有耗媒質(zhì)中均勻平面波的一維波動(dòng)方程為傳播系數(shù)稱為復(fù)波數(shù)。我們引入另外一個(gè)變量，令也可稱之為傳播系數(shù)令于是上面的一維波動(dòng)方程的解可寫為（其中為實(shí)數(shù)）可以發(fā)現(xiàn)，的存在會(huì)引起場(chǎng)量和呈指數(shù)型衰減，因此，我們將稱為衰減常數(shù)(attenuationconstant)，單位為奈貝/米（Np/m）；而的存在則會(huì)引起場(chǎng)量和的相位發(fā)生變化，因此，我們將稱為相位常數(shù)，單位為弧度/米（rad/m）由于有耗媒質(zhì)中均勻平面波的相速，即v與頻率有關(guān)于是同一媒質(zhì)中，不同頻率的波將以不同的速度傳播，該現(xiàn)象稱為波的色散，相應(yīng)媒質(zhì)被稱為色散媒質(zhì)。

從上面的式子，你會(huì)注意到式中出現(xiàn)了前面定義過的損耗正切。損耗正切的取值不同將會(huì)影響到介質(zhì)的性質(zhì)發(fā)生變化，通常，我們有如下一些對(duì)應(yīng)的分類：1、理想介質(zhì)：這時(shí)2、良介質(zhì)：（一般取）這時(shí)3、理想導(dǎo)體：，這時(shí)說明電磁波在理想介質(zhì)中立刻衰減到零，說明波長為零，相速為零。這些特點(diǎn)表示電磁波不能進(jìn)入理想導(dǎo)體內(nèi)部。4、良導(dǎo)體：（一般取）這時(shí)5、半導(dǎo)體：可與相比擬，的表示為一般形式。7.4低密度氣體中的電磁波假設(shè)

是一個(gè)關(guān)于空間和時(shí)間無關(guān)的函數(shù)，故而可交換微分次序我們?nèi)匀患僭O(shè)場(chǎng)中不存在自由電荷和自由電流，于是由第三章可知，非導(dǎo)電介質(zhì)中的麥克斯韋方程可以寫成：將上式中的散度用來表示，可以得到這個(gè)方程看上去很有可能變?yōu)槿缦滦问降娜S波動(dòng)方程，即顯然這要取決于和之間所存在的是何種關(guān)系考慮單色平面極化波介質(zhì)的折射率極化矢量象一樣僅有x方向上的分量,并且該分量也象一樣僅與z和t有關(guān)。所以有這表明，在介質(zhì)內(nèi)部電荷的位移是沿著所施加的電場(chǎng)方向的，所以極化矢量也就在方向上，并且隨著角頻率ω變化，于是有代入波動(dòng)方程類似地可得并且對(duì)于其間分子呈均勻分布的介質(zhì)（如本節(jié)的低密度氣體）來說，極化矢量與電場(chǎng)矢量的關(guān)系為若僅含x方向的分量，故有這就是平面電磁波在上述模型所表示的一般介質(zhì)（如低密度氣體）中傳播時(shí)所必須滿足的條件，它建立了折射率n與分子模型參數(shù)的聯(lián)系。對(duì)于低密度氣體，n的值會(huì)接近于1，即有其中如果我們所關(guān)心的只是電磁波穿過大量的介質(zhì)(分子級(jí))時(shí)所發(fā)生的情況（通常都是如此），我們就可以假設(shè)介質(zhì)的任何影響都只是對(duì)分子結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的平均影響。因此,在計(jì)算介質(zhì)極化問題時(shí)也就可以使用介質(zhì)中的平均值。于是從

可得

7.5高密度氣體中的電磁波前面得出的關(guān)于折射率的表達(dá)式只適用于低密度氣體，這是因?yàn)楦呙芏冉橘|(zhì)中的分子內(nèi)，電荷分離所產(chǎn)生的場(chǎng)的作用使得電極化場(chǎng)更為復(fù)雜。就單個(gè)分子而言,它們?cè)谌魏螘r(shí)刻都與其相鄰分子所受到的場(chǎng)的作用基本相同。高密度介質(zhì)中的電磁波

利用洛侖茲方程所給出的局部場(chǎng)式中正是由于局部場(chǎng)才使介質(zhì)中產(chǎn)生極化，于是有即克勞休斯-莫索提方程（Clausius-Mosottiequation）

介質(zhì)的極化與場(chǎng)之間雖仍然是線性關(guān)系，但是比例系數(shù)卻已經(jīng)變了。在平面波中有因?yàn)橛孟鄬?duì)介電系數(shù)可將克勞休斯-莫索提方程寫成另外一種形式所以7.6復(fù)數(shù)折射率的相關(guān)結(jié)論上面得出了兩個(gè)等式它們都描述了分子極化率與折射率之間的關(guān)系，具體使用哪個(gè)等式則將取決于介質(zhì)的密度。由于因此，折射率中就可能因?yàn)楹凶枘犴?xiàng)而成為復(fù)數(shù)。已知，單色（monochromatic）、線性(linear)極化(polarization)平面電磁波的電場(chǎng)為3.波的頻率等于分子的諧振頻率時(shí)，分子極化率就變成了純虛數(shù)。在這種情況下，波的能量被介質(zhì)耗散的程度最大。實(shí)際介質(zhì)中存在著幾個(gè)這樣的諧振頻率點(diǎn),在這些點(diǎn)上波的輻射達(dá)到最小。由上式可得結(jié)論復(fù)數(shù)折射率的實(shí)部決定了波的速度，而且很容易得出折射率實(shí)部的定義為兩個(gè)速度之比，即2.當(dāng)波在介質(zhì)中傳播時(shí)，復(fù)數(shù)折射率的虛部使波的幅值按指數(shù)規(guī)律衰減，虛部值越大，波的衰減就越快。顯然,這是由分子模型中衰減因子所決定的。低密度氣體中波的傳播速度問題7.7相速與能流速度在低密度氣體中，折射率ｎ的近似表示式為實(shí)部虛部假如當(dāng)頻率時(shí)發(fā)生諧振，上述兩式都可以化為最簡形式我們知道,折射率的實(shí)部被定義為自由空間中的電磁波速ｃ（光速）與介質(zhì)中的波速ｖ之比，即從前面的式子可知，雖然在任何頻率下均為正值，但當(dāng)頻率大于諧振頻率時(shí),為負(fù)，這時(shí)折射率的實(shí)部如果,則意味著電磁波速v將超過光速c，這不就與愛因斯坦的狹義相對(duì)論發(fā)生矛盾了嗎？

我們將速度v稱為相速，即正弦波的最大速度。一般情況下，速度v是恒定相位面在波中向前推進(jìn)的速度，所以我們也可以根據(jù)電場(chǎng)極小值通過空間一固定點(diǎn)的速度來定義這個(gè)速度。具體來看，如果平面波中的電場(chǎng)表示為相速則當(dāng)經(jīng)過時(shí)間后，各點(diǎn)電場(chǎng)發(fā)生的相位變化為，因此電場(chǎng)沿z軸的分布也發(fā)生了變化，所以，在波的傳播過程中，每一等相位面沿z軸向前移動(dòng)的距離均為，等相位面移動(dòng)的速度就是相速。能流速度

自由空間中的能流速度和相速均為c，但是介質(zhì)中的復(fù)數(shù)折射率告訴我們，這兩種速度在介質(zhì)中不再相等了，換言之，我們不可能以大于光速的相速v發(fā)射信號(hào)(能量)，即，超越物理速度的極限c是不可能的。注能流速度為坡印廷矢量的時(shí)間平均值除以能量密度的時(shí)間平均值在自由空間，，，此時(shí)。所以，上式中當(dāng)折射率接近真空中的折射率值時(shí)，能流速度接近于光速C。7.8色散媒質(zhì)：1.有色散媒質(zhì)；2.無色散媒質(zhì)。有色散媒質(zhì)（1）正常色散媒質(zhì)；（2）非正常色散媒質(zhì)。在正常色散媒質(zhì)中，波長大的波，相速較大，即du/dλ>0

在非正常色散媒質(zhì)中，波長小的波，相速較大，即du/dλ<0；

在無色散媒質(zhì)中，不同波長的波相速相等，即du/dλ=0。定義不同頻率的波將以不同的速率在介質(zhì)中傳播的現(xiàn)象稱為色散波的相速與介質(zhì)折射率有關(guān),而介質(zhì)折射率又與頻率有關(guān)，所以波的相速將隨頻率而變，顯然波的色散是由媒質(zhì)特性所決定的。非正常色散區(qū)3.在非正常色散區(qū)折射率的虛部存在著極大值，因而波的能量損失嚴(yán)重。2.如果用一個(gè)三棱鏡將一束陽光進(jìn)行分譜,那么在非正常色散區(qū)各種頻譜的排列順序就會(huì)被顛倒。1.由于折射率隨著頻率的“規(guī)則”變化而與之相反變化,是負(fù)的，因而在諧振頻率附近的頻域就是“非正常色散區(qū)”。

7.8相速與群速是指其折射率的虛部為非零值的媒質(zhì),這時(shí)波在傳播的過程中會(huì)逐漸衰減。群速設(shè)兩個(gè)略有差別的波一個(gè)角頻率為ω的正弦波被另一個(gè)正弦波調(diào)制的情形色散介質(zhì)指波的傳播速度即相速取決于介質(zhì)折射率的實(shí)部,因而隨頻率而變，不同頻率的波將以不同的速率在其中傳播。耗散介質(zhì)兩個(gè)波迭加并經(jīng)整理得一個(gè)角頻率為ω的正弦波被另一個(gè)正弦波調(diào)制的情形定義群速圖中，波包絡(luò)的傳播速度為基波的相速仍為群速定義為

群速的定義是基于無損耗介質(zhì)得出的。對(duì)于有損耗介質(zhì)，群速的概念僅適用于非常窄的頻帶，這是因?yàn)椴煌l率分量的衰減不同，將使波包產(chǎn)生畸變失真的現(xiàn)象。一般情況下，相速與群速不相等，它是由于波包通過有色散的媒質(zhì)，不同單色波分量以不同相速向前傳播引起的。

注意已知相速為由于所以顯然，存在以下三種可能的情況：

，即相速與頻率無關(guān)，這時(shí)群速等于相速，即，這表明不同波長的波相速相等，對(duì)應(yīng)于這種波所傳播的媒質(zhì)應(yīng)為無色散媒質(zhì)。2.，即頻率越高相速越小，這時(shí)群速小于相速，即。這表明波長大的波，相速較大，對(duì)應(yīng)于這種波所傳播的媒質(zhì)應(yīng)為正常色散媒質(zhì)。3.，即頻