試題PAGE1試題2023-2024學年江蘇省南京市聯(lián)合體八年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1．（2分）下面是各屆亞運會的會標，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，103．（2分）如圖，用紙板擋住了三角形的一部分，小明根據(jù)所學知識很快就畫出了一個與原來完全一樣的三角形，他的依據(jù)是（）A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS4．（2分）如圖，△ABC≌△ADE，若∠B＝30°，∠E＝100°，∠CAE＝40，則∠CAD的度數(shù)為（）A．40° B．20° C．15° D．10°5．（2分）在△ABC中，其兩個內(nèi)角如下，則能判定△ABC為等腰三角形的是（）A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝40°，∠B＝60° C．∠A＝40°，∠B＝70° D．∠A＝40°，∠B＝80°6．（2分）如圖，在高為5m，坡面長為13m的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要（）A．17m B．18m C．25m D．26m7．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB的中點，E，F(xiàn)分別在邊AC，BC上，且AE＝CF．下列結(jié)論：①DE＝DF；②DE⊥DF；③S四邊形ECFD=12S△A．①② B．①③ C．②③ D．①②③8．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°．若某個三角形與△ABC能拼成一個等腰三角形（無重疊），則拼成的等腰三角形有（）A．4種 B．5種 C．6種 D．7種二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）9．（2分）角的對稱軸是．10．（2分）等腰三角形的頂角是80°，則它的底角的度數(shù)為度．11．（2分）如圖，已知AB＝AC，用“SAS”定理證明△ABD≌△ACE，還需添加條件．12．（2分）已知等腰三角形的周長是10，一邊長是4，則等腰三角形的腰長是．13．（2分）等腰三角形的腰長為5，底邊長為6，則它底邊上的高為．14．（2分）如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AC＝CD，若AB＝3，BC＝1，則△ACD的面積是．15．（2分）如圖，在△AOC中，以O為圓心，OA為半徑畫弧，分別交AC，OC于點D，B．若CD＝OA，∠O＝72°，則∠OAC＝°．16．（2分）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，△ABC的面積為70，AB＝16，BC＝12，則DE的長為．17．（2分）如圖，△ABC的邊BC，AC的垂直平分線l1，l2相交于點O．若∠A＝110°，則∠BOC＝°．18．（2分）在△ABC中，∠A＝30°，AB＝2．若對于BC的每一個值，對應的△ABC的形狀、大小都唯一確定，則BC長的取值范圍是．三、解答題（本大題共8小題，共64分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（7分）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B在小正方形的頂點上．（1）在圖中畫出與線段AB關于直線l成軸對稱的線段A′B′；（2）在直線l上確定一點P，使PA+PB最短．20．（7分）如圖，AC＝AE，∠1＝∠2，AB＝AD．求證：BC＝DE．21．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AE是中線，BF是角平分線，∠C＝70°．求∠BAE和∠1的度數(shù)．22．（8分）證明：有兩個角相等的三角形是等腰三角形．已知：如圖，在△ABC中，；求證：；證明：23．（8分）如圖，在△ABC中，AD是高，CE是中線，且DC＝BE，G是CE的中點．（1）求證DG⊥CE；（2）若AB＝AC，DG＝2，則AB的長為．24．（8分）如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分別為B，C，DE交BC于點E，AB＝EC，AC＝DE．（1）求證AC⊥DE；（2）連接AD，若AB＝a，BC＝b，AC＝c，通過用不同方法計算四邊形ABCD的面積，驗證勾股定理．25．（8分）如圖，已知線段a和∠MAN．在邊AM上作點B，在邊AN上作點C，分別滿足下列條件：（1）在圖①中，AB＝a，AC＝BC；（2）在圖②中，BC＝a，AB＝AC．（要求：用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）．26．（10分）【概念認識】定義：如果一個點能與另外兩個點構(gòu)成直角三角形，則稱這個點為另外兩個點的勾股點．當這個點是直角的頂點時，這個點又稱為強勾股點．如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，A是B，C兩點的勾股點，B是A，C兩點的勾股點，C是A，B兩點的勾股點，也是強勾股點．【概念運用】（1）如圖②，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，A，B兩點均在格點上，線段CD上的8個格點中，是A，B兩點的勾股點的有個．（2）如圖③，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，若AD＝1，BD＝4，CD＝2．求證：C是A，B兩點的強勾股點．【拓展提升】（3）如圖④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，D是AC的中點，P是射線BD上一個動點，當P是Rt△ABC任意兩個頂點的強勾股點時，直接寫出BP的長．

2023-2024學年江蘇省南京市聯(lián)合體八年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1．（2分）下面是各屆亞運會的會標，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：A，B，D選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；C選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：C．【點評】本題考查了軸對稱圖形的識別．解題的關鍵在于熟練掌握：在平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對稱圖形．2．（2分）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，10【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義對各選項進行逐一分析即可．【解答】解：A、∵12+22≠32，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；B、∵22+32≠42，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；C、∵42+52≠62，∴不是勾股數(shù)，不符合題意D、∵62+82＝102，∴是勾股數(shù)，符合題意．故選：D．【點評】本題考查的是勾股數(shù)，熟知滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)是解題的關鍵．3．（2分）如圖，用紙板擋住了三角形的一部分，小明根據(jù)所學知識很快就畫出了一個與原來完全一樣的三角形，他的依據(jù)是（）A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理ASA得出即可．【解答】解：如圖，只要量出AB的長和∠A和∠B的度數(shù)，再畫出一個三角形DEF，使EF＝AB，∠E＝∠A，∠F＝∠B即可，故選：A．【點評】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL．4．（2分）如圖，△ABC≌△ADE，若∠B＝30°，∠E＝100°，∠CAE＝40，則∠CAD的度數(shù)為（）A．40° B．20° C．15° D．10°【分析】直接利用全等三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠D，∠C＝∠E，進而結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出∠BAC的度數(shù)，進而得出答案．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D，∠C＝∠E，∠BAC＝∠DAE，∵∠B＝30°，∠E＝100°，∴∠C＝100°，∴∠BAC＝∠DAE＝50°，∴∠CAD＝∠DAE﹣∠CAE＝10°，故選：D．【點評】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，正確得出∠BAC的度數(shù)是解題關鍵．5．（2分）在△ABC中，其兩個內(nèi)角如下，則能判定△ABC為等腰三角形的是（）A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝40°，∠B＝60° C．∠A＝40°，∠B＝70° D．∠A＝40°，∠B＝80°【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，利用三角形內(nèi)角和定理對4個選項逐一進行分析即可得到答案．【解答】解；當頂角為∠A＝40°時，∠C＝70°≠50°，當頂角為∠B＝50°時，∠C＝65°≠40°所以A選項錯誤．當頂角為∠B＝60°時，∠A＝60°≠40°，當∠A＝40°時，∠B＝70°≠60°，所以B選項錯誤．當頂角為∠A＝40°時，∠C＝70°＝∠B，所以C選項正確．當頂角為∠A＝40°時，∠B＝70°≠80°，當頂角為∠B＝80°時，∠A＝50°≠40°所以D選項錯誤．故選：C．【點評】此題主要考查學生對等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的理解和掌握，解答此題的關鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和定理．6．（2分）如圖，在高為5m，坡面長為13m的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要（）A．17m B．18m C．25m D．26m【分析】當?shù)靥轰仢M樓梯時其長度的和應該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，根據(jù)勾股定理求得水平寬度，然后求得地毯的長度即可．【解答】解：由勾股定理得：樓梯的水平寬度=1∵地毯鋪滿樓梯是其長度的和應該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，地毯的長度至少是12+5＝17（米）．故選：A．【點評】本題考查了勾股定理的知識，與實際生活相聯(lián)系，加深了學生學習數(shù)學的積極性．7．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB的中點，E，F(xiàn)分別在邊AC，BC上，且AE＝CF．下列結(jié)論：①DE＝DF；②DE⊥DF；③S四邊形ECFD=12S△A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】連接CD，由等腰直角三角形的性質(zhì)得∠A＝∠B＝45°，由D是AB的中點，得CD＝AD＝BD=12AB，CD⊥AB，∠FCD＝∠ACD=12∠BAC＝45°，則∠A＝∠FCD，∠ADC＝90°，可證明△ADE≌△CDF，得DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，可判斷①正確；所以∠EDF＝∠CDE+∠CDF＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°，則DE⊥DF，可判斷②正確；由S△ADE＝S△CDF，可推導出S四邊形ECFD＝S△ADC=12【解答】解：連接CD，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∵D是AB的中點，∴CD＝AD＝BD=12AB，CD⊥AB，∠FCD＝∠ACD=1∴∠A＝∠FCD，∠ADC＝90°，在△ADE和△CDF中，AD=CD∠A=∠FCD∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，故①正確；∴∠EDF＝∠CDE+∠CDF＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°，∴DE⊥DF，故②正確；∵S△ADE＝S△CDF，∴S四邊形ECFD＝S△CDE+S△CDF＝S△CDE+S△ADE＝S△ADC=12S△故③正確，故選：D．【點評】此題重點考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明△ADE≌△CDF是解題的關鍵．8．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°．若某個三角形與△ABC能拼成一個等腰三角形（無重疊），則拼成的等腰三角形有（）A．4種 B．5種 C．6種 D．7種【分析】（1）取一個△EFD和△ABC全等，其中EF＝AC，F(xiàn)D＝BC，AB＝ED，∠C＝∠F＝90°，①將EF與AC拼接在一起即可；②將DF于BC拼接在一起即可；（2）取一個△EFD，使AC＝EF，∠F＝90°，∠D＝55°，∠FED＝35°，將EF于AC拼接在一起即可；（3）取一個△EFD，使EF＝BC，∠F＝90°，∠D＝80°，∠FED＝10°，將EF與BC拼接在一起即可；（4）取一個△EFD，使EF＝AC，∠F＝90°，∠D＝40°，∠FED＝50°，將EF與AC拼接在一起即可；（5）取一個△EFD，使EF＝AB，∠EFD＝110°，∠D＝45°，∠FED＝25°，將EF與AB拼接在一起即可；（6）取一個△EFD，是EF＝BC，∠D＝20°，∠FED＝110°，∠EFD＝50°，將EF與AB拼接在一起即可；綜上所述即可得出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°，則∠ABC＝70°，（1）取一個△EFD和△ABC全等，其中EF＝AC，F(xiàn)D＝BC，AB＝ED，∠C＝∠F＝90°，此時有兩種拼圖方法：①將EF與AC拼接在一起，如圖1所示：∵AB＝ED，∠C＝∠F＝90°，∴點B，C（F），D在一條直線上，∴△ABD為等腰三角形，且∠B＝∠D＝70°，∠BAD＝40°；②將DF于BC拼接在一起，如圖2所示：∵AB＝BD，∠C＝∠F＝90°，∴點A，C（F），D在一條直線上，∴△ABD為等腰三角形；（2）取一個△EFD，使AC＝EF，∠F＝90°，∠D＝55°，∠FED＝35°，將EF于AC拼接在一起，如圖3所示：∵∠C＝∠F＝90°，∴點B，C（F），D在一條直線上，此時∠BAD＝∠BAC+∠FED＝20°+35°＝55°，∴∠BAD＝∠D＝55°，∴△ABD為等腰三角形；（3）取一個△EFD，使EF＝BC，∠F＝90°，∠D＝80°，∠FED＝10°，將EF與BC拼接在一起，如圖4所示：∵∠C＝∠F＝90°，∴點A，C（F），D在一條直線上，此時∠ABD＝∠ABC+∠FED＝70°+10°＝80°，∴∠ABD＝∠D，∴△ABD為等腰三角形；（4）取一個△EFD，使EF＝AC，∠F＝90°，∠D＝40°，∠FED＝50°，將EF與AC拼接在一起，如圖5所示：∵∠C＝∠F＝90°，∴點B，C（F），D在一條直線上，此時∠BAD＝∠BAC+∠FED＝20°+50°＝70°，∴∠BAD＝∠ABC，∴△ABD為等腰三角形；（5）取一個△EFD，使EF＝AB，∠EFD＝110°，∠D＝45°，∠FED＝25°，將EF與AB拼接在一起，如圖6所示：∵∠EFD＝110°，∠ABC＝70°，∴∠EFD+∠ABC＝180°，∴點C，B（F），D在一條直線上，此時∠CAD＝∠BAC+∠FED＝20°+25°＝45°，∴∠CAD＝∠D，∴△ABD為等腰三角形；（6）取一個△EFD，是EF＝BC，∠D＝20°，∠FED＝110°，∠EFD＝50°，將將EF與AB拼接在一起，如圖7所示：∵∠FED＝110°，∠ABC＝70°，∴∠FED+∠ABC＝180°，∴點A，B（E），D在一條直線上，此時∠D＝∠A＝20°，∴△ABD為等腰三角形；綜上所述：拼成的等腰三角形有7種．故選：D．【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，在拼接的過程中根據(jù)平角定義進行構(gòu)圖是解決問題的關鍵，此題種類繁多，漏解是易錯點．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）9．（2分）角的對稱軸是角平分線所在的直線．【分析】由軸對稱的定義，即可得到答案．【解答】解：角的對稱軸是角平分線所在的直線．故答案為：角平分線所在的直線．【點評】本題考查軸對稱的性質(zhì)，關鍵是掌握軸對稱的定義．10．（2分）等腰三角形的頂角是80°，則它的底角的度數(shù)為50度．【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等即可得解．【解答】解：∵等腰三角形的頂角為80°，∴它的底角度數(shù)為12故答案為：50．【點評】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，是基礎題．11．（2分）如圖，已知AB＝AC，用“SAS”定理證明△ABD≌△ACE，還需添加條件AD＝AE．【分析】根據(jù)SAS定理解答．【解答】解：需添加條件是AD＝AE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），故答案為：AD＝AE．【點評】本題考查的是全等三角形的判定，掌握兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等是解題的關鍵．12．（2分）已知等腰三角形的周長是10，一邊長是4，則等腰三角形的腰長是3或4．【分析】根據(jù)已知的等腰三角形的周長和一邊的長，先分清三角形的底和腰，再計算腰長．【解答】解：當4為腰，底邊的長為10﹣4﹣4＝2時，2+4＞4，能構(gòu)成等腰三角形，所以腰長可以是4；當4為底，腰的長為（10﹣4）÷2＝3時，3+3＞4，能構(gòu)成等腰三角形，所以腰長可以是3．綜上所述：等腰三角形的腰長是3或4，故答案為：3或4．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．13．（2分）等腰三角形的腰長為5，底邊長為6，則它底邊上的高為4．【分析】根據(jù)等腰三角形底邊高線和中線重合的性質(zhì)，則BD＝DC＝3，可以根據(jù)勾股定理計算底邊的高AD=A【解答】解：如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD⊥BC，則AD為BC邊上的中線，即D為BC中點，∴BD＝DC＝3，在直角△ABD中AD=A故答案為：4．【點評】本題考查了勾股定理在直角三角形中的正確運用，考查了等腰三角形底邊高線、中線重合的性質(zhì)，本題中根據(jù)勾股定理正確計算AD是解題的關鍵．14．（2分）如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AC＝CD，若AB＝3，BC＝1，則△ACD的面積是5．【分析】根據(jù)勾股定理可求AC，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【解答】解：在△ABC中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝1，∴AC=A∵AC＝CD，∴CD=10∵AC⊥CD，∴S△ACD=12CD?AC故答案為：5．【點評】本題考查了勾股定理以及三角形的面積，根據(jù)勾股定理求出AC的長是本題解題的關鍵．15．（2分）如圖，在△AOC中，以O為圓心，OA為半徑畫弧，分別交AC，OC于點D，B．若CD＝OA，∠O＝72°，則∠OAC＝72°．【分析】連接OD，設∠C＝x，根據(jù)題意可得：OA＝OD，從而可得∠OAD＝∠ODA，然后利用等量代換可得CD＝OD，從而可得∠C＝∠DOC＝x，再利用三角形的外角性質(zhì)可得∠OAD＝∠ODA＝2x，最后利用三角形內(nèi)角和定理進行計算即可解答．【解答】解：連接OD，設∠C＝x，由題意得：OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵CD＝OA，∴CD＝OD，∴∠C＝∠DOC＝x，∵∠ADO是△DOC的一個外角，∴∠ODA＝∠C+∠DOC＝2x，∴∠OAD＝∠ODA＝2x，∵∠AOC+∠OAC+∠C＝180°，∴72°+2x+x＝180°，解得：x＝36°，∴∠OAC＝2x＝72°，故答案為：72．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．16．（2分）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，△ABC的面積為70，AB＝16，BC＝12，則DE的長為5．【分析】作DF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DF＝DE，根據(jù)三角形面積公式計算即可．【解答】解：作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE，∴12×AB×DE+12∴DF＝DE＝5．故答案為：5．【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．17．（2分）如圖，△ABC的邊BC，AC的垂直平分線l1，l2相交于點O．若∠A＝110°，則∠BOC＝140°．【分析】連接OA，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OA＝OC，OA＝OB，得到∠OCA＝∠OAC，∠OAB＝∠OBA，根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°計算即可．【解答】解：如圖，連接OA，∵BC，AC的垂直平分線l1，l2相交于點O，∴OA＝OC，OA＝OB，∴∠OCA＝∠OAC，∠OAB＝∠OBA，∴∠OCA+∠OBA＝∠OAC+∠OAB＝110°，∴∠BOC＝360°﹣110°﹣110°＝140°，故答案為：140．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．18．（2分）在△ABC中，∠A＝30°，AB＝2．若對于BC的每一個值，對應的△ABC的形狀、大小都唯一確定，則BC長的取值范圍是BC＝1或BC≥2．【分析】由全等三角形的判定，即可解決問題．【解答】解：當BC⊥AC時，由“HL”判定△ABC的形狀、大小都唯一確定，∵∠A＝30°，∴BC=12AB以B為圓心，大于或等于AB的長為半徑畫弧，與射線BC只有一個交點（A除外），此時△ABC的形狀、大小都唯一確定，∴BC≥2，∴BC長的取值范圍是BC＝1或BC≥2．故答案為：BC＝1或BC≥2．【點評】本題考查全等三角形的判定，關鍵是掌握全等三角形得到判定方法．三、解答題（本大題共8小題，共64分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（7分）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B在小正方形的頂點上．（1）在圖中畫出與線段AB關于直線l成軸對稱的線段A′B′；（2）在直線l上確定一點P，使PA+PB最短．【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可．（2）連接A'B，交直線l于點P，連接AP，此時PA+PB最短．【解答】解：（1）如圖，線段A′B′即為所求．（2）如圖，連接A'B，交直線l于點P，連接AP，此時PA+PB最短，則點P即為所求．【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換、軸對稱﹣最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解答本題的關鍵．20．（7分）如圖，AC＝AE，∠1＝∠2，AB＝AD．求證：BC＝DE．【分析】先證出∠CAB＝∠DAE，再由SAS證明△BAC≌△DAE，得出對應邊相等即可．【解答】證明：∵∠1＝∠2，∴∠CAB＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，AC=AE∠CAB=∠DAE∴△BAC≌△DAE（SAS），∴BC＝DE．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解決問題的關鍵．21．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AE是中線，BF是角平分線，∠C＝70°．求∠BAE和∠1的度數(shù)．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC＝∠C，進而解答即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝70°，∴∠ABC＝∠C＝70°，∵AB＝AC，AE是中線，∴AE⊥BC，即∠AEB＝90°，∴∠BAE＝90°﹣70°＝20°，∵∠ABC＝70°，BF是∠ABC的平分線，∴∠CBF＝35°，∵∠1是△BPE的外角，∴∠1＝90°+35°＝125°．【點評】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)等腰三角形的三線合一解答．22．（8分）證明：有兩個角相等的三角形是等腰三角形．已知：如圖，在△ABC中，∠B＝∠C；求證：△ABC為等腰三角形；證明：【分析】根據(jù)題意易得已知，求證，過點A作AD⊥BC，垂足為D．通過證明△ABD≌△ACD可得AB＝AC，進而證明結(jié)論．【解答】∠B＝∠C，AB＝AC；證明：過點A作AD⊥BC，垂足為D．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在△ABD與△ACD中，∵∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC，∴△ABC為等腰三角形．【點評】本題主要考查等腰三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，構(gòu)造全等三角形是解題的關鍵．23．（8分）如圖，在△ABC中，AD是高，CE是中線，且DC＝BE，G是CE的中點．（1）求證DG⊥CE；（2）若AB＝AC，DG＝2，則AB的長為8．【分析】（1）連接DE，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理解答即可．【解答】（1）證明：連接DE，∵CE是△ABC的中線，∴DE是△ABD的中線．∵AD是高，∴∠ADB＝90°，∵DE是△ABD的中線．∴DE=12AB＝∵DC＝BE，∴DC＝DE，∵G是CE的中點，∴DG⊥CE；（2）解：方法一、∵DC＝BD，DC＝BE，∴BD＝BE，∵∠ADB＝90°，點E是中點，∴DE＝BE，∴BE＝DE＝BD，∴△BDE是等邊三角形，∴∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∵CE是中線，∴CE⊥AB，∴∠BCE＝30°，∵DE＝BD＝BD，點G是EC的中點，∴DG⊥EC，∴DC＝2DG＝4，∴BC＝2DC＝8＝AB；方法二、∵AB＝AC，AD是高，∴AD是中線，∵G是CE的中點，∴DG是△BEC的中位線，∴BE＝2DG＝4，∵CE是中線，∴AB＝2BE＝8，故答案為：8．【點評】此題考查直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)直角三角形的斜邊中線性質(zhì)解答．24．（8分）如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分別為B，C，DE交BC于點E，AB＝EC，AC＝DE．（1）求證AC⊥DE；（2）連接AD，若AB＝a，BC＝b，AC＝c，通過用不同方法計算四邊形ABCD的面積，驗證勾股定理．【分析】（1）根據(jù)HL證明△ABC≌△ECD得出∠DEC＝∠CAB，即可推出結(jié)論；（2）連接AE、AD，由△ABC≌△ECD，得出EC＝AB＝a，DC＝BC＝b，DE＝AC＝c，BE＝b﹣a．再根據(jù)四邊形ABCD的面積的兩種表示方法得出等式整理即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠ABC＝∠ECD＝90°，在Rt△ABC和Rt△ECD中，AC=DE，AB=EC．∴△ABC≌△ECD（HL）．∴∠DEC＝∠CAB，∵∠ABC＝90°，∴∠CAB+∠BCA＝90°．∴∠DEC+∠BCA＝90°．∴∠EFB＝90°，即AC⊥DE．（2）解：如圖，連接AE、AD，∵△ABC≌△ECD，∴EC＝AB＝a，DC＝BC＝b，DE＝AC＝c，BE＝b﹣a．∴S四邊形ABCD=12（a+b）b=12ab∵AC⊥DE，∴S四邊形ACBD＝S四邊形AECD+S△ABE=12c2+12a（b﹣a）=12c2∴12ab+12b2=12c2+即a2+b2＝c2．【點評】本題考查了勾股定理的證明，正確表示出四邊形ABCD面積的兩種方法是解題的關鍵．25．（8分）如圖，已知線段a和∠MAN．在邊AM上作點B，在邊AN上作點C，分別滿足下列條件：（1）在圖①中，AB＝a，AC＝BC；（2）在圖②中，BC＝a，AB＝AC．（要求：用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）．【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)作圖；（2）根據(jù)平行四邊形的判定定