試題PAGE1試題2023-2024學年江蘇省南京市江寧區八年級（上）期中數學試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分.）1．（2分）下面四個企業的標志是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）如圖，△ABC≌△CDA，則AD的對應邊是（）A．BC B．AB C．CD D．AC3．（2分）下列長度的三條線段能組成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，124．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分線l交BC于點D．若∠DAC＝34°，則∠B的度數是（）A．34° B．30° C．28° D．26°5．（2分）如圖，圖中的兩個三角形是全等三角形，其中一些角和邊的大小如圖所示，那么x的值是（）A．30° B．36° C．65° D．79°6．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，AB＝10，S△ABD＝20，則CD的長為（）A．2 B．3 C．4 D．57．（2分）如圖，點P在∠AOB的平分線OM上（不與點O重合），PC⊥OA于點C，PC＝3，若D是OB邊上任意一點，連接PD，則下列關于線段PD的說法一定正確的是（）A．PD＝3 B．PD＜3 C．PD＞3 D．PD≥38．（2分）如圖所示，∠AOB＝60°，點P是∠AOB內一定點，并且OP＝4，點M、N分別是射線OA，OB上異于點O的動點，當△PMN的周長取最小值時，點O到線段MN的距離為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.）9．（2分）已知△ABC≌△DEF，其中AB＝3，則DE＝．10．（2分）一個等腰三角形的邊長分別是4cm和7cm，則它的周長是．11．（2分）如圖，兩個三角形的邊和角的大小如圖所示，則直接判斷這兩個三角形全等的依據是．12．（2分）在等腰△ABC中，有一個內角為80°，則頂角為°．13．（2分）如圖，在△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，則S△ABC＝．14．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點D，連接CD，則∠ACD的度數是．15．（2分）如圖，△ABC為等邊三角形，△ADC為等腰直角三角形，且∠ADC＝90°，則∠BDC＝°．16．（2分）把長方形紙片ABCD按如圖方式折疊，使頂點B和D重合，折痕EF，若AB＝3cm，BC＝5cm，則線段DE＝cm．17．（2分）如圖，D為△ABC內一點，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，則AC的長為．18．（2分）如圖，∠MON＝90°，在△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，點A，B分別在邊OM，ON上運動，△ABC的形狀始終保持不變，在運動的過程中，點C到點O的最小距離為．三、解答題（本大題共8小題，共64分.）19．（8分）如圖，點B，F，C，E在同一條直線上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求證：∠A＝∠D．20．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中點，DE⊥AC，垂足為E．若∠BAC＝50°，求∠ADE的度數．21．（8分）如圖，△ABC的頂點A，B，C都在小正方形的頂點上，我們把這樣的三角形叫做格點三角形．（1）作出△ABC關于直線l對稱的三角形；（2）圖中與△ABC全等且有公共邊AC的格點三角形共有個（不包括△ABC）．22．（8分）《九章算術》是我國古代最重要的數學著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”翻譯成數學問題是：如圖所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的長．23．（8分）如圖，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，連接AE，CD，AE與CD交于點M，AE與BC交于點N．（1）判斷線段AE與CD的關系，并說明理由；（2）連接BM，有以下兩個結論：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正確的有.（請寫序號，少選、錯選均不得分）．24．（8分）如圖①，要在一條筆直的路邊l上建一個燃氣站，向l同側的A，B兩個城鎮分別鋪設管道輸送燃氣，試確定燃氣站的位置，使鋪設管道的路線最短．（1）如圖②，作出點A關于l的對稱點A′，線A′B與直線l的交點C的位置即為所求，即在點C處建燃氣站，所得路線ACB是最短的，為了讓交點C的位置即為所求，不妨在直線l上另外任取一點C′，連接AC′，C′B，證明AC+CB＜AC′+C′B，請完成這個證明；（2）如圖③，已知四邊形ABCD，請用直尺和圓規在邊BC上求作一點P，使∠APB＝∠CPD（不寫作法，保留作圖痕跡）．25．（8分）[問題背景]如圖①，將△ABC沿折痕AD翻折，使點C落在AB邊上點C′處，已知∠BAC＝80°，∠C＝65°，求∠ADB的度數；[變式運用]如圖②，在△ABC中，AB＞AC，求證：∠C＞∠B．26．（8分）（1）如圖①，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD為BC邊上的中線，則AD的取值范圍是（提示：延長AD到點E，使DE＝AD，連接BE）；（2）如圖②，在△ABC中，∠A＝90°，D是BC邊上的中點，∠EDF＝90°，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證BE2+CF2＝EF2；（3）如圖③，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點，連接DE，求證DE=1

2023-2024學年江蘇省南京市江寧區八年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分.）1．（2分）下面四個企業的標志是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，據此判斷即可．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；B、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；C、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；D、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查了軸對稱圖形，熟記定義是解答本題的關鍵．2．（2分）如圖，△ABC≌△CDA，則AD的對應邊是（）A．BC B．AB C．CD D．AC【分析】根據全等三角形的性質判定即可．【解答】解：∵△ABC≌△CDA，∴AD＝BC．故選：A．【點評】本題考查了全等三角形的性質，熟練掌握性質是解題的關鍵．3．（2分）下列長度的三條線段能組成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12【分析】根據勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形進行分析即可．【解答】解：A、32+42＝52，能組成直角三角形，故此選項正確，符合題意；B、22+32≠42，不能組成直角三角形，故此選項錯誤，不符合題意；C、42+62≠72，不能組成直角三角形，故此選項錯誤，不符合題意；D、52+112≠122，不能組成直角三角形，故此選項錯誤，不符合題意．故選：A．【點評】此題主要考查了勾股定理的逆定理，要判斷一個角是不是直角，先要構造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．4．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分線l交BC于點D．若∠DAC＝34°，則∠B的度數是（）A．34° B．30° C．28° D．26°【分析】根據等腰三角形的性質得到∠B＝∠C，根據線段垂直平分線的性質得到AD＝DC，故可得出∠DAC＝∠C＝34°，進而得出結論．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AC的垂直平分線l交BC于點D，∴AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝34°，∴∠B＝∠C＝34°．故選：A．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質，熟知等腰三角形的兩個底角相等是解題的關鍵．5．（2分）如圖，圖中的兩個三角形是全等三角形，其中一些角和邊的大小如圖所示，那么x的值是（）A．30° B．36° C．65° D．79°【分析】根據全等三角形對應角相等，可以求得x的值．【解答】解：∵圖中的兩個三角形是全等三角形，∴兩個三角形中邊長為4和7的邊的夾角相等，∴x＝∠F＝65°．故選：C．【點評】本題考查全等三角形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用全等三角形的性質解答．6．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，AB＝10，S△ABD＝20，則CD的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】過點D作DE⊥AB于E，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面積列式計算即可得解．【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴CD＝DE，∵S△ABD＝20，AB＝10，∴20=S∴DE＝4，∴CD＝DE＝4，∴CD的長為4．故選：C．【點評】本題考查角平分線的性質、三角形的面積公式的運用．解題的關鍵是作輔助線，利用角平分線的性質進行計算．7．（2分）如圖，點P在∠AOB的平分線OM上（不與點O重合），PC⊥OA于點C，PC＝3，若D是OB邊上任意一點，連接PD，則下列關于線段PD的說法一定正確的是（）A．PD＝3 B．PD＜3 C．PD＞3 D．PD≥3【分析】根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得點P到OB的距離為3，再根據垂線段最短解答．【解答】解：∵點P在∠AOB的平分線OM上，PC＝3，PC⊥OA，∴點P到OA邊的距離等于3，∴點P到OB的距離為3，∵點D是OB邊上的任意一點，∴PD的最小值為3，即PD≥3．故選：D．【點評】本題考查角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，垂線段最短的性質，掌握角平分線的性質是解題的關鍵．8．（2分）如圖所示，∠AOB＝60°，點P是∠AOB內一定點，并且OP＝4，點M、N分別是射線OA，OB上異于點O的動點，當△PMN的周長取最小值時，點O到線段MN的距離為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分別作點P關于OB和OA的對稱點P'和P''，連接OP'、OP''、P'P''，則P'P''與OB的交點為點N'，P'P''與OA的交點為點M'，連接PN'、PM'，則此時P'P''的值即為△PMN的周長的最小值，過點O作OC⊥P'P''于點C，求得∠OP'P''的值，由含30°角的直角三角形的性質可得答案．【解答】解：分別作點P關于OB和OA的對稱點P'和P''，連接OP'、OP''、P'P''，則P'P''與OB的交點為點N'，P'P''與OA的交點為點M'，連接PN'、PM'，則此時P'P''的值即為△PMN的周長的最小值，過點O作OC⊥P'P''于點C，如圖所示：由對稱性可知OP＝OP'＝OP''，∵∠AOB＝60°，∴∠P'OP''＝2×60°＝120°，∴∠OP'P''＝∠OP''P'＝30°，∵OP＝4，OC⊥P'P''，∴OC=12故選：B．【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質、等腰三角形的性質及含30°角的直角三角形的性質是解題的關鍵．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.）9．（2分）已知△ABC≌△DEF，其中AB＝3，則DE＝3．【分析】根據全等三角形的性質，對應邊相等，即可求解．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，AB＝3，∴DE＝AB＝3．故答案為：3．【點評】本題考查了全等三角形的性質，熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．10．（2分）一個等腰三角形的邊長分別是4cm和7cm，則它的周長是15cm或18cm．【分析】等腰三角形兩邊的長為4cm和7cm，具體哪條是底邊，哪條是腰沒有明確說明，因此要分兩種情況討論．【解答】解：①當腰是4cm，底邊是7cm時，能構成三角形，則其周長＝4+4+7＝15cm；②當底邊是4cm，腰長是7cm時，能構成三角形，則其周長＝4+7+7＝18cm．故答案為：15cm或18cm．【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．應向學生特別強調．11．（2分）如圖，兩個三角形的邊和角的大小如圖所示，則直接判斷這兩個三角形全等的依據是SAS．【分析】根據全等三角形的判定定理，即可解答．【解答】解：根據圖形兩個三角形長度為3的邊和長度為4的邊對應相等，以及他們的夾角都為30°，故可得判斷這兩個三角形全等的依據是邊角邊（SAS），故答案為：SAS．【點評】本題考查了判定三角形全等的條件，熟知判定三角形全等有SSS，SAS，ASA，AAS，HL五種條件是解題的關鍵．12．（2分）在等腰△ABC中，有一個內角為80°，則頂角為80或20°．【分析】根據等腰△ABC中，有一個內角為80°，并沒說明此內角是頂角還是底角，故需分類討論即可得到答案．【解答】解：∵等腰△ABC中，有一個內角為80°，∴當80°為頂角時，其頂角為80°；當80°為底角時，其頂角為180°﹣80°﹣80°＝20°，故答案為：80或20．【點評】本題考查等腰三角形的性質，熟練掌握三角形的內角和為180°和等腰三角形等這對等角的性質進行分類討論是解題的關鍵．13．（2分）如圖，在△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，則S△ABC＝30．【分析】由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，最后利用三角形面積公式即可求出答案．【解答】解：由于AB2＝BC2+AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠C＝90°，∴S△ABC=1故答案為：30【點評】本題考查勾股定理，解題的關鍵是熟練運用勾股定理的逆定理，本題屬于基礎題型．14．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點D，連接CD，則∠ACD的度數是20°．【分析】根據三角形的內角和和等腰三角形的性質即可得到∠ACD的度數．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，故答案為：20°．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，解題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．15．（2分）如圖，△ABC為等邊三角形，△ADC為等腰直角三角形，且∠ADC＝90°，則∠BDC＝45°．【分析】由題意易得△ABD≌△CBD，然后問題可求解．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，△ADC為等腰直角三角形，∴AB＝CB，AD＝CD，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ADB=∠CDB=1故答案為：45．【點評】本題主要考查等邊三角形的性質及全等三角形的性質與判定，熟練掌握等邊三角形的性質及全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．16．（2分）把長方形紙片ABCD按如圖方式折疊，使頂點B和D重合，折痕EF，若AB＝3cm，BC＝5cm，則線段DE＝3.4cm．【分析】根據圖形折疊前后圖形不發生大小變化，得出AE＝A′E，設AE＝x，再利用勾股定理得出A′E2+A′D2＝ED2，從而求出AE的長，進而求出DE的長．【解答】解：∵AB＝3cm，BC＝5cm，∴A′D＝AB＝3cm，設AE＝x，則A′E＝xcm，DE＝5﹣x（cm），∵四邊形ABCD是矩形，易知△A'DE是直角三角形，在Rt△A'DE中，A′E2+A′D2＝ED2，∴x2+9＝（5﹣x）2，解得：x＝1.6，∴DE＝5﹣1.6＝3.4（cm），故答案為：3.4．【點評】此題主要考查了折疊問題，解題時，我們常常設要求的線段長為x，然后根據折疊和軸對稱的性質用含x的代數式表示其他線段的長度，再選擇適當的直角三角形，運用勾股定理列出方程即可求出答案．17．（2分）如圖，D為△ABC內一點，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，則AC的長為5．【分析】延長BD與AC交于點E，由題意可推出BE＝AE，依據等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根據BD＝1，BC＝3，即可推出AC的長．【解答】解：延長BD與AC交于點E，∵∠A＝∠ABD，∴BE＝AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，∴∠EBC＝∠BEC，∴BC＝CE，∵BE⊥CD，∴2BD＝BE，∵BD＝1，BC＝3，∴CE＝3，∴AE＝BE＝2，∴AC＝AE+EC＝2+3＝5．故答案為：5．【點評】本題主要考查等腰三角形的判定與性質，解題的關鍵在于正確地作出輔助線，構建等腰三角形，通過等量代換，即可推出結論．18．（2分）如圖，∠MON＝90°，在△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，點A，B分別在邊OM，ON上運動，△ABC的形狀始終保持不變，在運動的過程中，點C到點O的最小距離為7．【分析】作CH⊥AB，連接OH，OC，根據等腰三角形的性質得AH=BH=12AB=5，再利用勾股定理計算出CH，接著根據直角三角形斜邊上的中線性質得OH，則利用三角形三邊的關系得到OC≥CH﹣OH當點C、O【解答】解：作CH⊥AB，連接OH，OC，CH，如圖，∵AC＝BC＝13，∴AH=BH=1在Rt△BCH中，CH=B在Rt△AOB中，OH=1∵OC≥CH﹣OH（當點C、O、H共線時取等號），∴點C到點O的最小距離為CH﹣OH＝12﹣5＝7，故答案為：7．【點評】本題考查等腰三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，三角形三邊關系．能通過三角形的三邊關系得出當點C、O、H共線時OC的最短值為CH﹣OH是解決此題的關鍵．三、解答題（本大題共8小題，共64分.）19．（8分）如圖，點B，F，C，E在同一條直線上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求證：∠A＝∠D．【分析】利用SAS證明△ABC≌△DEF，根據全等三角形的性質即可得解．【解答】證明：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，AB=DE∠B=∠E∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠A＝∠D．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質，利用SAS證明△ABC≌△DEF是解題的關鍵．20．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中點，DE⊥AC，垂足為E．若∠BAC＝50°，求∠ADE的度數．【分析】首先根據三角形的三線合一的性質得到AD平分∠BAC，然后求得其一半的度數，從而求得答案．【解答】解：∵AB＝AC，D為BC的中點，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝50°，∴∠DAC＝25°，∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°﹣25°＝65°，【點評】本題考查了等腰三角形的性質，解題的關鍵是了解等腰三角形三線合一的性質，難度不大．21．（8分）如圖，△ABC的頂點A，B，C都在小正方形的頂點上，我們把這樣的三角形叫做格點三角形．（1）作出△ABC關于直線l對稱的三角形；（2）圖中與△ABC全等且有公共邊AC的格點三角形共有3個（不包括△ABC）．【分析】（1）作出點A、B關于直線l的對稱點，然后順次連接即可；（2）畫出圖中與△ABC全等且有公共邊AC的格點三角形即可得出答案．【解答】解：（1）△A′CB′為所求作的三角形，如圖所示：（2）解：圖中與△ABC全等且有公共邊AC的格點三角形有△ACD、△ACE、△ACF，共3個．故答案為：3．【點評】本題主要考查了作軸對稱圖形，三角形全等的判定，解題的關鍵是作出對應點的位置．22．（8分）《九章算術》是我國古代最重要的數學著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”翻譯成數學問題是：如圖所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的長．【分析】設AC＝x，可知AB＝10﹣x，再根據勾股定理即可得出結論．【解答】解：設AC＝x，∵AC+AB＝10，∴AB＝10﹣x．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝（10﹣x）2．解得：x＝4.55，即AC＝4.55．【點評】本題考查的是勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．23．（8分）如圖，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，連接AE，CD，AE與CD交于點M，AE與BC交于點N．（1）判斷線段AE與CD的關系，并說明理由；（2）連接BM，有以下兩個結論：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正確的有②.（請寫序號，少選、錯選均不得分）．【分析】（1）由“SAS”可證△ABE≌△CBD，可得AE＝CD，∠BAE＝∠BCD，由三角形內角和定理可得∠AMC＝∠ABC＝90°，即可求解；（2）由全等三角形的性質可得AE＝CD，S△ABE＝S△BCD，由面積法可求BP＝BH，即可求解．【解答】解：（1）AE＝CD，AE⊥CD，理由如下：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，AB=BC∠ABE=∠CBD∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD，∠BAE＝∠BCD，∵∠ANB＝∠CNM，∴∠AMC＝∠ABC＝90°，∴AE⊥CD；（2）如圖，過點B作BH⊥CD于H，BP⊥AE于P，∵△ABE≌△CBD，∴AE＝CD，S△ABE＝S△BCD，∴12×AE×BP=12∴BP＝BH，又∵BH⊥CD，BP⊥AE，∴BM平分∠AMD，故答案為：②．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．24．（8分）如圖①，要在一條筆直的路邊l上建一個燃氣站，向l同側的A，B兩個城鎮分別鋪設管道輸送燃氣，試確定燃氣站的位置，使鋪設管道的路線最短．（1）如圖②，作出點A關于l的對稱點A′，線A′B與直線l的交點C的位置即為所求，即在點C處建燃氣站，所得路線ACB是最短的，為了讓交點C的位置即為所求，不妨在直線l上另外任取一點C′，連接AC′，C′B，證明AC+CB＜AC′+C′B，請完成這個證明；（2）如圖③，已知四邊形ABCD，請用直尺和圓規在邊BC上求作一點P，使∠APB＝∠CPD（不寫作法，保留作圖痕跡）．【分析】（1）根據軸對稱得到AC＝A′C，AC′＝A′C′，結合三角形三邊關系直接求解即可得到證明；（2）作A點的對稱點A′，連接A′D交BC于一點即可得到答案．【解答】（1）證明：連接A′C′，∵點A與A′關于l對稱，∴l垂直平分AA′，∴AC＝A′C，AC′＝A′C′，∵A′B＜BC′+A′C′，∴AC+CB＜AC′+C′B；（2）解：作A點的對稱點A′，連接A′D交BC于一點即為P點，如圖所示，∵A點的對稱點A′，∴∠APB＝∠A′PB，∵∠A′PB＝∠CPD，∴∠APB＝∠CPD，∴A′D交BC于一點即為P點，【點評】本題考查軸對稱的性質，垂直平分線上的點到線段兩個端點距離相等，解題的關鍵是根據軸對稱性質及兩點間線段距離最短找到最短距離點．25．（8分）[問題背景]如圖①，將△ABC沿折痕AD翻折，使點C落在AB邊上點C′處，已知∠BAC＝80°，∠C＝65°，求∠ADB的度數；[變式運用]如圖②，在△ABC中，AB＞AC，求證：∠C＞∠B．【分析】[問題背景]問題①根據折疊的性質可得△ACD≌△AC′D，繼而得到∠CAD＝40°，再根據三角形外角的性質可得結論；[變式運用]利用①的方法，將△ABC沿折痕AD翻折，點C的對應點為點C′，可得△AC′D≌△ACD，根據全等三角形的性質可得∠AC′D＝∠C，再根據三角形外角的性質即可得證．【解答】[問題背景]解：∵△ABC沿折痕AD翻折，∠BAC＝80°，∠C＝65°，∴△ACD≌△AC′D，∴∠CAD=∠C′AD=1∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝40°+65°＝105°，∴∠