江蘇省禮嘉中學2025年高三摸底測試數學試題試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．百年雙中的校訓是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味運動會中有這樣的一個小游戲.袋子中有大小、形狀完全相同的四個小球，分別寫有“仁”、“智”、“雅”、“和”四個字，有放回地從中任意摸出一個小球，直到“仁”、“智”兩個字都摸到就停止摸球.小明同學用隨機模擬的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用電腦隨機產生1到4之間（含1和4）取整數值的隨機數，分別用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”這四個字，以每三個隨機數為一組，表示摸球三次的結果，經隨機模擬產生了以下20組隨機數：141432341342234142243331112322342241244431233214344142134412由此可以估計，恰好第三次就停止摸球的概率為（）A． B． C． D．2．下列命題中，真命題的個數為（）①命題“若，則”的否命題；②命題“若，則或”；③命題“若，則直線與直線平行”的逆命題.A．0 B．1 C．2 D．33．“”是“直線與互相平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．過拋物線C：y2＝4x的焦點F，且斜率為的直線交C于點M(M在x軸的上方)，l為C的準線，點N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為（）A． B． C． D．5．已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，且拋物線的準線被雙曲線截得的線段長為，那么該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．6．已知函數在上都存在導函數，對于任意的實數都有，當時，，若，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．7．在平面直角坐標系中，將點繞原點逆時針旋轉到點，設直線與軸正半軸所成的最小正角為，則等于()A． B． C． D．8．設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則；其中真命題的個數為（）A． B． C． D．9．若復數（為虛數單位），則（）A． B． C． D．10．已知向量，若，則實數的值為（）A． B． C． D．11．某歌手大賽進行電視直播，比賽現場有名特約嘉賓給每位參賽選手評分，場內外的觀眾可以通過網絡平臺給每位參賽選手評分.某選手參加比賽后，現場嘉賓的評分情況如下表，場內外共有數萬名觀眾參與了評分，組織方將觀眾評分按照，，分組，繪成頻率分布直方圖如下：嘉賓評分嘉賓評分的平均數為，場內外的觀眾評分的平均數為，所有嘉賓與場內外的觀眾評分的平均數為，則下列選項正確的是（）A． B． C． D．12．復數的虛部為（）A．—1 B．—3 C．1 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校高二（4）班統計全班同學中午在食堂用餐時間，有7人用時為6分鐘，有14人用時7分鐘，有15人用時為8分鐘，還有4人用時為10分鐘，則高二（4）班全體同學用餐平均用時為____分鐘.14．已知關于的不等式對于任意恒成立，則實數的取值范圍為_________．15．已知，，且，則最小值為__________．16．某班有學生52人,現將所有學生隨機編號,用系統抽樣方法,抽取一個容量為4的樣本,已知5號、31號、44號學生在樣本中,則樣本中還有一個學生的編號是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，為的導數，函數在處取得最小值．（1）求證：；（2）若時，恒成立，求的取值范圍．18．（12分）從拋物線C：（）外一點作該拋物線的兩條切線PA、PB（切點分別為A、B），分別與x軸相交于C、D，若AB與y軸相交于點Q，點在拋物線C上，且（F為拋物線的焦點）.（1）求拋物線C的方程；（2）①求證：四邊形是平行四邊形.②四邊形能否為矩形？若能，求出點Q的坐標；若不能，請說明理由.19．（12分）已知動圓E與圓外切，并與直線相切，記動圓圓心E的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過點的直線l交曲線C于A，B兩點，若曲線C上存在點P使得，求直線l的斜率k的取值范圍.20．（12分）健身館某項目收費標準為每次60元，現推出會員優惠活動：具體收費標準如下：現隨機抽取了100為會員統計它們的消費次數，得到數據如下：假設該項目的成本為每次30元，根據給出的數據回答下列問題：（1）估計1位會員至少消費兩次的概率（2）某會員消費4次，求這4次消費獲得的平均利潤；（3）假設每個會員每星期最多消費4次，以事件發生的頻率作為相應事件的概率，從會員中隨機抽取兩位，記從這兩位會員的消費獲得的平均利潤之差的絕對值為，求的分布列及數學期望21．（12分）2019年6月，國內的運營牌照開始發放.從到，我們國家的移動通信業務用了不到20年的時間，完成了技術上的飛躍，躋身世界先進水平.為了解高校學生對的消費意愿，2019年8月，從某地在校大學生中隨機抽取了1000人進行調查，樣本中各類用戶分布情況如下：用戶分類預計升級到的時段人數早期體驗用戶2019年8月至2019年12月270人中期跟隨用戶2020年1月至2021年12月530人后期用戶2022年1月及以后200人我們將大學生升級時間的早晚與大學生愿意為套餐支付更多的費用作比較，可得出下圖的關系（例如早期體驗用戶中愿意為套餐多支付5元的人數占所有早期體驗用戶的）.（1）從該地高校大學生中隨機抽取1人，估計該學生愿意在2021年或2021年之前升級到的概率；（2）從樣本的早期體驗用戶和中期跟隨用戶中各隨機抽取1人，以表示這2人中愿意為升級多支付10元或10元以上的人數，求的分布列和數學期望；（3）2019年底，從這1000人的樣本中隨機抽取3人，這三位學生都已簽約套餐，能否認為樣本中早期體驗用戶的人數有變化？說明理由.22．（10分）已知直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，且曲線的左焦點在直線上.（Ⅰ）求的極坐標方程和曲線的參數方程；（Ⅱ）求曲線的內接矩形的周長的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

由題意找出滿足恰好第三次就停止摸球的情況，用滿足恰好第三次就停止摸球的情況數比20即可得解.【詳解】由題意可知當1，2同時出現時即停止摸球，則滿足恰好第三次就停止摸球的情況共有五種：142，112，241，142，412.則恰好第三次就停止摸球的概率為.故選：A.本題考查了簡單隨機抽樣中隨機數的應用和古典概型概率的計算，屬于基礎題.2．C【解析】

否命題與逆命題是等價命題，寫出①的逆命題，舉反例排除；原命題與逆否命題是等價命題，寫出②的逆否命題后，利用指數函數單調性驗證正確；寫出③的逆命題判，利用兩直線平行的條件容易判斷③正確.【詳解】①的逆命題為“若，則”，令，可知該命題為假命題，故否命題也為假命題；②的逆否命題為“若且，則”，該命題為真命題，故②為真命題；③的逆命題為“若直線與直線平行，則”，該命題為真命題.故選：C.本題考查判斷命題真假.判斷命題真假的思路：(1)判斷一個命題的真假時，首先要弄清命題的結構，即它的條件和結論分別是什么，然后聯系其他相關的知識進行判斷．(2)當一個命題改寫成“若，則”的形式之后，判斷這個命題真假的方法：①若由“”經過邏輯推理，得出“”，則可判定“若，則”是真命題；②判定“若，則”是假命題，只需舉一反例即可．3．A【解析】

利用兩條直線互相平行的條件進行判定【詳解】當時，直線方程為與，可得兩直線平行；若直線與互相平行，則，解得，，則“”是“直線與互相平行”的充分不必要條件，故選本題主要考查了兩直線平行的條件和性質，充分條件，必要條件的定義和判斷方法，屬于基礎題．4．C【解析】

聯立方程解得M(3，)，根據MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是邊長為4的等邊三角形，計算距離得到答案.【詳解】依題意得F(1,0)，則直線FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.由M在x軸的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4又∠NMF等于直線FM的傾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是邊長為4的等邊三角形點M到直線NF的距離為故選：C.本題考查了直線和拋物線的位置關系，意在考查學生的計算能力和轉化能力.5．A【解析】

由拋物線的焦點得雙曲線的焦點，求出，由拋物線準線方程被曲線截得的線段長為，由焦半徑公式，聯立求解.【詳解】解：由拋物線，可得，則，故其準線方程為，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，．拋物線的準線被雙曲線截得的線段長為，，又，，則雙曲線的離心率為．故選：．本題考查拋物線的性質及利用過雙曲線的焦點的弦長求離心率.弦過焦點時，可結合焦半徑公式求解弦長．6．B【解析】

先構造函數，再利用函數奇偶性與單調性化簡不等式，解得結果.【詳解】令，則當時，，又，所以為偶函數，從而等價于，因此選B.本題考查利用函數奇偶性與單調性求解不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.7．A【解析】

設直線直線與軸正半軸所成的最小正角為，由任意角的三角函數的定義可以求得的值，依題有,則，利用誘導公式即可得到答案.【詳解】如圖，設直線直線與軸正半軸所成的最小正角為因為點在角的終邊上，所以依題有,則，所以，故選：A本題考查三角函數的定義及誘導公式，屬于基礎題.8．C【解析】

利用線線、線面、面面相應的判定與性質來解決.【詳解】如果兩條平行線中一條垂直于這個平面，那么另一條也垂直于這個平面知①正確；當直線平行于平面與平面的交線時也有，，故②錯誤；若，則垂直平面內以及與平面平行的所有直線，故③正確；若，則存在直線且，因為，所以，從而，故④正確.故選：C.本題考查空間中線線、線面、面面的位置關系，里面涉及到了相應的判定定理以及性質定理，是一道基礎題.9．B【解析】

根據復數的除法法則計算，由共軛復數的概念寫出.【詳解】,,故選：B本題主要考查了復數的除法計算，共軛復數的概念，屬于容易題.10．D【解析】

由兩向量垂直可得，整理后可知，將已知條件代入后即可求出實數的值.【詳解】解：，，即，將和代入，得出，所以.故選:D.本題考查了向量的數量積，考查了向量的坐標運算.對于向量問題，若已知垂直，通?？傻玫絻蓚€向量的數量積為0，繼而結合條件進行化簡、整理.11．C【解析】

計算出、，進而可得出結論.【詳解】由表格中的數據可知，，由頻率分布直方圖可知，，則，由于場外有數萬名觀眾，所以，.故選：B.本題考查平均數的大小比較，涉及平均數公式以及頻率分布直方圖中平均數的計算，考查計算能力，屬于基礎題.12．B【解析】

對復數進行化簡計算，得到答案.【詳解】所以的虛部為故選B項.本題考查復數的計算，虛部的概念，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．7.5【解析】

分別求出所有人用時總和再除以總人數即可得到平均數.【詳解】故答案為：7.5此題考查求平均數，關鍵在于準確計算出所有數據之和，易錯點在于概念辨析不清導致計算出錯.14．【解析】

先將不等式對于任意恒成立,轉化為任意恒成立，設，求出在內的最小值,即可求出的取值范圍.【詳解】解：由題可知，不等式對于任意恒成立，即，又因為，，對任意恒成立，設，其中，由不等式，可得：，則，當時等號成立，又因為在內有解，，則，即：，所以實數的取值范圍：.故答案為：.本題考查不等式恒成立問題，利用分離參數法和構造函數，通過求新函數的最值求出參數范圍，考查轉化思想和計算能力.15．【解析】

首先整理所給的代數式，然后結合均值不等式的結論即可求得其最小值.【詳解】，結合可知原式，且，當且僅當時等號成立.即最小值為.在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現錯誤．16．18【解析】

根據系統抽樣的定義和方法,所抽取的4個個體的編號成等差數列,故可根據其中三個個體的編號求出另一個個體的編號.【詳解】解：根據系統抽樣的定義和方法,所抽取的4個個體的編號成等差數列,已知其中三個個體的編號為5,31,44,故還有一個抽取的個體的編號為18,故答案為:18本題主要考查系統抽樣的定義和方法,屬于簡單題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）.【解析】

（1）對求導，令，求導研究單調性，分析可得存在使得，即，即得證；（2）分，兩種情況討論，當時，轉化利用均值不等式即得證；當，有兩個不同的零點，，分析可得的最小值為，分，討論即得解.【詳解】（1）由題意，令，則，知為的增函數，因為，，所以，存在使得，即．所以，當時，為減函數，當時，為增函數，故當時，取得最小值，也就是取得最小值．故，于是有，即，所以有，證畢．（2）由（1）知，的最小值為，①當，即時，為的增函數，所以，，由（1）中，得，即．故滿足題意．②當，即時，有兩個不同的零點，，且，即，若時，為減函數，（*）若時，為增函數，所以的最小值為．注意到時，，且此時，（ⅰ）當時，，所以，即，又，而，所以，即．由于在下，恒有，所以．（ⅱ）當時，，所以，所以由（*）知時，為減函數，所以，不滿足時，恒成立，故舍去．故滿足條件．綜上所述：的取值范圍是．本題考查了函數與導數綜合，考查了利用導數研究函數的最值和不等式的恒成立問題，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，分類討論，數學運算能力，屬于較難題.18．（1）；（2）①證明見解析；②能，.【解析】

（1）根據拋物線的定義，求出，即可求拋物線C的方程；（2）①設，，寫出切線的方程，解方程組求出點的坐標.設點，直線AB的方程，代入拋物線方程，利用韋達定理得到點的坐標，寫出點的坐標，，可得線段相互平分，即證四邊形是平行四邊形；②若四邊形為矩形，則，求出，即得點Q的坐標.【詳解】（1）因為，所以，即拋物線C的方程是.（2）①證明：由得，.設，，則直線PA的方程為（?。?，則直線PB的方程為（ⅱ），由（ⅰ）和（ⅱ）解得：，，所以.設點，則直線AB的方程為.由得，則，，所以，所以線段PQ被x軸平分，即被線段CD平分.在①中，令解得，所以，同理得，所以線段CD的中點坐標為，即，又因為直線PQ的方程為，所以線段CD的中點在直線PQ上，即線段CD被線段PQ平分.因此，四邊形是平行四邊形.②由①知，四邊形是平行四邊形.若四邊形是矩形，則，即，解得，故當點Q為，即為拋物線的焦點時，四邊形是矩形.本題考查拋物線的方程，考查直線和拋物線的位置關系，屬于難題.19．（1）；（2）.【解析】

（1）根據拋物線的定義，結合已知條件，即可容易求得結果；（2）設出直線的方程，聯立拋物線方程，根據直線與拋物線相交則，結合由得到的斜率關系，即可求得斜率的范圍.【詳解】（1）因為動圓與圓外切，并與直線相切，所以點到點的距離比點到直線的距離大.因為圓的半徑為，所以點到點的距離等于點到直線的距離，所以圓心的軌跡為拋物線，且焦點坐標為.所以曲線的方程.（2）設，，由得，由得且.，，同理由，得，即，所以，由，得且，又且，所以的取值范圍為.本題考查由拋物線定義求拋物線方程，涉及直線與拋物線相交結合垂直關系求斜率的范圍，屬綜合中檔題.20．（1）（2）22.5（3）見解析，【解析】

（1）根據頻數計算頻率，得出概率；（2）根據優惠標準計算平均利潤；（3）求出各種情況對應的的值和概率，得出分布列，從而計算出數學期望．【詳解】解：（1）估計1位會員至少消費兩次的概率；（2）第1次消費利潤；第2次消費利潤；第3次消費利潤；第4次消費利潤；這4次消費獲得的平均利潤：（3）1次消費利潤是27，概率是；2次消費利潤是，概率是；3次消費利潤是，概率是；4次消費利潤是，概率是；由題意：故分布列為：0期望為:本題考查概率、平均利潤、離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，考查古典概型、相互獨立事件概率乘法公式等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．21．（1）（2）詳見解析（3）事件雖然發生概率小，但是發生可能性為0.02，所以認為早期體驗用戶沒有發生變化，詳見解析【解析】

（1）由從高校大學生中隨機抽取1人，該學生在2021年或2021年之前升級到，結合古典摡型的概率計算公式，即可求解；（2）由題意的所有可能值為，利用相互獨立事件的概率計算公式，分別求得相應的概率，得到隨機變量的分布列，利用期望的公式，即可求解.（3）設事件為“從這1000人的樣本中隨機抽取3人，這三位學生都已簽約套餐”，得到七概率為，即可得到結論.【詳解】（1）由題意可知，從高校大學生中隨機抽