遼寧省丹東四校協作體2025屆高三統一調研測試數學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的離心率等于()A． B． C． D．2．已知為虛數單位，若復數，，則A． B．C． D．3．為研究語文成績和英語成績之間是否具有線性相關關系，統計兩科成績得到如圖所示的散點圖(兩坐標軸單位長度相同)，用回歸直線近似地刻畫其相關關系，根據圖形，以下結論最有可能成立的是()A．線性相關關系較強，b的值為1.25B．線性相關關系較強，b的值為0.83C．線性相關關系較強，b的值為－0.87D．線性相關關系太弱，無研究價值4．已知實數，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．5．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B．64 C． D．326．集合的真子集的個數為()A．7 B．8 C．31 D．327．過圓外一點引圓的兩條切線，則經過兩切點的直線方程是（）．A． B． C． D．8．已知，滿足，且的最大值是最小值的4倍，則的值是（）A．4 B． C． D．9．陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，但陀螺這個名詞，直到明朝劉侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一書中才正式出現.如圖所示的網格紙中小正方形的邊長均為1，粗線畫出的是一個陀螺模型的三視圖，則該陀螺模型的表面積為（）A． B．C． D．10．已知雙曲線（）的漸近線方程為，則（）A． B． C． D．11．的展開式中的系數為()A．－30 B．－40 C．40 D．5012．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長棱的長為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合，，則_________.14．已知平面向量與的夾角為，，，則________.15．若，則__________.16．若，則的展開式中含的項的系數為_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2018年反映社會現實的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動，治療特種病的創新藥研發成了當務之急．為此，某藥企加大了研發投入，市場上治療一類慢性病的特效藥品的研發費用（百萬元）和銷量（萬盒）的統計數據如下：研發費用（百萬元）2361013151821銷量（萬盒）1122.53.53.54.56（1）求與的相關系數精確到0.01，并判斷與的關系是否可用線性回歸方程模型擬合？（規定：時，可用線性回歸方程模型擬合）；（2）該藥企準備生產藥品的三類不同的劑型，，，并對其進行兩次檢測，當第一次檢測合格后，才能進行第二次檢測．第一次檢測時，三類劑型，，合格的概率分別為，，，第二次檢測時，三類劑型，，合格的概率分別為，，．兩次檢測過程相互獨立，設經過兩次檢測后，，三類劑型合格的種類數為，求的數學期望．附：（1）相關系數（2），，，．18．（12分）設函數．（1）當時，求不等式的解集；（2）若對任意都有，求實數的取值范圍．19．（12分）在中，角所對的邊分別為，若，，，且.（1）求角的值；（2）求的最大值.20．（12分）在中，角，，所對的邊分別是，，，且.(1)求的值；(2)若，求的取值范圍.21．（12分）在中，角所對的邊分別是，且.（1）求；（2）若，求.22．（10分）如圖，在斜三棱柱中，已知為正三角形，D，E分別是，的中點，平面平面，.（1）求證：平面；（2）求證：平面.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】由于直線的斜率k,所以一條漸近線的斜率為，即，所以，選B.2．B【解析】

由可得，所以，故選B．3．B【解析】

根據散點圖呈現的特點可以看出，二者具有相關關系，且斜率小于1.【詳解】散點圖里變量的對應點分布在一條直線附近，且比較密集，故可判斷語文成績和英語成績之間具有較強的線性相關關系，且直線斜率小于1，故選B.【點睛】本題主要考查散點圖的理解，側重考查讀圖識圖能力和邏輯推理的核心素養.4．C【解析】

利用不等式性質可判斷，利用對數函數和指數函數的單調性判斷.【詳解】解：對于實數，，不成立對于不成立．對于．利用對數函數單調遞增性質，即可得出．對于指數函數單調遞減性質，因此不成立．故選：．【點睛】利用不等式性質比較大小．要注意不等式性質成立的前提條件．解決此類問題除根據不等式的性質求解外，還經常采用特殊值驗證的方法．5．A【解析】

根據三視圖，還原空間幾何體，即可得該幾何體的體積.【詳解】由該幾何體的三視圖，還原空間幾何體如下圖所示：可知該幾何體是底面在左側的四棱錐，其底面是邊長為4的正方形，高為4，故.故選：A【點睛】本題考查了三視圖的簡單應用，由三視圖還原空間幾何體，棱錐體積的求法，屬于基礎題.6．A【解析】

計算，再計算真子集個數得到答案.【詳解】，故真子集個數為：.故選：.【點睛】本題考查了集合的真子集個數，意在考查學生的計算能力.7．A【解析】過圓外一點，引圓的兩條切線，則經過兩切點的直線方程為，故選．8．D【解析】試題分析：先畫出可行域如圖：由，得，由，得，當直線過點時，目標函數取得最大值，最大值為3；當直線過點時，目標函數取得最小值，最小值為3a；由條件得，所以，故選D.考點：線性規劃.9．C【解析】

根據三視圖可知，該幾何體是由兩個圓錐和一個圓柱構成，由此計算出陀螺的表面積.【詳解】最上面圓錐的母線長為，底面周長為，側面積為，下面圓錐的母線長為，底面周長為，側面積為，沒被擋住的部分面積為，中間圓柱的側面積為.故表面積為，故選C.【點睛】本小題主要考查中國古代數學文化，考查三視圖還原為原圖，考查幾何體表面積的計算，屬于基礎題.10．A【解析】

根據雙曲線方程（），確定焦點位置，再根據漸近線方程得到求解.【詳解】因為雙曲線（），所以，又因為漸近線方程為，所以，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.11．C【解析】

先寫出的通項公式，再根據的產生過程，即可求得.【詳解】對二項式，其通項公式為的展開式中的系數是展開式中的系數與的系數之和.令，可得的系數為；令，可得的系數為；故的展開式中的系數為.故選：C.【點睛】本題考查二項展開式中某一項系數的求解，關鍵是對通項公式的熟練使用，屬基礎題.12．D【解析】

先根據三視圖還原幾何體是一個四棱錐，根據三視圖的數據，計算各棱的長度.【詳解】根據三視圖可知，幾何體是一個四棱錐，如圖所示：由三視圖知：，所以，所以，所以該幾何體的最長棱的長為故選：D【點睛】本題主要考查三視圖的應用，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據交集的定義即可寫出答案。【詳解】，，故填【點睛】本題考查集合的交集，需熟練掌握集合交集的定義，屬于基礎題。14．【解析】

根據已知求出，利用向量的運算律，求出即可.【詳解】由可得，則，所以.故答案為:【點睛】本題考查向量的模、向量的數量積運算，考查計算求解能力，屬于基礎題.15．【解析】

由已知利用兩角差的正弦函數公式可得，兩邊平方，由同角三角函數基本關系式，二倍角的正弦函數公式即可計算得解．【詳解】，得，在等式兩邊平方得，解得.故答案為：.【點睛】本題主要考查了兩角差的正弦函數公式，同角三角函數基本關系式，二倍角的正弦函數公式在三角函數化簡求值中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．16．【解析】

首先根據定積分的應用求出的值,進一步利用二項式的展開式的應用求出結果.【詳解】，根據二項式展開式通項：，令，解得，所以含的項的系數.故答案為：【點睛】本題考查定積分，二項式的展開式的應用,主要考查學生的運算求解能力,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）0.98;可用線性回歸模型擬合．（2）【解析】

（1）根據題目提供的數據求出，代入相關系數公式求出，根據的大小來確定結果；（2）求出藥品的每類劑型經過兩次檢測后合格的概率，發現它們相同，那么經過兩次檢測后，，三類劑型合格的種類數為，服從二項分布，利用二項分布的期望公式求解即可.【詳解】解：（1）由題意可知，，由公式，，∴與的關系可用線性回歸模型擬合；（2）藥品的每類劑型經過兩次檢測后合格的概率分別為，，，由題意，，.【點睛】本題考查相關系數的求解，考查二項分布的期望，是中檔題.18．（1）（2）【解析】

利用零點分區間法，去掉絕對值符號分組討論求并集，對恒成立，則，由三角不等式，得求解【詳解】解：當時，不等式即為，可得或或，解得或或，則原不等式的解集為若對任意、都有，即為，由，當取得等號，則，由，可得，則的取值范圍是【點睛】本題考查含有兩個絕對值符號的不等式解法及利用三角不等式解恒成立問題.（1）含有兩個絕對值符號的不等式常用解法可用零點分區間法去掉絕對值符號，將其轉化為與之等價的不含絕對值符號的不等式(組)求解（2）利用三角不等式把不等式恒成立問題轉化為函數最值問題.19．（1）；（2）.【解析】

（1）由正弦定理可得，再用余弦定理即可得到角C；（2），再利用求正弦型函數值域的方法即可得到答案.【詳解】（1）因為，所以.在中，由正弦定理得，所以，即.在中，由余弦定理得，又因為，所以.（2）由（1）得，在中，，所以.因為，所以，所以當，即時，有最大值1，所以的最大值為.【點睛】本題考查正余弦定理解三角形，涉及到兩角差的正弦公式、輔助角公式、向量數量積的坐標運算，是一道容易題.20．(1)；(2)【解析】

（1）利用正弦定理邊化角，結合兩角和差正弦公式可整理求得，進而求得和，代入求得結果；（2）利用正弦定理可將表示為，利用兩角和差正弦公式、輔助角公式將其整理為，根據正弦型函數值域的求解方法，結合的范圍可求得結果.【詳解】（1）由正弦定理可得：即（2）由（1）知：，，即的取值范圍為【點睛】本題考查解三角形知識的相關應用，涉及到正弦定理邊化角的應用、兩角和差正弦公式和輔助角公式的應用、與三角函數值域有關的取值范圍的求解問題；求解取值范圍的關鍵是能夠利用正弦定理將邊長的問題轉化為三角函數的問題，進而利用正弦型函數值域的求解方法求得結果.21．（1）（2）【解析】

（1）根據正弦定理到，得到答案.（2）計算，再利用余弦定理計算得到答案.【詳解】（1）由，可得,因為，所以，所以.（2），又因為，所以.因為，所以，即.【點睛】本題考查了正弦定理