上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.在空間直角坐標(biāo)系。―xyz中，已知4(2,—1,4),5(-2,-1,-4),則點(diǎn)4和點(diǎn)B關(guān)于()

A.x軸對稱B.平面yOz對稱C.y軸對稱D.平面xOz對稱

2.如圖，共頂點(diǎn)的橢圓①，②與雙曲線③，④的離心率分別為e2,e3,e4,其大小關(guān)系為()

A.e2<<e3<e4B.<e2<e3<e4C.<e2<e4<e3D.e2<<e4<e3

3.著名的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德一生最為滿意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱容球”定理：把一個(gè)球放在一個(gè)

圓柱形的容器中，如果蓋上容器的上蓋后，球恰好與圓柱的上、下底面和側(cè)面相切(該球也被稱為圓柱的內(nèi)

切球)，那么此時(shí)圓柱的內(nèi)切球體積與圓柱體積之比為定值，則該定值為()

1132

A.5B.-C.-D.-

4.設(shè)直線/的方程為ax+6y+c=0,兩不同定點(diǎn)4(%,月)、8(犯/2)，點(diǎn)P滿足費(fèi)=幾用(％>。)，記&=

axL+byi+c(Z=1,2),若詼詼豐0,且線段4P與直線Z有交點(diǎn)，則()

A.e(-oo,-i)B.*e(0,1)u(1,+8)

C.*e(—8,0)u(0,1)D.粵e(—8,0)u(1,+8)

二、填空題：本題共10小題，每小題5分，共50分。

5.拋物線必=》的準(zhǔn)線方程為.

6.對任意實(shí)數(shù)a,直線ax+y+2a-1=0總經(jīng)過定點(diǎn).(寫出該定點(diǎn)坐標(biāo))

7.橢圓2+1=1的左、右焦點(diǎn)分別為Fi、F2,過F2的直線交橢圓于4,B兩點(diǎn)，則△4F1B的周長為.

8.若向量元=(2,1)是直線/的一個(gè)法向量，則直線/的傾斜角為.(用反三角表示)

9.已知方程％2+y2-2%-4y+m=。表示圓，則TH的取值范圍為.

10.平面a經(jīng)過點(diǎn)8(1。0),且a的法向量元=(LL1)，則P(l,2,3)到平面a的距離為.

11.雙曲線E與雙曲線1共漸近線且過點(diǎn)P(2,3四，則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

第1頁，共12頁

12.已知橢圓方程為全+y2=1,點(diǎn)4為橢圓的右頂點(diǎn)，定點(diǎn)7(t,0)在x軸上，點(diǎn)S為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|ST|取

得最小值時(shí)點(diǎn)s恰與點(diǎn)a重合，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為.

13.如圖，長方體4BCD-4送16。1中，AB=2,AD=1,AA1=2,。為底面ABCD的中心，點(diǎn)P為。通1上

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，入28C的三個(gè)頂點(diǎn)均位于拋物線八十=2Px(p>0)上，點(diǎn)F為「的焦點(diǎn)，若

sinA:sinB:sinC=YW:1:1,直線BC的斜率為則使赤-OF+OC-OF=4歷成立的實(shí)數(shù)2的值為

三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知橢圓C的方程為《+”=1,&、/2為其左、右焦點(diǎn).

(1)求橢圓C的離心率；

(2)若直線y=%+m被橢圓C截得的線段長為上求zn的值.

16.(本小題12分)

如圖，這是某圓弧形山體隧道的示意圖，其中底面4B的長為16米，最大高度CD的長為4米，以C為坐標(biāo)原

點(diǎn)，所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.

(1)求該圓弧所在圓的方程；

(2)若某種汽車的寬約為2.5米，高約為1.6米，車輛行駛時(shí)兩車的間距要求不小于0.5米以保證安全，同時(shí)車

頂不能與隧道有別蹭，則該隧道最多可以并排通過多少輛該種汽車？(將汽車看作長方體)

17.(本小題12分)

第2頁，共12頁

如圖，平行六面體ABCD-4/1的￡>1中，底面4BCD是邊長為1的正方形，AAt=y[2,乙%4D=N&AB=

120°.

(1)求該平行六面體的表面積；

(2)記&在底面4BCD上的射影為H,9=/.ArAB,91=^ArAH,d2=^BAH,求證：cos。=cos/cos"，

并求側(cè)棱44i與底面4BCD的所成角；

(3)求異面直線2C與BA的所成角.

18.(本小題12分)

已知雙曲線C:%2—馬=1(匕>0),Fi，F(xiàn)2分別為其左、右焦點(diǎn)，2為其左頂點(diǎn).設(shè)過右焦點(diǎn)尸2的直線1與C的

b

右支交于P，Q兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P位于第一象限內(nèi).當(dāng)直線1與久軸垂直時(shí)，\PQ\=6.

(1)求雙曲線的方程；

(2)設(shè)直線4P,2Q分別與直線x=a交于M,N兩點(diǎn)，問：是否存在實(shí)數(shù)a,使右焦點(diǎn)F2恒位于以線段MN為

直徑的圓上？若存在，求出a的值，若不存在，說明理由；

(3)是否存在常數(shù)人使得NPFzA=2NP4F2恒成立？若存在，求出4的值，若不存在，說明理由.

19.(本小題12分)

帶著數(shù)學(xué)的眼光看世界，則生活中處處有數(shù)學(xué).以一種常見的生活用品一一酒杯為例，根據(jù)其造型，不妨

將其抽象為開口向上的拋物線，并假設(shè)其內(nèi)壁足夠光滑.

(1)將一定長度，質(zhì)量分布均勻，各處粗細(xì)相等的小木棍丟入酒杯中，想要研究小木棍自然靜止下來后所處

位置的特征.查閱資料后可知，物理中有被稱為“重心最低”的原理.試將該物理原理抽象為這一拋物線

酒杯模型中的數(shù)學(xué)語言，并借助之給出研究結(jié)論.

【注】①請將“抽象出的數(shù)學(xué)問題：XXX……”與"問題解答：XXX……”分開書寫，不明確問題直接開始

解答的不得分；

②自行定義必要的字母記號(hào)，并配以相應(yīng)的圖形說明.

(2)將許多長短不一(但均足夠長)的小木棍丟入酒杯中，待它們?nèi)孔匀混o止后，發(fā)現(xiàn)它們?nèi)拷粎R于同一

點(diǎn)，請解釋該現(xiàn)象.

第3頁，共12頁

20.(本小題12分)

已知橢圓八9+，=1(0<b<2).

(l)已知橢圓廠的離心率為苧，求橢圓r的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知直線I過橢圓廠的右焦點(diǎn)且垂直于x軸，記2與「的交點(diǎn)分別為4B,4B兩點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)分別

為4、B',若四邊形ABB%'是正方形，求正方形ABB'4'的內(nèi)切圓的方程；

(3)設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)都在橢圓「上，若△OPQ是等腰直角三角形，其中NOPQ是直角，點(diǎn)P在第一

象限，且0、P、Q三點(diǎn)按順時(shí)針方向排列，求b的最大值.

第4頁，共12頁

1.【答案】c

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】x=—；

6.【答案】（-2,1）

7.【答案】4c

8.【答案】71—arctanl

9.【答案】（一8,5）

10.【答案】苧

11.【答案】［_冬=1

3616

12.【答案】［邛,+8）

13.【答案】苧

14.【答案】與

15.【答案】解：（1）由橢圓C的方程為。+4=1,

可得Q=2,b=V-2,c=V4—2=V-2,

所以e=￡=年；

a2

（2）設(shè)直線y=%+TH與橢圓C交于/（石，%），8（%2，、2）兩點(diǎn)，

y=x+m

{了+萬=1

得3/+4mx+2m2—4=0,

△=16m2—4x3（2m2-4）=8（6—m2）>0

4m

則{+x2=-T,

2m2—4

/

由于明=卬（l+F）［（書一4號(hào)=*

解得m=士，2.

第5頁，共12頁

16.【答案】解：(1)由圓的對稱性可知，該圓弧所在圓的圓心在y軸上，

由圖可得4(一8,0),B(8,0),0(0,4)，

設(shè)該圓的半徑為r米，則產(chǎn)=82+。—4)2,解得「=10,

則圓心為(0,-6),

故該圓弧所在圓的方程為/+(y+6)2=I。。.

(2)設(shè)與該種汽車等高且能通過該隧道的最大寬度為d米，

則($2+(6+1.6)2=102,

解得d=2V42.24.

若并排通過5輛該種汽車，

則安全通行的寬度為5x2.5+4x0.5=14.5>

故該隧道不能并排通過5輛該種汽車.

若并排通過4輛該種汽車，

則安全通行的寬度為4X2.5+3X0.5=11.5<2/4224,

故該隧道能并排通過4輛該種汽車.

綜上所述，該隧道最多可以并排通過4輛該種汽車.

17.【答案】解：(1)底面4BCD是邊長為1的正方形，則SDABCD=1,SaAiBiCiDi=1,

AAt=V_2,Z.A-^AD=Z-A-^AB=120°,

所以S畋=4SDA[B]AB=4X2X?IA4J?sin/A遇B=4X2X?=2yf6,

所以該平仃八面體的表面積5表=S網(wǎng)+S^ABCD+^IZIA1B1C1D1=2>/-6+2.

(2)過七作_1_2。,4擔(dān)1平面48C。，連接AM,HM,AE,HE,AH,

止匕時(shí)4Du平面4BCD,ArHVAD,ArEVAD,ArH0ArE=Ar,ArH,ArE^^ArHE,

：.AD1面4HE,

Al-JAM

cos%=cosZ-A^H=cos02=cos4BAH=—cos4HAM=——,

八....AMAMAH八八不日、十

cos3=—CQSZ-A^AM=-=——?=cos^cos^，得證.

因?yàn)镹aia。=^ArAB=120°,貝ikaiZE=^A1AM=60°,

則a”=AAt-COS60°=苧=4E,

第6頁，共12頁

所以=7-AH2=V2-1=1,

所以COSN&A”=萼=噂，所以N&4”=45°,

AA^L

因?yàn)開L平面ABC。，AHu平面4BCD,所以Ai"1AH,

所以側(cè)棱與底面4BCD的所成角為N&A”.

所以，側(cè)棱44i與底面48C0的所成角為45。.

⑶由題意荏?而=0,AA^-AB=AA^-AD=^xlxcosl20°=一/

BD]—BA+AD+DD]=—AB+AD+AA-1,

2

\BD±\={-AB+AD+AA^=AB+AD+AA1-2AB-AD-2AB-AA1+2AD-AA1

=l+l+2-0-2x（-苧）+2x（-苧）=4,

所以BQ1=|西|=2.

而前=同+和麻|=/I,

,>>--->>>>>>2>2>>>>

則B￡>1-AC=（—AB+4。+441）?（4B+AD）=AD-AB+AA1-AB+AA1-AD

=1-1+（-苧）+（-苧）=?

所以|c°s甌，狗=胃=黑/,1

所以直線B￡>1與4C所成角為60。.

18.【答案】解：Q)因?yàn)楫?dāng)直線，與x軸垂直時(shí),\PQ\=6,

且點(diǎn)P位于第一象限內(nèi)，所以設(shè)P(c,3),

代入方程中得到。2—斗=1,而c2=1+%

bz

解得b2=3,c2=4,則雙曲線的方程為/—1=1.

(2)由上問得雙曲線的方程為/蕓=1,

第7頁，共12頁

如圖，則點(diǎn)a,F2的坐標(biāo)分別為(-1，。)，(2,0)，

又雙曲線漸近線為y=±73%,顯然直線PQ的斜率不為零,

故設(shè)其方程為尤=my+2,(znK±?),

聯(lián)立雙曲線方程比2—=1可得：(3m2-l)y2+12my+9=0,

設(shè)點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為Oi，yi),(%2，y2)，且/>0恒成立

liiii.12m9

4

+g=爪(yi+y2)+4=

久1孫=巾2yly2+2m(乃+%)+4=霓；

又直線4P方程為：y=(x+1),令久=a,則y=(a+l)p

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,(a+1)?島)直線4Q方程為：丁=爵0+1)，

令x=a,則y=(a+1)?告p故點(diǎn)N的坐標(biāo)為(a,(a+1)?毋y)；

若右焦點(diǎn)F2恒位于以線段MN為直徑的圓上，則麗?麗=0,

則“尸2'NF2=(2—a,-(a+1)-^0?(2—a,-(a+1)-

9

=(2-a)2+(a+l)2---------~T-T=C2-a)2+①+〔尸?°?料

%1%2+%1+%2+1324—_L----4-----[

3m2—13m2—1

=(2—a)2+(a+I)2?2=(2—a)2—(a+l)2,令(2—a)2—(a+l)2=0,解得a=

故存在a=p使右焦點(diǎn)F2恒位于以線段MN為直徑的圓上.

(3)當(dāng)直線PQ斜率不存在時(shí)，

對曲線C:久2一1=1,令％=2,解得y=±3,

第8頁，共12頁

故點(diǎn)p的坐標(biāo)為(2,3),此時(shí)NPBAM*

在三角形PFzA中，\AF\=3,IPF2I=3,故可得4PA&=P

24

則存在常數(shù)2=2,使得NPF2&=2NP4F2成立；

當(dāng)直線PQ斜率存在時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),x豐2,

此時(shí)直線PF2的傾斜角為a，直線P4的傾斜角為0,

則NP&a=兀-a,/-PAF2=￡,

假設(shè)存在常數(shù)4=2,使得NPF2&=2乙PAF2成立,即兀一a=20,

則一定有：tan(兀-a)=-tana=tan20=1叱,也即一的^=號(hào);

L-tClYlp1—0人

又_k=__y2kp4_2x備一2y(x+1)

2

PF2X-2'l-kpA1-y(%+l)2—y2,

(x+1)2

又點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足％2一］=1,則y2=3%2_3,

附2kpA_2yol_I)_2yO+l)

22

乂1一后人一(x+l)-y-(X+1)2-3X2+3

2y(x+1)_2y(x+1)y

--2x2+2%+4-一2(%—2)(%+1)-x-2

=-kpF2；

故假設(shè)成立，存在實(shí)數(shù)常數(shù)a=2,使得NPF2/=24PAF2成立；

綜上所述，存在常數(shù)2=2,使得4PF2A=2乙/MF2恒成立.

19.【答案】解：(1)抽象出的數(shù)學(xué)問題：

已知拋物線/=2py(p>0)上有一條長度為L(L>0)的動(dòng)弦求48中點(diǎn)M到％軸的距離的最小值.

問題解答：

設(shè)4(%141)8(第2，、2)，直線=kx+m,

2=2py

聯(lián)立t得,x2—2pkx—2pm=0,

=kx+m

4=4P2k2+8Pm>0,=-2pm+2m=2pk2+2m,

，%+%=+x2)

2222

所以￡=V1+k\xr—x2\=A/1+k2d(jq+72)2—4%I=2=V1+ky/4pk+8pm,

pk2

解得TH=

8p(l+/c2)

AB中點(diǎn)M(pk,pk2+m),

則中點(diǎn)M到X軸的距離為

第9頁，共12頁

,,2,1_Pfc2,/_p(k2+l)p

\pk+m\=——I------------T-=—Q--------1-------------5—

28P(1+Y)28P(1+Y)2

4fc2+l=t,t>l,設(shè)"。=與+導(dǎo)一畀

ZoptZ

①當(dāng)L22P時(shí)，/(t)>2號(hào)熹—%空，

、zoptzz

2

當(dāng)且僅當(dāng)9=工，BPt=fc2+1=與時(shí)等號(hào)成立.

28Pt2P

L2pk2L2P臉T)

此時(shí)TH=

8P(1+M)2-8P.專2

故直線480=依+畀恒過拋物線的焦點(diǎn)(0,.

2

②當(dāng)0<L<2p時(shí)，在[l,+8)上單調(diào)遞增，則f(t)N〃1)=散r.

當(dāng)力=k2+1=1,即k=0時(shí)，AB中點(diǎn)M到%軸的距離最小，最小值為白

8P

此時(shí)AB斜率k=0,即4B關(guān)于y軸對稱.

回歸實(shí)際問題，研究結(jié)論是：

當(dāng)木棍長Le(0,2p)時(shí)，小木棍自然靜止下來后對應(yīng)木棍處于水平位置；

當(dāng)木棍長LG[2p,+8)時(shí)，小木棍自然靜止下來后對應(yīng)木棍通過拋物線焦點(diǎn).

(2)由題意，小木棍長短不一，但均足夠長，不妨認(rèn)為木棍長度L均滿足L2